理想费米气体 - 360文档中心

费米系统与费米气体的性质

姓名：学号：班级：费米系统与费米气体的性质一、费米系统：1.费米子与费米系统相关的简单介绍自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。

在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。

在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。

由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。

由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。

由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。

2. 从微观上看费米系统设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。

以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。

N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：能级 1ε，2ε，…， l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。

为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。

显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：N all=∑， E a ll l =∑ε才有可能实现。

对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数 B..M Ω：（1）则可推导出费米系统的微观状态数为：（2）ωlB M allllN a ∏∏=!!..Ω∏-=ll l l a )!1(!!F.D.ωωΩ3.费米系统的最概然分布：对（2）式取对数，得（其中∑l对粒子的所有量子状态求和）（3）假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为（4）根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为（5）（5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式（6）在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。

弱简并理想Bose气体和Fermi气体热力学

V 1 2 x ln 2 3 x ln( 1 e )dx 3 c 0

x 3dx 4 6 (C.14) x e 1 90 0

2V 1 ln 45c 3 3

3 1 x dx 2 x x ln( 1 e ) dx x 3 e 1 0 0
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚
1.理想Bose气体的化学势 0
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n (2.612) 2 / 3 m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 n 0 h e kT 1
V 3 / kT U ( , T )d 2 3 e d c 维恩(1896)公式
§8.4 光子气体
e 1 kT 能级间距 kT 经典理论适用
/ kT
说明：低频极限
V U ( , T )d 2 3 2 kTd c 瑞利(1900)-金斯(1905)公式 V 3 / kT U ( , T )d 2 3 e d c 维恩(1896)公式
S k ln ln
kln U
4 k V 4 T 3 3 45 c
2 3
T 0; S 0
光子气体的熵随温度的趋于零而趋于零，符合热力学第三定律要求（P128，4.8.1式）
§8.4 光子气体
平衡辐射的通量密度与内能密度的关系：
e 1
x
2
0
3e x 3 xex 0 3 3e x x
x / kT 2.882

理想气体

二、玻色分布
一个单粒子态可以容纳任意个玻色子 n 个玻色子占据能量为ε的单粒子态时可能状态 ( N , E n )：
(0， 0 ) (1, ε ) (2, 2ε )LL
巨和： ξ = ∑ e −αN n − βE n
n
N 0 1 2 状态 3 … n … 系统的巨和：
ε
0 ε 2ε 3ε … nε …
对照B (ε ) 可看作是单粒子系统的正则分布
1 −ε / kT 乘以 e Z1
系统的粒子数 N。一个 N 粒子系统看作由 N 个单粒子系统构成，系统的配分函数为各子系统配分函数之积：定域粒子(第八章)： Z = ( Z 1 ) N 1 非定域粒子(理想气体系统)： Z = (Z1 ) N N! 3、状态的准经典描述 Z 1 ~ Ω(ε )dε ： Ω(ε )dε → Z 1 在ε~ε+dε区间内，单个自由粒子的状态数为： V 2m 3 / 2 1 / 2 Ω (ε ) d ε = ( ) ε dε ←粒子微观性质得到； 4π 2 h 2 对经典粒子来说，采用其坐标和动量(x, y, z, Px, Py, Pz)描述粒子的状态。相空间（状态空间）：采用坐标和动量为轴构成的空间在单粒子状态空间中，每个状态平均占有相空间体积为： h r [ h —普朗克常数， r —为粒子自由度] 因而状态数与相空间大小成正比。
N = ∫ e (μ −ε ) / kT ⋅ cε
0
∞
1
2
dε = ce μ / kT ∫ e −ε / kT ⋅ ε
0
/ kT
∞
1
2
dε ← x = ε
1
2
N = 2ce =V(
μ / kT
∞

说明低温下理想费米气体的亥姆霍茨自由能(A=U-TS)可表达为

二级相变：
两个典型的存在一级和二级相变的系统：
1. 气－液相变：
AB线之间为两相共存
区，
时相变
为一级相变；在
时
，
相变为二级相变。由
降到
时，对称性降低（对
称性发生破缺）。
为序参量。
2. 顺磁－铁磁相变：右图为Ising自旋系统，自旋只能平行或反平行与某个轴。
P-V图
温度低于某个临界温度时
系统处于铁磁相（低对称性）
热容:
，实验发现对连续相变
磁化率：
，实验发现对连续相变
பைடு நூலகம்态方程：
8.3 关联函数和标度律
以铁磁系统为例，我们定义其关联函数。系统的序参量是M，设其密度函数为m(r)，则序参量为：
这里表示系综平均。关联函数可写为：在动量空间里，我们有于是
考虑到是实的，所以有
可通过下面的考虑获得：首先涨落应该是各向同性的，因此在序参量密度函数的最低阶近似下，自由能G有如下形式：
这里
是约化温度，并且y>0。函数f(t)的临界指数定义为：
如λ<0，则f(t)在临界点发散；如λ>0，则f(t)在临界点趋于零；如λ=0，则可把f(t)视为对数发散，由于
我们容易发现比例系数-1/λ很大。
它相当于f(t)函数中有含很小λ>0的项，但该项的
对不同的热力学函数可以定义不同的临界指数。以铁磁系统为例，序参量:
上面最后一式我们已经假定了系统有平移不变性。假定外场H线性地与序参量耦合，哈密顿量可写为：
这里是无外场时的哈密顿量。把第一个等式对H求偏导可得到磁化率χ：
对比前节的公式我们发现了关联函数和磁化率之间的关系：

