2020年陕西省铜川市新区中考数学一模试卷 (解析版)

2020年陕西省铜川市新区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1．计算：（﹣）2﹣1＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．02．如图，将直角三角形绕其一条直角边所在直线l旋转一周，得到的几何体是（）A．B．C．D．3．如图，∠B＝40°，∠ACD＝108°，若B、C、D三点在一条直线上，则∠A的大小是（）A．148°B．78°C．68°D．50°4．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A．﹣3B．3C．﹣D．5．计算（﹣2x2y）3的结果是（）A．﹣8x6y3B．6x6y3C．﹣8x5y3D．﹣6x5y36．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜2B．﹣2＜k＜0C．0＜k＜4D．0＜k＜28．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的角平分线交BC于F．若AB＝6，BC＝16，则FC的长度为（）A．4B．5C．6D．89．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB 与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6B．8C．5D．510．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6二、填空题（每小题3分，共12分）11．分解因式：x3﹣2x2+x＝．12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是°．13．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上．若AB＝2，则k的值为．14．如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，E是边AD的中点，P是边CD上的动点，Q是半圆BC上的动点，则PE+PQ的最小值是．三、解答题（共78分）15．计算：+（π﹣5）0﹣|2﹣3|．16．解分式方程：+＝1．17．如图，已知△ABC，利用尺规在BC上找一点P，使得△ABP与△ACP均为直角三角形（不写作法，保留作图痕迹）18．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．求证：△ADE≌△BCE．19．家访是学校与家庭沟通的有效渠道，是形成教育合力的关键，是转化后进生的催化剂．某市教育局组织全市中小学教师开展家访活动活动过程中，教育局随机抽取了部分教师调查其近两周家访次数，将采集到的数据按家访次数分成五类，并分别绘制了下面的两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）所抽取的教师中，近两周家访次数的众数是次，平均每位教师家访次；（3）若该市有12000名教师，请估计近两周家访不少于3次的教师有多少名？20．如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小华在C处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB的高度．21．油炸冰激凌是以面包、鸡蛋、冰激凌为材料制作的一种西式小吃，某油炸冰激凌专卖店每天固定制作甲、乙两个款型的油炸冰激凌共1000个，且所有产品当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示：甲（元/个）乙（元/个）原料成本108销售单价2016生产提成2 1.5设该店每天制作甲款型的油炸冰激凌x个，每天获得的总利润为y元（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若该店每天投入总成本不超过10750元，应怎样安排甲、乙两种款型的制作量，可使该店这一天所获得的利润最大？并求出最大利润（总成本＝原料成本+生产提成，利润＝销售收入﹣投入总成本）22．某翻译团为成为2022年冬奥会志愿者做准备，该翻译团一共有五名翻译，其中一名只会翻译西班牙语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．（1）求从这五名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率；（2）若从这五名翻译中随机挑选两名组成一组，请用树状图或列表的方法求该纽能够翻译上述两种语言的概率．23．如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．24．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点M（2，﹣3），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线L的表达式；（2）试判断抛物线L与x轴交点的情况；（3）平移该抛物线，设平移后的抛物线为L′，抛物线L′的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N（2，﹣8），怎样平移才能使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形？25．（1）问题提出：如图①，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是CB，AB的中点，点F是BD 的中点，若AB＝8，AC＝6，则EF＝；（2）问题探究：如图②，已知：M是弓形AB上的中点，AB＝24，弓形AB的高是8，则对应⊙O的面积为多少？（结果保留根号或π）（3）问题解决：如图③，在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，点A为优弧BC上的动点，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E．AD和BE交于点P，连接PC，试求△PBC面积的最大值．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．计算：（﹣）2﹣1＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．0【分析】原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可得到结果．解：原式＝﹣1＝﹣，故选：C．2．如图，将直角三角形绕其一条直角边所在直线l旋转一周，得到的几何体是（）A．B．C．D．