河南省郑州市2016年中考数学一模试卷

2016年河南省郑州市中考数学一模试卷
一．选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2016•洛阳模拟）在：﹣1，0，2，四个数中，最大的数是（）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
2．（3分）（2016•洛阳模拟）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（）
A．B．C．D．
3．（3分）（2012•莱芜）大量事实证明，环境污染治理刻不容缓．据统计，全球每秒钟约有14.2万吨污水排入江河湖海．把14.2万用科学记数法表示为（）
A．1.42×105B．1.42×104C．142×103D．0.142×106
4．（3分）（2016•洛阳模拟）如图，能判定EC∥AB的条件是（）
A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE
5．（3分）（2016•洛阳模拟）下列计算正确的是（）
A．a3÷a2=a B．（﹣2a2）3=8a6C．2a2+a2=3a4D．（a﹣b）2=a2﹣b2
6．（3分）（2016•洛阳模拟）在下列调查中，适宜采用普查方式的是（）
A．了解全国中学生的视力情况
B．了解九（1）班学生鞋子的尺码情况
C．监测一批电灯泡的使用寿命
D．了解郑州电视台《郑州大民生》栏目的收视率
7．（3分）（2015•新疆）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）D．（1，2）
8．（3分）（2016•洛阳模拟）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（）秒时．△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
二．填空题（每小题3分，共21分）
9．（3分）（2012•岳阳）计算：|﹣2|= ．
10．（3分）（2016•洛阳模拟）已知a、b、c、d是成比例线段，即=，其中a=3cm，b=2c
m，c=6cm，则线段d= ．
11．（3分）（2016•洛阳模拟）有大小、形状、颜色完全相同的3个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3中的一个，将这3个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是．
12．（3分）（2015•黔西南州）如图，点A是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k= ．
13．（3分）（2014•烟台）如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是．
14．（3分）（2016•洛阳模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A= °．
15．（3分）（2016•洛阳模拟）如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）（2016•洛阳模拟）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x是方
程x2+2x=0的解．
17．（9分）（2016•洛阳模拟）如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥B D，垂足分别为E、F
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；
（2）求证：BE=CF．
18．（9分）（2016•洛阳模拟）为了了解学生关注热点新闻的情况，郑州“上合会议”期间，小明对班级同学一周内收看“上合会议”新闻次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列问题：
（1）该班级女生人数是人，女生收看“上合会议”新闻次数的中位数是
次，平均数是次；
（2）对于某个性别群体，我们把一周内收看热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“上合会议”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
（3）为进一步分析该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的特点，小明相比较该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的离散程度，那么小明要关注的统计量是．
19．（9分）（2016•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
20．（9分）（2016•洛阳模拟）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中M E是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A 、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，测得∠CMN=30°，∠CNM =45°，求点C到公路ME的距离．
21．（10分）（2015•抚顺）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
…50 60 70 80 …
售价x（元/千
克）
…100 90 80 70 …
销售量y（千
克）
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为
多少元？
22．（10分）（2016•洛阳模拟）（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD
与DE的数量关系：；
（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请
直接写出△ABC与△ADE的面积之比．
23．（11分）（2016•洛阳模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，
动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点
时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上存在一点N，使得PQ的中点恰为
MN的中点，请直接写出N点的坐标．
2016年河南省郑州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2016•洛阳模拟）在：﹣1，0，2，四个数中，最大的数是（）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
【考点】实数大小比较．
【专题】推理填空题；实数．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大
的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜＜2，
∴在：﹣1，0，2，四个数中，最大的数是2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）（2016•洛阳模拟）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它
的左视图是（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．（3分）（2012•莱芜）大量事实证明，环境污染治理刻不容缓．据统计，全球每秒钟约有14.2万吨污水排入江河湖海．把14.2万用科学记数法表示为（）
A．1.42×105B．1.42×104C．142×103D．0.142×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：14.2万=142000=1.42×105．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2016•洛阳模拟）如图，能判定EC∥AB的条件是（）
A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定定理即可直接判断．
【解答】解：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【点评】本题考查了判定两直线平行的方法，正确理解同位角、内错角和同旁内角的定义
是关键．
5．（3分）（2016•洛阳模拟）下列计算正确的是（）A．a3÷a2=a B．（﹣2a2）3=8a6C．2a2+a2=3a4D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，积的乘方等于乘方的积，合并同类项系数相加字母及指数不变，差的平方等于平方和减积的二倍，可得答案．【解答】解：A、同底数幂的除法底数不变指数相减，故A正确；
B、积的乘方等于乘方的积，故B错误；
C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C错误；
D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
6．（3分）（2016•洛阳模拟）在下列调查中，适宜采用普查方式的是（）
A．了解全国中学生的视力情况
