图论及其应用(孙惠泉编著)思维导图
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图论及其应用
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20
教材和主要参考资料 （2）
《图论及其应用》，J.A. 邦迪 及 U.S.R 默蒂，科学出版社。 （原书：Graph Theory with Applications, J.A. Bondy & U.S.R. Murty)
Introduction to Graph Theory, Second Edition , Douglas B. West.
电话：（010） 62639894、62539135、 62559881 （均可收传真）
E-mail: chaoh@
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28
名人名言
智者，善假于物也 学贵有恒，人贵有志 贵我、通今：横尽虚空，山河大地无一
可恃，可恃惟我；数尽来劫，前后左右 无一可据，可据惟今！ 生当作人杰，死亦为鬼雄！
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23
几点建议
做人：厚德博学 敬业乐群
读书：博与精 薄与厚
创新：IPR (Intellectual Property Rights)
职业定位：CEO、CTO、CFO、
首席科学家、 董事长
技术管理？技术专家
理想与价值体现：修身、齐家、治国、
平天下 个人价值？社会价值
身心健康，全面发展：IQ、EQ、AQ
图论在信息安全中的应用 图论在信号处理中的应用
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19
教材和主要参考资料 （1）
《图论及其应用》，孙惠泉，科学出版 社，2004年9月。
《图论导引》，Douglas B.West 著，李 建中、骆吉洲译，机械工业出版社， 2006年2月。
《图论简明教程》，Fred Buckley,Marty Lewinter 著，李慧霸、王凤芹译，清华 大学出版社，2005年1月。
图论知识及运用举例
图论知识及运用举例1 概论图论中的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
图是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
下面将要讨论最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等。
2 图的基本概念2.1 无向图一个无向图(undirected graph)G 是由一个非空有限集合)(G V 和)(G V 中某些元素的无序对集合)(G E 构成的二元组，记为))(),((G E G V G =。
其中},,,{)(21n v v v G V =称为图G 的顶点集（vertex set ）或节点集（node set ）， )(G V 中的每一个元素),,2,1(n i v i =称为该图的一个顶点（vertex ）或节点（node ）；},,,{)(21m e e e G E =称为图G 的边集（edge set ），)(G E 中的每一个元素k e (即)(G V 中某两个元素j i v v ,的无序对) 记为),(j i k v v e =或i j j i k v v v v e == ),,2,1(m k =，被称为该图的一条从i v 到j v 的边（edge ）。
当边j i k v v e =时，称j i v v ,为边k e 的端点，并称j v 与i v 相邻（adjacent ）；边k e 称为与顶点j i v v ,关联（incident ）。
如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在图G 中相邻。
边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络（undirected network ）。
离散数学第8章 图论及其应用
重要课题。
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
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第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
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第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
离散数学-第11章
离散数学讲义之
图 论
主讲:熊焕亮
图论简介
• 图论（graph theory）是研究节点和边组成的图 形的数学理论和方法，为离散数学的一个重要分 支。图论的基本元素是节点和边（也称线、弧、 枝），用节点表示所研究的对象，用边表示研究 对象之间的某种特定关系。因此，图论可用节点 和边组成的图形及其有关的理论和方法来描述、 分析和解决各种实际问题，已广泛地应用于物理、 化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、 控制论、网络理论、管理科学、社会科学等几乎 所有学科领域的有关问题。图论与组合数学、线 性规划、群论、矩阵论、概率论、数值分析等数 学分支有密切的关系。
