因式分解与分式C
中考数学复习第五节 因式分解与分式
第五节因式分解与分式本节知识导图河北中考命题规律考什么怎么考考点年份题号题型考查方式考频命题趋势因式分解2019 13 选择题分式化简与求值，涉及完全平方公式5年4考因式分解常与分式化简结合考查，多为选择题，2019年首次分式化简及求值与数轴相结合，形式新颖，预计2020年仍会考查2018 14 选择题分式化简，涉及提公因式2016 4 选择题分式化简，涉及平方差公式、完全平方公式2015 18 填空题分式化简与求值，涉及平方差公式和提公因式分式的运算2019 13 选择题分式化简，判断结果在数轴上的位5年4考2018 14 选择题四名同学接力完成分式化简2017 13 选择题两项分式减法2016 4 选择题两项的分式减法、乘法、除法运算2015 18 填空题涉及平方差公式和提公因式，化简并求值5年1考河北中考考题试做因式分解1．(2013·河北中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)A．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)分式化简及求值2．(2019·河北中考)如图，若x为正整数，则表示（x＋2）2x2＋4x＋4－1x＋1的值的点落在(B)A．段①B．段②C．段③D．段④3．(2018·河北中考)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是(D ) A ．只有乙 B ．甲和丁 C ．乙和丙 D ．乙和丁4．(2016·河北中考)下列运算结果为x －1的是( B ) A ．1－1x B .x 2－1x ·x x ＋1C .x ＋1x ÷1x －1D .x 2＋2x ＋1x ＋15．(2017·河北中考)若3－2x x －1＝( )＋1x －1，则( )中的数是(B )A ．－1B ．－2C ．－3D ．任意实数6．(2015·河北中考)若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab 的值为__32__.中考考点清单因式分解及其基本方法1．因式分解：把一个多项式分解成几个__整式乘积__的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解与整式乘法的关系多项式因式分解整式乘法整式的积．3．提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝__m(a ＋b ＋c)__．【方法点拨】公因式的确定：(1)系数：取各项系数的最大公约数；(2)字母：取各项相同的字母；(3)指数：取各项相同字母的最低次数．4．运用公式法(1)平方差公式：a 2－b 2＝__(a ＋b)(a －b)__． (2)完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝__(a±b)2__．【方法点拨】因式分解的一般步骤例如，分解因式：3x －6＝3(x －2)，a 3－4a ＝a(a ＋2)(a －2)，4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2.分式的有关概念5．分式：一般地，我们把形如__AB__的代数式叫做分式，其中，A ，B 都是整式，且B 含有字母．A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．6．与分式有关的“五个条件” (1)分式AB 没有意义时，B__＝0__；(2)分式AB有意义时，B__≠0__；(3)分式AB的值为零时，A__＝0__且B__≠0__；(4)分式AB 的值为正时，A ，B__同号__，即⎩⎪⎨⎪⎧A>0，B ＞ 0或⎩⎪⎨⎪⎧A<0，B ＜ 0；(5)分式AB 的值为负时，A ，B__异号__，即⎩⎪⎨⎪⎧A>0，B ＜ 0或⎩⎪⎨⎪⎧A<0，B ＞ 0.7．最简分式：分子和分母没有__公因式__的分式．分式的基本性质及运用8．分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为AB＝A ×MB ×M ，A B ＝A÷MB÷M .其中，M 是不等于0的整式．9．约分与通分(1)约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式．【方法点拨】确定最大公因式的方法 (1)分子、分母能因式分解的先因式分解；(2)取分子、分母中相同因式的最低次幂(数字因式取最大公约数)．(2)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式的值相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．【方法点拨】确定最简公分母的方法(1)先观察各分母，能因式分解的先因式分解；(2)取各分母公有因式的最高次幂(数字因式取最小倍数)；(3)对于只在一个分母中含有的因式，则连同它的指数作为最简公分母的因式．分式运算10．分式的加减运算法则：同分母的两个分式相加(减)，分母不变，把分子相加(减)；异分母的两个分式相加(减)，先通分，化为同分母的分式，再相加(减)，即A B ±C B ＝A±C B ；A B ＋D C ＝AC ＋BD BC. 11．分式的乘除运算法则：分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，即A B ·C D ＝A·C B·D ；A B ÷C D ＝A B ·D C ＝A·D B·C. 12．分式乘方的运算法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方，即⎝⎛⎭⎫A B n＝A nB n (n 为整数)．13．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算__括号里面的__．分式运算的结果要化成整式或最简分式．【方法点拨】分式化简求值的一般步骤：(1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；(2)若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，简称：除法变乘法；(3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算；(4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；(5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式的分母不为0)．例如，化简：x ＋1x －1x ＝1，(a －1)÷(1a －1)·a ＝－a 2，1x ＋1＋2x 2－1＝1x －1.典题精讲精练因式分解【例1】(2019·哈尔滨中考)把多项式a 3－6a 2b ＋9ab 2分解因式的结果是a(a －3b)2. 【解析】本题考查因式分解，涉及提公因式和完全平方公式． a 3－6a 2b ＋9ab 2＝a(a 2－6ab ＋9b 2)＝a(a －3b)2.【方法点拨】有公因式的先提公因式，然后再考虑套公式，最后注意要分解到不能再分解为止．1．(2019·贺州中考)把多项式4a 2－1分解因式，结果正确的是(B ) A ．(4a ＋1)(4a －1) B ．(2a ＋1)(2a －1) C ．(2a －1)2 D ．(2a ＋1)22．(2019·绥化中考)下列因式分解正确的是(D )A ．x 2－x ＝x(x ＋1)B ．a 2－3a －4＝(a ＋4)(a －1)C ．a 2＋2ab －b 2＝(a －b)2D ．x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y)分式的概念及其基本性质【例2】下列分式的变形中不一定成立的是(C ) A .y x ＝xy x 2 B .y x ＝πy πxC .y x ＝y （x －y ）x （x －y ）D .y x ＝y （y 2＋1）x （y 2＋1）【解析】A 选项从左边变化到右边是将分子、分母同乘x ，依题意知x ≠0，故A 选项成立；B 选项从左边变化到右边是将分子、分母同乘π，又π≠0，故B 选项成立；C 选项从左边变化到右边是将分子、分母同乘(x －y)，(x －y)是否等于0不能确定，故C 选项不一定成立；D 选项从左边变化到右边是将分子、分母同乘(y 2＋1)，且y 2＋1≠0，故D 选项成立．,【例3】(2019·贵港中考)若分式x 2－1x ＋1的值等于0，则x 的值为(D )A ．±1B ．0C ．－1D ．1【解析】分式的值为零时，分子为零且分母不为零需满足x 2－1＝0且x ＋1≠0，故x ＝1.3．若x ，y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是(A ) A .3x 2y B .3x 2y 2 C .3x 22y D .3x 32y2 4．(2019·北京中考)若分式 x －1x的值为0，则x 的值为1.分式化简求值【例4】(2019·广东中考)先化简，再求值： ⎝⎛⎭⎫x x －2－1x －2÷x 2－x x 2－4，其中x ＝ 2.【解析】本题考查分式化简求值．先计算括号内的同分母分式减法，再分解因式，同时将分式的除法改为乘法，分子分母进行约分，将分式化为最简分式，再将字母x 的值代入最简分式，从而求出原式的值．【解答】解：原式＝x －1x －2·（x ＋2）（x －2）x （x －1）＝x ＋2x. 当x ＝2时，原式＝2＋22＝2（2＋2）2＝1＋ 2.5．(2019·河南中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －2－1÷x 2－2x x 2－4x ＋4，其中x ＝ 3.解：原式＝x ＋1－x ＋2x －2÷x （x －2）（x －2）2＝3x －2·x －2x ＝3x .当x ＝3时，原式＝33＝ 3. 请完成限时训练A 本P A 7～A 8，选做B 本P B 7本章复习完毕后，请完成限时训练A 本“阶段测评(一)”。
因式分解与分式
1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x a b x a c xa xm m m m 2213 （2）a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-+--=--+++++a x a b xa c x a x a x a x b x c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987+++⨯==⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x yx y x x y +-++的值。
因式分解与分式
第二部分 代数式与恒等变形部分★五、多项式的因式分解：1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》2、因式分解的方法、步骤和要求：（1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ⋅-m （ ）。
（2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法.*十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。
*分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。
（4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。
《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++.2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ）A.327b aB.227b aC.b a 27D.3328b a2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ）A.-13B.13C.42D.-423.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----4423；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2-+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x xB.)(2n m m m mn m +=++C.)2)(4(822+-=--a a a aD.22)21(21-=+-x x x 5.若A n m n m mn n m ⋅+=+-+)()()(3，则A 是（ ）A.22n m +B.22n mn m +-C.223n mn m +-D.22n mn m ++6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。