B．了解九（1）班学生鞋子的尺码情况
C．监测一批电灯泡的使用寿命
D．了解郑州电视台《郑州大民生》栏目的收视率
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得
到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全国中学生的视力情况，人数众多，适合抽样调查，故此选项错误
；
B、了解九（1）班学生鞋子的尺码情况，人数不多，适于全面调查，故此选项正确；
C、监测一批电灯泡的使用寿命，利用普查具有破坏性，适合抽样调查，故此选项错误；
D、了解郑州电视台《郑州大民生》栏目的收视率，人数众多，意义不大，适合抽样调查
，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查
．
7．（3分）（2015•新疆）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）D．（1，2）
【考点】二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选D．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式
是解题的关键．
8．（3分）（2016•洛阳模拟）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（）秒时．△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
【考点】全等三角形的判定．
【专题】动点型．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16﹣2t=2即可求得．【解答】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△D
CE，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16﹣2t=2，
解得t=7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．
二．填空题（每小题3分，共21分）
9．（3分）（2012•岳阳）计算：|﹣2|= 2 ．
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2．
故答案为：2．
【点评】解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0．
10．（3分）（2016•洛阳模拟）已知a、b、c、d是成比例线段，即=，其中a=3cm，b=2c
m，c=6cm，则线段d= 4cm ．
【考点】比例线段．
【分析】由=，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，可得=，继而可求得答案．
【解答】解：∵=，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，
∴=，
解得：d=4cm．
故答案为：4cm．
【点评】此题考查了比例线段以及比例的性质．注意根据题意构造方程是解题的关键．
11．（3分）（2016•洛阳模拟）有大小、形状、颜色完全相同的3个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3中的一个，将这3个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连
续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出这两个球上的数字之和为偶数的
结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中这两个球上的数字之和为偶数的结果数为2，
所以这两个球上的数字之和为偶数的概率==．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
12．（3分）（2015•黔西南州）如图，点A是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k= ﹣4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由于点A是反比例函数y=上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值即可求出
．
【解答】解：由题意得：S矩形ABOC=|k|=4，又双曲线位于第二、四象限，则k=﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
13．（3分）（2014•烟台）如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等
式kx﹣3＞2x+b的解集是x＜4 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】数形结合．
【分析】把P分别代入函数y=2x+b与函数y=kx﹣3求出k，b的值，再求不等式kx﹣3＞2x+b
的解集．
【解答】解：把P（4，﹣6）代入y=2x+b得，
﹣6=2×4+b
解得，b=﹣14
把P（4，﹣6）代入y=kx﹣3
解得，k=﹣
把b=﹣14，k=﹣代入kx﹣3＞2x+b得，
﹣x﹣3＞2x﹣14
解得，x＜4．
故答案为：x＜4．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，解题的关键是求出k，b的值求解集．
14．（3分）（2016•洛阳模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、
F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A= 40 °．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=180°﹣∠A，根据三角形的外角的性质计算
即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD=180°﹣∠A，
∵∠CBF=∠A+∠E，∠DCB=∠CBF+∠F，
∴180°﹣∠A=∠A+∠E+∠F，即180°﹣∠A=∠A+40°+60°，
解得∠A=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
15．（3分）（2016•洛阳模拟）如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B
′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE ⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=，ED=AE=，从而求得B′D=1，DF=，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．
【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′C
F，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB=5，
∴CE=，
∴EF=，ED=AE=，
∴DF=EF﹣ED=，
∴B′F=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）（2016•洛阳模拟）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x是方
程x2+2x=0的解．
【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先算括号内的减法，再把除法转化为乘法来做，通过分解因式，约分化为最简，
最后把解方程求得的x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=•
=•
=，
解方程x2+2x=0得：x1=﹣2，x2=0，
由题意得：x≠﹣2，所以x=0．
把x=0代入=，原式==﹣1．
【点评】此题考查的是分式的除法和减法的混合运算以及因式分解法解一元二次方程，熟
练掌握运算法则是解题的关键．
17．（9分）（2016•洛阳模拟）如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥B
D，垂足分别为E、F
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；
（2）求证：BE=CF．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，即可得出四
边形ABCD是矩形；
（2）由AAS证明△BOE≌△COF，得出对应边相等即可．
【解答】（1）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AC与BD是圆的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）证明：∵BO=CO，
又∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
在△BOE和△COF中，，
∴△BOE≌△COF（AAS）．
∴BE=CF．
【点评】本题考查了圆周角定理、矩形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．
