思维导引——幻方与数阵教案

幻方和数阵图

幻方

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

需要掌握的幻方填写方法主要有：

1、奇数阶幻方

n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：

把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：

(1)每一个数放在前一个数的右上一格；

(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；

(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

口诀：

1居首行正中央,

依次右上莫相忘

上出格时往下放,

右出格时往左放.

排重便往自下放,

右上出格一个样

2、双偶阶幻方

n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)

先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。

这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。（见右上图）

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。(做了解即可)

1.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。

2.请你将1~25这25个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行五个数的和相等。

若将上一题的数字换成2~26，请你试着填一填。

3.你能不能试着将1~49这49个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行七个数的和相等

数阵图

经典精讲

数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：

第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）

第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代数式，即数阵图关系线（关系区域）上喝的中和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和。

第四步：运用已经得到的信息进行尝试：

数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相互关系，找出问题关键，

类型一：封闭类型的数阵图

【例1】

将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.

⨯=，而【分析】此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11 333

1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的

和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。 【例2】

将1~6填入左下图的六个○中，是三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围。

1

6

243

5

1

6

325

4

2

5

416

3

4

3

516

2

【分析】设三角形三个顶点的数字之和为s ，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+ s = 3k ，化简后为213S k +=。由于s 是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出912k ≤≤。s 和k 有四组取值：

9

6k s =⎧⎨=⎩ 10

9k s =⎧⎨=⎩ 11

12k s =⎧⎨=⎩ 12

15k s =⎧⎨=⎩

通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。

像例题中的数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。

一般地，有m 条边，每条有n 个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型）m n -图，封闭型m n -图有m 个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠一次，所以：已知各数之和+重叠之和=每边各数之和⨯边数

类型二：辐射类型的数阵图

【例3】

将1~7这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等。