【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案．解：将直角三角形绕其一条直角边所在直线l旋转一周，得到的几何体是圆锥，故选：B．3．如图，∠B＝40°，∠ACD＝108°，若B、C、D三点在一条直线上，则∠A的大小是（）A．148°B．78°C．68°D．50°【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和进行计算．解：∵∠B＝40°，∠ACD＝108°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝108°﹣40°＝68°．故选：C．4．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A．﹣3B．3C．﹣D．【分析】根据题意，可以先出x＝a时的函数值，然后再写出x＝a+1时的函数值，再作差，即可得到当自变量x的值增加1时，函数y的值增加多少，本题得以解决．解：当x＝a时，y＝﹣3a，当x＝a+1时，y＝﹣3（a+1），∵﹣3（a+1）﹣（﹣3a）＝﹣3a﹣3+3a＝﹣3，∴当自变量x的值增加1时，函数y的值增加﹣3，故选：A．5．计算（﹣2x2y）3的结果是（）A．﹣8x6y3B．6x6y3C．﹣8x5y3D．﹣6x5y3【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行运算即可．解：（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3．故选：A．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则的值为（）A．B．C．D．【分析】先求得BC＝25、AD＝＝12、CD＝＝9，再证△CAF∽△CDE 得＝，据此代入计算即可．解：∵∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，∴BC＝＝25，∵AB•AC＝BC•AD，∴AD＝＝12，则CD＝＝9，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠DCE，又∵∠CAF＝∠CDE＝90°，∴△CAF∽△CDE，∴＝＝＝，故选：A．7．如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜2B．﹣2＜k＜0C．0＜k＜4D．0＜k＜2【分析】首先根据直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），求出k、b的关系；然后求出直线l1、直线l2的交点坐标，根据直线l1、直线l2的交点横坐标、纵坐标都大于0，求出k 的取值范围即可．解：∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），∴﹣2k+b＝0，∴解得∵直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）的交点在第一象限，∴解得0＜k＜2．故选：D．8．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的角平分线交BC于F．若AB＝6，BC＝16，则FC的长度为（）A．4B．5C．6D．8【分析】根据矩形点的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再求出AE的长度，再根据勾股定理列式求出BE的长，然后根据角平分线的定义求出∠BEF＝∠DEF，根据两直线平行，内错角相等求出∠BFE＝∠DEF，再求出BEF＝∠BFE，根据等角对等边可得BE＝BF，然后根据FC＝BC﹣BF代入数据计算即可得解．解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝16，∵E为AD的中点，∴AE＝AD＝×16＝8，在Rt△ABE中，BE＝＝＝10，∵EF是∠BED的角平分线，∴∠BEF＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴FC＝BC﹣BF＝16﹣10＝6．故选：C．9．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB 与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6B．8C．5D．5【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD知∠BOE ＝∠COD，据此可得BE＝CD＝6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE＝180°，又∵∠AOB+∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝8，故选：B．10．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2＝﹣1，解得：h1＝1，h2＝3（舍去）；当2≤h≤5时，y＝﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2＝﹣1，解得：h3＝4（舍去），h4＝6．综上所述：h的值为1或6．故选：B．二、填空题（每小题3分，共12分）11．分解因式：x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2．【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．故答案为：x（x﹣1）2．12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是60°．【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝300°，可求∠BCD+∠CDE 的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠CPD的度数．解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝120°，∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．故答案是：60；13．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上．若AB＝2，则k的值为4．【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC＝AB＝2，BD＝AD＝CD＝，再利用AC⊥x轴得到C（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．