理想费米气体的热力学性质

关键词：费米气体；力学性质；态方程热状
中图分类号：１．Ｏ４４２
文献标识码：Ａ
文章编号：０８６２２０）５—０１１０ —２６（０２００５—０４
Ｔｈｈｒｏｙａｉｏｅｔｅｈｅｉａｅｍｉｇｓｅｔｅｍｄｎｍｃｐｒｐｒｉｓｏｆｔｄｅｌｆｒａ
２主要结果
为便于讨论．引入巨配分函数先
三ｚＶ丁＝∑ ｚＱ（，）（，，）ＮＮＶ丁
Ｑ（，）ＮＶ丁＝∑ ｅ＝∑ ｗＩ｝ ” 一ｅｔ２
式中Ｚ：ｅｐ一ａｘ（）＝ｅｐ１ｋ是易逸度，ｘ（／Ｔ）￣ＱＮ是正则系统的配分函数，这里是确定的量，理想气体有在对
的粒子叫做费米子）同时假设粒子间的作用可以略去，．即认为这些粒子是整个力学系统的近独立子系．由于
近独立子系所组成系统的稳定态可以用其子系的单粒子态描写，因此，们依照经典统计法中把整个力学系我
ｔｅｃａｓｃｌｉｔａｉｈｔｍｐｒｔｒｎｘｓｓｉｈｙｏｒａｌｔｌｗｅｅａｕｅｈｌｓｉａｌｍｉｔｈｇｅｅａｕｅａｄｅｉｔｎｔｅｗａｆＦｅｍｉｌａｏｔｍｐｒｔｒ．ａｂ
统的运动状态用子相宇中Ｎ个点的分布来确定的描述方法，引入｛｛布的概念去描写整个系统的状态，分

三维理想费米气体的热力学性质

本文拟以三维空间幂函数势阱为限制袁研究其热力学性质袁并以局域密度近似为方法袁计算其总能尧费米能尧热容量以及高低温极限下的化学势遥
1 三维理想费米气体的局域密度
在极低温下袁由于费米子波函数的反对称性袁第一级 S 波散射振幅为零袁而次级 P 波很弱袁所以可以将极低温下的稀薄费米子系统近似为粒子间无相互作用的理想情况处理遥当囚禁势能的能级间距远小于粒子间的动能时袁常使用局域密度近似袁即将空间
localdensityapproximation111科技视界sciencetechnologyvisionsciencetechnologyvision科技视界l37仔23601lnz4噎渊5冤t0时袁取式渊5冤第一项代入式渊3冤可求得费米能费米能院着f滋0nh3着1q1着1l2着1p3丐浊2g8m仔32l1l2l3丐1q1丐1l1丐1p1杉删山山山山山山山山煽闪衫衫衫衫衫衫衫衫1浊1渊6冤取式渊5冤第一项代入式渊4冤可求得基态总能量e0浊1nktlnz浊2丐浊2lnz浊1丐浊3浊1n着f浊2n浊1浊2着f渊7冤t屹0袁但t很低时袁取式渊5冤前两项代入式渊3冤可求得化学势院化学势亦滋着f1浊仔26kt着f蓸蔀2渊8冤当温度很高时袁z变得很小袁将式渊2冤取第一项渊此时x即z冤代入式渊3冤袁可得极高温情况下的化学势即其经典极限可得滋ktln丐浊2kt着f蓸蔀浊1渊9冤将式渊4冤在外势不变下对t求导数袁可得系统的热容量c浊1nk浊2f浊2zf浊1z浊1f浊1zf浊z渊10冤将式渊5冤头两项代入式渊10冤袁可得低温极限下系统的热容量c抑浊1nk仔23kt着f渊11冤将式渊2冤取第一项代入式渊10冤可得高温极限下系统的热容量c浊1nk渊12冤5讨论渊1冤当q尧l尧p寅肄即浊12时袁则在区域xl1袁yl2袁zl1和xl1袁yl2袁zl1中袁外势分别为肄和0与约束于三维容器中的自由费米气体相对应袁由第渊2冤尧渊4冤尧渊6冤要渊9冤尧渊11冤尧渊12冤式可见其热力学性质遥将非相对论下的三维自由费米气体15和幂函数势阱下的三维理想费米气体的热力学性质相比较袁可见不论是自由还是在外势作用下三维情况低温化学势随温度单调减少袁这与二维情况有所不同袁自由的二维费米系统低温情况化学势基本与温度无关遥高温下单粒子比热为32是满足能量均分定理的遥渊2冤由第渊11冤式可见袁极低温条件下袁因为受泡利不相容原理的限制袁费米气体的热容量与温度始终成正比遥外势参数的改变袁只改变了比例系数袁而不改变这一固有特性遥由第渊6冤式可见袁费米能受外势影响较大袁我们可以通过调节外势来控制材料的费米能袁从而控制材料的某些特性遥渊3冤由于一般情况下浊12袁由式渊11冤渊12冤可见袁高低温极限时袁外势中费米气体的热容量均比自由费米气体的大遥其原因是袁相同条件下袁使势阱中费米气体温度升高一度袁不仅要提供动能袁同时还要提供势阱中的势能曰而自由费米气体只需提供动能遥渊4冤文

费米气体

统计规律
费米气体的统计规律有：费米-狄拉克统计，非广延统计。
费米气体是理想气体的量子力学版。在金属内的电子、在半导体内的电子、或在中子星里的中子，都可以被视为近似于费米气体。在一个处于热力平衡的费米气体里，费米子的能量分布，是由它们的密度，温度，与容许能量量子态集合，依照费米-狄拉克分布方程而决定的。泡利不相容原理阐明，不容许被两个或以上的费米子占用同一个量子态。因此，在绝对零度，费米气体的总能量，大于费米子数量与单独粒子基态能量的乘积。并且，在绝对零度，费米气体的压力，称为“简并压力”，不等于零。这与经典理想气体的现象有很明显的不同。简并压力使得中子星或白矮星能够抵抗万有引力的压缩，因而得到稳定平衡，不致向内爆塌。
感谢观看
简介
费米气体是借用理想气体模型描述费米子系统性质的量子力学模型。该模型中，粒子所处的量子态可用它们具有的动量来表征。对于周期性系统，譬如在金属原子点阵中运动的电子，亦可类似地引入“准动量”的概念以表征量子态（参见条目布洛赫波）。无论上述哪种模型，其具有费米能的量子态都处于动量空间中的一个确定的曲面上，这个曲面称为费米面。费米气体的费米面是一个球面；周期体系中的费米面则通常是扭曲面。费米面包围的体积决定了系统中的电子数，而费米面的拓扑结构则与金属的各种传导性质（如电导率）直接相关。对费米面的研究有时被称为“费米学”（Fermiology）。如今，绝大多数金属的费米面均已经有较透彻的理论与实验研究。
由于前述定义忽略了粒子与粒子之间的相互作用，费米气体问题约化为研究一群独立的费米子的物理行为的问题。这问题本身相当容易解析。一些更深奥，更进阶，更精密的理论，牵涉到粒子与粒子之间的互相作用的理论（像费米液体理论或相互作用的微扰理论），时常会以费米气体问题为研究的开端。