均为偶数，所以 d (v)为偶数，但因中顶点度数为奇数，
vV1
vV1
d (v ) d (v )
vV2
所以 | V1 |必为偶数。
14
11.1.2 简单图、多重图和同构图
V {v1 , v2 ,., vn } 设 G V , E 为一个阶无向图， 称 d (v1 ), d (v2 )d (vn ),为 G 的度数列。对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。反之， 对于给定的非负整数列d (d1 , d 2 ,d n )，若存在以 V (v1 , v2 ,, vn ) 为顶点 集的n阶无向图G,使得 d (vi ) d i ，则称d是可图化的。特别地，若所得 的图是简单图,则称d是可简单图化的。 例11.1.2 （1）（3，5，1，4），（1，2，3，4，5）能成为图的度 数列吗？为什么？ （2）已知图G 中有15条边，2个度数为4的结点，4个度数为3的结点， 其余结点度数均小于等于2，问G 中至少有多少个结点？为什么？ 解 （1）由于给定的两个度数列中奇度顶点个数均为奇数，由上述 推论可知，他们都不能成为图的度数列。 （2）图中边数为15，由握手定理可知，G 中所有结点度数和为30。 除去2个度数为4的结点和4个度数为3的结点，还剩下10度。其余结 点度数小于等于2，假设均为2，则至少要5个结点，所以总共至少要1 1个结点。
图 论
主讲:熊焕亮
图论简介
• 图论（graph theory）是研究节点和边组成的图 形的数学理论和方法，为离散数学的一个重要分 支。图论的基本元素是节点和边（也称线、弧、 枝），用节点表示所研究的对象，用边表示研究 对象之间的某种特定关系。因此，图论可用节点 和边组成的图形及其有关的理论和方法来描述、 分析和解决各种实际问题，已广泛地应用于物理、 化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、 控制论、网络理论、管理科学、社会科学等几乎 所有学科领域的有关问题。图论与组合数学、线 性规划、群论、矩阵论、概率论、数值分析等数 学分支有密切的关系。
均为偶数，所以 d (v)为偶数，但因中顶点度数为奇数，
vV1
vV1
d (v ) d (v )
vV2
所以 | V1 |必为偶数。
14
11.1.2 简单图、多重图和同构图
V {v1 , v2 ,., vn } 设 G V , E 为一个阶无向图， 称 d (v1 ), d (v2 )d (vn ),为 G 的度数列。对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。反之， 对于给定的非负整数列d (d1 , d 2 ,d n )，若存在以 V (v1 , v2 ,, vn ) 为顶点 集的n阶无向图G,使得 d (vi ) d i ，则称d是可图化的。特别地，若所得 的图是简单图,则称d是可简单图化的。 例11.1.2 （1）（3，5，1，4），（1，2，3，4，5）能成为图的度 数列吗？为什么？ （2）已知图G 中有15条边，2个度数为4的结点，4个度数为3的结点， 其余结点度数均小于等于2，问G 中至少有多少个结点？为什么？ 解 （1）由于给定的两个度数列中奇度顶点个数均为奇数，由上述 推论可知，他们都不能成为图的度数列。 （2）图中边数为15，由握手定理可知，G 中所有结点度数和为30。 除去2个度数为4的结点和4个度数为3的结点，还剩下10度。其余结 点度数小于等于2，假设均为2，则至少要5个结点，所以总共至少要1 1个结点。
离散数学-第7章-图论廖学生用
05
图论中的优化问题
最短路径问题
总结词
最短路径问题是图论中一类经典的优化问题，旨在寻找图中 两个节点之间的最短路径。
详细描述
最短路径问题有多种算法，其中最著名的算法是Dijkstra算法 和Bellman-Ford算法。Dijkstra算法适用于带权重的有向图 或无向图，而Bellman-Ford算法适用于带权重的无向图。这 两种算法都能有效地找到最短路径，但时间复杂度和适用范 围有所不同。
03
图的遍历算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
06
图论的应用实例
社交网络分析
社交网络分析
图论在社交网络分析中有着广泛的应用。通过构建社交网络模型，可以研究人际关系、信 息传播、社区结构等方面的问题。例如，通过分析社交网络中的节点和边的关系，可以发 现社区结构、影响力传播路径、信息扩散规律等。
社交网络模型
社交网络模型通常由节点和边构成，节点代表个体或组织，边代表它们之间的关系。根据 实际需求，可以选择不同的社交网络模型，如社交关系网、信息传播网等。
力传播等。
生物信息学
交通运输
图论用于基因调控网络、 蛋白质相互作用网络等 生物信息学领域的研究。
图论用于交通路线的规 划和管理，如最短路径 算法、交通流量优化等。
图论及其应用