解：作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴BD＝AD＝CD＝，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y＝得k＝×＝4．故答案为4．14．如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，E是边AD的中点，P是边CD上的动点，Q是半圆BC上的动点，则PE+PQ的最小值是6﹣3．【分析】取BC的中点O，连接OE，作E点关于CD的对称点E′，连接OE′交CD 于P，交半圆于Q，如图，利用对称的性质和两点之间线段最短可判断此时PE+PQ有最小值，然后计算OE′，从而得到QE′．解：取BC的中点O，连接OE，作E点关于CD的对称点E′，连接OE′交CD于P，交半圆于Q，如图，∵PE＝PE′，∴PE+PQ＝PE′+PQ＝QE′，∴此时PE+PQ有最小值，∵E是边AD的中点，∴OE⊥AD，OE＝6，∵DE′＝DE＝3，∴OE′＝6，∴QE′＝6﹣3，即PE+PQ的最小值是6﹣3．三、解答题（共78分）15．计算：+（π﹣5）0﹣|2﹣3|．【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．解：原式＝3+1﹣（3﹣2）＝3+1﹣3+2＝5﹣2．16．解分式方程：+＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2+x（x+2）＝x2﹣4，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解．17．如图，已知△ABC，利用尺规在BC上找一点P，使得△ABP与△ACP均为直角三角形（不写作法，保留作图痕迹）【分析】过A点作BC的垂线，垂足为P，点P满足条件．解：如图，点P为所作．18．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．求证：△ADE≌△BCE．【分析】由矩形的性质得出AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，由全等三角形的判定定理SAS 即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．∵E是AB的中点，∴AE＝BE．在△ADE与△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）．19．家访是学校与家庭沟通的有效渠道，是形成教育合力的关键，是转化后进生的催化剂．某市教育局组织全市中小学教师开展家访活动活动过程中，教育局随机抽取了部分教师调查其近两周家访次数，将采集到的数据按家访次数分成五类，并分别绘制了下面的两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）所抽取的教师中，近两周家访次数的众数是3次，平均每位教师家访 3.24次；（3）若该市有12000名教师，请估计近两周家访不少于3次的教师有多少名？【分析】（1）家访总人数：54÷36%＝150（人），家访4次的人数：150×28%＝42（人），家访2次的人数：150﹣6﹣54﹣42﹣18＝30（人）；（2）根据统计图可知，家访3次的人数最多，所以众数为3，平均每位教师家访：（6×1+30×2+54×3+42×4+18×5）÷150＝3.24（次）；（3）近两周家访不少于3次的教师有12000×＝9120（名）．解：（1）家访总人数：54÷36%＝150（人），家访4次的人数：150×28%＝42（人）家访2次的人数：150﹣6﹣54﹣42﹣18＝30（人）条形统计图补全如下：（2）根据统计图可知，家访3次的人数最多，所以众数为3，平均每位教师家访：（6×1+30×2+54×3+42×4+18×5）÷150＝3.24（次），故答案为3，3.24；（3）近两周家访不少于3次的教师有12000×＝9120（名）．20．如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小华在C处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB的高度．【分析】根据相似三角形的性质得方程，解方程组即可得到结论．解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，由题意可得：∠EDN＝∠BDP，∠BPD＝∠END，∠GMK＝∠BMQ∠BQM＝∠GKM，DP＝MQ＝AC，DN＝CF，MK＝CH，∴△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，∴，∴，∴AB＝8.8米∴树AB的高度为8.8米．21．油炸冰激凌是以面包、鸡蛋、冰激凌为材料制作的一种西式小吃，某油炸冰激凌专卖店每天固定制作甲、乙两个款型的油炸冰激凌共1000个，且所有产品当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示：甲（元/个）乙（元/个）原料成本108销售单价2016生产提成2 1.5设该店每天制作甲款型的油炸冰激凌x个，每天获得的总利润为y元（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若该店每天投入总成本不超过10750元，应怎样安排甲、乙两种款型的制作量，可使该店这一天所获得的利润最大？并求出最大利润（总成本＝原料成本+生产提成，利润＝销售收入﹣投入总成本）【分析】（1）根据总利润＝销售甲、乙两个款型的油炸冰激凌的利润之和，列出式子即可解决问题；（2）设安排甲款型的油炸冰激凌x个，则安排乙款型的油炸冰激凌（1000﹣x）件，根据题意得到不等式，解不等式即可得到结论．解：（1）设该店每天制作甲款型的油炸冰激凌x个，每天获得的总利润为y元，可得：y＝（20﹣10﹣2）x+（16﹣8﹣1.5）（1000﹣x）＝1.5x+6500；（2）由题意，12x+9.5（1000﹣x）≤10750，解得x≤500，∵y＝1.5x+6500，1.5＞0，∴x＝500时，y有最大值＝1.5×500+6500＝7250，答：该店每天制作甲、乙款型的油炸冰激凌各500个，可使该店这一天所获得的利润最大，最大利润7250元．22．某翻译团为成为2022年冬奥会志愿者做准备，该翻译团一共有五名翻译，其中一名只会翻译西班牙语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．