安徽省舒城中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题

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安徽省六安市舒城中学2019_2020学年高一数学上学期第四次统考试题

9.已知函数 y tan x 在 ( , ) 上是减函数，则( ) 22
A. 0 1 B. 1 0 C. 1
D. 1
10.若定义在实数集 R 上的 f (x) 满足： x (3,1) 时， f (x 1) ex ，对任意 x R ，都有
f (x 2) 1 成立，则 f (2019)= ( ) f (x)
20.解：（1）∵ f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数,∴ f (x) f (x), g(x) g(x) . 又 f (x) g(x) 2 log2 (1 x) ① 故 f (x) g(x) 2 log2 (1 x) ，即 f (x) g(x) 2 log2 (1 x) ②
.
5
16.
若函数
f
(x) cos( 3 2
x) ，且 Sn
f
(
)
7
f
( 2 ) 7
f
( n )(n N ) 7
，则
S1，S2，，S2020 中，正数的个数是
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
已知角的终边上一点 P (a, 3a)(a 0) .
A. e2
B. e2
C. e
D.1
-2-
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11.已知函数 f (x) 2 sin x( 0) ，存在实数 x1, x2 ，对任意的 x R ，都有
f (x1)
f (x)
f (x2 ) 成立，且
x1 x2
的最小值为，则方程
2
f (x)
ln
x
0 的根的个数
为 ( )（注： e2 7.389 ）

安徽省六安市舒城中学2020学年高一数学上学期第三次统考(期中)试题(无答案)

舒城中学2020学年度第一学期期中考试高一数学（总分： 150分时间：120分钟）一、选择题1.已知集合{}54321，，，，=A ，{}0322≤--=x x x B ，则B A ⋂中的元素个数为（） A ．2B.3C ．4D ．52下列函数中，与函数x y =相同的函数是（）A.xx y 2= B.2x y = C.33x y = D.2)(x y =3.已知3)2()(2-++=x b ax x f 是定义在[31,]a a -上的偶函数，那么ab 的值是（）A .2- B.21-C.21D.24.函数)6(log 3)(2x x x f -++=的定义域是（）A ．()+∞,6B ．()6,3-C ．()+∞-,3D ．[)6,3-5.函数221)(x x f +=的值域是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,06.方程7log 4=+x x 的解所在区间是（）A ．()2,1B ． ()4,3C ．()6,5D ．()7,6 7.已知函数()32221)(----=m mx m m x f 是幂函数，对任意的()+∞∈,0,21x x ，且21x x ≠，都有0)]()()[(2121<--x f x f x x ，则实数m =（）A ．2B ．1-C ． 4D ． 2或1-8.如果函数2)1(log ++=x y a （10≠>a a 且）的图像恒过定点A ，若A 也在b x f x+=2)(的图像上，则=b（）A ．0B ．1C ． 2D ．39.函数)10(≠>=a a a y x且与函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称，则函数)(x f y =与二次函数x x a y --=2)1(在同一坐标系内的图像可能是（）A. B. C. D. 10.若10,0<<>>c b a ,则（）A. b a c c log log >B. c c b a log log >C. bac c > D. ccb a > 11.已知定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意实数x 都有，)6()()(x f x f x f -==-，且[]0,3-∈x 时，)6(log )(21x x f +=，则)2018(f 的值为（）A. 3-B. 2-C. 2D. 3 12.已知函数⎩⎨⎧≥+-<-=0,460,)lg()(2x x x x x x f ，若关于x 的函数01)()(2=+-x bf x f 有8个不同的解，则实数b 的取值范围为（）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛4172，B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛4172，C. ()82，D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4172，二、填空题 13.若31=+-xx ，则=+-2121xx ．14.函数)23(log )(221+-=x x x f 的单调递增区间是．15.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为2-=xa y (x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是． 16.设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件：存在[],ab D ⊆，使得()f x 在[],a b 上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“半缩函数”．若函数()()ln x f x e t =+为“半缩函数”，则t 的取值范围是．三、解答题17.（本小题满分10分）已知集合{}12<-=x x A ，集合{}m x m x B -<<=12. （1）若B B A =⋃，求实数m 的取值范围. （2）若φ≠⋂B A ，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知)(x f 为二次函数，满足x x x f x f 82)1()1(2-=-++. （1）求)(x f 的表达式；（2）解关于x 的不等式4)3(-≥xf .19. （本小题满分12分）我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系. 声音的强度I 用瓦/平方米（2/W m ）表示. 但在实际测量中，常用声音的强度水平1L 表示，它们满足以下公式：1010lgIL I = （单位为分贝），10L ≥，其中120110I -=⨯，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端. 回答以下问题：（1）某学校发现，学生能够在晚自习期间安心学习，声音强度不能超过102110/W m -⨯，试问此声音强度产生的噪音为多少分贝？;（2）当下，广场舞流行于大街小巷，广场舞噪声扰民"伤不起"，尤其是学校周围，广场舞音箱声音太大，关上窗户也不行，学生学习受干扰，大人的心情也很烦燥。

3-2-1 单调性与最大(小)值(精练)(解析版)