势阱中带电荷理想费米气体的热力学性质

第２７卷第３期
２Ｏ１３年５月
甘肃联合大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧａｎｓｕＬｉａｎｈｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
称为Ｌａｒｍ。ｒ频率・
为 — Ｙ平面的简谐势阱频率， ∞ 是轴方向的谐振势阱频率，一
通过分离变量法，可以得到系统的能量本征值和本征波函数
一
，
＋寺＋（２ｎ＋ｌｌ＋１）￣／ｎ＋Ｂ一ｍＢ，
＋∞ ），
（５）
Ｇｃｅ，一
态密度总的粒子数目为
：ｄｅｊｌｄｅｚｊ．一ｄｅ。一
，
（６）
ｇ（￡）＝ｄｅ（￡）一焘Ｚ靠ｃｃＪ１叫，・
Ｎ＝＝＝ｄ㈤
１能谱及粒子数
理想电荷费米气体系统，费米子质量为Ｍ，粒子电量为ｑ．体系处于匀强磁场Ｂ— Ｂｅ和各向异性简
谐势阱中．单粒子哈密顿量为
Ｈ一＋（＠ｙＺ）＋
叫。
பைடு நூலகம்一一
＋
＋ｙＺ）＋丢，（１）
Ｖｏ１．２７Ｎｏ．３
Ｍａｖ２０１３
文章编号：１６７２ — ６９１Ｘ（２０１３）０３ — ００２６ — ０４
势阱中带电荷理想费米气体的热力学性质

第七章费米系统

3
由
f3/2 (z) 易知
3
是z的单调递增函数；对确定的
值，由于 T 1/2 ，z将随T减少而增加。
我们下面考虑两种极限情形：
1.
高温和低密度情况（此时 3 1）。反解状态方程可得：只取上式第一项，并带入到另一状态方程可得：
z
3
1 23/ 2
3
2
P kBT
3
f5/2(z)
3
(1)l1 zl l3/2
l 1
现在我们从这两个方程出发讨论其一般性质。记 v ln z /(kBT ) ，我们有
f3/2 (z)
4
0
dx
x2 ex2 v
1
2
0
dy
y eyv 1
3
4
y3/2e yv
0 dy (e yv 1)2
4
3
0
dy
e yv (e yv 1)2
v3/ 2
et 1) 2
v3/
2
3 v1/ 2t 3 v1/ 2t 2
2
8
O(ev )
4 3
I
0v3/
2
3 2I1v1/来自23 8I 2v 1/
2
O(ev )
这里 In
dt
t (et
net 1) 2
dt
et
tn 1
et
。由对称性知对奇数n此积分为零。并易知 I0 1，对偶数n,
In 2
3 2
v1/ 2
(
y
v)
3 8
v1/ 2
(
y
v)2
3
4
v
dt
(et

费米温度和室温

费米温度和室温
费米温度是指在费米气体中，通过能够与外界热力学平衡的方式，将所有能级的占据
数填满的温度。

费米温度是用来描述费米气体的基态性质的重要物理量之一。

费米气体是
由费米子组成的理想气体，由于费米子满足泡利不相容原理，因此它们的运动状态是非常
特殊的。

以太阳系中的电子为例，电子是稳定在原子中的一种费米子，其基态的费米温度为约5.5×10^5K。

与之相比，室温只有300K，因此可以看出费米温度非常高。

室温是指环境温度，也就是我们生活中所处的温度范围，通常是介于15℃至30℃之间。

室温的温度对人类生活、工业生产等有着非常重要的影响。

在室温下，物体的热运动比较弱，因此通常需要外界能量的作用才能引导物体的变化。

在研究物理现象时，室温常常被用作一个常见的参考温度。

例如，在研究材料的物理
性质时，通常将材料在室温下的状态做为基准，来比较材料在其他温度下相应的物理性质
的变化。

相比之下，费米温度与室温相比要高得多，这也说明了费米气体的基态非常奇特。

费
米温度在物理学研究中有着广泛的应用，例如在研究低温物理学、凝聚态物理学、地球物
理学等领域都有着很重要的作用。

费米温度可以让我们更深刻地理解物质的基态性质，并
且为我们研究物质的行为提供了重要的物理基础。

总之，费米温度和室温是两个非常重要的物理概念，它们在物理学研究中都有着重要
的作用。

费米温度可以帮助我们更好地理解费米气体的基态性质，室温则是我们生活中非
常熟悉的参考温度，它对于人类的日常生活、工业生产等都有着非常重要的影响。

弱简并理想Bose气体和Fermi气体热力学

02
CATALOGUE
弱简并理想Fermi气体
Fermi-Dirac分布
定义
弱简并理想Fermi气体中的粒子遵循Fermi-Dirac分布，即粒子占据能级时，高能级被占据的概率较小，低能级被占据的概率较大。
数学表达式
$f(E) = frac{1}{e^{(E-mu)/kT} + 1}$，其中E是能级能量，$mu$是化学势，$k$是玻尔兹曼常数， $T$是温度。
04
CATALOGUE
弱简并理想Bose气体和Fermi气体的应用
量子信息处理
量子计算
弱简并理想Bose气体和Fermi气体是量子计算中的重要模型，可用于模拟量子系统的行为，为量子算法和量子纠错码的研究提供基础。
量子纠缠
弱简并理想Bose气体和Fermi气体可用于研究量子纠缠的性质，如纠缠态的制备、传输和测量，为量子通信和量子网络的发展提供理论支持。
详细描述
当温度降低到足够低时，弱简并理想Bose气体中的粒子开始聚集在最低的量子态上，形成一种新的相态，称为玻色凝聚。这种相变现象是Bose-Einstein于1925年提出的理论预测，并在1995年通过实验证实。
Bose气体热容
总结词
弱简并理想Bose气体的热容表现为随着温度的降低而增加，并在达到绝对零度时趋于无穷大。
Fermi气体热容
定义
弱简并理想Fermi气体的热容是指单位质量的粒子在等温过程中吸收或放出的热量。
VS
计算公式
$C_V = frac{2pi^2}{5}kT^3$
Fermi气体熵
定义
弱简并理想Fermi气体的熵是指系统无序度的量度，即系统内部粒子状态数与粒子总数的比值。