图和子图 图和简单图图 G = (V, E)V ---顶点集，ν---顶点数12ε E ---边集， ε---边数例。
左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。
真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。
不过今后对两者将经常不加以区别。
称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。
也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。
称顶点a 与e 相邻。
称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。
环（loop ，selfloop ）：如边 l 。
棱（link ）：如边ae 。
重边：如边p 及边q 。
简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。
一条边的端点：它的两个顶点。
记号：νε()(),()().G V G G E G ==。
习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。
1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。
同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ VG)=V(H), E(G)=E(H)。
图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间 各 存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。
记为 G ≅F。
注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。
de f G = (V , E )yz w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。
完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。
V’ ( ⊆ V) 为独立集 ⇔ V’中任二顶点都互不相邻。
第1章图论1(103)PPT课件
且V(H) = V(G)，则称H是G的生成子图。
例5
v1
v4
v1
v5
v2
v3
v2
v4
v1
v4
v5
v3
v2
v3
G
H1
H2
上图中，H1与H2均为G 的子图，其中H2 是G的生成子 图，而H1则不是。
四．顶点的度
定义3 设 v为 G 的顶点，G 中与 v 为端点的边的条 数（环计算两次）称为点 v 的度数，简称为点v的 度，记为 dG (v)，简记为 d(v)。
终止后，u0 到 v 的距离由 l(v) 的终值给出。
说明：
（1） 算法中w(uiv) 表示边 uiv 的权；
（2） 若只想确定u0到某顶点v0的距 离， 则当某 uj 等于 v0 时则停；
（3） 算法稍加改进可同时得出u0
到其它点的最短路。
例3 求图 G 中 u0 到其它点的距离。
u0 2
5
G:
相应的最短路为
3
1
6
Γ：v2v1v3v4
v3
3
G
v4
易知，各边的权均为1的权图中的路长与非权图中的路长 是一致的。
问题：给定简单权图G = (V, E)，并设G 有n个顶点，求G 中点u0到其它各点的距离。
Dijkstra算法 (1) 置 l(u0) = 0；对所有v∈V \{u0}，令 l(v) = ∞；
称从 u 到 v 的距离为无穷。
u
例如对图：
w
d (u, v ) = 2
x
其最短路为 uxv
d(u, w) = ∞
v
容易证明对 ，距离具有性质：
（1）d(u, v)≥0；
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
图论及其应用ppt8
充分性
如果Am的列对应的边作成G的一棵生成树，因树是连通的，所以，它对应的基本关联矩阵Am非奇异。
该定理给出了求连通图G的所有生成树的方法：
(1) 写出G的关联矩阵，进一步写出基本关联矩阵，记住参考点；
*
(2) 找出基本关联矩阵的非奇异主子阵，对每个这样的主子阵，画出相应的生成树。
利用破圈法，显然也可以求出任意图的一个生成森林。
*
推论 若G是(n,ຫໍສະໝຸດ m)连通图，则m≧n-1连通图G的生成树一般不唯一！
(二)、生成树的计数
1、凯莱递推计数法
凯莱(Cayley 1821—1895): 剑桥大学数学教授，著名代数学家，发表论文数仅次于Erdos ,Euler, Cauchy. 著名成果是1854年定义了抽象群，并且得到著名定理：任意一个群都和一个变换群同构。同时，他也是一名出色的律师，作律师14年期间，发表200多篇数学论文，著名定理也是在该期间发表的。
*
B1
c
d
e
B2
c
d
g
h
B3
a
b
c
d
f
g
B4
e
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h
B5
a
b
e
f
g
*
B6
a
b
f
h
B2
a