利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等．2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），从而使问题得到解决.例如：“已知()2252x a x bx c -=-⋅++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．3. 格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：()22a x bx c -⋅++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：2105a b c -=⎧⎪=⎨⎪=-⎩(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.∴105a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩二、应用举例类型一 利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除.（1）求a ，b（2）分解因式：432237x x ax x b -+++【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---【解析】试题分析：（1）由条件可知22x x +-是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，可解出m 、n ，最后代入即可求出a 、b 的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：（1）∵多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除∴设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，整理，得()()()43243223724222m x x ax x b x x m n x n m x n -+++=+++-+--+ ∴234272m m n a n m b n+=-⎧⎪+-=⎪⎨-=⎪⎪=-⎩ 解得53126m n a b =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ ∴a 、b 的值分别为126-和.（2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：22253352x xy y x y +--+- 【答案】222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）【解析】试题分析： 方法一 因为2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），因此,如果多项式能分解成两个关于x 、y 的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是23x y m x y n +（-+）（+）,其中m 、n 为待定系数. 然后展开，利用多项式的恒等，求出m 、n 的值.试题解析：解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=-+++（）（）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） 对比系数，得：23352m n m n mn +=- -= =- ⎧⎪⎨⎪⎩①②③由①、②解得：12m n =⎧⎨=-⎩代入③式也成立. ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）试题分析：方法二 前面同思路1，因为()()()()222533522323x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+是恒等式，所以对任意,x y 的值，等式都成立，所以给,x y 取特殊值，即可求出,m n 的值.试题解析： 解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=+（－＋）（＋）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） ∵该式是恒等式，∴它对所有使式子有意义的x ，y 都成立，那么令002x y mn ===-，得： ①令01330x y m n mn ==-+-=，得：② 解①、②组成的方程组，得12m n ==-⎧⎨⎩或-323m n ==⎧⎪⎨⎪⎩把它们分别代入恒等式检验，得12m n ==-⎧⎨⎩ ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二 利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】 将分式21(1)(1)x x ++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 【解析】试题分析： 设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 、c 的值即可. 试题解析： 解：设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++ 而222()()11(1)(1)ax b c a c x a b x b c x x x x +++++++=++++ 即2221()()(1)(1)(1)(1)a c x ab x bc x x x x +++++=++++ 比较分子，得001a c a b b c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得12a =-， 12b c ==. ∴22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax B +形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难【例题4】计算：()()()()()()()1111...11223910a a a a a a a a +++++++++++【答案】()1010a a + 【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：解：我们设()111A B a a a a =+++ 而()()()11(1)1A a Ba A B a A A B a a a a a a +++++==+++ 比较分子得：01A B A +=⎧⎨=⎩，解得：11A B =⎧⎨=-⎩所以()11111a a a a =-++ 所以，原式=11111111 (11223910)a a a a a a a a -+-+-+-+++++++ 1110a a =-+ ()1010a a =+ 考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式()11111n n n n =-++拆分. 【难度】较难类型三 利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】 已知()()2332x mx x -+-的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ） A. 0 B.23 C. 23- D. 32- 【答案】C【解析】试题分析：将多项式()()2332x mx x -+-展开、合并，按x 的降幂排列，根据积中不含x 的二次项等价于2x 项的系数为零列方程即可求得m 的值.试题解析：解：∵ ()()2322332 339226x mx x x mx x x mx -+-=-+-+-()()32 332926x m x m x =-+++- ∵积中不含x 的二次项，∴320m +=， 解得23m =-. 故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、 实战演练1.若多项式223529x xy y x y n +-+++能被34x y -+整除，则_______n =.【答案】4-【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为34x y -+即可试题解析：解：设原式()()342x y x y m =-+++()()22352+3484x xy y m x m y m =+-++-+ 比较系数，得：341894m m n m +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩①②③由①，②解得1m =-，代入③得4n =-考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商×除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2. 分解因式：4321x x x x ++++【答案】4321x x x x ++++=22(1)(1)x x x x +++ 【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法—待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1，尾项也是1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设4321x x x x ++++=22(1)(1)x mx x nx ++++而22(1)(1)x mx x nx ++++ 4323221x nx x mx mnx mx x nx =++++++++432()(2)()1x m n x mn x m n x =+++++++∴121m n mn +=⎧⎨+=⎩解得1212m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或1212m n ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∴432221(1)(1)x x x x x x x ++++=++ 考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：2223914320a ab b a b +-+-+【答案】()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（） 【解析】试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.先分解()()22239233a ab b a b a b +-=-+，再设原式()()233a b m a b n =-+++，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.试题解析：方法一解：∵()()22239233a ab b a b a b +-=-+ ∴可设原式()()233a b m a b n =-+++∴原式=()()22239233a ab b m n a m n b mn +-+++-+ 即()()222223914320239233a ab b a b a ab b m n a m n b mn +-+-+=+-+++-+ *比较左右两个多项式的系数，得：21433320m n m n mn +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得45m n =⎧⎨=⎩∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）方法二对于方法一中的恒等式（*）因为对a 、b 取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m 、n 的值. 令0020a b mn ===，，得 ①令10214a b m n ==+=，，得 ②令011a b m n ==-=-，，得 ③解②、③组成的方程组，得45m n =⎧⎨=⎩当45m n =⎧⎨=⎩时，①成立 ∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】较难4. 已知()f x 表示关于x 的一个五次多项式，若()()()()()()210102243360f f f f f f -=-=====，，，求()4f 的值.【答案】1800【解析】试题分析：因为()()()()21010f f f f -=-===，所以这个多项式中必有因式()()()211x x x x ++-、、、，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因 式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为()()()()211x x x x ax b ++-+，利用待定系数法求出a 、b 的值最后代入原多项式，即可求出()4f 的值. 试题解析：解：∵()()()()21010f f f f -=-===，∴设()()()() 21()1f x x x x x ax b =++-+由()()2243360f f ==，，可得方程组432(2)245432(3)360a b a b ⨯⨯+= ⎧⎨⨯⨯⨯+=⎩2133a b a b +=⎧ ⎨+=⎩整理得：解得：2-3a b =⎧⎨=⎩∴()()()()2112()3f x x x x x x =++--∴()6543(83)18040f ⨯⨯⨯⨯-==考点：1.解二元一次方程组 2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5.m n 、为何值时，多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除？【答案】11m =-，4n =【解析】试题分析：由于多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除，可设商为2x ax b ++，再利用逆运算，除式×商式=被除式，利用等式的对应相等，可求出,a b .试题解析：解：设原式=()()2221x x x ax b -+++=432322222x ax bx x ax bx x ax b ++---+++=()()()4322212x a x b a x a b x b +-+-++-+ 对比系数，得：2521112a b a m a bn b-=-⎧⎪-+=⎪⎨=-⎪⎪=⎩解得：34114a b m n =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩故11m =-，4n =.考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6.若多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，那么________a b ==.该多项式因式分解为：_______.【答案】【解析】试题分析：因为多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，则说明()5x -和()6x -都是多项式32x ax bx ++的一个因式，故设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+，展开即可求解.试题解析：解：设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+ ()()21130x x x m =-++ ()32301130x mx m x m =++-+对比系数，得：113011300a m b m m =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得:01130m a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故,11,30a b =-=，多项式因式分解为：()()32113056x x x x x x -+=-- 考点：整式除法与因式分解点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A 被B 整除，另外一层意思就是B 是A 的因式7. 分解因式：432435x x x x -+++【答案】()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+【解析】试题分析：本题是关于x 的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =++++ ()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++由恒等性质有：16453a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩，代入64ab +=中，成立.∴()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+说明：若设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =+-+-由待定系数法解题知关于a 与b 的方程无解，故()()43222435125x x x x x x x x -+++==++-+考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8. 在关于x 的二次三项式中，当1x =，其值为0；当3x =-时，其值为0；当2x =时，其值为10，求这个二次三项式.【答案】2246x x +-【解析】试题分析：思路1 先设出关于x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