3.2.1 单调性与最大（小）值（精练）【题组一定义法判断或证明函数的单调性】1．（2020·上海高一专题练习）证明幂函数12()f x x =在[)0,+∞上是增函数【答案】证明见解析【解析】设120x x ≤<，则11221212()()f x f x x x-=-121212x x x x x x -=-=+12x x <120x x ∴-<120x x ∴+>12()()0f x f x ∴-<即12()()f x f x <，此函数在[0,)+∞上是增函数.2．（2021·全国高一课时练习）已知函数f (x )=12x x ++，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【答案】证明见解析.【解析】证明：∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，且x 1>x 2>-2，f (x )=11122x x x +=-++ 则f (x 1)-f (x 2)=212x -+112x +=1212-(2)(2)x x x x ++，因为x 1>x 2>-2，所以x 1-x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，所以1212-(2)(2)x x x x ++>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(-2，+∞)上单调递增.3．（2021·福建三明市·三明一中高一开学考试）已知函数()12x f x x -=+，[]3,5x ∈. （1）判断函数()f x 的单调性，并证明；（2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）24,57⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()12331222x x f x x x x -+-===-+++在区间[]3,5上单调递增，证明如下：任取[]12,3,5x x ∈且12x x <，()()1212213333112222f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()12121212323232222x x x x x x x x +-+-==++++，因为1235x x ≤<≤，所以120x x -<，120x +>，220x +>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间[]3,5上单调递增.（2）由（1）知：()f x 在区间[]3,5上单调递增，所以()()min 3123325f x f -===+，()()max 5145527f x f -===+，所以函数()f x 的值域是24,57⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 4．（2021·六安市裕安区新安中学高一期末）设函数1()f x x x=+，(1,)x ∈+∞.判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；【答案】在(1,)+∞上为增函数，证明见解析. 【解析】任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x <，()()12121211f x f x x x x x -=+-- ()()()()1212211212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数；【题组二性质法判断函数的单调性】1．（2020·巩义市第四高级中学高一月考）函数()2f x x=的单调递减区间为（） A ．(),-∞+∞ B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()(),0,0,-∞+∞ D ．()0,∞+【答案】C 【解析】()2f x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，图象如图所示：所以()2f x x=的单调递减区间为()(),0,0,-∞+∞，故选：C2（2020·台州市黄岩中学高一月考）函数f (x )＝1－11x -（） A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增 C ．在(－1，＋∞)上单调递减 D ．在(1，＋∞)上单调递减【答案】B【解析】f (x )图象可由y ＝－1x图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．故选：B3．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一开学考试）以下函数在其定义域上为增函数的是（） A ．1(0)x yx xB ．2(0)y x x xC ．1y x =-D ．2yx【答案】B【解析】对于A 选项，111(0)x yx xx，由于反比例函数()10y x x=>为减函数，故1(0)x yx x为减函数，A 选项错误；对于B 选项，2(0)y x x x的对称轴为102x =-<，开口向上，故2(0)y x x x 为增函数，B选项正确；对于C 选项，由于()11y x x =-≤上是减函数，故由复合函数的单调性得1y x =-为定义域(],1-∞上的减函数，C 选项错误；对于D 选项，2y x 为减函数，故D 选项错误.故选：B.4．（2021·深圳市皇御苑学校高一期末）函数23y x x =+的单调递减区间为A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D【解析】由题意，230x x +≥，可得3x ≤-或0x ≥，函数23y x x =+的定义域为(][),30,-∞-⋃+∞，令23t x x =+，则外层函数y t =在[)0,+∞上单调递增，内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减，在[)0,+∞上单调递增，所以，函数23y x x =+的单调递减区间为(],3-∞-.故选：D.5．（2021·全国高一课时练习）下列函数中，在区间(1，+∞)上单调递增的是（） A ．y =-3x -1 B ．y =2xC ．y =x 2-4x +5 D ．y =|x -1|+2【答案】D【解析】由一次函数的性质可知，y =-3x -1在区间(1，+∞)上单调递减，故A 错误；由反比例函数的性质可知，y =2x在区间(1，+∞)上单调递减，故B 错误，由二次函数的性质可知，y =x 2-4x +5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C 错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y =|x -1|+2在(1，+∞)上单调递增. 故选：D.6．（2021·浙江高一期末）函数()254f x x x =-+的单调递减区间为________【答案】(],1-∞（或(),1-∞）【解析】对于函数()f x ，有2540x x -+≥，解得1x ≤或4x ≥. 所以，函数()f x 的定义域为(][),14,-∞+∞.内层函数254u x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，在区间[)4,+∞上为增函数，外层函数y u =在[)0,+∞上为增函数，因此，函数()254f x x x =-+的单调递减区间为(],1-∞（或(),1-∞）.故答案为：(],1-∞（或(),1-∞）.7．（2021·贵溪市实验中学高二期末）函数2()26f x x x =+-的单调递增区间是____________；【答案】[)1,-+∞【解析】函数()226f x x x =+-的对称轴为1x =-，开口向上，所以函数()f x 的单调增区间为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2020·和平区·天津市第二南开中学高一期中）函数243y x x =-++，[]0,3x ∈的单调递增区间是_____．【答案】[]0,2【解析】243y x x =-++的图象开口向下，又243y x x =-++的对称轴为42(1)2x =-=-⨯，()f x ∴的单调递增区间是[]0,2.故答案为：[]0,2.【题组三图像法判断函数的单调性】1．（2020·江苏）函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为（） A ．[1，+∞)，[1，+∞) B ．(﹣∞，1]，[1，+∞) C ．(1，+∞)，(﹣∞，1] D ．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A 【解析】()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()222()211g x x x x x x -=-==--，()g x ∴在[)1,+∞上单调递增，故选：A.2．（2020·太原市·山西实验中学高一月考）函数()2f x x x =-的单调减区间是（） A ．[]1,2 B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[2,)+∞【答案】A 【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式，结合二次函数图象得：(,1),(2,)-∞+∞递增，在[]1,2递减，故选：A.3．（2021·河南郑州市）函数f （x ）=|x 2﹣6x+8|的单调递增区间为（） A ．[3，+∞） B ．（﹣∞，2），（4，+∞） C ．（2，3），（4，+∞） D ．（﹣∞，2]，[3，4]【答案】C【解析】画出2()68f x x x =-+的图象如图：由图象可知，函数的增区间为(2,3),(4,+∞），故选C.4．（2020·福建省南安市侨光中学高一月考）函数()11g x x x =⋅-+的单调减区间为（） A ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[)1+∞， D ．][112⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】()221,111=1,1x x x g x x x x x x ⎧-+≥=⋅-+⎨-++<⎩，画出函数图象，如图所示：根据图象知：函数的单调减区间为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 故选：B.5．（2021·银川市）函数2()68f x x x =-+的单调递增区间为（） A ．[3,)-+∞ B ．(,2),(4,)-∞+∞ C ．(2,3),(4,)+∞D ．(,2],[3,4]-∞-【答案】C【解析】2226824()686824x x x x f x x x x x x ⎧-+≤≥=-+=⎨-+-<<⎩或，所以()f x 递增区间是(2,3),(4,)+∞. 故选:C.6．（2021·重庆北碚区）函数()|2|f x x x =-的增区间是 A ．(,1]-∞ B ．[2,)+∞C ．(,1],[2,)-∞+∞D ．(,2)-∞【答案】C【解析】222,2()22,2x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩由二次函数的图象可知()f x 在(,1],[2,)-∞+∞上是增函数故选：C7．（2021·黑龙江哈尔滨市）已知函数()||2f x x x x =-，则有（） A ．()f x 是偶函数，递增区间为[0，)+∞ B ．()f x 是偶函数，递增区间为(-∞，1] C ．()f x 是奇函数，递减区间为[1-，1] D ．()f x 是奇函数，递增区间为(-∞，0] 【答案】C【解析】因为()||2f x x x x =-，所以()22()f x x x x x x x f x -=--+=-+=-，故()f x 为奇函数，因为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，结合二次函数性质可知，()f x 的单调递减区间为[1-，1]．故选：C ．8．（2020·龙岩市高级中学高一期中）（多选）函数2()68f x x x =-+在下列区间（）上单调递减． A ．(,2)-∞ B ．(,3)-∞C ．[]3,4D ．()2,3【答案】AC【解析】解：因为222268,4()6868,2468,2x x x f x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=-+-<<⎨⎪-+≤⎩，函数图象如下所示：由图可知函数的单调递增区间为()2,3和()4,+∞，单调递减区间为(),2-∞和()3,4 故选：AC9．（2021·江苏扬州市）函数()|2|3f x x x =--的单调递增区间为______ 【答案】()(,1),2,-∞+∞【解析】由题意2x ≥时，22()(2)323(1)4f x x x x x x =--=--=--，在[2,)+∞是是增函数，2x <时，22()(2)323(1)2f x x x x x x =--=-+-=---，在(,1)-∞是递增，在(1,2)上递减．∴增区间为(,1)-∞，(2,)+∞．故答案为：(,1)-∞，(2,)+∞．10．（2021·江苏南京市）函数()21f x x =-的单调增区间为______.【答案】（-1，0）和（1，+ ∞）【解析】()21f x x =-可画出函数图象如下所示：由函数图象可知，函数在()1,0-和()1,+∞上单调递增. 故答案为：()1,0-和()1,+∞ 【题组四已知单调性求参数】1．（2021·新疆阿勒泰地区·高一期末）若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有（）A ．a ≥12 B ．a ≤12 C ．a >12D ．a <12【答案】D【解析】函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <12. 故选：D.2．（2021·全国）若函数()|2|f x x a =+的单调递减区间是(,3]-∞，则a 的值为 A ．3- B ．3C ．6-D ．6【答案】C 【解析】当2a x ≤-时，()2f x a x =-，()f x ∴单调递减区间为,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，32a∴-=，解得：6a =-.故选：C . 3．（2021·广西桂林市·高一期末）如果函数2()2(1)2f x x a x =--+在[3,)+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围（） A ．3a ≤-B ．2a -C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】B【解析】函数2()2(1)2f x x a x =--+为二次函数，对称轴为1x a =-，故函数在(),1a -∞-单调递减，(1+)a -∞，单调递增，因此：132a a -≤∴≥-.故选：B4．（2021·江西宜春市·高安中学高一期末（理））已知函数f (x )=221,143,1x x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩，在(0,3)a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．[3，4] B ．[3，5]C ．(3，4]D ．(]3,5【答案】D【解析】函数221,1()43,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，画出函数()f x 的大致图象，如图所示：函数()f x 在(0,3)a -上单调递减，∴由图象可知：032a <-≤，解得：35a <≤，故实数a 的取值范围是：(]3,5. 故选：D.5．（2021·四川省遂宁市第二中学校高一月考（文））已知函数()2f x ax =-在[0,2]上单调递减，则a的取值范围是（） A ．(0,1] B ．(0,1)C ．(0,2]D ．[2,)+∞【答案】A【解析】因为函数()2f x ax =-在[0,2]上单调递减，所以0220a a >⎧⎨-≥⎩ ，解得01a <≤，所以a 的取值范围是(0,1]，故选： A6．（2021·北京门头沟区·大峪中学高一期中）已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+-=()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a ≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）；故选：D ．7．（2021·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试）若()()31121a x a x f x ax x ⎧-+<=⎨-≥⎩，，是定义在(),-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是（） A ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,63⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为()()31121a x a x f x ax x ⎧-+<=⎨-≥⎩，，是定义在(),-∞+∞上的减函数，所以(31)1231020a a aaa-⨯+≥-⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，即1613aaa⎧≥⎪⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1163a≤<，故选：A8．（2021·应城市第一高级中学高一期末）（多选）函数()21x af xx-=+在区间()b+∞，上单调递增，则下列说法正确的是（）A．2a>-B．1b>-C．1b≥-D．2a<-【答案】AC【解析】()22211x a af xx x-+==-++，()f x在区间()b+∞，上单调递增，20a∴+>，2a>-∴，由()f x在区间()1+∞-，上单调递增，1b.故选：AC9．（2021·江苏高一）（多选）已知函数()25,1,1x ax xf x axx⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R上的增函数，则实数a的取值可以是（）A．0B．2-C．1-D．3-【答案】BD【解析】由题意，函数25y x ax=---的图象开口朝下，对称轴为2ax=-，因为函数()25,1,1x ax xf x axx⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R上的增函数，所以1215aaa a⎧-≥⎪⎪⎨<⎪⎪---≤⎩，解得32a--≤≤.所以实数a 的取值可以是2-，3-. 故选：BD.10.（2021·浙江高一期末）已知函数()()()()()24312121xa x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+-+>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是_______．【答案】[)1,1-【解析】要使()f x 在R 上是增函数，则431114352a a a a ->⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得11a -≤<.故答案为：[)1,1-.11．（2021·青海西宁市·高一期末）函数2()21f x x kx k =-++在区间[1,3]-上不单调．．．，则实数k 的取值范围是_________．【答案】()4,12-【解析】二次函数2()21f x x kx k =-++在区间[1,3]-上不单调．．．则对称轴()1,34kx =∈-，即()4,12k ∈- 故答案为：()4,12-12．（2021·湖南高一期中）已知函数()()22212f x x k x k =+-++．（1）若不等式()0f x <的解集为{}3|1x x <<，求实数k 的值；（2）若函数()f x 在区间[]2,4上不单调，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1k =-；（2）()3,1--.【解析】（1）由已知得方程()222120x k x k +-++=的两根为1和3，故由()()2241420k k ∆=--+>，解得12k <-，再由韦达定理有()22113213k k ⎧--=+⎨+=⨯⎩，得112k =-<-，符合要求，故实数k 的值为1k =-；（2）∵函数()f x 在区间[]2,4上不单调，二次函数对称轴为()1x k =--， ∴()214k <--<，解得31k -<<-，所以实数k 的取值范围为()3,1--．13．（2021·浙江高一期末）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上具有单调性，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,-+∞ 【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-. 因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞. （2）因为()0f x >对任意的[1,2]x ∈恒成立，所以可得42(1)k x x->--对任意的[1,2]x ∈恒成立，因为444()244y x x x x x=--=-+≤-⋅=-，当且仅当2x =时等号成立，即max 4y =-，所以只需2(1)4k ->-，解得1k -<，所以实数k 的取值范围为()1,-+∞. 【题组五利用单调性解不等】1．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，2（2021·全国高一课时练习）函数()y f x =满足：对任意的12,x x R ∈总有1212()()0f x f x x x ->-．则不等式2(1)(2)f m f m +>的解集为________．【答案】{|1}m m ≠【解析】因为对任意的12,x x R ∈总有1212()()0f x f x x x ->-所以函数()y f x =是R 上的单调增函数，从而由2(1)(2)f m f m +>得212m m +>，解得1m ≠．故答案为：{|1}m m ≠3．（2021·全国高一课时练习）已知f (x )是定义在(,0]-∞上的单调递增函数，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是_______.【答案】x ＜12【解析】因为(2)3f -=，所以(23)3f x -<和化为(23)(2)f x f -<-，又因为f (x )是定义在(,0]-∞上的单调递增函数，所以232x -<-，解得12x <. 故答案为：12x <. 4（2021·江苏南通市·高一开学考试）设函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，实数a 使得()()212f ax x f a --<-对于任意[]0,1x ∈都成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．[]2,0-C ．()222,222---+ D ．[]0,1【答案】A【解析】解：法一：由条件得1﹣ax ﹣x 2＜2﹣a 对于x ∈[0，1]恒成立令g （x ）＝x 2+ax ﹣a +1，只需g （x ）在[0，1]上的最小值大于0即可．g （x ）＝x 2+ax ﹣a +1＝（x 2a +）224a --a +1．①当2a-＜0，即a ＞0时，g （x ）min ＝g （0）＝1﹣a ＞0，∴a ＜1，故0＜a ＜1；②当02a ≤-≤1，即﹣2≤a ≤0时，g （x ）min ＝g （2a -）24a =--a +1＞0，∴﹣2﹣22＜a ＜﹣2+22，故﹣2≤a ≤0；③当2a ＞-1，即a ＜﹣2时，g （x ）min ＝g （1）＝2＞0，满足，故a ＜﹣2．综上a 的取值范围1a <，故选A.5．（2021·沂源县第二中学高一开学考试）若偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭ D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为()f x 为偶函数，所以(2)(2)f f =-，又因为()f x 在(,0]-∞上是增函数，且3212<--<-，所以3(2)(1)2f f f ⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，即3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，故选：D.6．（2021·长宁区·上海市延安中学高一期末）设2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()1 2f x f x +<的实数x的取值范围是__________. 【答案】(),0-∞【解析】作出函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩的图像如图，满足(1)(2)f x f x +<2021x x x <⎧∴⎨<+⎩，解得0x <.故答案为：(),0-∞.7．（2021·全国高一课时练习）已知函数37().2x f x x +=+ （1）判断并证明函数()f x 在()2,-+∞的单调性；（2）若函数()f x 的定义域为()2,2-且满足2(23)()f m f m -+>，求m 的范围. 【答案】（1）证明见解析，(2,)x ∈-+∞时，函数37()2x f x x +=+为减函数；（2）()1,2. 【解析】（1）371()322x f x x x +==+++，()f x 在(2,)-+∞上是减函数，证明如下：设122x x >>-，则2112121211()()22(2)(2)x x f x f x x x x x --=-=++++， 122x x >>-，120x ∴+>，220x +>，210x x -<， 12()()f x f x ∴<，()f x ∴在(2,)-+∞上为减函数；（2）由（1）可知：当(2,2)x ∈-时，函数()f x 为减函数，∴由2(23)()f m f m -+>得，2222322223m m m m -<-+<⎧⎪-<<⎨⎪-+<⎩，解得12m <<，m ∴范围为(1,2)．【题组六利用单调性求最值】1．（2021·广东汕头市·高一期末）设函数2()1f x mx mx =--，若对于[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当0m =时，()1f x =-，由1m ->-，得1m ，不符合题意；当0m ≠时，函数()f x 的对称轴为12x =，当0m >时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递增，此时函数min ()(1)1f x f ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需1m ->-，解得1m ，所以1m ；当0m <时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递减，此时函数min ()(3)61f x f m ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需61m m ->-，解得17m >，不符合题意；综上：实数m 的取值范围是(1,)+∞. 故选：B2．（2021·广东广州市·高一期末）已知函数()()221f x x ax a R =+-∈，若()1,2x ∀∈，()0f x ≤，则a 的取值范围是_________. 【答案】7,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】()1,2x ∀∈，()2021f x x ax =-≤+恒成立，即12,(1,2)a x x x≤-+∈恒成立，设1()2g x x x =-+在(1,2)单调递减，所以7()12g x -<<-，所以72a ≤-. 故答案为：7,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 3．（2021·浙江高一期末）（多选）已知函数222y x x -=+的值域是[1，2]，则其定义域可能是（）A ．[0,1]B ．[ 1,2]C ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,1-]【答案】ABC【解析】因为函数222y x x -=+的值域是[1，2]，由2y =可得0x =或2x =，由1y =可得1x = 所以其定义域可以为A 、B 、C 中的集合故选：ABC4．（2021·全国高一课时练习）二次函数24y ax x a =++的最大值是3，则a =_______.【答案】1-【解析】根据题意，二次函数24y ax x a =++的最大值是3，则2041634a a a<⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =-.故答案为：1-.5．（2021·安徽省舒城中学高一开学考试）已知函数2()23f x x x =--在[]1m －，上的最大值为()f m ，则m 的取值范围是（）A ．(11]－， B ．(1,122]-+ C ．[122,)++∞ D ．(1,1][122,)-⋃++∞【答案】D【解析】()f x 的图象如下图：对称轴为1,(1)4x f ==，令2234x x --=，得122x =±. 因为(1)0f -=，所以数形结合可得11m -<或122m +.故选：D6（2021·云南文山壮族苗族自治州·砚山县第三高级中学高一期末）已知函数1()2f x x a =+，且1(2)5f =．（1）求a 的值；（2）试判断函数在(1,)+∞上的单调性，并给予证明；（3）求函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值．【答案】（1）1a =，（2）减函数，证明见解析，（3）最大值17，最小值111 【解析】（1）因为1()2f x x a =+，且1(2)5f =，所以1145a =+，解得1a =，（2）函数1()21f x x =+在(1,)+∞上为减函数，证明如下：任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则121211()()2121f x f x x x -=-++ 21122()(21)(21)x x x x -=++ 因为12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，所以210x x ->，12210,210x x +>+>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数1()21f x x =+在(1,)+∞上为减函数，（3）由（2）可知1()21f x x =+在[3,5]上为减函数，所以当3x =时，函数取得最大值，即max 11()2317f x ==⨯+，当5x =时，函数取得最小值，即min 11()25111f x ==⨯+ 7．（2020·重庆市万州南京中学高一期中）已知函数()1=+x f x x （1）用定义法判断()f x 在区间()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]2,5上的最值.【答案】（1）证明见解析；（2）()()min max 25,36f x f x == 【解析】(1)证明：()1111111x x f x x x x +-===-+++ 任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <()()1212111111f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭211111x x =-++()()()()12121111x x x x +-+=++121211x x x x 121x x -<<，12120,10,10x x x x ∴-<+>+>()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <∴()f x 在()1,-+∞单调递增（2）由（1）知，()f x 在[]2,5单调递增，()()()()min max 252,536f x f f x f ∴==== 8．（2021·深圳第二外国语学校高一期末）已知函数1()2f x x x=+. （1）证明：证明函数()f x 在区间2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）若2()31f x a a ≥+-在[]1,3x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）41a -≤≤.【解析】（1）任取1222x x <<，∴1212121122f x f x x x x x ()12121221x x x x x x -=-， ∵1222x x <<，∴120x x -<，12210x x ->，120x x >， ∴()()120f x f x -<，故函数()f x 在区间2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）2()31f x a a ≥+-在[]1,3x ∈上恒成立，等价于2min 31()a a f x +-≤，由（1）知()f x 在[]1,3x ∈单调递增，∴()min ()13f x f ==，∴2313a a +-≤，解得41a -≤≤.9．（2021·海南鑫源高级中学高一期末）一次函数()2(0)f x kx a =+≠且(1)5f =.（1）求k 的值；（2）证明()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）3k =；（2）证明见解析.【解析】（1）一次函数()2(0)f x kx a =+≠且(1)5f =.则25k +=，则3k =.（2）证明：由（1）得()32f x x =+，在R 上任取1x ，2x ，令12x x <，则()1212()()3232f x f x x x -=+-+()123x x =- 12x x <，12()()0f x f x ∴-<，()f x ∴在R 上是单调递增函数．10．（2021·安徽高一开学考试）已知函数22()x f x x-=.（1）判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义法证明；（2）已知()f x 在[]1,2上的最大值为m ，若正实数a ，b 满足ab m =，求11a b +最小值. 【答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递增，证明见解析；（2）2.【解析】（1）函数()f x 在(0,+)∞上单调递增. 证明如下：令120x x >>，()()2212121212212222x x f x f x x x x x x x ---=-=-+- ()121221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为120x x >>，所以120x x ->，120x x >，所以12122()(1)0x x x x -+>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）由（1）知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在[]1,2上的最大值为222(2)12f -==，即1m =，所以1ab =，所以1122a b a b ab a b ab++==+≥=，当且仅当1a b ==时等号成立. 11．（2021·福建三明市·高一期末）已知函数21()1x f x x -=+．（1）判断()f x 在[)0,+∞上单调递增还是单调递减，并证明你的判断；（2）若[]1,x m ∈，()f x 的最大值与最小值的差为12，求m 的值．【答案】（1）()f x 在[)0,+∞上单调递增，证明见解析；（2）2m =.【解析】（1）()f x 在[)0,+∞上单调递增，证明如下：设任意的120x x ≤<，则()()()()121212121232121()1111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++，因为120x x ≤<，故120x x -<，()()12110x x ++>，故()12()0f x f x -<即()12()f x f x <，故()f x 在[)0,+∞上单调递增.（2）由（1）可知()f x 在[]1,m 上为增函数，故()()()()min max 1211,,21m f x f f x f m m -====+ 所以2111122m m --=+，故2m =，此时1m 符合，故2m =.。