广义测不准原理下有限重力空间中理想费米气体的性质研究

广义测不准原理下有限重力空间中理想费米气体的性质研究李鹤龄;王娟娟;王亚妮;杨斌【摘要】T he properties of ideal Fermi gas are studied under the finite gravitational field of generalized uncertainty principle . The internal energy and the constant volume heat capacity in which the analytical expressions under the condition of low temperature are given . Meanwhile , the specific simulation calculation of copper electron gas is given as an example . T he effects of the generalized uncertainty principle on the properties of the systems are discussed .%采用半经典（T homas-Fermi）近似方法，研究了有限重力场中广义测不准原理下理想费米气体的性质。

得到了内能和定容热容在低温情况下的解析表达式，同时以铜电子气为例进行了具体模拟计算，并与不考虑广义测不准原理时的结果进行了比较分析，讨论了了广义测不准原理对体系性质的影响。

【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】7页(P29-34,47)【关键词】统计力学;广义测不准原理;有限重力场;理想费米气体;热力学性质【作者】李鹤龄;王娟娟;王亚妮;杨斌【作者单位】宁夏大学物理电气信息学院，宁夏银川 750021;宁夏大学物理电气信息学院，宁夏银川 750021;宁夏大学物理电气信息学院，宁夏银川 750021;宁夏大学物理电气信息学院，宁夏银川 750021【正文语种】中文【中图分类】O413.1自1995年以来，囚禁超冷费米气体实验有了较大进展，系统中的费米子在一定限制条件下能发生（Bardeen－Cooper－Schrieffer）凝聚现象，而外势场是研究简并费米气体的一个重要方向［1］.随着实验技术的发展，关于超冷费米气体的大量理论研究［2－5］也涌现出来.重力场是指地球重力作用的空间，是一种普遍而重要的势场.测不准原理（海森堡不确定原理）来源于微观粒子的波粒二象性，它反映微观粒子的运动特征.在引力的量子理论中，如弦论（string theory）、双狭义相对论（double special relativity）和黑洞物理（black hole physics），测不准原理将被修正为广义测不准原理［6］.广义测不准原理意味着位置将出现一个最小的长度限制［7］，即任何的长度测量都服从l≥lp这一关系，其中lp称为Plank尺度.这导致统计物理中的态密度应被修正［8］，在统计物理已研究过的一些问题中，如黑体辐射［8］、黑洞熵［9］、变形对易关系空间的高温热容［10］、任意维空间的谐振子［11］等都有不同程度的修正.文献［12］对经典理想气体、极端相对论下的理想气体、理想费米子和玻色子系统进行了研究，得到了一些有新意的结果.本文采用半经典近似，在广义测不准原理下研究有限均匀重力场V（x）＝mgx中的理想费米气体的性质.1 广义测不准原理下有限重力空间中费米气体的热力学性质1.1 广义测不准原理下有限重力空间中费米气体的主要热力学函数考虑一个质量为m的粒子，在地球表面附近的均匀重力场中垂直上下运动，有限重力场的模型可以被看成：理想费米气体被局限于高度为L、底面积为S的一个有限体积的容器中，则此模型中单粒子的能量为.当系统的粒子数很大，并且动能比约束粒子的势能大很多时，可用半经典近似法进行研究［13］.此时用对相空间的积分来代替求和.而对广义测不准原理下重力势场中系统的态密度可以由下求得：dΩ内的量子态数等于dΩ／h3，dΩ＝dpxdpydpzdxdydz为相空间的体积元，h 为普朗克常数.因此在动量p→p＋dp、坐标x→x＋dx间量子态数为dpdx，其中为粒子基态简并度.根据文献［8－12］，加入广义测不准原理后系统的态密度的修正因子为（1＋Ap2）－3，则重力场中在动量p→p＋dp、坐标x→x＋dx间量子态数为对x积分得到在能量ε→ε＋dε间量子态数，则态密度为积分得近似时取mgx约等于mgL／2，相当于平均重力，且mgL／2远小于能量ε.在动量p比较小时修正因子可以写成如下的形式由于费米子的平均占据数其中，z为逸度；k为玻尔兹曼常数；T为绝对温度.则有如下热力学函数为：粒子数内能对以上两式积分，可分别得到其中，为费米积分.1.2 广义测不准原理下有限重力空间中T＝0K时系统的费米能和基态能费米积分在温度比较高时z≤1，在温度很低的情况下，z可能变的很大，这时可应用Sommerfled［13］引理将fl（z）对大宗量lnz作渐进展开.当T＝0K时，上式只取第一项，将其代入（7）式中有则广义测不准原理下重力场系统的费米能为其中，εF0＝（3 Nh3／（4gi0πV（2m）3／2））2／3为不考虑广义测不准原理时理想气体的费米能，εF0GUP为考虑广义测不准原理时系统的费米能，其定义为其中，PF0为不考虑广义测不准原理的费米动量.因此，T＝0K时系统的基态能为1.3 广义测不准原理下有限重力空间在低温情况下系统的性质将（9）式代入（8）式，得到系统在低温情况下的内能，保留到kT／εF的二次项：粒子数为了把内能表示成粒子数N、体积V和温度T的函数，将（15）式代入（14）式得到内能在低温下的近似表达式将内能对温度求偏导可以得到热容的表达式：其中，Nkπ2kT／εF0为不考虑广义测不准原理的定容热容.若不考虑广义测不准原理，即A＝0，则体系回归到只有重力场的状态，这样解析式（16），（17）就与文献［13］的结论一致.2 结果与讨论以铜电子气体为例，铜的密度为8.9×103 kg·m－3，原子量为63.如果一个铜原子贡献一个自由电子，则n＝×NA＝8.5×1028 m－3，电子的质量为9.1×10－31 kg.应用以上的计算结果，图1和图2分别给出了有限重力势约束和不考虑重力场作用时的广义测不准原理下理想费米气体内能和热容与温度的关系.从图1和图2可以看出，广义测不准原理下有限重力场中费米气体的费米能、基态能、内能和热容量都比不考虑广义测不准原理时有限重力场中费米气体相应的热力学量要大.不难理解，当考虑了广义测不准原理之后，意味着费米子不仅仅要遵循泡利不相容原理的限制，还要遵循“最小长度”的限制，增加的“限制”必然导致每个能级中的量子态数减少，驱使粒子向高能态分布，这不仅导致费米能、基态能、内能增加，且由于低能态的填满，粒子必须向高能态跃迁，结果是热容增加. 图1 GUP下有限和无重力场中内能和温度的关系Fig 1 The correlation of the energy and temperature in the limited gravity field／gravity field under the GUP图2 GUP下有限和无重力场中热容和温度的关系Fig 2 The correlation of the energy and temperature in the limited gravity field／gravity field under the GUP参考文献：［1］REGAL C A，GREINER M，JIN D.Observation of resonance condensation of Fermionic atom pairs［J］.Phys Rev Lett，2004，92（4）：040403（1－4）.［2］LI M Z，YAN J Z，CHEN J C，et al.Thermodynamic properties of an idea Fermi gas in an external potential in any dimensional space［J］.Phys Rev A，1998，58（2）：1445－1449.［3］BRUUN G M，BURNETT K.Interacting Fermi gas in a harmonic trap ［J］.Phys Rev A，1998，58（3）：2427－2434.［4］OLIVA J.Density profile of the weakly interacting Fermi gas confinedin a potential well：Nonzero temperature［J］.Phys Rev B，1989，39（7）：4204－4208.［5］SU G Z，CHEN J C，CHEN L X.Low－temperature behavior of a weakly interacting Fermi trapped in a power－law potential［J］.Phys Lett A，2003，315：109－119.［6］KEMPF A，MANGANO G，MANN R B.Hilbert space representation of the minimal length uncertainty relation［J］.Phys Rev D，1995，52：1108－1118.［7］KEMPF A.Non－pointlike particles in harmonic oscillators［J］.Phys A，1997，30：2093－2101.［8］CHANG L N，MINIC D，TAKEUCHI T，et al.The effect of the minimal length uncertainty relation on the density of states and the cosmological constant problem［J］.Phys Rev D，2002，65：125028（1－7）.［9］LI Xiang.Black hole entropy without brick walls［J］.Physics Letters B，2002，540：9－13.［10］FITYO V T.Statistical physics in deformed spaces with minimal length ［J］.Phys Lett A，2008，372：5872－5877.［11］CHANG L N，MINIC D，OKAMURA N，et al.Exact solution of the harmonic oscillator in arbitrary dimensions with minimal length uncertainty relations［J］.Phys Rev D，2002，65：125027（1－8）.［12］VAKILI B，GORJI M A.Thermostatistics with minimal length uncertainty relation［J］.J Stat Mech，2012，10：P10013（1－18）. ［13］刘慧.有限重力空间中理想费米气体热力学性质的研究［J］.安徽科技学院学报，2009，23（1）：51－56.。