八年级因式分解分式与分式方程
因式分解、分式复习一、知识梳理知识点一 因式分解1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4．分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —my 与 ny —nxD ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）22222222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____5. 分解因式：（1）()229=n ；()222=a（2）22x y -= ；（3）22259x y -= ； （4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式222222.1(1)(1) ;.14(12)(12).8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()2342x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
分式 因式分解
分式与因式分解在数学领域中，分式和因式分解是两个基础但极其重要的概念。
它们不仅在代数中占据核心地位，而且对于解决各种数学问题具有关键作用。
本文将详细探讨分式的定义、性质以及因式分解的方法和应用。
一、分式的概述分式，顾名思义，是指一个数学表达式被另一个数学表达式除所得的商。
具体来说，分式由分子和分母两部分组成，形如$\frac{a}{b}$，其中$a$是分子，$b$是分母。
需要注意的是，分母不能为0，否则分式无意义。
分式具有多种性质，如基本性质、运算性质等。
基本性质包括分式的值不变性，即分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
运算性质则涉及分式的加减乘除运算，这些运算都需遵循一定的法则和步骤。
二、因式分解的概念与方法因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。
这种方法在解决代数方程、不等式以及函数问题等方面具有广泛应用。
因式分解的核心在于找到多项式中的公因式或利用公式进行分解。
常见的因式分解方法包括提取公因式法、公式法（如平方差公式、完全平方公式等）以及分组分解法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的多项式。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的因式分解方法。
三、分式与因式分解的联系分式和因式分解在代数中紧密相连。
一方面，因式分解可以简化分式，使其更易于计算和理解。
例如，通过因式分解，我们可以将复杂的分式化简为几个简单分式的和或差，从而便于进行后续的运算和分析。
另一方面，分式运算中也经常需要用到因式分解的技巧。
例如，在求解分式方程时，我们通常需要对方程两边进行因式分解，以便消除分母或降低方程的次数。
此外，在分式的加减运算中，通过因式分解可以找到通分母，从而简化运算过程。
四、分式与因式分解的应用分式和因式分解在数学领域具有广泛的应用。
在代数中，它们是解决方程、不等式和函数问题的重要工具。
在几何中，分式和因式分解也被用来描述和解决与形状、面积和体积相关的问题。
此外，在实际生活中，分式和因式分解也发挥着重要作用。
代数式的因式分解与分式化简
代数式的因式分解与分式化简代数式是数学中常见的一类表达式，由数、字母和运算符号组成。
在数学问题中，经常需要对代数式进行因式分解和分式化简，以方便进行运算和推导。
本文将介绍代数式的因式分解和分式化简的方法和步骤。
一、代数式的因式分解因式分解是指将一个代数式表示为几个乘积的乘积形式，其中每个乘积因子称为因式。
因式分解的目的在于将复杂的代数式拆解为简单的成分，以便进行进一步的计算和推导。
1.1 一元二次三项式的因式分解一元二次三项式的一般形式为ax²+bx+c，其中a、b、c 为已知实数，且a≠0。
对于此类代数式，我们可以通过配方法进行因式分解。
步骤如下：1. 将三项式中的第一项和最后一项相乘，得到 ac。
2. 找出两个因数 m 和 n，使得它们的和等于第二项的系数 b，且乘积等于 ac。
3. 将第二项拆分为 mx 和 nx（注意要保持等式成立）。
4. 通过提取公因式的方式进行因式分解。
例如：ax²+bx+c =a(x+m)(x+n)。
1.2 多项式的因式分解对于多项式的因式分解，一般需要使用更复杂的方法，如提取公因式、分组分解、平方法、差二次平方和公式等。
例如，对于代数式 x³+3x²-4x-12，我们可以通过以下步骤进行因式分解：1. 尝试提取公因式，如果存在公因式，则进行提取。
例如，x³+3x²-4x-12 = x²(x+3)-4(x+3) = (x+3)(x²-4)。
2. 继续对括号中的二次式进行因式分解，如公式 a²-b² = (a+b)(a-b)。
例如，x²-4 = (x+2)(x-2)。
3. 将分解得到的因式整合，得到最终的因式分解形式。
例如，x³+3x²-4x-12 = (x+3)(x+2)(x-2)。
二、代数式的分式化简分式化简是指将一个复杂的分式表示为简单分式和整式的和的形式，以便进行运算和推导。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及办法大全待定系数法(因式分化)待定系数法是数学中的一种重要的解题办法,应用很普遍,这里介绍它在因式分化中的应用．在因式分化时,一些多项式经由剖析,可以断定它能分化成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未肯定,这时可以用一些字母来暗示待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积,依据多项式恒等的性质,双方对应项系数应当相等,或取多项式华夏有字母的几个特别值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分化的办法叫作待定系数法．经常应用的因式分化公式：例1 分化因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．剖析因为(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分化因式,那么它的两个一次项必定是x+2y+m和x+y+n的情势,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比较双方对应项的系数,则有解之得m=3,n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．解释本题也可用双十字相乘法,请同窗们本身解一下．例2 分化因式：x4-2x3-27x2-44x+7．剖析本题所给的是一元整系数多项式,依据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经磨练,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式．假如原式能分化,只能分化为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的情势．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先斟酌b=1,d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．解释因为因式分化的独一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以斟酌．本题假如b=1,d=7代入方程组后,无法肯定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止．本题没有一次因式,因而无法应用求根法分化因式．但应用待定系数法,使我们找到了二次因式．由此可见,待定系数法在因式分化中也有效武之地．求根法(因式分化)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…, 当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0;f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a．依据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的症结是求多项式f(x)的根．对于随意率性多项式f(x),请求出它的根是没有一般办法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经经常应用下面的定理来剖断它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数．特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们依据上述定理,用求多项式的根来肯定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分化．例2 分化因式：x3-4x2+6x-4．剖析这是一个整系数一元多项式,原式如有整数根,必是-4的约数,逐个磨练-4的约数：±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以依据定理1,原式必有因式x-2．解法1 用分组分化法,使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．解释在上述解法中,特别要留意的是多项式的有理根必定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不必定是多项式的根．是以,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分化因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．剖析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,为：所以,原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)解释若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,如许可以简化分化进程．总之,对一元高次多项式f(x),假如能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分化为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,如许,我们就可以持续对g(x)进行分化了．双十字相乘法(因式分化)分化二次三项式时,我们经常应用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分化因式．例如,分化因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂分列,并把y当作常数,于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分化二次三项式时,我们经常应用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分化因式．例如,分化因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂分列,并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分化为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再应用十字相乘法对关于x的二次三项式分化所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分化的进程,实行了两次十字相乘法．假如把这两个步调中的十字相乘图归并在一路,可得到下图：它暗示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分化的步调是：(1)用十字相乘法分化ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);(2)把常数项f分化成两个因式填在第三列上,请求第二.第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一.第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分化因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;(2)x2-y2+5x+3y+4;(3)xy+y2+x-y-2;(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数算作0来分化．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．解释 (4)中有三个字母,解法仍与前面的相似．笔算开平方对于一个数的开方,可以不必盘算机,也不必查表,直接笔算出来,下面经由过程一个例子来解释若何笔算开平方,对于其它数只需模拟即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数,从小数点地位向阁下每隔两位用逗号,分段,如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方不超出第一段数字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为12=1<3,而(1+1)2=4>3.