2020-2021学年安徽省六安市舒城县高一上学期期末数学试题(解析版)

故选：D
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ立的三个条件，就是“一正——
各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，
就会出现错误．
12．设 m ， n 为正数，且 m n 2 ，则 1 1 的最小值为（） m1 n 2
3
A．
2
5
B．
3
7
C．
4
4
D．
f x 3 ln x 的零点所在的大致区间．
x
【详解】函数 f x 3 ln x 满足 f （2） 3 ln 2 0 ， f （3） 1 ln 3 0 ，
x
2
且函数 f x 是增函数
∴ f (2) f (3) 0
根据函数的零点的判定定理可得函数 f x 3 ln x 的零点所在的大致区间是 (2,3) ，
14．设函数 f x 的定义域为 R ， f x f x ， f x f 2 x ，当 x 0,1 时，
f
x
x3 ，则函数
g x
cos x
f
x
在区间
1 2
,
5 2
上的所有零点的和为（
）
A． 7
B． 6
C． 3
D． 2
【答案】A
【分析】推导出函数 f x 是周期为 2 的周期函数，作出函数 f x 与函数
的
图象，则下列说法不正确的是（）
A． g(x) 的最小正周期为
B．
g
(
x)
在区间
0,
2
上单调递减
C． x 不是函数 g x 图象的对称轴
12
D．
g
x
在

【精准解析】安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高一上学期第四次统考数学试题

-1-
A. [ 3 , ] 44
[ , ] 22
【答案】A
【解析】
【分析】
B. [ , 0]
C. [ , 3 ]
D.
44
写出函数的单调增区间
2k
3 4
,
2k
4
，
k
Z
，然后取不同的
k
值，从而得到答案.
【详解】函数 y sin(x ) 4
2k x 2k ， k Z ，
【详解】由题,因为
sin tan
0 ,则
的终边落在第一象限或第四象限；
因为 cos tan 0 ,则的终边落在第三象限或第四象限；
综上, 的终边落在第四象限
故选 D
【点睛】本题考查象限角,考查三角函数值的符号的应用,属于基础题
3.函数 y sin(x ) 在闭区间（ 4
）上为增函数.
2
4
2
得 2k 3 x 2k ， k Z ，
4
4
所以函数
y
sin( x
) 的单调递增区间为
4
2k
3 4
, 2k
4
，
k
Z
，
当
k
0
，得到函数
y
sin( x
4
)
在
3 4
,
4
上单调递增.
故选：A.
【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，属于简单题.
4.下列函数中，以π为周期的偶函数是（）
【解析】
【分析】
把
3
,
0
代入函数中，表述出
，然后选取不同的
k
值，从而得到答案.
-4-
【详解】因为函数

安徽省舒城中学2020学年高一数学上学期第一次统考试题(无答案)

安徽省舒城中学2020学年高一数学上学期第一次统考试题（无答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．函数x y -=3中，自变量x 的取值范围是（）A ．x ＞3B ．x≥3C ．x ＜3D ．x≤3 2．如图的几何体是由4个完全相同的正方体组成的，这个几何体的左视图是（）3．在“百度”搜索中输入“新版中小学生则”，相关结果约1660000个，这个数据可用科学记数法表示为（）A ．166×104B ．1.66×105C ．1.66×106D ．0.166×107 4．对于一次函数)0(1≠-+=k k kx y ，下列叙述正确的是（）A ．当0＜k ＜1时，函数图象经过第一、二、三象限B ．当k ＞0时，y 随x 的增大而减小C ．当k ＜1时，函数图象一定交于y 轴的负半轴D ．函数图象一定经过点)2,1(--5．将一些相同的图形“●”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中“●”的个数，若第n 个图形中有272个“●”，则n 的值是（）A ．88B ．89C ．90D ．916．如图，在▱ABCD 中，∠A=65°，DE⊥AB，垂足为点E ，点F 为边AD 上的中点，连接FE ，则∠AFE 的度数为（）舒中高一统考数学第1页 (共6页)A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=20°，BC=3，以点C 为圆心，BC 的长为半径的⊙C 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则（劣弧）的长为（）A ．π32B ．π53C ．π31D ．π43 8．如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则（）A ．S 1=21S 2B ．S 1=27S 2C ．S 1=S 2D ．S 1=58S 2 9．已知实数b a ,分别满足0462=+-a a ，0462=+-b b ，且b a ≠，则baa b +的值是A ．7B ．﹣7C ．11D ．﹣11（）10．函数c bx x y ++=2与x y =的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.分解因式：x xy 252-= ．12．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（2，0），直线434+=xy 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为．13．如图，已知在Rt△OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数)0(≠=k xky 在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ．若△OCD∽△ACO，则直线OA 的解析式为．14．如图，O 为正方形ABCD 的重心，BE 平分∠DBC，交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF=CE ，连接DF ，交BE 的延长线于点G ，连接OG 、OC ，OC 交BG 于点H ．下面四个结论：①△BCE≌△DCF；②OG∥AD；③BH=GH；④以BG 为直径的圆与DF 相切于点G ．其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号都填上）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算： 0260sin 2312127+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+- 16．先化简，再求值：121112-÷⎪⎭⎫⎝⎛--x x x ，其中3=x ．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）舒中高一统考数学第3页 (共6页)17．今年植树节，六安某中学组织师生开展植树造林活动，为了了解全校1200名学生的植树情况，随机抽样调查50名学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图（均不完整）．植树数量（棵）频数（人）频率3 5 0.14 20 0.456 10 0.2合计50 1（1）将统计表和条形统计图补充完整；（2）求抽样的50名学生植树数量的众数和中位数，并从描述数据集中趋势的量中选择一个恰当的量来估计该校1200名学生的植树数量．18．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2=AB•AD．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2-=kx y 的图象与x 、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数)0(23<-=x x y 的图象交于点),23(n M - ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设点P 是一次函数2-=kx y 图象上的一点，且满足△APO 的面积是△ABO 的面积的2倍，直接写出点P 的坐标．六．（本题满分12分）21．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x 1，x 2，x 3，…，x n 的n 个正方形依次放入△ABC 中，请回答下列问题：（1）按要求填表： n 1 2 3 x n （2）第n 个正方形的边长x n =；（3）若m ，n ，p ，q 是正整数，且x m •x n =x p •x q ，试判断m ，n ，p ，q 的关系．七．（本题满分12分）舒中高一统考数学第5页 (共6页)22．某工厂生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x （十万元），产品的年销量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如表： x （十万元）0 1 2 y11.51.8（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元的函数关系式）；（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？八．（本题满分14分）23．如图，抛物线a bx ax y 42-+=经过A （﹣1，0）、C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D （m ，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P 的坐标．。

2022-2023学年安徽省六安市舒城中学高一上学期开学考试数学试题(解析版)