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c
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f
g
B7
a
b
c
e
g
h
B2
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B2
d
e
f
h
*
作业
P43 习题2 ： 12, 14, 15
如果Am的列对应的边作成G的一棵生成树，因树是连通的，所以，它对应的基本关联矩阵Am非奇异。
该定理给出了求连通图G的所有生成树的方法：
(1) 写出G的关联矩阵，进一步写出基本关联矩阵，记住参考点；
*
(2) 找出基本关联矩阵的非奇异主子阵，对每个这样的主子阵，画出相应的生成树。
利用破圈法，显然也可以求出任意图的一个生成森林。
*
推论 若G是(n,ຫໍສະໝຸດ m)连通图，则m≧n-1连通图G的生成树一般不唯一！
(二)、生成树的计数
1、凯莱递推计数法
凯莱(Cayley 1821—1895): 剑桥大学数学教授，著名代数学家，发表论文数仅次于Erdos ,Euler, Cauchy. 著名成果是1854年定义了抽象群，并且得到著名定理：任意一个群都和一个变换群同构。同时，他也是一名出色的律师，作律师14年期间，发表200多篇数学论文，著名定理也是在该期间发表的。
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作业
P43 习题2 ： 12, 14, 15
(图论)图的基本概念--第一章
将有向图各有向边均改成无向边后的无向图称为原来图 的基图。
易知标定图与非标定图是可以相互转化的; 任何无向图G 的各边均加上箭头就可以得到以G为基图的有向图。
关联与关联次数、环、孤立点
设G＝<V,E>为无向图，ek＝(vi,vj)∈E， 称vi,vj为ek的端点，ek与vi或ek与vj是彼此相关联的。 若vi≠vj，则称ek与vi或ek与vj的关联次数为1。 若vi＝vj，则称ek与vi的关联次数为2，并称ek为环。 任意的vl∈V，若vl≠vi且vl≠vj，则称ek与vl的关联次数为0。
对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。 反之，对于给定的非负整数列d＝{d1,d2,…,dn}，若存在V＝
{v1,v2,…,vn}为顶点集的n阶无向图G，使得d(vi)＝di，则称 d是可图化的。 特别地，若所得图是简单图，则称d是可简单图化的。 类似地，设D＝<V,E>为一个n阶有向图，V＝{v1,v2,…,vn}，称 d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为D的度数列，另外称d+(v1)， d+(v2)，…，d+(vn)与d-(v1)，d-(v2)，…，d-(vn)分别为D的 出度列和入度列。
解答：如果有这样的多面体存在，以此多面体的面集合为 顶点集构造一个图G,当且仅当两个面有公共边界线时在相 应的两顶间连一条边， 于是|V(G)|是奇数，而且对每个顶 点v,d(v)是奇数,则所有的顶点的度数之和为奇数， 与握 手定理矛盾。
度数列
设G＝<V,E>为一个n阶无向图，V＝{v1,v2,…,vn}，称d(v1)， d(v2)，…，d(vn)为G的度数列。
对G’利用前面的证明Leabharlann 果：两边消去2t,得到结论。
易知标定图与非标定图是可以相互转化的; 任何无向图G 的各边均加上箭头就可以得到以G为基图的有向图。
关联与关联次数、环、孤立点
设G＝<V,E>为无向图，ek＝(vi,vj)∈E， 称vi,vj为ek的端点，ek与vi或ek与vj是彼此相关联的。 若vi≠vj，则称ek与vi或ek与vj的关联次数为1。 若vi＝vj，则称ek与vi的关联次数为2，并称ek为环。 任意的vl∈V，若vl≠vi且vl≠vj，则称ek与vl的关联次数为0。
对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。 反之，对于给定的非负整数列d＝{d1,d2,…,dn}，若存在V＝
{v1,v2,…,vn}为顶点集的n阶无向图G，使得d(vi)＝di，则称 d是可图化的。 特别地，若所得图是简单图，则称d是可简单图化的。 类似地，设D＝<V,E>为一个n阶有向图，V＝{v1,v2,…,vn}，称 d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为D的度数列，另外称d+(v1)， d+(v2)，…，d+(vn)与d-(v1)，d-(v2)，…，d-(vn)分别为D的 出度列和入度列。
解答：如果有这样的多面体存在，以此多面体的面集合为 顶点集构造一个图G,当且仅当两个面有公共边界线时在相 应的两顶间连一条边， 于是|V(G)|是奇数，而且对每个顶 点v,d(v)是奇数,则所有的顶点的度数之和为奇数， 与握 手定理矛盾。
度数列
设G＝<V,E>为一个n阶无向图，V＝{v1,v2,…,vn}，称d(v1)， d(v2)，…，d(vn)为G的度数列。
对G’利用前面的证明Leabharlann 果：两边消去2t,得到结论。
离散数学-第9章 图