（1）求从这五名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率；（2）若从这五名翻译中随机挑选两名组成一组，请用树状图或列表的方法求该纽能够翻译上述两种语言的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）只会翻译西班牙语用A表示，三名只会翻译英语的用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出该组能够翻译上述两种语言的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）从这五名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率＝；（2）只会翻译西班牙语用A表示，三名只会翻译英语的用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中该组能够翻译上述两种语言的结果数为14，所以该纽能够翻译上述两种语言的概率＝＝．23．如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，根据平行线的性质得到∠1＝∠ACB，由圆周角定理得到∠1＝∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，求得∠DBE＝∠DCE，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．24．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点M（2，﹣3），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线L的表达式；（2）试判断抛物线L与x轴交点的情况；（3）平移该抛物线，设平移后的抛物线为L′，抛物线L′的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N（2，﹣8），怎样平移才能使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形？【分析】（1）将M、C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，求出b、c的值，得出抛物线L的函数表达式；（2）利用一元二次方程的根的判别式的符号与根的情况进行判断；（3）由题意得，M（2，﹣3），N（2，﹣8），则当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形．设点Q（m，0），则P点的坐标为（m，﹣5），根据菱形的性质得到PN ＝MN＝5，故（m﹣2）2+（﹣5+8）2＝52，易得点P的坐标为（6，﹣5）或（﹣2，﹣5）．由抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求得答案．解：（1）抛物线L：y＝x2+bx+c经过点M（2，﹣3），点C（0，﹣3）．代入得，解得，∴抛物线L的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）令x2﹣2x﹣3＝0，则△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，∴抛物线L与x轴有两个不同的交点；（3）由题意得，M（2，﹣3），N（2，﹣8），∴MN∥y轴，MN＝5，∵PQ∥MN∥y轴，∴当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形．设点Q（m，0），则P点的坐标为（m，﹣5），要使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形，只需PN＝MN＝5，∴（m﹣2）2+（﹣5+8）2＝52，解得m1＝6，m2＝﹣2，∴点P的坐标为（6，﹣5）或（﹣2，﹣5）．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线L的顶点坐标为（1，﹣4），∴①当点P的坐标为（6，﹣5）时，6﹣5＝1，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，∴将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L′；②当点P的坐标为（﹣2，﹣5）时，﹣2﹣1＝﹣3，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L″．25．（1）问题提出：如图①，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是CB，AB的中点，点F是BD 的中点，若AB＝8，AC＝6，则EF＝；（2）问题探究：如图②，已知：M是弓形AB上的中点，AB＝24，弓形AB的高是8，则对应⊙O的面积为多少？（结果保留根号或π）（3）问题解决：如图③，在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，点A为优弧BC上的动点，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E．AD和BE交于点P，连接PC，试求△PBC面积的最大值．【分析】（1）如图①中，利用勾股定理求出BC，利用直角三角形斜边中线的性质求出AD，利用三角形的中位线定理即可解决问题．（2）如图②中，设圆心为O，连接OM，OB，OM交AB于E．设OB＝r．利用勾股定理构建方程即可解决问题．（3）首先证明∠BPC是定值，推出点P的运动轨迹是弧线，如图3﹣2中，当A，O，D共线时，PD定值最大，此时△PBC的面积最大．解：（1）如图①中，在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∵BD＝CD，∴AD＝BC＝5，∵BE＝EA，BF＝FD，∴EF＝AD＝，故答案为．（2）如图②中，设圆心为O，连接OM，OB，OM交AB于E．设OB＝r．∵＝，∴OM⊥BA，EM＝8，∴AE＝EB＝12在Rt△OEB中，∵OE2+EB2＝OB2∴（r﹣8）2+122＝r2，∴r＝13，∴对应⊙O的面积为169π．（3）如图3﹣1中，延长CP交AB于F．∵在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，∴∠BAC是定值，设∠BAC＝α，∵AD，BE是高，∴CF也是△ABC的高，∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣α，∵∠BPD＝∠ABP+∠BAP，∠CPD＝∠ACP+∠CAP，∴∠BPC＝∠ABP+∠BAP+∠CAP+∠PCA＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，∴∠BPC是定值，∴点P的运动轨迹是弧线，如图3﹣2中，当A，O，D共线时，PD定值最大，此时△PBC的面积最大．连接OC，在Rt△ODC中，OD＝＝3，∴AD＝5+3＝8，AC＝AB＝4，∵•BC•AD＝•AB•CF，∴CF＝＝，∴AF＝＝，∵cos∠BAD＝＝，∴＝，∴PA＝6，∴PD＝AD﹣PA＝2，∴△PBC的面积的最大值＝×8×2＝8．。