2022-2023学年安徽省六安市舒城中学高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列各角，与330°角的终边相同的角是（） A ．510° B ．150°C ．-150°D ．-390°【答案】D【分析】根据终边相同角的表示即可求解.【详解】与330°角的终边相同的角为330360,k k Z α=+∈，当2k =-时， 390α=-，故选：D2．315︒角的弧度数为（） A ．34πB ．74π C ．4π-D ．54π 【答案】B【分析】利用公式可求315︒角的弧度数. 【详解】315︒角对应的弧度数为3157ππ1804=，故选：B.3．将885-化为)()360Z,0,360k k αα⎡+⋅∈∈⎣的形式是（）A ．()1652360︒︒-+-⨯B ．()1953360︒︒+-⨯C ．()1952360︒︒+-⨯ D ．()1653360︒︒+-⨯【答案】B【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.【详解】由600,3α︒︒⎡⎤∈⎣⎦知()88519533195108060︒︒-+-⨯=-=.故选：B.4．半径为r ，圆心角是α(弧度)的扇形面积是（） A ．212r αB ．12r αC ．212r αD ．2212r α【答案】A【分析】由扇形的面积公式和弧长公式即可得答案. 【详解】解：因为扇形的半径为r ，圆心角是α(弧度)，所以扇形的弧长l r α=，又因为12S lr =，所以212S r α=.故选：A.5．给出下列四个命题: ①-75°是第四象限角； ②小于90的角是锐角； ③第二象限角比第一象限角大；④一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度. 其中正确的命题有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A【分析】利用反例可判断②③的正误，根据1弧度的定义可判断④的正误，根据范围可判断①的正误.【详解】对于①，因为90750-︒<-︒<︒，故75-︒为第四象限角，对于②③，270210180-︒<-︒<-︒，故210-︒为第二象限角，但2103090-︒<︒<︒且30为第一象限角，故②③错误，对于④，因为1弧度的圆心角所对的弧长为半径，此时对应的弦长小于半径，故④错误，故选：A.6．00tan 300sin 450+的值为（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-【答案】B【详解】()()00tan300sin450tan 36060sin 360901+=︒-︒+︒+︒=.故选B7．若()4sin ,5πα+=-且α是第二象限角，则cos α=（）A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】B【分析】利用诱导公式求得sin α，再利用同角关系式即得. 【详解】由()4sin sin 5παα+=-=-，得4sin 5α，又由α为第二象限角，所以23cos 1sin 5αα=--=-．故选：B.8．在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对的圆心角α是（） A ．3α= B ．3πα=C ．6πα=D ．α=23π 【答案】D【分析】连接圆心与弦AB 的中点C ，解三角形求AOB ∠的大小. 【详解】连接圆心O 与弦AB 的中点C ，由圆的性质可得OC AB ⊥，在ACO △中，90ACO ∠=，1OA =，32AC =, 所以3sin 2AC AOC OA ∠==，又090AOC <∠<，所以60AOC ∠=，所以2120AOB AOC ∠=∠=, 所以23πα=，故选：D.9．已知5sin α，则44sin cos α-α=（） A ．35 B ．15-C ．15D ．35【答案】A【分析】先利用5sin α算出24cos 5α=，然后利用平方差公式对44sin cos αα-进行化简即可得到答案【详解】解：因为5sin α，且22sin +cos =1αα，所以24cos 5α=，所以()()44222222143sin cos sin cos sin cos sin cos 555αααααααα-=-+=-=-=-，故选：A10．已知tanα>0，且sinα+cosα>0，那么角α是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】A【详解】tan 0α>则角为第一或第三象限，而sin cos 0αα+>，故角为第一象限角.11．若[0,2)απ∈sin cos αα=-，则α的取值范围是（） A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据同角三角函数关系，可得sin 0cos 0αα≥⎧⎨≤⎩，结合角α的范围，即可求得答案.【详解】sin cos sin cos αααα+=-，所以sin 0cos 0αα≥⎧⎨≤⎩，又[0,2)απ∈，所以,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：B二、填空题12．若角α的终边经过点()3,P b -，且3cos 5α=-，则b =__________.【答案】4±【分析】根据三角函数的定义，先计算r ，再利用余弦函数的定义求出b ．【详解】因为角α的终边经过点()3,P b -，所以OP ．因为3cos5α=-35=- ，所以4m =± ．故答案为：4±．【点睛】本题考查余弦函数的定义，解题的关键是正确运用定义，属于基础题． 13．已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则tan α=_____【答案】3【分析】根据sin cos 2sin cos αααα+=-，分子分母同除以cos α，利用商数关系转化为关于tan α的方程求解..【详解】因为sin 1sin cos tan 1cos 2sin sin cos tan 11cos αααααααααα+++===---，解得tan 3α=. 故答案为：3【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．已知1cos 5α=，且α是第四象限的角，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 【分析】由平方关系求得sin α，进而由诱导公式可求得结果. 【详解】1cos 5α=且α是第四象限角，sin α∴=故cos()sin 2παα+=-=. 15．已知2sin cos αα+=tan α=_________．【答案】2【分析】利用平方法，结合平方关系的同角三角函数关系式构造齐次式来求解. 【详解】因为2sin cos a a +=224sin cos 4sin cos 5a ααα++=，即22224sin cos 4sin cos 5sin cos a ααααα++=+，所以224tan 14tan 5tan 1a αα++=+，即()2tan 20α-=，所以tan 2α=. 故答案为：2.三、解答题16．（1）已知3sin 5α=-，求tan cos αα+的值（2()238sin tan 204033π⎛⎫---- ⎪⎝⎭【答案】（1）答案见解析；（2【分析】（1）由平方关系及商数关系分别求出cos ,tan αα即可求解；（2）由诱导公式结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】（1）由3sin 5α=-可得α为第三象限角或第四象限角，即4cos 5α==±，当α为第四象限角时，4cos 5α=，3tan 4α=-，则tan cos αα+3414520=-+=；当α为第三象限角时，4cos 5α=-，3tan 4α=，则tan cos αα+3414520=-=-；（2）()2cos 225cos 18045cos 452=+=-=-，8222sin sin 2sin sin 3333πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()tan 2040tan 6011180tan 60tan 603-=--⨯=-=-=-，()238sin tan 204033π⎛⎫---- ⎪⎝⎭(⎛⎛-= ⎝⎭⎝⎭17．化简 (1)222cos 112sin αα-- (2)()221tan cos αα+(3)2222tan sin tan sin αααα-- 【答案】(1)1； (2)1； (3)0.【分析】根据同角关系式化简即得.【详解】(1)222222222cos 12cos cos sin 12sin cos sin 2sin αααααααα---=-+- 2222cos sin 1cos sin αααα-==-； (2)()222222cos sin 1tan cos cos 1cos αααααα++=⋅=； (3)()2222222tan sin tan sin tan 1sin sin ααααααα--=--2222sin cos sin 0cos αααα=⋅-=. 18．已知α是第三象限角，且sin(π)cos(2π)tan(2π)tan(π)sin(3π)()f αααααα---+-+-=.(1)化简()f α；(2)若3sin 5α=-，求()f α；(3)若1860α︒=-，求()f α. 【答案】(1)cos α (2)45-(3)12【分析】（1）根据诱导公式化简求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及余弦在各象限的符号进行求解.（3）利用诱导公式进行大角化小角，负角化正角，再利用特殊角的余弦值进行求解. 【详解】(1)根据诱导公式有： sin(π)cos(2π)tan(2π)tan(π)sin(3π)()f αααααα---+-+-=sin cos tan()tan()sin ααααα--=cos α=(2)因为3sin 5α=-，α是第三象限角，所以4cos 5α=-所以4()cos 5f αα==-(3)因为1860α︒=-，所以()()()1860cos 1860cos1860f f α︒︒︒=-=-=()1cos 536060cos602=⨯+==. 19．是否存在实数k ，使得方程286210x kx k +++=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦值？若存在求出k 的值，若不存在请说明理由. 【答案】不存在，理由见解析【分析】设直角三角形的两个锐角为,αβ，利用韦达定理得到3sin cos 4k αα+=-，21sin cos 8k αα+=，再根据同角三角函数基本关系可求出k 的值，对k 的值进行检验可发现不满足条件，故假设不成立，k 的值不存在【详解】假设存在k 满足题意，则设直角三角形的两个锐角为,αβ，则sin ,sin αβ是方程286210x kx k +++=的两个实数根，因为90αβ︒+=，所以sin cos βα=，所以()236482103sin cos 421sin cos 8k k k k αααα⎧⎪∆=-⨯⨯+≥⎪⎪+=-⎨⎪+⎪=⎪⎩因为()222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=++=+，所以23211248k k +⎛⎫-=+⨯ ⎪⎝⎭，解得2k =或109k =-，当2k =时，()23624822116∆=⨯-⨯⨯⨯+=-与0∆≥矛盾，故舍去；当109k =-时，1021119sin cos 0872αα⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭==-<，与α为锐角矛盾，故舍去，综上所述，假设不成立，故不存在实数k ，使得方程286210x kx k +++=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦值。

2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{|P x y ==，集合{|Q y y =，则P 与Q 的关系是（）A ．P Q =B ．P Q ⊆C ．P Q ⊇D ．PQ =∅【答案】C【分析】求函数定义域求得集合P ，求函数值域求得集合Q ，由此得出两个集合的关系.【详解】对于集合A ，由10x +≥解得1x ≥-.对于集合Q ，0y ≥.故集合P 包含集合Q ，所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查集合与集合的关系，考查函数定义域和值域的求法，考查集合的研究对象，属于基础题.2．已知集合M 有3个真子集，集合N 有7个真子集，那么M N ⋃中的元素（）． A ．有5个 B ．至多有5个C ．至少有5个D ．至多有10个【答案】B【分析】先由题意，分别确定集合M 与集合N 中元素个数，再由并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合M 有3个真子集，所以M 中有2个元素．又集合N 有7个真子集，所以N 中有3个元素，因此M N ⋃中至多有5个元素．故选B【点睛】本题主要考查由真子集个数确定集合中元素的个数，以及并集中元素的个数问题，熟记集合并集的概念，以及真子集的概念即可，属于常考题型. 3．若0a B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．22ac bc <【答案】D【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】因为0a ，11a b>，222a b ab +> 当0c时22ac bc <不成立故选：D【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单. 4．22530x x --<的一个必要不充分条件是A ．132x -<< B ．16x -<< C ．102x -<<D ．132x -<<【答案】B【分析】首先求解不等式，然后确定其必要不充分条件即可. 【详解】求解不等式22530x x --<可得132x -<<，结合所给的选项可知22530x x --<的一个必要不充分条件是16x -<<. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件的理解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．a ,b ,c ,d R +∈,设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++,则下列判断中正确的是( ) A ．01S <+++=++++++++++++ a b c dS a b c b c d c d a a b d =+++++++++++2a d a b c b c d a b c d a b c d a b c d a b c d++++<+++=++++++++++++ 12S ∴<<【解析】放缩法6．设0,0x y <<，且210x y ++=，则11x y+的最大值为A ．3--B ．6C ．6-D ．3+【分析】由已知得()(2)1x y -+-=，利用“1”的变换，先求[()()]11[()(2)]x y x y+--+--的最小值，即可求出结论. 【详解】0,0,0,0,()(2)1x y x y x y <<∴->->-+-=，1111([()(2]])[()())x x x y y y -+-+-+-=-323y xx y=++≥+312x y+≤--∴，当且仅当x =2,1x y ==.故选：A.【点睛】本题考查基本不等式求最值，要注意应用公式的条件“一正”“二定”“三等”缺一不可，属于中档题.7．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(0,1)C．2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．【答案】C【分析】由题意根据二次函数图像的特征可得方程组22()210(1)(1)(1)10f m m f m m m m ⎧=-<⎨+=+++-<⎩，解不等式组即可得到答案. 【详解】因为函数2()1f x x mx =+-的图像是一条开口向上的抛物线，所以要使得对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则只需22()210(1)(1)(1)10f m m f m m m m ⎧=-<⎨+=+++-<⎩，解得：22302m m ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩所以0m <<.【点睛】本题以二次函数为背景考察了恒成立问题，属基础题.8．已知[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（）A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1，3)【答案】C【分析】根据题意，转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，得出()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，即可求解.【详解】由题意，因为[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，则()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得1x <或3x >，即x 的取值范围为(,1)(3,)-∞+∞.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中根据条件转化为关于a 的函数，结合其图象特征，列出不等式组是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.9．已知函数22()1x f x x =+，则(1)(2)(2019)(2020)f f f f +++++11112320192020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=（） A ．120162 B ．120172 C ．120182D ．120192【答案】D【分析】计算1()()f x f x+，根据特点使用倒序相加法可得结果.【详解】由222211()()1111x xf x fx xx⎛⎫⎪⎝⎭+=+=+⎛⎫+⎪⎝⎭所以()()()1112320201232020f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1111(2)(2019)(2020)20192320192020f f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又1(1)2f=，则()11111 1(2)(2019)(2020)201923201920202 f f f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D10．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元【答案】C【详解】试题分析：根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润．解：甲在6元时，全部买入，可以买120÷6=20（万）份，在t2时刻，全部卖出，此时获利20×2=40万，乙在4元时，买入，可以买（120+40）÷4=40（万）份，在t4时刻，全部卖出，此时获利40×2=80万，共获利40+80=120万，故选C【解析】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法． 11．已知Rt ABC 的斜边长为2.则下列关于ABC 的说法中，正确的是A ．周长的最大值为2+B ．周长的最小值为2+C ．面积的最大值为2D ．面积的最小值为1【答案】A【分析】因为Rt ABC ，由勾股定理可构建关系式，由基本不等式考查周长和面积的最值即可.【详解】设c 为斜边，所以2224a b c +==，由基本不等式的推论2a b +≤2a b +≤=，当且仅当a b ==据此可知a b +≤故△ABC 的周长2a b c ++≤，周长的最大值为2+，选项A 正确，B 错误，由基本不等式可知2242,2a b ab ab =+≥≤当且仅当a b ==由面积公式112S ab =≤，故面积的最大值为1，所以C ，D 选项错误；故选：A.【点睛】本题考查基本不等式在三角形的周长和面积上应用，属于中档题 12．设定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x =+，且当[)1,0x ∈-时，()()1f x x x =-+.若对任意[),x λ∈+∞，不等式()34f x ≤恒成立，则实数λ的最小值是（） A ．178-B ．94-C ．114-D ．238-【答案】B【分析】当[)1,0x ∈-时，可得()()134f x x x +≤=-恒成立，再利用递推关系式()()21f x f x =+探讨[)21x ∈--，时适合，当[)32x ∈--，时，并不恒满足题意，画出函数草图，令()()34234x x -++=，解出x ，结合图形即可得结果. 【详解】由已知()()21f x f x =+，当[)1,0x ∈-时，()()2111324144f x x x x ⎛⎫=-++≤≤ ⎪⎝⎭=-+恒成立，可得当[)2,1x ∈--时，[)+11,0x ∈-，23113()2(1)2(1)[(1)1]]22224f x f x x x x ⎛⎫=+=-+++=-++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立；当[)3,2x ∈--时，[)+21,0x ∈-，()()()()21423f x f x x x =+=-++.画出函数草图，令()()34234x x -++=，化简得21680990x x ++=，解得194x =-，2114x =-，由图可知，当94λ≥-时，不等式()34f x ≤恒成立.故选：B .【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与综合运算能力，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.二、填空题13．已知函数21()(5)m f x m m x -=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则实数m 的值为__________．【答案】3【详解】函数()()215m f x m m x-=--是幂函数，所以251m m --=，解得3m =或2m =-，又当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，所以10m ->，故3m =，填314．方程230x kx k -++=的两个根均大于2,则k 的取值范围是__________ 【答案】67k ≤<【分析】可将方程转化成函数，画出大致图像，再根据二次函数性质进行求解【详解】如图所示：必须同时满足以下三个条件： ①()24230f k k =-++> ②对称轴22kx => ③()2430k k =-+≥ 联立解得67k ≤<【点睛】方程与函数可进行等价转化，必要的时候可结合二次函数图像进行求解 15．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a -=+，则a 的值为________ 【答案】34-【分析】分当0a >时和当0a <时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】当0a >时，11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+，()()211+2,a a a a -+=--解得302a =-<，不满足，舍去；当0a <时，1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得304a =-<，满足.故答案为：34-. 【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．16．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______. 【答案】3 【分析】由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和.【详解】()()()2003f x af x a -=<<，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示，且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=，因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3.【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题17．已知集合{}|{|023}Ax x B x a x a ≤≤≤≤＝，＝＋．（1）若()RA B R ＝，求a 的取值范围；（2）是否存在a 使()RA B R ＝且A B ∅＝∩？【答案】（1）10a -≤≤；（2）不存在【分析】（1）由A 以及全集R ，求出A 的补集，根据A 补集与B 的并集为R ，即可求出a 的范围；（2）根据题意列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集，即可求出a 的范围．【详解】（1）{}02|Ax x ≤≤＝，∴|0{RA x x <＝或2}x > ． ∵()RA B R ＝，∴032a a ≤⎧⎨+≥⎩∴10a -≤≤. （2）由（1）知()RA B R ＝时，10a -≤≤，所以233a ≤≤＋，所以A B ⊆，这与A B ∅＝∩矛盾．即这样的a 不存在．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 18．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题．（Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；（Ⅱ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）（2）或.【详解】试题分析：（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数m 的取值集合M 可求；（2）x N ∈是x M ∈的必要条件，分、、三种情况讨论即可求a 的取值范围．(1) 由题意知，方程20x x m --=在上有解，即m 的取值范围就为函数在上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭7分 (2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以 8分当时，解集为空集，不满足题意 9分当时，，此时集合则，解得 12分当时，，此时集合则11{,4422a a a <-⇒<--≥ 15分综上9144a a ><-或 16分【解析】命题与逻辑、分类讨论思想.19．已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，函数()y f x =的图象恒在3y x m =+的图象上方，试确定实数m 的取值范围.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）2m <-.【分析】（1）采用待定系数法，设出函数表达式，代入对应系数相等，列方程组即可求解.（2）由题意将问题化为不等式恒成立，然后采用分离参数法转化为求函数 2()41g x x x =-+最值，即可求解.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，∵(0)1f =，∴1c =.又(1)()2f x f x x +-=，得：22ax a b x ++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩，所以2()1f x x x =-+.（2）由题知：()3f x x m >+在[1,1]-上恒成立，即()3m f x x <-在[1,1]-上恒成立，令2()()341g x f x x x x =-=-+，所以原不等式min ()m g x ⇔<，又22()41(2)3g x x x x =-+=--，[1,1]x ∈-，所以min ()(1)2g x g ==-，所以2m <-.【点睛】本题考查待定系数法求函数表达式、不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.20．定义在R 上的函数()f x 满足:①对于任意的实数m ，n 等式()f m n +=()()f m f n +恒成立；②当0x >时，()0f x <，且(1)2f =- （1）判断函数()f x 在R 上的奇偶性和单调性;（2）求函数()f x 在[4,4]-上的值域【答案】（1）()f x 在R 上是减函数，在R 上是奇函数；（2）[8,8]-【分析】（1）根据函数单调性的定义，作差，利用所给恒等式进行变形，判断()1f x 与()2f x 的大小，进而证明出()f x 的单调性；根据函数奇偶性的定义证明即可．（2）利用赋值先求出()2f ，再求出()4f 得值，根据函数为奇函数且为减函数，继而求出最值.【详解】（1）设1212,,x x R x x ∈<．在()()()f m n f m f n +=+中，令211,m x x n x =-=，则2112112121()()()()()()f x x x f x x f x f x f x f x x -+=-+⇒-=-．因为当0x >时，()0f x <，所以由210x x ->得，21()0f x x -<，即2121()()()0f x f x f x x -=-<，21()()f x f x <．因此()f x 在R 上是减函数．在()()()f m n f m f n +=+中，令0m n ==，得(0)0f =．再令m n =-得， (0)f =()()f m f m +-，()()f m f m -=-，因此()f x 在R 上是奇函数．（2）函数()f x 在[4,4]-上的最大值为(4)f -、最小值为(4)f ．在()()()f m n f m f n +=+中，令1m n ==得，(2)2(1)f f =；令2m n ==得，(4)2(2)4(1)8f f f ===-．故函数()f x 在[4,4]-上的值域是[8,8]-【点睛】本题给出抽象函数，验证函数的特殊性质并讨论了函数的单调性与奇偶性．着重考查了对弈的运算法则、函数的单调性与奇偶性等知识，利用“赋值法”使抽象函数问题具体化，是解决这类问题的关键所在，属于中档题．21．解关于x 的不等式11ax a x +≤+. 【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】化简不等式为(1)(1)0ax x x--≤，对a 分类讨论，分0a =，0a ≠两大类，在0a ≠时，根据1a与0,1关系分三类，数轴穿根即可求解. 【详解】21(1)110ax a x ax a x x-+++≤+⇔≤ 即(1)(1)0ax x x--≤ 等价于(1)(1)00ax x x x --≤⎧⎨≠⎩1.0a =时，即()[)(1)0,01,0x x x x -≥⎧⇒∈-∞⋃+∞⎨≠⎩2.0a ≠时，三次不等式对应的方程的三个根分别为0，1和1a； ⑴0a <时，利用数轴标根法，大致图像为：[)1,01,x a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭；⑵0a >时，草图为：需要判断1a和1的大小①01a <<时，解集为()1,01,a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦； ②1a =时，解集为(){},01-∞； ③1a >时，解集为()1,0,1a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦. 综上：①0a <时，解集为[)1,01,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ②0a =时，解集为()[),01,-∞+∞；③01a <<时，解集为()1,01,a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦； ④1a =时，解集为(){},01-∞； ⑤1a >时，解集为()1,0,1a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了含参不等式的解法，关键在于分类讨论思想方法，属于难题. 22．已知函数()2f x x bx c =++，且函数()1f x -是定义在R 上的偶函数. ⑴求实数b 的值.⑵若函数()()[]()2,1g x f x x =∈-的最小值为1，求函数()g x 的最大值.【答案】(1)2;(2)5【分析】(1)根据函数(1)f x -的对称轴以及图象变换可得()f x 的对称轴,从而可得b 的值;(2)由()g x 的最小值为1,可得()1g x ≥在[2,1]x ∈-上恒成立,解得c 的范围为2c ≥或4c ≤-,再分两种情况讨论,可求得()g x 的最大值.【详解】(1)因为函数(1)f x - 是定义在R 上的偶函数,所以(1)f x -的对称轴为0x =,所以()f x 的对称轴为1x =-, 所以12b -=-,解得2b = , (2)由(1)知,2()|()||2|g x f x x xc ==++([2,1]x ∈-),因为()g x 的最小值为1,所以2|2|1x x c ++≥ 在[2,1]x ∈-上恒成立,即221c x x ≤--- 或221c x x ≥--+ 在[2,1]x ∈-上恒成立,所以2min (21)4c x x ≤---=-或2max (21)2c x x ≥--+=,当4c ≤-时, 22()2(1)1410f x x x c x c c =++=++-≤+-< ()|()|()g x f x f x ==-=2(2)x x c -++2(1)1x c =-+-+,所以()g x =|()|f x 的最小值为(1)31f c -=--=,解得4c =-,此时()g x 的最大值为(1)|(1)|5g f -=-=.当2c ≥时,22()2(1)110f x x x c x c =++=++-≥>,所以()|()|()g x f x f x ===22x x c ++2(1)1x c =++-, 因为对称轴1[2,1]x =-∈-,所以min ()g x =(1)11g c -=-=,解得2c = ,符合. 此时()g x 的最大值为(1)122g =++=5,综上所述, 函数()g x 的最大值是5.【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想,根据最小值为1,即g (x )大于等于1,可以缩小c 的范围,可以减少讨论次数是解题关键.属难题.。