2023/11/27
例9.2.2 分析
分析 由于V中有5个结点，因此要用5个小圆圈 分别表示这5个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个始终点，用从始点指向终点的有向直线或曲 线连接。
ai
j
1 ， 0 ，
若 ( vi,vj ) 否则
E
或
vi,vj
E
i,j 1,2,3, ,n
2023/11/27
例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。
分解析 若首结先点将排图序中为的v16v个2v结3v4点v5排v6，序则， v1 然其邻后接利矩用v1阵定v义2 9.v23.2写v4出其v5邻接v6矩阵。 初按结学vv点时21 0排可1 序先01标在上0矩01结阵1 点的000，行0若与1第01列i1前行01分前别的 v5 结在否则可邻点则vvvv标接到为6543 记矩第00011。A如阵jG列若下0001的前结：第11100的点0111i10000行结排第点序111100111j有为11100列边v11000元00111v相2素11100v连30111为v4，v15则，v6，
2023/11/27
例9.2.5
试写出下图所示图G的所有结点的邻接点、所有边
的邻接边，并指出所有的孤立结点和环。
v3
v4
v5
e4 e5 v2
e6 e1
e2 v6 e7
v1 e3
2023/11/27
例9.2.5 分析
根据定义9.2.4，如果两个结点间有边相连，那 么它们互为邻接点；如果两条边有公共结点，那 么它们互为邻接边。需要注意的是，只要当一个 结点处有环时，它才是自己的邻接点；由于一条 边有两个端点，在计算邻接边时要把这两个端点 都算上，例如e2和e4都是e1的邻接边。所有边都 是自己的邻接边。
例9.2.2 分析
分析 由于V中有5个结点，因此要用5个小圆圈 分别表示这5个结点，点的具体摆放位置可随意 放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示 无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括 号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后 一个始终点，用从始点指向终点的有向直线或曲 线连接。
ai
j
1 ， 0 ，
若 ( vi,vj ) 否则
E
或
vi,vj
E
i,j 1,2,3, ,n
2023/11/27
例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。
分解析 若首结先点将排图序中为的v16v个2v结3v4点v5排v6，序则， v1 然其邻后接利矩用v1阵定v义2 9.v23.2写v4出其v5邻接v6矩阵。 初按结学vv点时21 0排可1 序先01标在上0矩01结阵1 点的000，行0若与1第01列i1前行01分前别的 v5 结在否则可邻点则vvvv标接到为6543 记矩第00011。A如阵jG列若下0001的前结：第11100的点0111i10000行结排第点序111100111j有为11100列边v11000元00111v相2素11100v连30111为v4，v15则，v6，
2023/11/27
例9.2.5
试写出下图所示图G的所有结点的邻接点、所有边
的邻接边，并指出所有的孤立结点和环。
v3
v4
v5
e4 e5 v2
e6 e1
e2 v6 e7
v1 e3
2023/11/27
例9.2.5 分析
根据定义9.2.4，如果两个结点间有边相连，那 么它们互为邻接点；如果两条边有公共结点，那 么它们互为邻接边。需要注意的是，只要当一个 结点处有环时，它才是自己的邻接点；由于一条 边有两个端点，在计算邻接边时要把这两个端点 都算上，例如e2和e4都是e1的邻接边。所有边都 是自己的邻接边。
《图论的介绍》课件
添加副标题
图论的介绍
汇报人：
目录
PART One
添加目录标题
PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据 结构
PART Six
图论的扩展知识
单击添加章节标题
图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
图论的介绍
汇报人：
目录
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PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据 结构
PART Six
图论的扩展知识
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图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
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最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
最新离散数学-图论说课讲解精品课件
图10.1.7 图G以及(yǐjí)其真子图G 1和生成子图G2