第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,构成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商,使(20×初商+试商)×试商不超出第一余数,而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步,把第一余数减去(20×初商+试商)×试商,并移下第三段数字,构成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法持续做下去,直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告停止.若余数永久不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步,定小数点地位,平方根小数点地位应与被开方数的小数点地位对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数(n为大于1的天然数).作为代数式,指数实数规模内,负数不克不及开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值雷同,符号相反.【算术根】正数零.【基赋性质】由方根的界说,有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积;反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根,即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子.分母同次方根相除,即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都雷同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以归并.进位制的基与数字任一正数一般地,任一正数a可表为正整数当作进位制的基,于是就得到q进数暗示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值,a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分,记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分,记作{a(q)}.经常应用进位制,除10进制外,还有2进制.8进制.16进制等,其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各类进位制的互相转换1 q→10转换实用平日的10进数四则运算规矩2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步调是：(1) 用q去除[a(10)],得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商调换[a(10)]的地位反复(1)和(2)两步,直到商等于零为止.对于分数部分其步调是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分调换{a(10)}的地位,反复(1)和(2)两步,直到乘积变成整数为止,或直到所须要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换平日情形下其步调是：a(p)→a(10)→a(q).假如p,q是统一数s的不合次幂,其步调是：a(p)→a(s)→a(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,因为8=23,16=24,所以s=2,其步调是：起首把8进数的每个数字依据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所稀有字从小数点起(左和右)每四位一组分组,从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字,即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴致：正多边形作图所谓初等几何作图问题,是指应用无刻度的直尺和圆规来作图.若应用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能,或者说欧几里得作图法是可能的,不然称为作图不成能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的正五边形.正六边形.正八边形.正十边形等.而另一些就不克不及作出,例如正七边形.正九边形.正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法.若何断定哪些作图可能,哪些作图不成能呢？直到百余年前,用代数的办法完整地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分须要前提是,这个作图问题中必须求出的未知量可以或许由若干已知量经由有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来很多半学家消耗了很多的精神,妄图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题,即作一个立方体,使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题,即三等分一已知角.化圆为方问题,即作一正方形,使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严厉证清楚明了这三个问题不克不及用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分亲密．很多代数式是先化简再求值,特别是有附加前提的代数式求值问题,往往须要应用乘法公式.绝对值与算术根的性质.分式的基赋性质.通分.求值中的办法技能主如果代数式恒等变形的技能.技能和办法．下面联合例题一一介绍．1．应用因式分化办法求值因式分化是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采取．剖析 x的值是经由过程一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形,看一看可否应用已知前提．解已知前提可变形为3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．解释在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能防止解方程(或方程组),而要将所请求值的代数式恰当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答．例2 已知a,b,c为实数,且知足下式：a2+b2+c2=1,①求a+b+c的值．解将②式因式分化变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0,则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0,1,-1．解释本题也可以用如下办法对②式变形：即前一解法是加一项,再减去一项;这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的情势．2．应用乘法公式求值例3 已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值．解因为x+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,所以求x2+6xy+y2的值．剖析将x,y的值直接代入盘算较繁,不雅察发明,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很轻易盘算出x+y与xy的值,由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值假如代数式字母较多,式子较繁,为了使求值轻便,有时可增设一些参数(也叫帮助未知数),以便沟通数目关系,这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子,用别的的一个字母来调换,这叫换元法．剖析本题的已知前提是以连比情势消失,可引入参数k,用它暗示连比的比值,以便把它们朋分成几个等式．x＝(a-b)k,y＝(b-c)k,z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1,①由②有把①双方平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1,所以u2+v2+w2=1,即双方平方有所以4．应用非负数的性质求值若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这共性质在代数式求值中经常被应用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4,求y x的值．剖析与解x,y的值均未知,而标题却只给了一个方程,似乎无法求值,但细心发掘题中的隐含前提可知,可以应用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0,即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x,y知足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0, 个中m,n暗示非零已知数,求x,y的值．剖析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经由配方之后,看是否能化成非负数和为零的情势．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．应用分式.根式的性质求值分式与根式的化简求值问题,内容相当丰硕,是以设有专门讲座介绍,这里只分离举一个例子略做解释．例10 已知xyzt=1,求下面代数式的值：剖析直接通分是蠢笨的解法,可以应用前提将某些项的情势变一变．解依据分式的基赋性质,分子.分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变．应用已知前提,可将前三个分式的分母变成与第四个雷同．同理剖析盘算时应留意不雅察式子的特色,若先分母有理化,盘算反而庞杂．因为如许一来,原式的对称性就被损坏了．这里所言的对称性是分应用这种对称性,或称之为整洁性,来简化我们的盘算．同样(但请留意算术根！)将①,②代入原式有演习六2．已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13·x10的值．。
因式分解、分式易错点解析
因式分解、分式易错点解析
1、因式分解
因式分解是指将一个多项式拆分成有限项的乘积，其中每一项都是质
因数的乘积。
例如，把ax2+bx+c分解成a(x2+x)+b(x+c)，质因数中只
包括a、b、x、c，他们全部是一种质数。
要进行因式分解，可以通过求出多项式所有质因数，然后根据因数的
加减乘除法把同类的项拆分成有限的几种被乘数的乘积，其中最常见
的乘法有两种：指数型（a、x和x^2）和常数型（b和c）。
2、分式易错点解析
1、当分子和分母都是多项式的时候，要注记出每一项的质因数，如果
质因数有重复，则移除重复的质因数，这样可以避免出错。
2、当分数中包含平方根时，要先判断平方根是否能被expression平方，也就是把平方根部分拆出来。
3、要正确处理分数中包含的次方项，特别要注意只有相同质因数的两
项的次方相加之后的情况，这样才能正确地将分数重新分解成有限个
分母或分子的乘积形式。
4、如果分子分母中都有常数项，只要注意不是一样的常数项，就可以
进行一项乘以另一项的形式进行相乘，以此分解式子。
5、在计算分子分母中的乘积之后，要仔细检查分子分母中是否还有重
复的项，如果有，则需要移除重复的项，这样可以有效避免约分出错。
因式分解和分式
龙文教育学科教师辅导讲义课 题因式分解，分式教学内容专题一、因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。
例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．1)1)(1(2-=-+x x xB ．))(())((m n a b n m b a --=--C ．)1)(1(1--=+--b a b a abD ．)32(322mm m m m --=-- 二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑：①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。
例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）A ．)5(522x x y y xy y x +=-+B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+--C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a xD ．)12(2422232--=--b b ab ab ab ab 例02．把y x y x y x 3234268-+-分解因式的结果为 。
例03．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x例04．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x例05．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
分式方法怎么分解因式
分式方法怎么分解因式
因式分解，又称有理式分解，是在数学方面运用的一种重要方法，它是把一个复杂的有理式分解为两个或多个更简单的有理式的过程。
说的通俗一点就是把一个多项式分解成若干个因子的乘积，将复杂的函数分解成完全平方式的过程。
因式分解的基本技巧是：
1.选择那些同乘系数有关的因子来分解一个有理式，如6x^2+18x+21=（3x+7)(2x+3)；
2.你应该让分子和分母都分解成那些公因数的乘积，如：5x^3-25x^2=5x(x)^2(1-5)；
3.注意乘积为0的组合，像有系数是-1时，有数是系数加1，如：-2x^2+2 = -2x(x+1)；
4.如果有方程不能用上述的技巧来分解，那么你可以使用“假设法”，假设一个未知的数，比如假设 a 为一个未知的数，例如：x^2-ax+2a = (x-a)(x-2a)；
5.如果一个是数学函数，例如：y = x^2+2x+1，你便可以分解出常数的影响，使其标准的分解式形式如：y = (x+1)^2.
