生物统计2章 概率和概率分布.

2.2.1离散型随机变量的概率分布
将随机变量X所取得值x的概率P（X=x） 写成x的函数p(x)，称为随机变量X的概 率函数公式为p(x)=P(X=x)。
• 概率函数应满足：
p(x)0
p(x)=1
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2.2.1 离散型随机变量的概率分布（续）
• 将X的一切可能值x1，x2，x3……，xn，……， 以及取得这些值的概率P（x1）， P（x2）， …..
– 曲线下面积为等于1；
– 累积分布函数 (u)的值可查表； – 累积分布函数 (u)曲线从-∞到0平稳上升，围
绕点(0,0.5)对称；
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重要特征值：
• u=-1 到 u=1 面积为0.6827 • u=-2 到 u=2 面积为0.9543 • u=-3 到 u=3 面积为0.9973 • u=-1.960 到 u=1.960 面积为
• 频率分布可出现各种类型：两侧对称，不对称， 但对于不同的频率分布均有相应理论分布，即 随机变量变化规律的理想化数学模型。虽然很 难与实际情况完全一致，但近似得非常好，因 此可以用建立在概率分布基础上的统计规律来 解决实际问题。如果我们从总体中取出了一个 很大的样本，可把这个样本的分布近似作为总 体的分布。
2.4.1 二项分布
• 二项分布在生物学中应用很广，其特征如下： – 每次试验只有两个对立结果（A和Ā）； – N次试验是重复，独立的。
• 回放式抽样适合于二项分布；非回放式抽样适 合于超几何分布。
p(x) cnx x (1 )nx 二项分布概率函数
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2.4.1 二项分布（续）
e 2 2 , x , 0
2
累积分布函数：
x
F(x) p(X x) f (z)dz
1
e dz x

(
z) 2 2
2

2
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正态曲线特点
• 正态分布规律是数据分布两头少，中间多，两 侧对称。
• 密度曲线以X=μ直线为对称；

• 对于任意两点a和b(a ＜ b)，下式成立： P（X≤a) + P（a＜X≤b) = P（X≤b) 或P（a＜X≤b) = F（b) -F（a)
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2.2.3概率分布与频率分布的关系
• 通过样本数据得到的频率分布称为统计分布或 经验分布，描述总体的概率分布称为理论分布 或总体分布。
lim f (x)
P(x X x x)
x0
x
• 概率密度的图形y=f(x)称为分布曲线。
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2.2.2连续型随机变量的概率分布（续）
• 分布函数（或称为累积分布函数）是随机 变量X取得小于X0的值的概率
F (x0 ) P( X
xo )
x0 f (x)dx
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2.1.1 概率的统计定义
– 概率的统计定义是在大量的试验中，以频率的稳 定性为基础上提出来的。设k次随机试验，成功事 件A 出现l次，则称l/k是K次随机试验中成功的频 率。频率是由样本数据计算得到的。由于样本分 布的不恒定性，不同的随机试验，事件A的出现频 率也不同，随着K改变，频率也有一定的波动。
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2.2 概率分布
随机变量 • 随机变量就是在随机试验中被测定的量，
所取得的值称为观察值。可分为离散型随 机变量和连续型随机变量。 • 离散型随机变量：可能取得的数值为有限 个或可数无穷个孤立的数值。 • 连续型随机变量：可取某一（有限或无限） 区间内的任何数值。
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• 在研究连续型随机变量时，实际观察值只 能是落在一定的区间内，其概率可以不为0， 当然这种区间可以很小。
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2.2.2连续型随机变量的概率分布（续）
• 随机变量X的值落在区间（x，x+△x）内的 概率为P(x＜X＜x+△x),其中△x为区间长度。 当△x趋于零时，此时区间概率称为密度函 数：
服从二项分布的随机变量的特征数
平均数 n, （用比率表示时）
方差 2 n(1), 2 (1)（用比率表示时）
n
偏斜度
1
1 2 n(1 )
峭度
2

1
n(1 )
6

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2.4.1 二项分布（续）
• 二项分布决定于两个参考数：试验次数 和概率，因此其图形变化趋势与这两个 参数有关
F(x0 ) p(xi ) P(X x0 ) xi x0
指随机变量等于或小于某一可能值（x0)的 概率。
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2.2.2 连续型随机变量的概率分布
• 对于离散型随机变量的任何值，都可以求 出它的概率。而连续型随机变量则不同， 因为试验中可以取某一区间内的任何值， 这些数值构成不可数的无穷集合。任何值 的概率都等于0，这并不是说这种事件不会 出现，只是由于技术上的限制，在测量时 不可能无限提高精确度。

k i 1
(
n
fi
)( 1
xi
x)
k
k
[ ( fd)i ]2
s
( fd2)i
i 1
i 1
n
n 1
总体方差和标准差
2 p(x)( x )2 E[( X )2 ]
x
2 E( X 2 ) [E( X )]2
p(x)(x )2 E[(X )2 ]
– 随试验次数的增大图形分布趋于对称；而且 当概率趋于0.5时分布趋于对称
– 偏斜度和峭度是与试验次数和概率有关。当 相同时，随样本含量的增加，γ1和γ2逐渐 接近于0（正态分布）；或样本含量相同时， 愈接近于0.5， γ1和γ2愈接近于0。
– 表3-1 P37
• 二项式分布应用实例
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2
, u ;(u) P(U u) 1
2
u
e 2 d
2
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标准正态分布有以下特性
– 在u=0时，(u)达到最大值,概率密度值最大； – 当u 远离0时，e 的指数变得愈大，因此(u)的
值愈小；
– 曲线两侧对称，即(u) = (-u) ； – 曲线在u=1 和 u=-1 处有两个拐点；
，p（xn），…..排列起来，构成了离散型随机 变量的概率分布。常用概率分布表或概率分布 图表示。
离散型随机变量的概率分布表
x1
x2
…
xn
…
p(x1)
p(x2)
…
p(xn)
…
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离散型随机变量的概率分布图
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2.2.1 离散型随机变量的概率分布（续）
离散型变量概率的分布函数：离散型变量概 率的累积。其公式为
第二章 概率和概率分布
2.1 概率的基本概念 2.2 概率分布 2.3 总体特征数 2.4 几种常见的概率分布律
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第二章 概率和概率分布
2.1 概率的基本概念
– 自然现象：确定性现象和非确定性现象 （随机现象）
– 从随机现象中做大量的研究，能从其偶然 性中揭示内在的规律
– 统计学所研究的是非确定性现象，
所谓X或X的函数的数学期望，即它们的理论
平均数。样本平均数：
k
x
( fx)i
i 1
n