第三十二页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
的入度， 记d为 ( v ) ;以v为始点的边数称为结点v 的出 度， 记为 d ( v ) 。结点v的入度与出度之和称为结点v
的度数，记为 d(v)或deg(v)。
第二十四页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
定义: 在无向图中，图中结点(jié diǎn)v所关联 的边数(有环时计算两次)称为结点(jié diǎn)v 的度 数，记为d(v)或deg(v) 。
图 10 .1. 4
第十五页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点(jié diǎn)都邻接的简单图称为 完全图。n 个结点(jiédiǎn)的无向完全图记为Kn。
图10.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。 容易证明Kn有
1.图的定义(dìngyì) 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由一些 点和一些连接两点间的连线所组成。 【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛(bǐsài)。 为了表示４个队之间比赛(bǐsài)的情况， 我们作出图10.1.1 的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之 为结点。如果两队进行过比赛(bǐsài)，则在表示该队的两个 结点之间用一条线连接起来，称之为边。这样利用一个图 形使各队之间的比赛(bǐsài)情况一目了然。
第三页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
如果图 10.1.1中的４个结 点a， b， c， d分别 (fēnbié)表示４个人，当 某两个人互相认识时， 则将其对应点之间用边连 接起来。 这时的图又反 映了这４个人之间的认识 关系。
第三十二页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
的入度， 记d为 ( v ) ;以v为始点的边数称为结点v 的出 度， 记为 d ( v ) 。结点v的入度与出度之和称为结点v
的度数，记为 d(v)或deg(v)。
第二十四页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
定义: 在无向图中，图中结点(jié diǎn)v所关联 的边数(有环时计算两次)称为结点(jié diǎn)v 的度 数，记为d(v)或deg(v) 。
图 10 .1. 4
第十五页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点(jié diǎn)都邻接的简单图称为 完全图。n 个结点(jiédiǎn)的无向完全图记为Kn。
图10.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。 容易证明Kn有
1.图的定义(dìngyì) 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由一些 点和一些连接两点间的连线所组成。 【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛(bǐsài)。 为了表示４个队之间比赛(bǐsài)的情况， 我们作出图10.1.1 的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之 为结点。如果两队进行过比赛(bǐsài)，则在表示该队的两个 结点之间用一条线连接起来，称之为边。这样利用一个图 形使各队之间的比赛(bǐsài)情况一目了然。
第三页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
如果图 10.1.1中的４个结 点a， b， c， d分别 (fēnbié)表示４个人，当 某两个人互相认识时， 则将其对应点之间用边连 接起来。 这时的图又反 映了这４个人之间的认识 关系。
离散数学_第14章_图的基本概念
• 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为 悬挂边。度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)，
△＝4，δ＝1，
v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)， d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3， △+＝4 (在a点达到) δ+＝0(在b点达到) △-＝3(在b点达到) δ-＝1(在a和c点达到)
和为
v
的入度，记做
d
D
(v)
，简记作
d-(v)，称
d+(v)+d-(v)为
v
的度数，
记做 d(v).