安徽省六安市舒城中学2024-2025学年高一上学期入学检测数学试题

安徽省六安市舒城中学2024-2025学年高一上学期入学检测数学试题一、单选题1．不等式220x x --<的解集是（）A ．{}12x x -<2C ．{2x x <-或x >1D ．{}21x x -<< 2．在下列集合E 到集合F 的对应中，不能构成E 到F 的函数的是（） A ． B ． C ．D ．3．函数1()1f x x =+的定义域为（） A ．[3,)+∞ B ．(,1)(1,3]-∞--U C ．(1,)-+∞ D ．[3,1)(1,)--⋃-+∞ 4．下列各组函数是同一组函数的是（）A ．11y x =-与211x y x +=- B ．|1|||y x x =++与21,01,1021,1x x y x x x +>⎧⎪=-≤<⎨⎪--<-⎩C ．y x =与y D ．y x =与2y =5．若22520x x -+<2|2|x -=（）A ．1B ．2C ．3D ． 46．函数()()()252,2213,2a x x f x x a x a x ⎧---≥⎪=⎨+--<⎪⎩，若对任意()1212,R x x x x ∈≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]4,1--B ．[]4,2--C ．(]5,1--D ．[]5,4--7．已知函数22,0(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b +等于（） A ．1- B ．1 C ．0 D ．28．对于任意实数x ，不等式2(2)2(2)40a x a x ----<恒成立，则实数a 取值范围为（） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,2)- D ．(2,2]-二、填空题9．已知函数()43f x x =+，则()3f =.10．已知函数()()2212f x x a x =--+在(],4∞-上是减函数，则实数a 的取值范围为．11．记实数12,,,n x x x L 的最小数为{}12min ,,,n x x x L ，若(){}2m i n 1,21,8f x x x x x =+-+-+，则函数()f x 的最大值为．三、解答题12．已知函数()21243f x x x +=++(1)求函数()f x 的解析式；(2)求关于x 的不等式()21f x ax a x ->+-解集.（其中a ∈R ）13．已知()()x f x x a x a=≠- . (1)若2a =-，试证明()f x 在(),2-∞-内单调递增；(2)若0a >且()f x 在()1,+∞内单调递减，求a 的取值范围.14．如图，斜坡AB 长130米，坡度1:2.4i BC AC =⊥，，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .(1)若修建的斜坡BE 的坡角为30︒，求平台DE 的长；（结果保留根号）(2)斜坡AB 正前方一座建筑物QM 上悬挂了一幅巨型广告MN ，小明在D 点测得广告顶部M 的仰角为26.5︒，他沿坡面DA 走到坡脚A 处，然后向大楼方向继续行走10米来到P 处，测得广告底部N 的仰角为53︒，此时小明距大楼底端Q 处30米.已知B 、C 、A 、M 、Q 在同一平面内，C 、A 、P 、Q 在同一条直线上，求广告MN 的长度.（参考数据:sin26.50.45tan26.50.50sin530.80cos530.60tan53 1.︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，3）15．已知函数()[]()211,1x b f x x x a+-=∈-+是奇函数，且()112f = (1)求,a b 的值；(2)判断函数()f x 在[]1,1-上的单调性，并加以证明；(3)若函数()f x 满足不等式()()12f t f t -<-，求实数t 的取值范围．16．设函数()()2,22a f x x g x x x a x =+=-+-，其中a >0. (1)若 x =1是关于 x 的不等式()()f x g x >的解，求 a 的取值范围；(2)若对任意的 (]120,2x x ∈，，不等式()()12f x g x >恒成立，求 a 的取值范围；(3)求函数 ()a f x x x=+在 (]0,2x ∈上的最小值.。

2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高一上学期开学考试数学试题(解析版)