因式分解的精髓是因式分解后，可以有效地去求解数学上横跨各领域，乃至世界所有其他分支学科中有关数目与关系的问题，比如求极限、求导数和定积分等。
例如：
f(x)=ax^2+bx+c，可以将它分解为 f(x)=(ax+d)(x+e),这样就可以比较容易求解出二次方程的解。
也可以求出多项式无穷大时的极限值。
总而言之，因式分解是一种解决数学复杂问题的有效方法，它的技巧可以帮助我们高效的完成复杂的问题解答。
《整式与因式分解》、《分式》章节-概述说明以及解释
《整式与因式分解》、《分式》章节-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是整篇文章的开头，应该在简单介绍整式与因式分解、分式等概念的基础上，概括地介绍本章节的内容安排和目的。
以下是对概述部分的内容编写建议：在《整式与因式分解》、《分式》章节中，我们将深入探讨与代数相关的两个重要概念：整式与因式分解、分式。
这些概念不仅在数学上具有重要意义，而且在实际问题中具有广泛的应用。
在第一部分，我们首先回顾了整式的定义和特点。
整式是由常数、变量和运算符号（如加减乘除和乘方）组成的代数表达式。
我们将深入理解整式的基本性质，探讨如何进行整式的简化、展开和因式分解，从而帮助我们更好地理解和解决实际问题。
接下来，我们将进入第二部分，即因式分解的概念和方法。
因式分解是将一个多或高次整式拆分成可以约简的乘积形式的过程。
我们将学习并探索常见的因式分解方法，如提公因式法、配方法、分组分解法等，以及它们在实际问题中的应用。
通过因式分解，我们可以更有效地处理复杂的代数表达式，简化计算过程，精确地得出结果。
然后，我们将进一步深入研究分式的定义和性质。
分式是由整式构成的比值，形如a/b，其中a和b分别为整式。
我们将学习如何简化和等价分式，并研究分式的基本运算法则，包括加减乘除、约分等操作。
此外，我们还将探索分式在实际问题中的应用，如分数方程、比例问题等，以培养我们在解决实际问题时的分析思维和解决能力。
最后，我们将在结论部分总结整式与因式分解以及分式的重要性。
整式与因式分解是代数学习的重要基础，对于我们理解高阶代数概念和解决实际问题具有重要意义。
分式，作为整式的扩展，为我们处理更加复杂和抽象的代数问题提供了更灵活的工具和方法。
通过本章的学习，我们将具备扎实的整式与因式分解、分式的理论基础，并能够熟练运用相关概念和方法解决实际问题。
希望读者能够通过阅读本章的内容，深入理解整式与因式分解以及分式的本质，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
因式分解与分式试卷(含答案)
因式分解及分式与分式方程测试题⒈下列约分正确的是( )A 、326x xx = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、214222=y x xy2、下列各式中，不是分式方程的是（ ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x xxx x C D x x x-=-+=-+=--=+-3．若对于3±=x 以外的一切数98332-=--+x xx n x m 均成立,则mn 的值是（ ） （A ）8 （B ）8- （C ）16 （D ）16-A. 3B. 3C. 2 D .-25 （2012山东威海3分）化简22x 1+x 93x--的结果是（ ） A. 1x 3- B. 1x+3 C. 13x - D. 23x+3x 9-6(2013年深圳市)小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他。
已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度。
若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）A.1014401001440=--x x B. 1010014401440++=x xC. 1010014401440+-=x xD. 1014401001440=-+xx7 （2012广西钦州3分）如果把5xx+y的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ） A ．不变 B ．扩大50倍 C ．扩大10倍 D ．缩小到原来的1108、已知0634=--z y x ，072=-+z y x （0≠xyz ），则22222275632zy x z y x ++++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不能确定4.9、已知x 是整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，则所有符合条件的x 的值的和为（ ）A 、12B 、15C 、18D 、2010 （2012湖北武汉3分）一列数a 1，a 2，a 3，…，其中a 1＝ 1 2，a n ＝ 11＋a n －1(n 为不小于2的整数)，则a 4＝（ ）A ． 5 8B ． 8 5C ． 13 8D ． 813选择题11、分式：1x-1 、1x-2的最简公分母为：____________________；12、若04322=--b ab a ，则ba的值是 。
中考数学专项训练：因式分解与分式
中考数学专项训练：因式分解与分式1．(遵义航中一模)函数y ＝23－x中自变量x 的取值范围是( C )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ≠3D ．x ≠－32．(原创)若分式2a 2a ＋b中,a,b 的值同时扩大到原来的10倍,则此分式的值( B )A ．是原来的20倍B ．是原来的10倍C ．是原来的5倍D ．不变3．(常德中考)下列各式由左到右的变形中,属于分解因式的是( C )A ．a(m ＋n)＝am ＋anB ．a 2－b 2－c 2＝(a －b)(a ＋b)－c 2C ．10x 2－5x ＝5x(2x －1)D ．x 2－16＋6x ＝(x ＋4)(x －4)＋6x4．(高密三模)将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(x －2)的是( B )A ．x 2－4B ．x 3－4x 2－12xC ．x 2－2xD ．(x －3)2＋2(x －3)＋15．(海南中考)若分式x 2－1x －1的值为0,则x 的值为( A )A ．－1B ．0C ．1D ．±16．(河北中考)若3－2x x －1＝______＋1x －1,则____中的数是( B )A ．－1B ．－2C ．－3D ．任意实数7．(沈阳一模)把多项式m 2－9m 分解因式,结果正确的是( A )A ．m(m －9)B ．(m ＋3)(m －3)C ．m(m ＋3)(m －3)D ．(m －3)28．(开县一模)当a,b 互为相反数时,代数式a 2＋ab －4的值为( D )A ．4B ．0C ．－3D ．－49．(南平中考模拟)把多项式分解因式,正确的结果是( A )A ．4a 2＋4a ＋1＝(2a ＋1)2B ．a 2－4b 2＝(a －4b)(a ＋b)C ．a 2－2a －1＝(a －1)2D ．(a －b)(a ＋b)＝a 2－b 210．若4x 2－12xy ＋9y 2＝0,则x －yx ＋y的值是( C )A ．－15 B ．－1 C .15 D .15y11．(眉山中考)已知14m 2＋14n 2＝n －m －2,则1m －1n的值等于( C )A ．1B ．0C ．－1D ．－1412．(临沂中考)当a ＝2时,a 2－2a ＋1a 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1的结果是( D )A .32B ．－32C .12D ．－1213．(安徽中考)已知实数a,b,c 满足a ＋b ＝ab ＝c,有下列结论： ①若c≠0,则1a ＋1b ＝1；②若a ＝3,则b ＋c ＝9； ③若a ＝b ＝c,则abc ＝0；④若a,b,c 中只有两个数相等,则a ＋b ＋c ＝8.其中正确的是__①③④__．(把所有正确结论的序号都选上) 14．(黔东南中考)先化简,再求值： ⎝⎛⎭⎪⎫x －1－x －1x ÷x 2－1x 2＋x ,其中x ＝3＋1.解：原式＝x 2－2x ＋1x ·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝（x －1）2x ·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x －1,当x ＝3＋1时,原式＝ 3. 15．(常德中考)先化简,再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋xx 2－1－11－x ÷⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3x x －1－1,其中x ＝2. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＋1x －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3x x －1－x －1x －1 ＝x ＋1x －1÷x 2＋3x －x ＋1x －1 ＝x ＋1x －1÷x 2＋2x ＋1x －1 ＝x ＋1x －1·x －1（x ＋1）2 ＝1x ＋1,当x ＝2时,原式＝12＋1＝13.16．(北京中考)如果a 2＋2a －1＝0,那么代数式⎝⎛⎭⎪⎫a －4a ·a 2a －2的值是( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．317．(西宁中考)下列分解因式正确的是( B )A ．3x 2－6x ＝x(3x －6)B ．－a 2＋b 2＝(b ＋a)(b －a)C ．4x 2－y 2＝(4x ＋y)(4x －y)D ．4x 2－2xy ＋y 2＝(2x －y)218．