图的度数的相关概念
• 在无向图G中，
最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
• 在有向图D中，
最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
二、基本要求 深刻理解图论中的基本概念及其它们之间的相互关系 记住图论中的主要定理并能灵活地应用它们证明相关 定理或命题 熟练掌握图论中所用的证明方法，如直接证明法、归 纳法、反证法、扩大路径法等 应用握手定理及树的性质解无向图、无向树 会求最小生成树、最优树及最佳前缀码 会用临接矩阵求有向图中的通路、回路数
称G为n阶零图，记作Nn，特别地，称N1为平凡图。 • 在图的定义中规定顶点集V为非空集，但在图的运算中可能产
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)，
△＝4，δ＝1，
v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)， d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3， △+＝4 (在a点达到) δ+＝0(在b点达到) △-＝3(在b点达到) δ-＝1(在a和c点达到)
和为
v
的入度，记做
d
D
(v)
，简记作
d-(v)，称
d+(v)+d-(v)为
v
的度数，
记做 d(v).
图的度数的相关概念
• 在无向图G中，
最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
• 在有向图D中，
最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
二、基本要求 深刻理解图论中的基本概念及其它们之间的相互关系 记住图论中的主要定理并能灵活地应用它们证明相关 定理或命题 熟练掌握图论中所用的证明方法，如直接证明法、归 纳法、反证法、扩大路径法等 应用握手定理及树的性质解无向图、无向树 会求最小生成树、最优树及最佳前缀码 会用临接矩阵求有向图中的通路、回路数
称G为n阶零图，记作Nn，特别地，称N1为平凡图。 • 在图的定义中规定顶点集V为非空集，但在图的运算中可能产
图论及其应用—典型图
定理4.3.1：若G是Hamilton图，则对V(G)的每 一个非空真子集S，均有w（G\S）≤|S|(必要条 件)
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
图论-总结PPT课件
q-p+1条弦。 (2) 若G是一个(p,q)连通图，则T至少有多少个圈?(q-p+1) 若G是一个(p,q)连通图，则T有多少个圈? 若G是一个(p,q)连通图，则T至少（多）有多少个生成树？
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
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3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
离散数学-图论及其应用
ᵅ 3是关联同一个结点的一条边,即自回路； 边ᵅ 4和ᵅ 5都与结点ᵆ 2,ᵆ 3关联,
即它们是平行边。
v1
e1
e2
e4 v3
v2 e5
e3
15
图的分类
1.按G的结点个数和边数分为(ᵅ ,ᵅ )图,即ᵅ 个结点,ᵅ 条边的图。特别地 特别地,
☞ (ᵅ ,0)称为零图 ☞ (1,0)图称为平凡图。
【定义】在图G中, ①如果每条边都是有向边,该图称为有向图(DirectedGraph) ②若每条边都是无向边,该图G称为无向图(UndirectedGraph) ③如果有些边是有向边,另一些边是无向边,图G称为混合图
(MixedGraph)
【定义】一个有向图中,如果将每条有向边都改为无向边,便 得到该有向图的底图(UnderlyingUndirectedGraph)或基础图。
第8章 图论及其应用
1 图的基本概念 2 图的连通性 3 图的矩阵表示 4 最短路径与关键路径 5树
1
主要内容
☞ 图的基本概念 ☞ 图的连通性 ☞ 图的矩阵表示 ☞ 最短路径与关键路径 ☞树
2
3
图论的前世今生
☞ 1736年，欧拉（L.Eular）发表了第一篇关于图论的论文，解决了 哥尼斯堡七桥问题，并因此被誉为图论之父。
竞赛图
27
无向完全图Kᵅ
【定理】Kᵅ 的每个顶点的度数都是ᵅ −1.
【定理】无向完全图Kᵅ 共有ᵅ (ᵅ −1)/2条边. 证明:每一顶点都与其余的ᵅ -1个顶点相邻,即每 一顶点的度为ᵅ -1,共有ᵅ 个顶点,则图G的度为ᵅ (ᵅ -1),由握手定理,得边数ᵅ =ᵅ (ᵅ -1)/2.
2.按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和线图。 ☞ 多重图(MultipleGraph): 含有平行边的图；
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