k i 1
(
fi n
) xi
随着n的充分增加，平均数稳定于总体平均数
E(x) p(x)x
x
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2.3.1 随机变量的数学期望和方差（续）
频数资料的样本方差和标准差
s 2
f (x)dx
1
u2
e 2 du
1
u2
e 2 du
2
2
f (u)
1
u2
e2
2
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正态分布表的查法（续）
• 例3.10 ：已知高粱品种“三尺三”株高服
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正态分布表（附表2）的查法（续） 对于一般正态分布，要先将进行标准化：
u

x


再查标准正态分布表也很容易得到。

令 u x
代入概率 密度函数
f (x)
1
u2
e2
2
f (x)
1
e
(
x)2 2 2
2
因为 所以
x u
dx du
≤1 – 必然事件W的概率为1，即P（W）
=1 – 不可能事件（V）的概率为0，即P
（V）=0
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2.1.2 概率的古典定义
– 概率的统计定义是在大量的试验中，以频 率的稳定性为基础上提出来的。不需要做 试验就可以确定事件出现的概率，称为古 典概率，具有以下特点： • 随机试验的全部可能结果（基本事件数） 是有限的； • 各基本事件间是互不相容且等可能的。 • 缺点：要求各基本事件是等概率且有限 的。
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2.3 总体特征数
• 样本特征数是描述频率分布特征的：统 计量
• 总体特征数是描述概率分布特征的：参 数
• 总体特征数包括随机变量的数学期望 （理论平均数），方差和各阶矩，可以 用类似求样本特征数方法求得。
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2.3.1 随机变量的数学期望和方差
• 总体特征数：描述概率分布特征的数字，包括 数学期望、方差和各阶矩。
• σ 固定时，μ值决定曲线的位置， 当μ增大时曲线向右平移， 当μ减少时曲线向左平移，但曲线形状不 变。2019/5/22
标准正态分布
μ=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布
N(0,1) 。其密度函数和累积分布函数分别为：
(u)
1
u2
e 2 , u ;(u) P(U
2.4.2 正态分布
在生物统计学中，正态分布占有极其重 要的地位。许多生物学现象所产生的数 据，都服从正态分布。 • 正态分布密度函数的图像称为正态曲线 – 正态分布密度函数的图像，称为正态
曲线。
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正 态 曲 线
平均数为μ，标准差为
的正态分布，其密度函数： f (x)
1
( x )2
– 随着K的增大，频率l/k将围绕着某一确定的常数P 做平均幅度愈来愈小的变动，这就是所谓频率的 稳定性，其中P即为事件A的概率。简单的说概率 就是频率的稳定值。在试验次数较多时，可以用 频率作为概率的近似值。
– (P23 表2-1)
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2.1.1 概率的统计定义（续）
概率是事件在试验结果中出现可能性大 小的定量计算，是事件固有的属性，有 以下明显的性质： – 任何事件A的概率均满足：0≤P（A）
x
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2.3.1 随机变量的数学期望和方差（续）
• X或X的函数的数学期 望可用通式表示
E[g( X )] p(x)g(x)
x
随机变量的数学期望就是这个随机变量的所有 可能值，以其相应概率为权的加权平均数。
k
p(x1)x1 p(x2)x2 ... p(xk)xk p(x1) p(x2) ... p(xk)
• X=- 和 X=+ 所确定的点为曲线的两个
“拐点”；
• 曲线向左、向右无限延伸，以x轴为渐近线；x
越趋向于μ, f(x)的取值越大；
1
• X=μ 时，f(x)具有最大值，其值为： 2
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正态曲线特点（续）
• σ的大小，决定曲线的“胖”、“瘦”程 度， σ越小，曲线越“瘦”，数据越集中， σ越大，曲线越“胖”，数据越分散。

i 1 k
p( xi ) xi p( xi )

k i 1
p( xi ) xi
i 1
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2.3.1 随机变量的数学期望和方差（续）
• 连续型随机变量的 数学期望定义为 • 连续型随机变量方差定义为
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2.3.2 数学期望和方差的运算
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2.4 几种常见的概率分布律
0.9500
• u=-2.576 到 u=2.576 面积为
0.9900
– 正态分布的偏斜度和峭度都为0。
2019/5/22源自文库
正态分布表
正态分布表常用的几个关系式
P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5 P(u≥u1) =Φ(-u1)
P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1) P(｜u｜＜u1)＝＝1-2Φ(-u1) P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
正态分布表（附表2）的查法
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正态分布表（附表2）的查法
• 对于标准正态分布，其累积分布函数值可 直接查表（附表2）得到；
• 例 查u=-0.82及u=1.15时的Φ(u)的值。 • u=-0.82时， Φ(u)＝0.20611 • u=1.15时， Φ(u)＝0.87493 • 在分布曲线上画出Φ(u)所代表的面积。