(绵阳中考)如图所示,将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“”的个数为a 1,第2幅图形中“”的个数为a 2,第3幅图形中“”的个数为a 3,…,以此类推,则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 19的值为( C )A .2021B .6184C .589840 D .43176019．(内江中考)若实数x 满足x 2－2x －1＝0,则2x 3－7x 2＋4x －2 017＝__－2__020__． 20．(孝感中考)如图所示,图①是一个边长为a 的正方形剪去一个边长为1的小正方形,图②是一个边长为(a －1)的正方形,记图①,图②中阴影部分的面积分别为S 1,S 2,则S 1S 2可化简为__a ＋1a －1__．21．(内江中考)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －3＋93－a ÷a ＋3a ＝__a__．22．(西宁中考)化简：2x x ＋1－2x ＋4x 2－1÷x ＋2x 2－2x ＋1,然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．解：原式＝2x x ＋1－2（x ＋2）（x ＋1）（x －1）·（x －1）2x ＋2＝2x x ＋1－2x －2x ＋1＝2x －2x ＋2x ＋1＝2x ＋1, ∵不等式x≤2的非负整数解是0,1,2, ∵(x ＋1)(x －1)≠0,x ＋2≠0, ∴x ≠±1,x ≠－2,∴把x ＝0代入得2x ＋1＝2. 23．(哈尔滨中考)先化简,再求代数式⎝ ⎛2a ＋1－⎭⎪⎫2a －3a 2－1÷1a ＋1的值,其中a ＝2sin 60°＋tan 45°.解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋1－2a －3（a ＋1）（a －1）·(a＋1) ＝2（a －1）－2a ＋3（a ＋1）（a －1）·(a＋1)＝2a －2－2a ＋3（a ＋1）（a －1）·(a＋1)＝1（a ＋1）（a －1）·(a＋1)＝1a －1. 当a ＝2sin 60°＋tan 45°＝2×32＋1＝3＋1时, 原式＝13＋1－1＝33.24．(遵义十六中三模)已知a 是方程a 2－2a －3＝0的解,求代数式⎝⎛⎭⎪⎫a a －1－1a ＋1÷1a 2－1的值．解：原式＝a （a ＋1）－a ＋1（a ＋1）（a －1）·(a＋1)(a －1)＝a 2＋1. ∵a 2－2a －3＝0,∴a 1＝3,a 2＝－1(不符合题意,应舍去), ∴当a ＝3时,原式＝32＋1＝10.。
因式分解与分式经典练习
因式分解与分式提高练习一、基本概念1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 3、因式分解的常用方法：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 4、分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式法或十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．5、注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式．6、在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数；二、提公因式法确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂．三、公式法*平方差公式：22()()a b a b a b -=+- *完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++提公因式法【例 1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．（1）22()()x y x y x y +-=- （2）322()x x x x x x +-=+ （3）232(3)2x x x x +-=+- （4）1(1)(1)xy x y x y +++=++【变式练习】下列分解因式正确的是（ ）A ．()221x xy x x x y --=--B ．()22323xy xy y y xy x -+-=---C ．()()()2x x y y x y x y ---=-D ．()2313x x x x --=-- 【例 2】分解因式：（1）ad bd d -+（2）4325286x y z x y -（3）322618m m m -+-【变式练习】（1）23361412abc a b a b --+ （2）32461512a a a -+-【例 3】若2*2a b a ab =+，则2*x y 所表示的代数式分解因式的结果是（ ）．A ．()222x x y +B ．()2x x +C ．()222y y x+ D ．()222x xy -【例 4】若()()()232p q q p q p B ---=-⋅，则B 是（ ）．A ．1p q --B ．q p -C ．1+p q -D ．1+q p -【例 5】分解因式：（1）()()x a y y y a --- （2）()()233x y x y +-+ （3）()()23a b b a ---同步练习【例 6】分解因式：（1）55()()m m n n n m -+-（2）()()()2a ab a b a a b +--+【变式练习】分解因式：（1）(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+- （2）2316()56()m m n n m -+-（3）346()12()m n n m -+- （4）23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-【例 7】利用因式分解计算：（1）2013201422=-____________ （2）263n n x x --=_____________ 【变式练习】分解因式：（1）212146n m n m a b a b ++--（m 、n 为大于1的自然数）（2）()()2121510n na ab ab b a +---（n 为正整数）【例 8】分解因式：（1）22(1)1a b b b b -+-+-（2）322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----【变式练习】已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333a abc b c a b c b c a --+-+++-的值．公式法【例 9】下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A ．xy x -2B ．xy x +2C ．22y x +D ．22y x -【变式练习】下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b -+B ．22x y --C ．22249x y z -D ．4221625m n p -【例 10】因式分解（1）2425x - （2）22916x y - （3）316m m - （4）y y x 92-【例 11】若2230x y -=，且5x y +=-，则y x -的值是____________【例 12】()224x y z --的一个因式是（ ）A ．2x y z --B ．2x y z +-C ．2x y z ++D ．4x y z -+【例 13】分解因式：（1）44a b -（2）2249()16()m n m n +--（3）22()()a b c d a b c d +++--+- （4）34xy xy -（5）22()()a x y b y x -+-【例 14】在多项式①222x xy y +-；②222x y xy --+；③22x xy y ++；④2414x x ++中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【例 15】因式分解244a a -+，正确的是（ ）A ．()241a a -+B ．()22a -C ．()()22a a -+D ．()22a +【例 16】分解因式：（1）2242x x -+=_____________（2）244ax ax a -+=______________（3）2844a a --=______________（4）2292416x xy y -+=_____________【变式练习】因式分解（1）269mx mx m -+ （2）2242mx mx m ++（3）322x x x -+- （4）32269a a b ab -+【例 17】若()()2690x y x y +-++=，则x y +=__________．【变式练习】分解因式：（1）222(1)4(1)4x x +-++ （2）24()520(1)x y x y ++-+-【例 18】分解因式：()()222248416x x x x ++++十字相乘【例 19】分解因式：（1）256x x ++= （2）256x x -+=（3）276x x ++= （4）276=x x -+【变式练习】分解因式：（1）268x x ++ （2）278x x +- （3）212x x +- （4）215+2x x -【例 20】一个长方形的面积为()221m m m +->，其长为2m +，则宽为 ． 【例 21】如果二次三项式215x ax -+在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为． 【变式练习】多项式212x px ++可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是． 