18．（9分）（2016•洛阳模拟）为了了解学生关注热点新闻的情况，郑州“上合会议”期间，小明对班级同学一周内收看“上合会议”新闻次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列问题：（1）该班级女生人数是20 人，女生收看“上合会议”新闻次数的中位数是 3
次，平均数是 3 次；
（2）对于某个性别群体，我们把一周内收看热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“上合会议”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
（3）为进一步分析该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的特点，小明相比较该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的离散程度，那么小明要关注的统计量是方差．
【考点】方差；条形统计图；加权平均数；极差；标准差．
【分析】（1）将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次
数的平均数．
（2）先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关
注指数”，再列方程解答即可．
（3）比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的离散程度，小明需要关注方差．
【解答】解：（1）20，3，3；
（2）由题意知：该班女生对新闻的“关注指数”为65%，所以，男生对新闻的“关注指数”为
60%．
设该班的男生有x人．
则=60%，
解得：x=25．
经检验x=25是原方程的解．
答：该班级男生有25人；
（3）小明相比较该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的离散程度，那么小明要关注的
统计量是方差．
故答案为20，3，3；方差．
【点评】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
19．（9分）（2016•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数
根．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）要使原方程没有实数根，只需△＜0即可，然后可以得到关于m的不等式，
由此即可求出m的取值范围；
（2）根据（1）中求得的范围，在范围之外确定一个m的值，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵方程没有实数根，
∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4＜0，
∴m＜﹣，
∴当m＜﹣时，原方程没有实数根；
（2）由（1）可知，当m≥﹣时，方程有实数根，
当m=1时，原方程变为x2﹣4x+1=0，
设此时方程的两根分别为x1，x2，
解得x1=2+，x2=2﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系
：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解法．
20．（9分）（2016•洛阳模拟）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中M E是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A 、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求
作、作法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，测得∠CMN=30°，∠CNM
=45°，求点C到公路ME的距离．
【考点】解直角三角形的应用；作图—应用与设计作图．
【分析】（1）运用尺规作图即可得出结果；
（2）作CD⊥MN于点D．由三角函数得出MD=CD，DN==CD，由已知条件得
出CD+CD=2（+1），解得CD=2km即可．
【解答】解：（1）答图如图1所示：
点C即为所求；
（2）作CD⊥MN于点D．如图2所示：
∵在Rt△CMD中，∠CMN=30°，
∴=tan∠CMN，
∴MD===CD，
∵在Rt△CND中，∠CNM=45°，=tan∠CNM，
∴DN==CD，∵MN=2（+1）km，
∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km．
解得：CD=2km．
答：点C到公路ME的距离为2km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、作图﹣设计；熟练掌握基本作图和解直角三角
形是解决问题的关键．
21．（10分）（2015•抚顺）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千
克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）…50 60 70 80 …
销售量y（千克）…100 90 80 70 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为
多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y
与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式
，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x﹣20）
=﹣x2+170x﹣3000
=﹣（x﹣85）2+4225，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225
元．
【点评】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另
外要注意掌握二次函数的最值的求法．
22．（10分）（2016•洛阳模拟）（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD
与DE的数量关系：AD=DE ；
（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请
直接写出△ABC与△ADE的面积之比．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，证出△ADE是等边三角形，得到△
ABC∽△ADE，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ECD=30°，
在△AFD与△EDC中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；
（2）AD=DE；
证明：如图2，过点D作DF∥AC，交AC于点F，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠ADF=∠EDC，
在△AFD≌△DCE中，，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；
（3）解：∵BC=CD，
∴AC=CD，
∵CE平分∠ACD，
∴CE垂直平分AD，
∴AE=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ABC∽△ADE，
在R t△CDO中，，
∴，∴，
∴==．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，相似三角形的判
定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
23．（11分）（2016•洛阳模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点
时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上存在一点N，使得PQ的中点恰为
MN的中点，请直接写出N点的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：①当∠QPB=90°时；②当∠PQB=90°时；根据等腰直角三角形
的性质，求出t的值各是多少即可．
（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后根据PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴
解得，
∴二次函数的表达式是：y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=x2﹣2x﹣3，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
①如图1：
，
当∠QPB=90°时，
∵经过t秒，AP=t，BQ=t，BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t．
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴BQ=BP
∴t=×（4﹣t）
解得t=2．
即当t=2时，△BPQ为直角三角形．
②如图2：
，。