2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．实数p q r 、、在数轴上的位置如图，化简()()()222p r p p q q r +--+++的值为（）A ．2r p -B ．32p q --C ．p -D ．32p r -+【答案】C【解析】先根据数轴上的点确定p q r 、、的大小关系，再根据二次根式和绝对值的意义化简计算即可. 【详解】由数轴得：0q p r <<<，且0q r +<，()()()222p r p p q q r +-++p r p p q q r=-+--+++()p r p p q q r p =-+-+++--=-.故选：C 【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，二次根式的化简和绝对值的意义，属于基础题. 2．已知a 为实常数，则下列结论正确的是（） A ．关于x 的方程a x a =的解是1x =± B ．关于x 的方程a x a =的解是1x = C ．关于x 的方程a x a =的解是1x = D ．关于x 的方程()11a x a +=+的解是1x =± 【答案】D【解析】对于选项ABC ，特殊值代入即可判断，对于选项D ，11a +≥，即可判断. 【详解】因为a 为实常数，对于选项A ：当0a =时，x 为一切实数，故A 不正确；对于选项B ：当0a =时，x 为一切实数，故B 不正确；对于选项C ：当0a =时，x 为一切实数，当a 为负数时，1x =-，故C 不正确；对于选项D ：因为11a +≥，所以11x x =⇒=±，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了带绝对值的等式的解法.属于较易题. 3．观察下列数的规律：1,1,2,3,5,8,，则第9个数是（）A ．21B ．22C ．33D ．34【答案】D【解析】观察数字知从第3项开始，每一项为前两项的数字之和，即可逐步推出第7项、第8项、第9项. 【详解】112,123,235,358+=+=+=+=，∴第7个数为5813+=，第8个数为81321+=，第9个数为132134+=.故选：D 【点睛】本题考查数与式中的归纳推理，属于基础题.4．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，图象如图所示，给出以下结论：①24b ac >；②0abc >；③20a b -=；④930a b c -+>；错误的结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】①利用抛物线与x 轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断，②由抛物线开口向下得0a <，对称轴的位置决定0b <，由抛物线与y 轴的交点位置得到0c >，则可作判断，③利用对称轴12bx a=-=-，可以对③作出判断，④利用3x =-和1x =函数值相等，即可对④作出判断. 【详解】①因为抛物线与x 轴有2个交点，所以240b ac ∆=->，即24b ac >，故①正确； ②由抛物线开口向下得0a <，对称轴02bx a=-<，得0b <，令0x =则 0y c =>，故②正确； ③因为对称轴12bx a=-=-，所以2a b =，即20a b -=，故③正确； ④2()(0)f x ax bx c a =++≠，根据对称性可得(3)93(1)0f a b c f -=-+=>，所以930a b c -+>，故④正确.错误的有0个，故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++≠系数的符号与抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点、与x 轴的交点的个数的关系是解题的关键，属于中档题.5．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则+a b 的值是（） A ．10 B ．-10C ．14D ．-14【答案】D【解析】由方程220ax bx ++=的两根为12-和13，根据韦达定理求出,a b 可得结果. 【详解】根据题意，一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则0a <，方程220ax bx ++=的两根为12-和13，则有1123b a -+=-，11223a-⨯=，解可得12,2a b =-=-，则14a b +=-. 故选：D ．【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，属于基础题.6．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（）A ．12B ．516C ．716D ．34【答案】D【解析】确定抽取两张卡片的情况一共有16种，列举法求出两张卡片之积为偶数的情况共有12种，代入古典概型概率公式求解即可. 【详解】抽取两张卡片的情况一共有16种，其中两张卡片之积为偶数的情况有以下几种：()()1,2,1,4,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，共12种，故所取两卡片上数字之积为偶数的概率是123164=. 故选：D 【点睛】本题考查列举法求古典概型问题的概率，属于基础题.7．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为（）A ．6B ．4C ．5D ．3【答案】A【解析】先根据矩形的特点求出BE 的长，再由翻折变换的性质得出CEF △是直角三角形，利用勾股定理即可得出CF 的长，再在Rt ABC 中利用勾股定理即可得出AB 的长. 【详解】因为四边形ABCD 是矩形，8AD =，AEF 是AEB △翻折而成，所以3,BE EF AB AF ===，CEF △是直角三角形，835CE =-=，在Rt CEF 中，4CF ===，设AB x =，在Rt ABC 中，222AC AB BC =+，即()22248+=+x x ，解得6x =，所以6AB =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变.属于较易题. 8．已知x 是正整数，则当函数y =x 的值为（）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】先由函数解析式，得到y =需x >调性，可得x 的最小正整数时，函数y =求出结果. 【详解】因为y =当x >y =<；当x <时0y =>；为使函数y =x >又函数y =x >x 是正整数，所以当x 的最小正整数时，函数y =<1718<<，所以18x =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，由函数单调性求最值，属于基础题型. 9．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据动点从点D 出发，首先向点C 运动，此时y 随x 的增加而增大，当点P 在DC 上运动时，y 随着x 的增大而增大，当点P 在CB 上运动时，y 不变，当点P 在AB 上运动时，y 随着x 的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】当点P 由点A 向点D 运动，即0≤x ≤4时，y 的值为0；当点P 在DC 上运动，即4＜x ≤8时，y 随着x 的增大而增大；当点P 在CB 上运动，即8＜x ≤12时，y 不变；当点P 在BA 上运动，即12＜x ≤16时，y 随x 的增大而减小．故选：B 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x 的变化而变化的趋势，属于基础题． 10．下列命题正确的是（） A ．若>a b ，则11a ba b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【解析】利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得出正确选项. 【详解】若>0>a b ，则11a b>，故选项A 不正确；若0>a b >，则22a b <，故选项B 不正确；若c d <，则c d ->-，因为>a b 所以>a c b d --，故选项C 正确；当>0a b >，>0c d >时，才有>ac bd 成立，故选项D 不正确；故选：C 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.11．若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上，②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）.已知函数22410102x x x y x x⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，则函数y 的“友好点对”有（）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据“友好点对”的概念知，函数1,02y x x=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x =++()0x ≤的图象的交点个数即为函数y 的“友好点对”个数，结合函数图象分析即可. 【详解】根据“友好点对”的概念知，作出函数1,02y x x=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x =++()0x ≤的图象如下图所示：由图可知它们的交点有两个，所以函数y 的“友好点对”有2对.本题考查函数的图象，理解新定义的概念是解题的关键，属于基础题.12．如图，在四边形ABCD 中，135B ︒∠=，120C ︒∠=，3AB =，16AD =+，22CD =，则BC 边的长为（）A ．51- B ．22-C ．3 D ．2 【答案】B【解析】构建直角△AEB 、直角△DFC 、矩形AEFG ，利用勾股定理求出AE 、EB 、DF 、CF ，然后求出AG ，即可求得BC . 【详解】过点A 作AE 垂直于BC 的延长线于点E ，过点D 作DF 垂直于BC 的延长线于点F ，过点A 作AG 垂直于FD 于点G ，如图所示，135ABC ︒∠=，3AB =90AEB ∠=，45EBA ∴∠=，6AE BE ==, 120DCB ︒∠=，22CD =90DFC ∠=，60,30DCF CDF ∴∠=∠=，2,6CF DF ==易知四边形AEFG 为矩形，则6AE GF ==AG EF =，在直角△AGD 中，()2223641622AG AD DG =-=+-=，又AG EF FC BC BE ==++，64622222BC ∴==本题考查勾股定理的应用，属于基础题.二、填空题13．已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------__________【答案】1【解析】把所求分式222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++------化为最简分式即可得出结果. 【详解】222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++------222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c b c a b a c b c ---=-+------ ()222()()()()()()()()x a b c x b a a b c x c a b a c b c -----+----=-()()()()()()222222()(2))2(2x ax a b c x bx b a c x cx c a b a c b a c b =--+---+-+-+---222222()()()a b a c ab cb ac bc a b a c b c =---+---+()()()222()()()a b c a b c b a b c b a c c c b ---+-=---()()()()()()1()()()()()()b c a a b c a b a c b c a b a c b c a b a c b a c b ---==⎡⎤----⎣--⎦=----.故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，属于较易题. 14．已知210x x ++=，求20072006x x +++321x x x +++=_______.【答案】１【解析】将式子三个一分组，每组都有因式x 2+x +1，求得答案. 【详解】由210x x ++=，则20072006x x +++321x x x +++20052200222(1)(1)(1)11x x x x x x x x x =++++++++++=.故答案为：１. 【点睛】本题考查了多项式化简求值，整体代入法，属于基础题.15．矩形ABCD 中，4AB =,3AD =，将该矩形按照下图所示位置放置在直线AP 上，然后不滑动的转动，当它转动一周时（1A A →）叫做一次操作，则经过5次这样的操作，顶点A 经过的路线长等于_________【答案】30π【解析】根据题意可知顶点A 经过的路线是三段弧长，分别求解这三段弧长，再进行求和可得总路线长. 【详解】由题意可知一次操作完成，顶点A 经过的路线分别是以AB 为半径的14圆弧，AC 为半径的14圆弧，AD 为半径的14圆弧，所以一次操作完成A 经过的路线为1114536444⨯2π⨯+⨯2π⨯+⨯2π⨯=π；所以经过5次这样的操作，顶点A 经过的路线长等于6π⨯5=30π. 故答案为：30π. 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，把实际问题抽象出数学求解模型是解题的关键，侧重考查数学建模的核心素养.16．在ABC 中，5AB AC ==，cos 45B =，若以M 17为半径的圆经过B C 、两点，则线段AM 的长等于____________ 【答案】2或4【解析】取BC 中点为O ，连接AO ，根据题意，得到AO BC ⊥，求出BO 和AO ，再由圆的性质，得到OM BC ⊥，得出M 可在线段AO 上，也可在AO 的延长线上，分别求解，即可得出结果.【详解】在ABC 中，5AB AC ==，cos 45B =，取BC 中点为O ，连接AO ，则AO BC ⊥，所以cos 4BO AB B =⋅=，则3AO =；又以M 为圆心，17为半径的圆经过B C 、两点，则BC 为圆M 的弦，根据圆的性质，OM BC ⊥，且()22171OM OB =-=，所以,,A M O 三点共线，M 可在线段AO 上，也可在AO 的延长线上；若M 可在线段AO 上，则2AM AO OM =-=；若M 在AO 的延长线上，则4AM AO OM =+=.故答案为：2或4.【点睛】本题主要考查圆的性质的应用，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.三、解答题17．（1）已知1a <，比较11a +与1a -的大小；（2）解不等式132x ≤+. 【答案】（1）当0a =时，111a a =-+，当1a <且0a ≠时，111a a >-+；（2）5|3x x ⎧≥-⎨⎩或}2x <-. 【解析】（1）利用作差法比较即可；（2）运用分式不等式的解法步骤，移项、通分转化为整式不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】（1）()()()211111111a a a a a a a--+--==+++，当0a =时，111a a=-+，当1a <且0a ≠时，11a -<<且0a =，10a +>，201a a>+，111a a >-+，综上所述：当0a =时，111a a=-+，当1a <且0a ≠时，111a a>-+. （2）由132x ≤+得1302x -≤+，即3502x x --≤+，等价于3502x x +≥+，即()()352020x x x ⎧++≥⎨+≠⎩ ，解得： 523x ≥-<-或x ，所以原不等式的解集为：5|3x x ⎧≥-⎨⎩或}2x <- 【点睛】本题主要考查了比较代数式的大小，以及分式不等式的解法，属于基础题.18．（1（2）先化简再求值：2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中2a =+【答案】（1（2【解析】（1）将4.（2）利用完全平方式和平方差公式先化简式子，然后将2a =+.【详解】（1）22283542222++++====，22283542222--==-==，=== （2）将已知式子化简得222222225244444(2)(2)12244242(2)(2)a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫-+--+++-++÷=⋅=⋅=- ⎪++++-++-⎝⎭，其中23a =+，故23a -=.【点睛】本题考查利用完全平方式和平方差公式进行化简求值，考查计算能力，属于基础题. 19．已知函数22020x k x y x x k x ⎧-≤=⎨-+->⎩，其中k 为实数.（1）当0k =时，在所给的网格内做出该函数图象的简图，并利用图象求0x >时，函数的最大值；（2）当k 变化时，探究函数图象与x 轴的交点个数.【答案】（1）图象见详解，1 ；（2）当k 0<或1k >时，函数图象与x 轴有1个交点，当01k ≤≤时，函数图象与x 轴有2个交点.【解析】（1）写出解析式，利用二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴的交点即可做图象.（2）让两段解析式分别为0，可得两个方程的根的情况，再对k 讨论即可求解.【详解】当0k =时，22,02,0x x y x x x ⎧≤=⎨-+>⎩图象如图所示：由图象可知：0x >时，函数图象最大值为1.（2）因为20x k -=时，2x k =，0k ≥时，方程有解；220x x k -+-=时，44k ∆=-，1k ≤时，方程有解；所以当k 0<时，函数2y x k =-()0x ≤的图象与x 轴无交点，函数22y x x k =-+-()0x >的图象与x 轴只有一个交点，即函数图象与x 轴一共只有1个交点，当01k ≤≤时，函数2y x k =-()0x ≤与x 轴只有一个交点，函数22y x x k =-+-()0x >的图象与x 轴只有一个交点，即函数图象与x 轴一共有2个交点，当1k >时，函数2y x k =-()0x ≤的图象与x 轴只有一个交点，函数22y x x k =-+-()0x >的图象与x 轴无交点，即函数图象与x 轴一共只有1个交点，综上所述：当k 0<或1k >时，函数图象与x 轴有1个交点，当01k ≤≤时，函数图象与x 轴有2个交点.【点睛】本题主要考查了分段函数图象、最值，函数图象与x 轴交点的个数转化为对应方程的根的个数，属于中档题.20．如图，抛物线2517144y x x=-++与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x 轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s 个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；【答案】（1）112y x=+；（2）()25150344s t t t=-+≤≤.【解析】（1）求出A、B点的坐标，待定系数法求直线AB的方程；（2）求出点M、N 的坐标，两点的纵坐标的差即为所求.【详解】（1）当0x=时，1y=，()0,1A∴，当3x=时，2517331 2.544y=-⨯+⨯+=，()3,2.5B∴，设直线AB的解析式为y kx b=+，则13 2.5bk b=⎧⎨+=⎩，解得112bk=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线AB的解析式为112y x=+.（2）当x t=时，112y t=+，1,12M t t⎛⎫∴+⎪⎝⎭，当x t=时，2517144y t t=-++，25174,14t tN t⎛⎫∴ ⎪⎝-+⎭+，()225171515110344244s t t t t t t⎛⎫=-++-+=-+≤≤⎪⎝⎭.【点睛】本题考查一次函数、二次函数的图象与性质，属于基础题.21．如图①，正方形ABCD 的边长为7， ADB ∠的角平分线DE 交AB 与点E . 图①图②（1）求BE AE的值；（2）若P 在线段BD 上运动，如图②，当BP 为何值时，EP AP +的值最小. 【答案】（1）2；（2）7742-.【解析】（1）过点E 作EF 垂直于BD 于点F ，证明EFB △为等腰直角三角形即可推出22BE EF AE ==，得解；（2）连接AC ，连接EC 交BD 于点P ，求出BE ，利用对称性证明EP AP EP CP +=+，数形结合知E 、P 、C 三点共线时，EP AP +的值最小.【详解】（1）过点E 作EF 垂直于BD 于点F ，DE 为ADB ∠的平分线，AE EF ∴=,四边形ABCD 是正方形，则90ABC ∠=，45EBD ∴∠=，又90EFB ∠=，∴在直角△BFE 中，22BE EF AE ==,故2BE AE= （2）连接AC ，连接EC 交BD 于点P ，7AE BE +=且2BE AE=，∴1472BE =-， A 、C 关于BD 对称，AP CP ∴=，EP AP EP CP +=+，∴E 、P 、C 三点共线时，EP AP +的值最小，又227742EC EB BC =+=-，∴EP AP +的最小值为7742-.【点睛】本题考查角平分线的性质、利用对称性求解距离的和最小问题，属于基础题. 22．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢?（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根)，且不少于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？【答案】（1）当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）共有4中方案；（Ⅱ）选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.【解析】（1）n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，需满足条件()120092n n n S +=≤，求解不等式使剩余圆钢尽可能少；（2）分析出从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，利用等差数列求和公式列出圆钢总数，根据21x n +-与n 的奇偶性不同来确定方案；（3）层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以讨论当41n =与49n =两种情况是否符合题意即可.【详解】（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第3层放3根，，第n 层放n 根，所以n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，由题意可知()120092n n n S +=≤，因为当62n =时，62626319532S ⨯==，当63n =时，63636420162S ⨯==，所以当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）当纵截面为等腰梯形时，设共堆放n 层，则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而()1120092nx n n +-=，即()212200927741n x n +-=⨯=⨯⨯⨯，因1n -与n 的奇偶性不同，所以21x n +-与n 的奇偶性也不同，且21n x n <+-，从而由上述等式得：721574n x n =⎧⎨+-=⎩或1421287n x n =⎧⎨+-=⎩或412198n x n =⎧⎨+-=⎩或492182n x n =⎧⎨+-=⎩，共有4中方案可供选择；（Ⅱ）因为层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若41n =，则29x =，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm ，上下底之长为280cm 和680cm ，从而梯形的高为，且1010400++<，所以符合条件；若49n =，则17x =，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时两腰之长为480cm ，上下底之长为160cm 和640cm ，从而梯形的高为，显然大于4m ，不合条件，舍去.综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.【点睛】本题考查数列的应用，属于中档题.。