【例 22】分解因式：（1）2376a a -- （2）2383x x -- （3）25129x x +- （4）2612x x -+-【变式练习】分解因式：（1）2214425x y xy +- （2）22672x xy y -+ （3）22121115x xy y --【例 23】分解因式：（1）2()4()12x y x y +-+-； （2）2(2)8(2)12a b a b ---+（3）257(1)6(1)a a ++-+【例 24】分解因式：（1）2()()x a b c x a b c +++++ （2）2()2a b x ax a b -+++（3）2222()abcx a b c x abc +++分组分解【例 25】因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（ ）A ．()()221484x xy y -+-B ．()221448x y xy --+C ．()()221+84+4xy x y -D ．()22148+4x xy y --【变式练习】把2221x y y ---分解因式结果正确的是（ ）A ．()()11x y x y ++--B ．()()11x y x y +---C ．()()11x y x y +-++D ．()()11x y x y -+++【例 26】分解因式：222x xy y x y -++-的结果是（ ）A ．()()1x y x y --+B ．()()1x y x y ---C ．()()+1x y x y -+D ．()()+1x y x y --【变式练习】分解因式：22(1)12a b b b --+-【例 27】把多项式22ac bc a b -+-分解因式的结果是（ ）A ．()()a b a b c -++B ．()()a b a b c -+-C ．()()a b a b c +--D ．()()a b a b c +-+【变式练习】若1m >-，则多项式321m m m --+的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数分解因式：（1）325153x x x --+ （2）2226923ax a xy xy ay -+-【例 28】分解因式：（1）22abx bxy axy y +-- （2）32x bx ax ab +++ （3）2222ac bd ad bc +--【变式练习】分解因式：（1）32acx bcx adx bd +++ （2）222221x y z x z y z --+ （3）22221a b a b --+【例 29】分解因式：221x ax x ax a +++--【变式练习】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++分式：1．分式的值为0，则x 的值为 （ ）A.x=-3B.x=3C.x=-3或 x=3D.x=3或 x=-12．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是 （ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．5 3．若关于x 的方程有增根，则m 的值与增根x 的值分别是（ ） A.m=-4,x=2 B. m=4,x=2 C.m=-4,x=-2 D.m=4,x=-2 4.若已知分式的值为0，则x－2的值为 ( )A.或－1 B.或1 C.－1 D.1 5．如果分式33--x x 的值为1,则x 的值为 ( )A.x ≥0B.x>3C.x ≥0且x ≠3D. x ≠36、已知432zy x ==，则=+--+z y x z y x 232。
初中数学因式分解与分式知识点梳理
初中数学因式分解与分式知识点梳理因式分解和分式是初中数学中重要的知识点，它们在解题过程中发挥着重要的作用。
因此，掌握因式分解与分式的知识对于学好数学非常重要。
本文将对初中数学中的因式分解和分式进行知识点梳理，帮助大家更好地理解这些概念与应用。
一、因式分解因式分解是指将一个多项式分解成若干个乘积的形式，其中每个乘积因子称为因式。
它在解题过程中经常出现，因此了解常见的因式分解形式是非常有帮助的。
1. 提公因式法提公因式法是一种常见的因式分解方法，它适用于多项式的每一项都含有相同因式的情况。
具体步骤如下：（1）找出多项式中的公因式。
（2）将多项式中的每一项除以公因式，得到新的多项式。
（3）将新的多项式进行合并。
2. 公式法公式法适用于特定的因式分解形式，如平方差、立方差等。
在应用公式法时，我们需要记住相关的公式，以便快速解题。
3. 分解式法分解式法是将一个多项式分解成两个或多个因式相乘的形式。
它要求我们对多项式的结构进行深入理解，寻找多项式的特点以及可能分解的因式。
二、分式分式是数学中的一种表示方法，它由分子和分母组成，分子表示被分为若干份的数，分母表示分成的份数。
分式运算在数学中有广泛的应用，了解相关的概念与计算方法对于数学学习至关重要。
1. 分数的基本概念分数是整除关系的一种表达方式，分子代表整数被分成的份数，分母代表分成的份数。
分数可从几何上理解为某个单位分成几份的一部分。
2. 分数的运算法则分数的运算包括加、减、乘、除等操作。
常见的分数运算法则包括：（1）分数的相加减：- 确保分母相同，相加或相减分子的数值。
（2）分数的乘法：- 两个分数相乘，将分子相乘作为新分数的分子，分母相乘作为新分数的分母。
（3）分数的除法：- 两个分数相除，将第一个分数的分子乘以第二个分数的倒数，作为新分数的分子；分母同样如此。
3. 分数与整数的转化分数与整数可以相互转化。
当给定一个带分数时，可以将其转化为分数形式，将整数部分的值乘上分母，再加上分子的值作为新分数的分子，分母保持不变。
高中数学中的因式分解与分式化简
高中数学中的因式分解与分式化简在高中数学中，因式分解与分式化简是常见的数学技巧，它们在解题过程中起着重要的作用。
因式分解是将一个多项式分解为若干个乘积的形式，而分式化简则是将一个分式转化为最简形式。
这两个技巧在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有广泛应用。
一、因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式。
它可以简化计算过程，拓展问题的解决思路。
因式分解的基本原则是根据乘法的分配律和特定的公式，将多项式中的公因式提取出来，然后进行合并和化简。
例如，对于多项式2x² + 4x，我们可以将其因式分解为2x(x + 2)。
这里，公因式2x被提取出来，然后与原多项式中的剩余部分(x + 2)合并。
这样做的好处是可以简化计算，同时也可以找到多项式的特点和性质。
在因式分解中，常见的技巧包括提取公因式、配方法、差平方公式等。
这些技巧在解决方程、求极限、化简表达式等问题时都有重要应用。
因此，掌握因式分解的方法和技巧对于高中数学的学习至关重要。
二、分式化简分式化简是将一个分式转化为最简形式。
分式是数学中的一种表达形式，它将一个整体分为若干个部分。
分式化简的目的是简化计算过程，提高问题解决的效率。
分式化简的基本原则是根据分数的性质，将分子和分母中的公因子约去，并进行合并和化简。
例如，对于分式(2x²+ 4x)/(x + 2)，我们可以将其化简为2x。
这里，分子和分母中的公因子(x + 2)被约去，得到最简形式2x。
在分式化简中，常见的技巧包括提取公因子、通分、分子分母的因式分解等。
这些技巧在解决方程、求极限、化简表达式等问题时都有重要应用。
因此，掌握分式化简的方法和技巧对于高中数学的学习至关重要。
三、应用举例因式分解与分式化简在数学中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用举例：1. 解方程：通过因式分解和分式化简，可以将一个复杂的方程转化为简单的形式，从而更容易求解。
2. 求极限：在求函数的极限过程中，通过因式分解和分式化简，可以将函数转化为更简单的形式，从而更容易求出极限值。
因式分解、分式和根式
专题复习：因式分解、分式和根式【知识梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； ()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++； ()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++； 立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+；()()2233b ab a b a b a ++-=-；2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：（1）()()111±±=+±±b a a b ab ；（2）()()111±=-±b a b a ab ；（3）()()22224224+-++=+a a a a a ；（4）()()12212214224+-++=+a a a a a ；（5）()2222222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； （6）()()ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2223333。
二、分式：1、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
2、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：()()011011>=⋅≠=⋅a a a a a a ，；若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅nn a a （0≠a ，n 是整数）； ()021>≥+a a a 。
高中数学中的因式分解与分式方程
高中数学中的因式分解与分式方程数学作为一门学科，是高中教育中不可或缺的一部分。
在高中数学中，因式分解与分式方程是学生们常常接触到的重要内容。