谐振子势阱中理想费米气体化学势的研究

ＳｔｕｄｙｏｆＣｈｅｍｉｃａｌＰｏｔｅｎｔｉａｌｏｆＭｅｓｏｓｃｏｐｉｃＦｅｒｍｉＧａｓｉｎａＨａｒｍｏｎｉｃＴｒａｐ
ＷａｎｇＦｅｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＨｕｂｅｉＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＨｕａｎｇｓｈｉＨｕｂｅｉ４３５００３）
的研究文献却很少。由于泡利不相容原理，费
米气体在低温下不会产生ＢＥＣ。但在极低温
度条件下，费米气体也会表现出量子行为，并且在一定的条件下，费米子可以形成库帕对，
想费米气体… ，所受外势为：
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｓｏｓｃｏｐｉｃＦｅｒｍｉｇａｓｉｎａｈａｒｍｏｎｉｃｔｒａｐｉｓｅｄｕｃｅｄｂｙｕｓｉｎｇＦｅｍｉｓｔａｔｉｓ－
：
（：＋），：＋Ｚ２）
（１）
具有玻色子所具有的行为，可能观察到ＢＥＣ。因此对外加势阱束缚下费米气体的热力学性
质量子行为的研究是必要的。本文通过数值精确求解的方法研究了束缚在谐振子势阱中理想费米气体化学势的性质，进一步加深对费米系统性质的认识。