六安市舒城中学2020_2021学年高二数学下学期开学考试试题理

安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题理满分:150分时间:120分钟一、单选题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．下列判断正确的是（）A．命题:33p≥，:34q>，则p q∨为真命题B．命题“45α>︒"是命题“tan1α>"的必要不充分条件C．命题“对于任意的实数x，使得20x>”的否定是“存在一个实数0x，使得020x<”D．若命题“p q∧"为假命题，则命题p，q都是假命题2．已知复数z满足(1)2z i i+=，则复数z=（）A．1i+B．1i-+C．1i--D．1i-3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．32C．53D．85 4．公差不为0的等差数列{}n a的部分项123,,,k k ka a a构成等比数列{}n k a,且11k=，22k=，36k=，则4kA．20 B．22 C．24D．285．已知定义域为[]4,22a a--的奇函数()32016sin 2f x x x b =-++，则()()f a f b += （）A ．0B ．1C ．2D ．46．如图所示，点P 是函数()()2sin ,0y x x R ωϕω=+∈>的图象的一个最高点，M ，N 是图象与x轴的交点.若0PM PN ⋅=，则ω的值为 ( ）A 。

8B 。

4C ．4πD ．8π7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中,角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，则ABC 的面积222221()22a b c S ab ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ,则ABC 的面积为（ )A ．6B ．23C ．3D ．328．已知正四面体ABCD 中, 4,4AE AB CF CD ==则直线DE 与BF 所成角的余弦值为（） A ．313 B ．413 C ．313- D ．413-9．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A ．123B ．183C ．243 D ．54310．已知(,)P x y 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,PA PB 、是圆C:0222=-+y y x 的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（） A ．22 B ．2 C ．3D ．212 11．在直三棱柱111A B C ABC-中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===．已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 ( ）A ．1, 15⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．)1, 2⎡⎣ D ．1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=，则椭圆的离心率为（）A ．16B ．13C ．36D ．33二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件2102700x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值为___________。

2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高一上学期第四次月考(12月)数学试题

2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高一上学期第四次月考（12月）数学试题时间：120分钟总分：150分一、单选题(共60分) 1．已知集合10,2x A xx ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭{}24B x x =≤，则= （）A ．(,2](1,)-∞-⋃-+∞B ．(,2)[1,)-∞--+∞C ．(2,1)--D ．[2,1]--2．己知函数23(0)()log (0)xx f x x x ⎧≤=⎨>⎩，那么14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）A ．9B ．19C ．9-D ．19-3．已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4） 4．已知lg3a =，lg5b =，则32log 18=（）A ．211a b a b -+-+B ．2221a b a b -+-+C ．211a b a b -++-D ．2221a b a b -++-5．已知实数0a >且1a ≠，则再同一直角坐标系中，函数()xf x a -=和()()log a g x x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x -<<，那么不等式20cx ax b -+>的解集为（）A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1{|2x x <-或1}x > C ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|1x x <-或1}2x >7．已知函数()()12,11log ,13x a a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，且满足()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则a 的取值范围是（）A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．3211⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1143⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，121()()2x f x x =-，设2(log 0.2)a f =， 3.2(2)b f -=，2.3(3)c f =-，则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>舒中高一统考数学第1页 (共4页)9．已知()()22log 2log 11a b -+-=，则2a b +取到最小值时，2+a b 的值为（）A ．322+B ．9C ．8D ．15210．光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则经过x 块这样的玻璃后光线强度为：0.9x y k =⋅，那么至少通过（）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下（lg30.477≈， lg20.3≈）A ．11B ．12C ．13D ．1411．已知函数lg ,010,()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．(10,12)B ．(1,10)C ．(20,24)D ．(5,6)12．已知函数满足()()22f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，则当[]10,10x ∈-时，与()4log g x x =的图象的交点个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题(共20分)13．函数212log (32)y x x =-+的单调增区间为__________.14．若25100a b ==,则11a b+=__________. 15．已知()2:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．16．已知函数21(2)()3(2)1xx f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若关于x 的方程2()2()220f x af x a +++=有五个不同的实根，则实数a 的取值范围为_________．三、解答题(共70分) 17．(本题10分)计算：（1）1 1.5212344910.000127649---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）7log 5229814log log 7log 3.43-++18．(本题12分)已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，且0x ≥时，()()12x f x -=.（1）当0x <时，求()f x 解析式；（2）当[]()1,1x m m ∈->-时，求()f x 取值的集合；19．(本题12分)（1）求函数2710()(1)1x x f x x x ++=>-+的最小值；（2）已知0a >，0b >，1a b +=11222a b ++≤.舒中高一统考数学第2页 (共4页)20．(本题12分)新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产()*x x N ∈台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则21602t x x =+；若年产量不小于100台，则242001524700t x x=+-，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式；（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？21．(本题12分)已知()()()22log 1f x g x x +=-，其中()f x 为奇函数，()g x 为偶函数. （1）求()f x 与()g x 的解析式；（2）判断函数()f x 在其定义域上的单调性（不需证明）；（3）若不等式()()12230f t f t -+-≥恒成立，求实数t 的取值范围.22．(本题12分)已知函数2()21g x x ax =-+且函数(1)y g x =+是偶函数，设()()g x f x x= （1）求()f x 的解析式：（2）若不等式()0f x mx -≥在区间[1,2]上有解，求实数m 的取值范围；（3）若方程2(21)2021xx f k-+-=-有三个不同的实数根，求实数k 的取值范围. 舒中高一统考数学第4页 (共4页)舒城中学2020-2021学年度12月月考卷高一数学一、单选题1．已知集合10,2x A xx ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭{}24B x x =≤，则=（）A ．(,2](1,)-∞-⋃-+∞B ．(,2)[1,)-∞--+∞C ．(2,1)--D ．[2,1]--【答案】B.2．己知函数23(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，那么14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（） A ．9 B ．19 C ．9-D ．19-【答案】B3．已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（） A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】C4．已知lg3a =，lg5b =，则32log 18=（）A ．211a b a b -+-+B ．2221a b a b -+-+C ．211a b a b -++-D ．2221a b a b -++-【答案】C5．已知实数0a >且1a ≠，则再同一直角坐标系中，函数()xf x a -=和()()log a g x x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D6．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x -<<，那么不等式20cx ax b -+>的解集为（）A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1{|2x x <-或1}x >C ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|1x x <-或1}2x >【答案】D7．已知函数()()12,11log ,13x a a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，且满足()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则a 的取值范围是（）A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．3211⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1143⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】A8．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，121()()2x f x x =-，设2(log 0.2)a f =， 3.2(2)b f -=，2.3(3)c f =-，则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】A9．已知()()22log 2log 11a b -+-=，则2a b +取到最小值时，2+a b 的值为（）A ．322+B ．9C ．8D ．152【答案】B 【详解】根据对数定义域可知20,10a b ->->,则2,1a b >> 由对数运算,化简22log (2)log (1)1a b -+-=，可得2log (2)(1)1a b --=,即(2)(1)2a b --=化简可得2ab a b =+,则121b a+=，所以()1222a b a b b a ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭225a b b a =++22259a bb a≥⨯=当且仅当22a b b a =时取等号,此时2222a b = 即2a b ab a b =⎧⎨=+⎩,解得33a b =⎧⎨=⎩所以2=9a b + 故选：B10．光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则经过x 块这样的玻璃后光线强度为： 0.9xy k =⋅，那么至少通过（）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下（lg30.477≈， lg20.3≈） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】光线经过1块玻璃后，强度变为(110%)0.9y k k =-=，光线经过2块玻璃后，强度变为2(110%)0.90.9y k k =-⋅=，……光线经过x 块玻璃后，强度变为0.9x y k =．由题意0.94xk k <，即10.94x<，两边同取对数，可得1lg 0.9lg4x <，∵lg0.9lg10<=， ∴1lg2lg 20.6020413.1lg 0.92lg310.95421x -->=-=≈--，又*x ∈N ，所以至少通过14块玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下．选D ． 11．已知函数lg ,010,()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） A ．(10,12) B ．(1,10)C ．(20,24)D ．(5,6)【答案】A 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示：令()()()f a f b f c k ===，由图知：01k <<，结合图象，不妨令011012a b c <<<<<<，以lg a k =-，110k a =，lg b k = ，10k b =，162c k -+=，122c k =-，所以()()11012212210,1210kkabc k k ⎛⎫=⨯⨯-=-∈ ⎪⎝⎭， 12．已知函数满足()()22f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，则当[]10,10x ∈-时，与()4log g x x =的图象的交点个数为( )A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【详解】试题分析：∵满足()()22f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，()()300f t f t a ⎧=<'⎪=⎨⎪⎩分别作出函数与()4log g x x =的图像如图：由图象可知与()4log g x x =的图象的交点个数为11个．故选B ．二、填空题13．函数212log (32)y x x =-+的单调增区间为__．【答案】(,1)-∞14．若25100a b ==,则11a b+=__________. 【答案】1215．已知()2:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【答案】[]2,1-因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x a -<，得33a x a -<<+，解不等式()3log 21x +<，解得21x -<<.:33p a x a -<<+，:21q x -<<，{}33x a x a ∴-<<+ {}21x x -<<，所以3231a a -≤-⎧⎨+≥⎩，即21a -≤≤．因此，实数a 的取值范围是[]2,1-.16．已知函数21(2)()3(2)1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若关于x 的方程2()2()220f x af x a +++=有五个不同的实根，则实数a 的取值范围为_________．【答案】()1,13--【详解】作出()f x 的图象如下图所示：令()f x t =，所以22220t at a +++=，又因为2()2()220f x af x a +++=有5个不同实根，所以22220t at a +++=有两个不同实根，且()[)120,1,1,3t t ∈∈，记()2222g t t at a =+++，所以()()()()()224220001030a a g g g ⎧∆=-+>⎪>⎪⎨≤⎪⎪>⎩，所以312204308110a a a a ⎧>⎪+>⎪⎨+≤⎪⎪+>⎩或132204308110a a a a ⎧<-⎪+>⎪⎨+≤⎪⎪+>⎩，此时312204308110a a a a ⎧>⎪+>⎪⎨+≤⎪⎪+>⎩无解，132204308110a a a a ⎧<⎪+>⎪⎨+≤⎪⎪+>⎩的解集为113a -<<故答案为：()1,13-.三、解答题(共70分)17．(本题10分)计算（1）1 1.5212344910.000127649---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）7log 5229814log log 7log 3.43-++ 【答案】（1）6447；（2）154【详解】解：（1）1 1.5212344910.000127649---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11342224223317131083⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=113217131083---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 8109277=+-+6447=（2）原式22214log 3log 81log 454221294log 34log 32544. 18．(本题12分)(本题12分)已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，且0x ≥时，()()12x f x -=.（1）当0x <时，求()f x 解析式；（2）当[]()1,1x m m ∈->-时，求()f x 取值的集合；【详解】（1）函数()y f x =是偶函数，()()f x f x ∴=-，当0x ≤时，0x ->，(1)()()2x f x f x --=-=，当0x <时，(1)()2x f x --=.（2）当10m -<<时，[]1,x m ∈-，(1)()2x f x --=为减函数，()f x 取值的集合为12,1m --⎡⎤⎣⎦，当01m ≤<时，[1,]x m ∈-，()f x 在区间[]1,0-为减函数，在区间[0,]m 为增函数,且(1)()f f m ->,()11f -=, (01)1(0)22f -==，f (x)∴取值的集合为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当1m ≤ 时，[]1,x m ∈-， ()f x 在区间][1,0-为减函数，在区间[]0,m 为增函数，且(1)()f f m -， (01)(1)1(0)2,()22m f f m --===.()f x 取值的集合为(1)1,22m -⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 综上，当-10m <<时，()f x 取值的集合为12,1m --⎡⎤⎣⎦，当01m ≤<时，()f x 取值的集合为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当m 1≥时，()f x 取值的集合为(1)1,22m -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19．(本题12分)（1）求函数2710()(1)1x x f x x x ++=>-+的最小值；（2）已知0a >，0b >，1a b +=2≤. 【详解】（1）令1x t ，则0t >，2(1)7(1)10()t t f t t -+-+∴=254t t t++=45t t =++. 所以4()5f tt t =++9≥=.当且仅当4t t =，即2t =，此时1x =等号成立，min ()9f x ∴=.（21122a ++≤1122b ++=，332222a b++≤+322a b++==，当且仅当12a b=+时，等号成立.20．(本题12分)新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产()*x x N∈台设备，另需投入成本t万元，若年产量不足100台，则21602t x x=+；若年产量不小于100台，则242001524700t xx=+-，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本21602t x x=+，固定投本600万，总收入150x万元，故利润2211150606009060022y x x x x x⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭；若年产量不小于100台，另外投本242001524700t xx=+-，固定投本600万，总收入150x万元，故利润2420024200150152470060024100y x x xx x⎛⎫=-+--=--+⎪⎝⎭.故()()2**1906000100,22420024100100,x x x x Nyx x x Nx⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩；（2）当0100,*x x N<<∈时，21906002y x x=-+-，在对称轴90x=处，取得最大值，max3450y=；当100x≥，*x N∈时，224200241002101410y x xx x⎛⎫=--+=-++⎪⎝⎭，对勾函数2110t xx=+在[]100,110上递减，在()110,+∞上递增，故110x=时，利润取得最大值，max3660y=，综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元.21．已知()()()22log1f xg x x+=-，其中()f x为奇函数，()g x为偶函数.（1）求()f x与()g x的解析式；（2）判断函数()f x在其定义域上的单调性（不需证明）；（3）若不等式()()12230f t f t-+-≥恒成立，求实数t的取值范围.【详解】（1）由于函数()f x为奇函数，()g x为偶函数，()()()22log1f xg x x+=-，()()()22log1f xg x x∴-+-=+，即()()()22log1f xg x x-+=+，所以，()()()()()()222log12log1f xg x xf xg x x⎧+=-⎪⎨-+=+⎪⎩，解得()21log1xf xx-=+，()()22log1g x x=-.由1010xx+>⎧⎨->⎩，可得11x-<<，所以，()()21log111xf x xx-=-<<+，()()()22log111g x x x=--<<；（2）函数()21log1xf xx-=+的定义域为()1,1-，()()22212log log111xf xx x-+⎛⎫==-⎪++⎝⎭，所以，函数()f x 在其定义域上为减函数；（3）由于函数()f x 为定义域()1,1-上的奇函数，且为减函数，由()()12230f t f t -+-≥，可得()()()122332f t f t f t -≥--=-，由题意可得123211211231t t t t -≤-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得315t ≤<.因此，实数t 的取值范围是3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．(本题12分)已知函数2()21g x x ax =-+且函数(1)y g x =+是偶函数，设()()g x f x x= （1）求()f x 的解析式：（2）若不等式()0f x mx -≥在区间[1,2]上有解，求实数m 的取值范围；（3）若方程2(21)2021xx f k-+-=-有三个不同的实数根，求实数k 的取值范围. 【详解】(1) 函数2()21g x x ax =-+的对称轴为x a =，因为()g x 向左平移1个单位得到(1)g x +，且(1)y g x =+是偶函数，所以1a = ，所以()()1()20g x f x x x x x==+-≠. (2) ()0f x mx -≥，即120m x x x -+≥-又[1,2]x ∈ ，则2212111x x x m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭≤，因为211014x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以实数m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. (3) 方程2(21)2021xxf k -+⋅-=-，即22120211122xx x k +-+-⋅-=--，化简得221421120x x k ---+=+，令()210xr r =->，则24120r r k -+=+，若方程2(21)2021x xf k -+⋅-=-有三个不同的实数根，则方程24120r r k -+=+必须有两个不相等的实数根12,r r ，且1201,1r r <<>或1201,1r r <<=，令2()412h r r r k =-++，当1201,1r r <<>时，则(0)120(1)220h k h k =+>⎧⎨=-+<⎩，即112k -<<，当21r =时，1k =，2()43h r r r =-+，13r =舍去，综上，实数k 的取值范围是1(,1)2-.。

