勾股定理第1课时

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毕达哥拉斯是2005年前古希腊 著名的数学家，一天发现朋友家的用砖 铺成的地面中反映了等腰直角三角形三 边的某种数量关系„„
A
B
C
方格中感悟
对于一般的直角三角形是否也有这样的性 质呢？
C A
B
拼图游戏
• 勾股定理的证明勾股定理是初等几何中的
一个基本定理。这个定理有十分悠久的 历史，两千多年来，人们对勾股定理的 证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人 们的生活实际，以至于古往今来，下至 平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和 研究它的证明．下面结合几种图形来进 行证明。
总统巧证勾股定理
D
a
C
c
b
c
b
A
E a B
美国第二十任 总统伽菲尔德
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向常春的证明方法
S梯形ABCD 1 1 1 (a b b )(a b ) a 2 ab 2 2 2
S梯形ABCD S四边形AECD S EBC 1 2 1 c (a b )b 2 2 1 2 1 1 2 c ab b 2 2 2
勾 股
在中国古代，人们 把弯曲成直角的手臂的 上半部分称为"勾"，下 半部分称为"股"。我国 古代学者把直角三角形 较短的直角边称为 “勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为 “弦”.
勾
股
知
识
•我国是最早了解勾股定理的 国家之一。早在三千多年前， 周朝数学家商高就提出，将一 根直尺折成一个直角，如果勾 等于三，股等于四，那么弦就 • 勾股定理在国外，尤其在 等于五，即“勾三、股四、弦 五”，它被记载于我国古代著 西方被称为毕达哥拉斯定 理或百牛定理.相传这个定 名的数学著作《周髀算经》中， 以后人们就简单 理是公元前500多年时古希 地把这个事实说 腊数学家毕达哥拉斯首先 成“勾三股四弦 发现的。他发现勾股定理 五” ，所以在我 后高兴异常，命令他的学 国人们就把这个 生宰了一百头牛来庆祝这 定理叫作 “商高 个伟大的发现，因此勾股 定理”。
I
令正方形ABCD为朱方，正方 形BEFG为青方．在BG间取一点H， 使AH=BG，裁下△ADH，移至 △CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
D E C F
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形 DHFI．勾股定理由此得证．
A
B
H
G
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总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分 广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任 总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话． 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案 是否定的．事情的经过是这样的： 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着， 突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大 声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清 楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直 角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说： “请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？” 伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那 么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边 的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中 的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味． 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．
2
a
1 2 1 1 2 1 1 2 a ab c ab b 2 2 2 2 2
b
A
a c c
D
E
a-b
B
b
C
从而得到 : a 2 b2 c 2
注:这一方法是向常春 于1994年3月20日构想发 现的新法．
试
一
试
b a c c c a a b
我们用拼图的方法来说明 勾股定理是正确的．
在数学的天地里，重要的不是我 们知道什么，而是我们怎么知道什么。
——毕达哥拉斯
这个图形里蕴 涵着怎样博大 精深的知识呢 ？
弦图
拼一拼
现在我们一起来探 索“弦图”的奥妙吧！
试用两种不同的方法求出弦图的面积。
a
c
b
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
• 完成课本24页练习1、2 • 了解常见的勾股数： • 3、4、5及其整数倍 • 5、12、13 • 8、15、17 • 7、24、25
请 你 欣 赏
毕达哥拉斯树
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美丽的毕达哥拉斯树
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明： 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各 从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
•毕达哥拉斯（毕达 哥拉斯，前572～前 497），西方理性数 学创始人，古希腊数 学家，他是公元前五 世纪的人，比商高晚 出生五百多年．
定理又叫做“百牛定理”
• 著名网络科普作家培米姆．安萨利最近提出人 类最伟大的十大科学发现中，第一项就是勾股 定理，它在公元前一千多年西周的“周髀算经” 中就有记载，称为商高定理．在西方，称之为 毕达哥拉斯定理（公元前6世纪）．而古巴比 伦人发现勾股数，其年代比商高和毕达哥拉斯 都更早，大约在公元前19⒁－1600年之 间．（其它9项科学发现依次是微生物的存在； 牛顿三大运动定律和微积分；物质结构；血液 循环；电流；物种进化；基因；热力学四大定 律；光的波粒二象性导致量子力学的诞生）．
证明:上面的大正方形的面积为：c 2 4
1 ab 2
b
c b
a
1 下面大的正方形的面积为：a 2 b 2 4 ab 2
从右图中我们可以看出，这两个正方形的 边长都是a＋b，所以面积相等，即
a
a a a b c b c
b a b b b
1 1 2 2 c 4 ab c b 4 ab 2 2 c 2 a 2 b2