相对论性受限理想费米气体的统计特性

相对论性受限理想费米气体的统计特性苏国珍【摘要】研究了约束在二维幂次型外势中的相对论性理想费米气体系统的统计特性,计算了系统的化学势、总能和热容等热力学量并通过费米积分给出它们的解析表达式,分析了相对论效应和正反粒子对产生(简称“对产生”)对系统性质的影响.研究表明,当系统的费米能级达到与粒子静能相同的数量级时,即使在极低温下相对论效应也不可忽略;与此相反,“对产生”在高温下对系统的性质有显著的影响,但在低温下的影响可忽略不计.研究还发现,“对产生”使得系统出现诸多新的物理特性,其中包括化学势在高温下的渐近行为和热容在高温区随着温度的上升而迅速增大等.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(053)003【总页数】4页(P318-321)【关键词】相对论;费米气体;统计性质;幂次型势;对产生【作者】苏国珍【作者单位】厦门大学物理与机电工程学院,理论物理与天体物理研究所,福建厦门361005【正文语种】中文【中图分类】O414研究物质系统的低温特性,一般采用非相对论能量-动量色散关系,因为通常在低温下,粒子的动能比其静能小得多．然而,近代物理研究发现,自然界中存在一些质量微小的费米粒子,如中微子,其静止质量还不到电子质量的百万分之一．对于由这类费米子组成的系统,即使在低温下,相对论效应也不可忽略．自然界中的许多物理过程都与相对论性费米子的物理性质相关．在相对论重离子碰撞过程中所产生的高能强子可近似视为相对论性理想费米气体系统[1]．许多天体系统,如白矮星、中子星也是相对论性费米系统的典型例子[2-5]．研究相对论性费米系统的统计性质有助于了解这类系统内部的微观过程,揭示由此产生的各种宏观效应．已有许多学者研究了相对论性费米气体的物理性质[6-9],然而,过去的研究大多局限于无外势约束的费米系统．众所周知,外势约束对量子系统的性质产生重要的影响．通过改变外势的形状和强度,可实现对量子系统各种行为的调控．在各种外势中,简谐势具有特殊的意义,1995年实现玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)[10-12]和1999年观测简并费米气[13]的实验中所采用的磁约束可近似用简谐势表示．另一类典型的外势是幂次型外势．这类外势的优势是可通过调整幂次改变势的形状,从而调控系统的宏观特性．通过连续缓慢地改变幂次型外势的幂次,美国麻省理工学院(MIT)的研究人员成功地用绝热冷却的方法实现了BEC[14]．本文将研究约束在二维幂次型外势中的相对论性理想费米气体的统计性质,导出一些重要热力学量,如化学势、总能和热容等的解析表达式,并由此讨论相对论效应和正-反粒子对产生(以下简称“对产生”)对各热力学量的影响．1 相对论性理想费米系统的巨配分函数和“电荷数”分布对处于热平衡态的相对论性理想费米子系统,当考虑“对产生”时,系统的哈密顿量可表示为(1)式中εk为第k个量子态的能量,和分别为第k个量子态上的正粒子和与之对应的反粒子的产生(湮灭)算符．由于“对产生”,系统的总粒子数不再是守恒量,取而代之的守恒量是“电荷数”(2)式中N和分别为系统的正粒子和反粒子总数．在巨正则系综下,系统的配分函数可表示为Ξ=tr{exp[-β(H-μQ)]},(3)式中β=1/kBT,kB是玻尔兹曼常量,T 和μ分别是系统的温度和化学势．根据式(1)～(3)可导得exp[-β(εk+μ)]})．(4)由式(4)可得分布在第k个量子态上的“电荷数”(5)式中nk和分别为第k个量子态上的正、反粒子数．2 热力学量的一般表达式考虑一约束在二维空间各向同性的幂次型外势中的相对论性理想费米系统,其单粒子能谱可表示为(6)式中m、p 和 r 分别表示粒子的静止质量、动量和位置,c 为光速,U0、r0 和 t 为标志外势的强度和形状的参数．在热力学极限近似下,式(4)中的能量εk和求和可分别用ε(p,r)和对相空间的积分替代,于是lnΞ可表示为(7)式中g为粒子的自旋简并度,h 为普朗克常量,函数定义为fn[exp(α-u)],(8)其中，(9)为费米积分[15],Γ(n)=exp(-x)xn-1dx为伽马函数．根据式(7),可导出系统的总电荷数(Q)、总能(E)和热容(C)的表达式分别为(10)(11)．(12)3 强简并下热力学量的表达式在强简并的情况下,exp(-α-u)=exp[β(μ-mc2)]≫1,exp(α-u)=exp[β(-μ-mc2)]→0,fn[exp(α-u)]≈0,于是根据Sommerfeld引理[15]可将表示为(13)式中将式(13)代入式(10)～(12),保留到的二次项,可得(14)(15)(16)式中为系统的费米能,由下式决定:(17)其中(18)为不考虑相对论效应时系统的费米能[16]．在以上表达式中,总电荷数Q已用总粒子数N替代,因为在强简并情况下fn[exp(α-u)]≈0,意味着反粒子数可忽略不计．4 化学势和热容与温度的关系从式(10)～(12)出发,通过数值计算的方法可进一步分析热力学量随温度的变化规律．图1和图2分别表示外势为各向同性的“简谐势”,即U(r)=γr2/2(γ为正的常量)时无量纲化学势μ/mc2和无量纲热容C/QkB与无量纲温度kBT/mc2的关系曲线,其中相关参数选择的原则是:γ、N、m和g满足ħ意味着系统的费米能与粒子的静能具有相同的数量级．实线表示考虑相对论效应和对产生时的结果；长虚线表示考虑相对论效应但忽略对产生时的结果；短虚线表示忽略相对论效应和对产生时的结果.图1 无量纲化学势μ/mc2与无量纲温度kBT/mc2的关系曲线Fig.1 The curves of the scaled chemical potential μ/mc2 varying with the scaled temperature kBT/mc2实线表示考虑相对论效应和对产生时的结果；长虚线表示考虑相对论效应但忽略对产生时的结果；短虚线表示忽略相对论效应和对产生时的结果.图2 无量纲热容C/QkB与无量纲温度kBT/mc2的关系曲线Fig.2 The curves of the scaled heat capacity C/QkB varying with the scaled temperature kBT/mc2根据图1和图2,可得以下结果:1) 即使在极低温度,包括T→0 K,相对论效应也不能忽略不计,但另一方面,“对产生”的影响在高温下是显著的,在低温下则可忽略不计．这一结果可作如下解释:对于费米系统,由于泡利原理的限制,即使温度T→0 K,粒子的平均动能也不为0,对于小质量的费米子系统,平均动能可能达到,甚至超过静能mc2的数量级,导致显著的相对论效应;相反,由于“对产生”是热激发的结果,因而在低温(kBT≪mc2)下其影响可忽略不计．2) 如果不考虑“对产生”的影响,系统的化学势随着温度的升高而单调减小,当温度T→∞时,化学势μ→-∞．然而,如果考虑“对产生”的影响,在高温区化学势呈现渐近行为,当T→∞时,μ→0．从“电荷数”分布式(5)不难解释这一结果:根据式(5),为保证每一量子态上的电荷数qk>0,化学势μ只能大于0;另一方面,可以证明,为保证总电荷数Q=∑kq k守恒,μ必须是温度T的单调减函数,这两个条件共同作用的结果导致在高温区μ→0的渐近行为．3) “对产生”显著地改变高温区热容与温度的关系．当不考虑“对产生”时,热容在高温区随着温度的上升趋于一固定值;若考虑“对产生”的影响,热容在高温区随着温度的上升而迅速增大,当T→∞时,C→∞．这一结果与考虑“对产生”时系统的粒子数不守恒有关:随着温度的升高,系统内不断有正-反粒子对产生,使得高温下正、反粒子数均显著增大,由此导致在高温区热容随温度升高而迅速增大．【相关文献】[1] Yen G D,Gorenstein M I,Greiner W,et al．Excluded volume hadron gas model for particle number ratios in A+A collisions[J]．Phys Rev C,1997,56:2210．[2] Espíndola A L,Menezes D P．Relativistic equations of state in a Thomas-Fermi approach for neutron stars[J]．Phys Rev C,2002,65:045803．[3] Chavanis P H．White dwarf stars in D dimensions[J]．Phys Rev D,2007,76:023004．[4] Rotondo M,Rueda J A,Ruffini R,et al．Relativistic Thomas-Fermi treatment of compressed atoms and compressed nuclear matter cores of stellar dimensions[J]．Phys Rev C,2011,83:045805．[5] Cheng R M,Evans C R．Relativistic effects in the tidal interaction between a white dwarf and a massive black hole in Fermi normal coordinates[J]．Phys RevC,2013,87:104010．[6] Blas H,Pimentel B M．Relativistic quantum thermodynamics of ideal gases in two dimensions[J]．Phys Rev E,1999,60:6164-6167．[7] Begun V V,Gorenstein M I．Particle number fluctuations in relativistic Bose and Fermi gases[J]．Phys Rev C,2006,73:054904．[8] Cai S K,Su G Z,Chen J C．Thermostatistic properties of a relativistic Fermi gas[J]．Int J Mod Phys B,2010,24:5783-5792．[9] Wang H T,Men F D,He X G,et al．The stability of a non-extensive relativistic Fermi system[J]．Chin Phys B,2012,21:060501．[10] Anderson M H,Ensher J R,Matthews M R,et al．Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor[J]．Science,1995,269:198-201．[11] Bradley C C,Sackett C A,Tollett J J,et al．Evidence of Bose-Einstein condensation in an atomic gas with attractive interactions[J]．Phys Rev Lett,1995,75:1687-1690．[12] Davis K B,Mewes M O,Andrews M R,et al．Bose-Einstein condensation in a gas of sodium atoms[J]．Phys Rev Lett,1995,75:3969-3973．[13] Demarco B,Jin D S．Onset of Fermi degeneracy in a trapped atomicgas[J]．Science,1999,285:1703-1706．[14] Stamper-Kurn D M,Miesner H J,Chikkatur A P,et al．Reversible formation of a Bose-Einstein condensate[J]．Phys Rev Lett,1998,81:2194-2197．[15] Huang K．Statistical mechanics[M]．New York:Wiley,1963．[16] Li M Z,Yan Z J,Chen J C,et al．Thermodynamic properties of an ideal Fermi gas in an external potential with U=brt in any dimensional space[J]．Phys Rev A,1998,58:1445-1449．。