安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高一上学期数学寒假作业：第1天

第一天课标导航：1.集合的含义与表示；2.集合间的基本关系；3.集合间的运算.一、选择题1. 已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，则()U AC B =（）A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2. 设U 为全集，非空集合A 、B 满足A B ，则下列集合为空集的是（） A. AB B . ()U AC B C. ()U B C A D. ()()U U C A C B3. 设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（） A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知集合{1,0,1},{|,,}M N x x ab a b M a b =-==∈≠且，则集合M 与集合N 的关系是（）A ．M N =B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N ⋂=∅5.设集合{}{}]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x，则=B A （） A ．]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1(6. 设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B 是()U C A B U ⋃=的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 设A ＝{}2(,)|9x y y x =-, B ＝{}(,)|x y y x a =+,若A∩B ≠∅,则实数a 满足条件是（）A. 32a ≤B. 3a ≤C. 332a -≤≤D. 332a ≤≤8. 设集合0123{}S A A A A =，，，，在S 上定义运算⊕为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数（其中0123i j =，，，，），则满足关系式02)(A A x x =⊕⊕的()x x S ∈的个数为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题9. 已知集合A={}22(,)|,1x y x y y +=为实数，且x ，B={}(,)|,x y x y y x =为实数，且，则A ∩B 的元素个数为 .10. 若集合2{|2cos 22,},{|1,},xA x x x RB y y y R π==∈==∈则A B ⋂= . 11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}22,,{}a b a b =,则a b += .12. 已知集合{}||2||3|A m x x m x =-++≥对任意实数恒成立，则A= .若集合{}|2||3|B m x x x m =-++<存在实数使不等式|成立，则B= . 三、解答题13.已知集合A {}0652=+-=x x x ，B {}01=+mx x ，且A B A =⋃，求实数m 的值组成的集合.14. 已知集合2{|230,}A x x x x R =--≤∈，22{|240,}B x x mx m x R =-+-≤∈ （1）若[1,3]A B ⋂=，求实数m 的值；（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围.15. 设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集{|}A B x x A x B ∈∉-＝，且．（1）试举出两个数集，求它们的差集；（2）差集A B B A -与-是否一定相等，说明你的理由；（3）已知{}{}46||A x x B x x ><＝，＝，求()()A A B B B A --和--，由此你可以得到什么结论？(不必证明)．16.设全集U=R.（1）解关于x 的不等式|1|10()x a a R -+->∈;（2）记A 为（1）中不等式的解集,集合B |sin())033x x x ππππ⎧⎫=--=⎨⎬⎩⎭.若()U B C A ⋂恰有3个元素,求a 的取值范围.【链接高考】已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，求集合A B ⋂.第一天1~8 DBCC CADC ; 9. 2; 10. {}1; 11. 1-; 12.(](),5,5,,-∞+∞13.适合题意的m 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--31,21,0 14．（1）3;（2）5m >，或3m <- 15. （1）如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A －B ＝{1}．（2）不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}，故A －B ≠B －A ；又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝∅，B －A ＝∅，此时A －B ＝B －A .故A －B 与B －A 不一定相等．（2）因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}，A －(A －B )＝{x |4<x <6}，B －(B －A )＝{x |4<x <6}，由此猜测一般对于两个集合A 、B ，有A －(A －B )＝B －(B －A )． 16.(1)若a>1则解集为R ；若1a ≤则解集为()(),2,a a -∞⋃-+∞ （2）－1<a ≤0链接高考： A B ⋂={}|25x x -≤≤.。

2020-2021学年安徽省六安市舒城县高一上学期期末数学试题(解析版)

f x 3 ln x 的零点所在的大致区间．
x
【详解】函数 f x 3 ln x 满足 f （2） 3 ln 2 0 ， f （3） 1 ln 3 0 ，
x
2
且函数 f x 是增函数
∴ f (2) f (3) 0
根据函数的零点的判定定理可得函数 f x 3 ln x 的零点所在的大致区间是 (2,3) ，
x
故选：B
5．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.
书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5
米）意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的面积为
A．135 平方米
B．270 平方米
C．540 平方米
4
4
对于 D 项，判别式 12 4 1 2 0 ，则 xR，x2＋x＋2＞0，则 D 正确；
故选：D.
3．若 a e0.5 ， b ln 2 ， c log2 0.2 ，则有（）
A． a b c
B． b a c
C． c a b
D． b c a
【答案】A
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较 a 、 b 、 c 三个数与 0 、1的大小关系，
4
对
D，当
x
6
, 6
时， 2x
3
0,
2 3
，且当
2x
3
2 3
，即
x
6
时，
g(x)
取最小值 1 ，故 D 正确． 2
从而可得出这三个数的大小关系.
【详解】指数函数 y ex 为增函数，则 a e0.5 e0 1；对数函数 y ln x 为增函数，则 ln1 ln 2 ln e ，即 0 b 1 ；

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舒城中学2020级高一新生入学考试
数学试题
时间：120分钟分值：150分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的) 1. 实数r q p 、、在数轴上的位置如图，化简()()()22
2
r q q p p r p ++
+-
-+的值为
（）
A .p r -2
B .q p 23--
C .p -
D .r p 23+- 2. 已知a 为实常数，则下列结论正确的是
（）
A .关于x 的方程a x a =的解是1±=x
B .关于x 的方程a x a =的解是1=x
C .关于x 的方程a x a =的解是1=x
D .关于x 的方程()
11+=+a x a 的解是1±=x
3. 观察下列数的规律： ,8,5,3,2,1,1，则第9个数是
（）
A . 21
B . 22
C . 33
D . 34
4. 抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1-=x ，图象如图所示，给出以下结论：①ac b 42>；②0>abc ；③02=-b a ；④039>+-c b a ；错误的结论的个数为
（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
5. 一元二次不等式022>++bx ax 的解集是)3
1,21(-，则b a +的值是
（）
A ．10
B .—10
C .14
D .—14
6. 在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是
（）
A ．
2
1 B ．
165
C ．
167
D ．
4
3 7. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为（）
A . 6
B .4
C .
D . 3 8. 已知x 是正整数，则当函数290
1
--=x y 取得最小值时x 的值为
（）
A . 16
B . 17
C . 18
D . 19
9. 如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（）
10. 下列命题正确的是
（）
A ．若>a b ，则
11a b
a b ，则22a b >
C ．若>a b ，c d <，则>a c b d --
D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd
11. 若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，
Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。

已知函数
D
C
B
A
⎪⎩⎪
⎨⎧>≤++=021
014
22x x
x x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（）个 A ．0
B .1
C . 2
D .3
12.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠135B ，︒=∠120C ，3=
AB ，61+=AD ，22=CD ，则BC
边的长为
（）
A ．
21
5-
B .22-
C ．2
3
D .
2
2
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知、、是互不相等的实数，是任意实数，化简：
14.已知012=++x x ，求++20062007x x ……+123+++x x x =_______.
15. 矩形ABCD 中，4=AB ,3=AD ，
将该矩形按照下图所示位置放置在直线AP 上，然后不滑动的转动，当它转动一周时（1A A →）叫做一次操作，则经过5次这样的操作，顶点A 经过的路线长等于；
16. 在ABC ∆中，5==AC AB ，5
4
cos =
B ，若以M 为圆心，17为半径的圆经过
C B 、两点，则线段AM 的长等于。

a b c x 222
()()()()()()()()()
x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）
（1）已知|a |<1，比较1
1＋a 与1－a 的大小
（2
）解不等式
18.（本小题满分12分）（1（2）先化简再求值：222524
1244
a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中2a =+
19.（本小题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤-=0
202
2
x k
x x x k
x y ，其中k 为实数.
（1）当0=k 时，在所给的网格内做出该函数图象的简图，并利用图象求0>x 时，函数的最大值；（2）当k 变化时，探究函数图象与x 轴的交点个数.
第19题图第20题图
1
32
x ≤+
20.（本小题满分12分）如图，抛物线14
17
452++-
=x x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0). （1）求直线AB 的函数关系式；
（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于
点M ，交抛物线于点N 。

设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； 21.（本小题满分12分）如图①，正方形ABCD 的边长为7， ADB ∠的角平分线DE 交AB 与点E . （1）求
AE
BE
的值；（2）若P 在线段BD 上运动，如图②，当BP 为何值时，AP EP +的值最小.
第21题图①
第21题图②
22.（本小题满分12分）在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在
一起. （1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了
多少根圆钢? （2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最
能节省堆放场地？。