因式分解是将一个多项式分解成乘积的形式，而分式方程则是包含有分数的方程。
本文将从理论与实践两个方面，探讨高中数学中的因式分解与分式方程。
首先，我们来谈谈因式分解。
因式分解是将一个多项式拆解成若干个乘积的形式。
在高中数学中，因式分解常常用于求解方程、证明恒等式等问题。
例如，我们可以将一个二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积，从而更容易求得方程的解。
此外，因式分解还可以帮助我们简化复杂的表达式，使问题更易于理解和计算。
因此，掌握因式分解的方法和技巧对于高中数学的学习非常重要。
在因式分解的过程中，我们常常会用到一些基本的因式分解公式。
例如，二次差的平方公式、完全平方公式、差平方公式等。
这些公式是因式分解的基础，也是解题的关键。
通过对这些公式的理解和掌握，我们可以更加灵活地运用因式分解来解决问题。
此外，还有一些特殊的因式分解技巧，如提公因式、配方法等。
这些技巧可以帮助我们更快地找到因式分解的方法，提高解题效率。
除了理论知识，实践也是学习因式分解的重要手段。
通过大量的练习和实例，我们可以更好地理解和掌握因式分解的方法。
在解题过程中，我们可以运用已学的因式分解公式和技巧，将复杂的多项式化简为简单的乘积形式。
通过不断地实践和思考，我们可以提高因式分解的能力，更好地应用于实际问题的解决。
接下来，我们来谈谈分式方程。
分式方程是包含有分数的方程，解分式方程需要我们掌握分式的性质和运算规则。
在高中数学中，分式方程常常涉及到有理数的运算、比例关系等问题。
解分式方程的方法有很多种，可以通过通分、消去分母、变量替换等方式来求解。
在解题过程中，我们需要注意分母为零的情况，以及方程的解是否满足原方程的条件。
除了解分式方程，我们还可以通过分式方程来建立数学模型，解决实际问题。
例如，通过建立一个含有分式方程的模型，我们可以求解一个比例关系中的未知量，从而得到实际问题的解答。
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因式分解例1. 计算：例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。
解：例3. 设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。
解：1. 证明：能被45整除。
2 化简：，且当时，求原式的值。
2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式补充：欧拉公式：特别地：（1）当时，有（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
例：已知多项式有一个因式是，求的值。
3. 在几何题中的应用。
例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
题型展示：例1. 已知：，求的值。
例2. 已知，求证：例3. 若，求的值。
1. 分解因式：（1）（2）（3）2.已知：，求的值。
3. 若是三角形的三条边，求证：4. 已知：，求的值。
5. 已知是不全相等的实数，且，试求（1）的值；（2）的值。
4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（）例2. 分解因式2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：3. 在方程中的应用 例：求方程的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与y ，故可考虑借助因式分解求解例3. 分解因式：____________解：5、题型展示： 例1. 分解因式：解例2. 已知：，求ab+cd 的值。
解：例3. 分解因式：1. 填空题：2. 已知：3. 分解因式：15++a a 4. 已知：，试求A 的表达式。
5. 证明：5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。
这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：，求x的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解：例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
2. 在几何学中的应用例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积。
3、在代数证明题中的应用例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。
5、题型展示例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A. 1B. -1C.D. 2解：例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。
求证：证明：例3. 若有一因式。
求a，并将原式因式分解。
解：7、因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。
【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1. 分解因式2. 通过变形达到分解的目的例1. 分解因式3. 在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：例1.在中，三边a,b,c满足求证：证明：说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2. 已知：__________1. 若x为任意整数，求证：的值不大于100。
解：2. 将解：【实战模拟】1. 分解因式：2. 已知：的值。
3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。
4. 求证：是6的倍数。
（其中n为整数）5. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。
6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。
10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.例2：已知，求的值。
例3：已知：，求下式的值：例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？例5：化简：例1、计算：例2、已知：，则_________。
中考点拨：例1：计算：例2：若，则的值等于（）A. B. C. D.【实战模拟】1. 已知：，则的值等于（）A. B. C. D.2. 已知，求的值。
3. 计算：4. 若，试比较A与B的大小。
5. 已知：，求证：。
11、公式变形与字母系数方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。
公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程型，讨论如下：（1）当时，此时方程为关于x的一元一次方程，解为：（2）当时，分以下两种情况：<1>若，原方程变为，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若，原方程变为，这是个矛盾等式，故原方程无解。
含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。
下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程【分类解析】1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x的方程2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x的方程3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件例3. 如果关于x的方程有唯一解，确定a、b应满足的条件。
4. 在其它学科中的应用（公式变形）例4. 在物理学中我们学习了公式，其中所有的字母都不为零。
已知S、、t，试求a。
5、中考点拨例1. 填空：在中，已知且，则________。
例2. 在公式中，已知P、F、t都是正数，则s等于（）A. B. C. D. 以上都不对6、题型展示：例1. 解关于x的方程例2. 解关于x的方程。
例3. 已知，求z。
（）【实战模拟】1. 解关于x的方程，其中。
2. 解关于x的方程。
3. a为何值时，关于x的方程的解等于零？4. 已知关于x的方程有一个正整数解，求m的取值范围。
5. 如果a、b为定值，关于x的一次方程，无论取何值，它的根总是1，求a、b的值。
12、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】例1. 解方程：例2. 解方程例3. 解方程：例4. 解方程：5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（）A. B.C. D.例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？6、题型展示：例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度例2. m为何值时，关于x的方程会产生增根？【实战模拟】1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（）A. B. C. D.2. 如果关于x的方程A. B. C. D. 33. 解方程：4. 求x为何值时，代数式的值等于2？5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。