理想费米气体狄塞尔循环效率的研究

此，热力学循环性能的分析必须考虑工质的量子效应对其影响．对近年来，些学者应用量子统计理论对一运行于低温或高密度条件下的热力学循环（如布雷顿循环、特林循环和奥托循环等）斯进行了一些有益的
研究，到一些有意义的新理论．如，得例文献［］１讨论了以理想玻色气体为工作物质的布雷顿循环的性能，文献［］２分析了以量子气体为工作物质的卡诺循环的效率提高的可行性，文献［］３深入研究了量子效应对
米气体为例，根据其状态方程及其热力学性质获得以理想量子气体为工作物质的狄塞尔循环的效率表达式，通过比较得出提高实际热机效率的主要途径．
关键词：塞尔循环；狄理想费米气体；热机效率；柴油发动机中图分类号：４４２文献标识码：文章编号：０７—８５２０）２— １２一３０１．Ａ１０５状态方程是经典热力学理论最重要的物态方程之一，利用它可获得热力学循环的性能，然而
在一些特殊情况下，体处于低温或高密度条件下，如气即粒子数密度／和平均波长Ａ三次方的乘积接近１，于１时，体的量子本性变得十分显著，体的热力学行为大大地偏离经典特性，气气而服从量子统计规律，因
ＳｕｙｏｆｃｅｃｆａＤｉｓｌＣｙｌｆＩｅｌＦｅｍｉＧａｔｄｎＥｆｉｎｙｏｓｅｃｅｏｄａｒｓｉ

三维理想费米气体的热力学性质

三维理想费米气体的热力学性质作者：李志阳来源：《科技视界》2019年第28期【摘要】本文研究三维理想费米气体的热力学性质，应用局域密度近似（LDA）方法求出处于幂函数型外势下的三维理想费米气体的总能E，费米能，高低温极限下的化学势和热容量C的表达式。

