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第九讲绝对值与一元一次方程

绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题， 我们把

绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程.

解绝对值方程的基本方法有： 一是设法去掉绝对值符号. 将绝对值方程转化为常见的方 程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解•前者是通法，后者是技巧.

解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义， 去绝对值的符号法则，非负数的性质、

绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.

例题

【例1】方程5x 6 6x 5的解是 ____________

（重庆市竞赛题）

思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解.

A • 5

B • 4

C •

3 D . 2

（“希望杯；邀请赛试题）

思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐， 仔细观察数据特征, 解题途径.

注：形如ax b ex d 的绝对值方程可变形为 ax b 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验. 【例3】解方程：x 3x 1 4;

思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程.

（天津市竞赛题）

【例4】解下列方程：

（1） x 3 x 1 x 1 （北京市“迎春杯”竞赛题 ）

（2）

x 1 x 5 4 • （ “祖冲之杯”邀请赛试题）

思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨 论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何 意义迅速求解.

【例5】已知关于x 的方程x 2 x 3 a ，研究a 存在的条件，对这个方程的解进 行讨论. 思路点拨 方程解的情况取决于 a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关 系决定了方程解的情况， 因此，探求这种关系是解本例的关键. 运用分类讨它法或借助数轴 是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解.

注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题， 它给我们留有自由 思考的余地和充分展示思维的广阔空间， 我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘 题目提供的各种信息，进行全面研究.

【例2】适合2a 7 2a 1

8的整数a 的值的个数有（

借助数轴也许能找到简捷的 (ex d)且 ex d 0 ,

学力训练

1 •方程3（ X 1）— 1的解是_________ ;方程3x 1

5

2•已知3990X 1995 1995，那么x= ____________ •

3.已知，X X 2，那么19x99+3x+27的值为 _____________ •

4.关于X的方程ax a 1 x的解是x=0 ,则a的值_

的解是x=1，则有理数a的取值范围是 ____________ .

5•使方程3x 2 2 0成立的未知数x的值是（）.

2 —

A • —一2

B • 0

C •

D .不存在

3

6.方程x 5 x 5 0的解的个数为（）•

A .不确定

B .无数个

C • 2个

D • 3个

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

1

7.已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足x — 1

2 2 2

A. 10 或—B . 10 或—C . 10 或— D .

5 5 5

（山东省竞赛题）

& 若2000x 2000 20 2000，则x 等于（）.

A . 20 或一21

B . 一20 或21 C. —19 或21

（重庆市竞赛题）

9.解下列方程：

（1）3x 5 4 8;

⑵ 4x 3 2 3x 4 ；

⑶ x 2x 1 3;

⑷ 2x 1 x 2 x 1 .

10.讨论方程|x 3 2 k的解的情况•

11.方程x 2 1 2的解是_________ 2x 1的解是_______ .

_；关于x的方程a x a 1 x

0，则m的值是（

）

2

10或-

5

12 •若有理数x 满足方程1 X 1 X ，则化简X 1的结果是 __________________ 13.若a 0,b

0 ,则使x a x b a b 成立的x 取值范围是 ___________________

14•若0 x 10，则满足条件 x 3 a 的整数a 的值共有 ______________ 个，它们的和是 15•若m 是方程2000 x 2000 x 的解，则m 2001等于（）.

A . m 一 2001

B .一 m 一 2001

C . m+2001

两个解，则m 、n 、k 的大小关系是（ ）.

m>n>k B . n> k>m C . k>m>n D . m>k>n

17 .适合关系式3x 4 3x 2 6的整数x 的值有（）个.

A . 0

B . 1

C . 2

D .大于2的自然数

18 .方程x 5 3x 7 1的解有（）.

A . 1个

B . 2个

C .

3个 D .无数个

19 .设a 、b 为有理数，且 a 0,方程|x a b

3有三个不相等的解，求 b 的值.

（“华杯赛”邀请赛试题）

20 .当a 满足什么条件时，关于 x 的方程x 2 x 5 a 有一解？有无数多个解？无解?

21 .已知x 2

1 x 9 y 5 1 y ，求x+y 的最大值与最小值.

（江苏省竞赛题）

22 . （1）数轴上两点表示的有理数是 a 、b ,求这两点之间的距离；

⑵是否存在有理数x ，使x 1 x 3 x ?

⑶是否存在整数x ,使x 4 x 3 x 3 x 4

14?如果存在，求出所有的整数 x ；

如果不存在，说明理由.

参考答案

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D .一 m+2001

16.若关于x 的方程2x 3 m 0无解，3x 4 n 0只有一个解, 4x 5