讨论外势对三维理想费米气体热力学性质的影响。

并对自由费米气体和外势下理想费米气体的热力学性质进行比較。

【关键词】费米气体;幂函数型外势;局域密度近似中图分类号： O414.1 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）28-0111-002DOI：10.19694/ki.issn2095-2457.2019.28.048【Abstract】Thermodynamic properties of an Ideal Fermi Gas are studied basing on the local density approximation. The total energy E，Fermi energy，chemical potential; and heat capacity C in the high-and low-temperature approximations in a Three-Dimensional Space trapped in a generic power-law potential are derived.The influence of thermodynamic properties of an Ideal Fermi Gas by the power-law potential are discussed.And the thermodynamic properties of a freedom Fermi Gas are compared with an ideal Fermi Gas trapped in a generic power-law potential by using the list.【Key words】Fermi gas; Generic power-law potential; Local density approximation。

第九章、费米气体与费米液体

量子统计王延颋 2015年4月7日9. 费米气体与费米液体9.1. 理想费米气体的一般性质根据量子配分函数，曾经求得理想费米气体的状态方程为()()5/23B 3/23111P f z k T f z v λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (9.1)其中()()()()()()()()1225/25/20113/25/23/21exp 1d ln 1exp 1l l l l l l z z f z xx z x l z f z z f z z l λβμ+∞∞=+∞=⎧==⎪⎪⎪-⎪≡+-=⎨⎪⎪-∂⎪≡=∂⎪⎩∑∑ (9.2)数学上可以求得（证明见杨展如第147—148页）()()()23/21/23/2ln ln 8f z z z π-⎫=++⎪⎭(9.3)在低温和高密度条件下，有1/3vλ<<，此时状态方程的第二式为())33/23/2ln f z z vλ=≈(9.4)把λ的表达式代入上式，从而得到费米能（绝对零度时的化学势）()2/322F 160ln 2T z v mπεμβ⎛⎫≡=== ⎪⎝⎭(9.5)考虑每个单粒子能级有g 重简并，则2/322F 62gv mπε⎛⎫= ⎪⎝⎭(9.6)根据费米—狄拉克分布，在0T →时，()()F F F1lim limexp 110p p p p n βββεεεεεε→∞→∞=-+<⎧=⎨>⎩ (9.7)所以费米能的物理意义是：在绝对零度时，所有粒子从基态开始，依次占据最低能态，直至费米能F ε时止。

在动量空间中，粒子填充一个半径为1/32F 6p gv π⎛⎫== ⎪⎝⎭(9.8)的球，球的表面成为费米球（最简单的费米面）。

高温时由状态方程式(9.1)的第二项可得()()3233/23/22z f z z O z v λ=≈-+ (9.9)由此解得233333/22z O v v v λλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(9.10)因此高温下的化学势2333/211ln ln 2z v v λλμββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪=≈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(9.11)以下求理想费米气体在有限低温下的热力学量。

均匀重力场中理想费米气体的非广延统计分析的开题报告

均匀重力场中理想费米气体的非广延统计分析的开
题报告
Introduction:
理想费米气体是由一组由费米子组成的理想气体。

相比于其他类型的气体，理想费米气体有着独特的统计性质，这使得其在物理学、天文学等领域都有广泛的应用。

在均匀重力场中，理想费米气体的统计性质也有所改变，需要更进一步的研究探索。

Research Object:
本研究的研究对象是均匀重力场中的理想费米气体，需要对其非广延统计性质进行分析和研究。

Research Content:
本研究的主要内容包括如下几个方面：
1.定量分析均匀重力场对理想费米气体的物理、化学特性的影响；
2.分析非广延统计分析在理想费米气体中的作用；
3.建立数学模型，求解理想费米气体在均匀重力场中的物理性质的数据；
4.探究均匀重力场下费米子的自旋极化性质。

Research Methods:
本研究将采用多种研究方法，包括理论分析、数学模型分析、计算模拟等。

通过这些方法对均匀重力场中理想费米气体的非广延统计性质和自旋极化性质进行深入探究和分析。

Expected Results:
本研究希望得到如下几方面的理论和实践成果：
1.深入了解均匀重力场中理想费米气体的物理化学性质的变化及其产生的原因；
2.探明非广延统计分析在理想费米气体中的意义；
3.建立数学模型，为理论研究提供新的依据；
4.探究均匀重力场下费米子的自旋极化性质，为相关领域的研究提供参考。

Conclusion:
本研究将对均匀重力场中理想费米气体的非广延统计分析进行探究和分析，并得出相关结论，这将对相关领域的理论研究和实践应用做出新的贡献。

有限重力场中理想Fermi气体的弱简并特性

有限重力场中理想Fermi气体的弱简并特性付奎;赵升频【期刊名称】《陕西理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(028)005【摘要】The study is on the thermodynamic properties of finite gravitational field weak degenerate i-deal Fermi gas. Base on the Thomas-Fermi semiclassical approximation, after deriving the density of states of an ideal Fermi gas in finite gravitational field, the analytic formula of the chemical potential, internal energy and pressure under the condition of weak degeneration is obtained in this paper. The specific impact of the gravity field on the thermodynamic properties of weakly degenerate ideal Fermi gas is analyzed. The result showed that finite gravitational field has effect on the thermodynamic property of the system.%研究有限重力场中弱简并理想费米气体的热力学性质.采用Thomas-Fermi半经典近似方法,从有限重力场中理想费米气体的状态密度出发,给出系统的化学势、内能和压强解析表达式,分析重力场对弱简并理想费米气体热力学性质的影响.结果表明,有限重力场的存在使弱简并理想费米气体热力学量出现一个附加的修正项.【总页数】4页(P70-73)【作者】付奎;赵升频【作者单位】汉中职业技术学院机电工程系,陕西汉中723000;陕西理工学院物理与电信工程学院,陕西汉中723000【正文语种】中文【中图分类】O414.2;O522+.2【相关文献】1.重力场中理想气体的垂自"P-V"循环:两种气体密度分布模型的比较 [J], 李国荣2.弱简并理想费米气体,玻色气体混合后内能的变化 [J], 黄钢明3.高温弱简并与经典非简并理想费米气体性质 [J], 赵彦杰4.高温弱简并与经典非简并理想费米气体性质 [J], 赵彦杰;5.高温弱简并与经典非简并理想费米气体性质 [J], 赵彦杰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。