信息安全数学基础参考试卷

《信息安全数学基础》参考试卷

一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。

(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。

(1) 1或2，(2) | kn|，

(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。

3．模10的一个简化剩余系是( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27

(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是( )。

(1) 2，(2) 4，

(3) 6，(4) 11。

5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2

(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2

6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。

(1) （N是自然数集，“＋”是加法运算）

(2) （R是实数集，“×”是乘法运算）

(3) （Z是整数集，“＋”是加法运算）

(4) （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）

7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。

(1) 0，(2) 6，

(3) 9，(4) 18。

9．Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有 ( )。

(1) a ϕ (p )＝a (mod p )， (2) a ϕ (p )＝1 (mod a )，

(3) a p ＝a (mod p )， (4) a p ＝1 (mod p )

10．集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。如果( )，则构成一个域。

(1) F 对于运算 “＋”和 “ · ”构成环，运算“＋”的单位元是e ，且F \{e }对于 “ · ”构成交换群

(2) F 对于运算 “＋”构成交换群，单位元是e ；F \{e }对于运算“ · ”构成交换群

(3) F 对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群

(4) F 对于运算“＋”构成交换群，单位元是e ；F \{e }对于运算“ · ”构成交换群；运算 “＋”和 “ · ”之间满足分配律

二． 填空题(按题目要求，将正确描述填在 上)：（每题2分，共20分）

1．设a , b 是正整数，且有素因数分解 s i p p p a i s s ,,2,1,0,2121

=≥=αααα，s i p p p b i s s ,,2,1,0,2121 =≥=ββββ，则(a , b )＝ ，

[a , b ]＝ 。

2．模5的3的剩余类C 3(mod 5)写成模15的剩余类的并为：

C 3(mod 5) = 。

3． 整数a ，b 满足(a ，b )=1，那么对任意正整数n ，都有(a n ， b n ) =__________。

4．120, 150, 210, 35的最小公倍数[120, 150, 210, 35] = 。

5．模8的绝对值最小完全剩余系是 。

6．设n 是一个正整数，整数e 满足1＜e ＜ϕ (n )且 ，则存在整数d ，1≤d ＜ϕ (n )，使得ed ≡1 (mod ϕ (n ))。

7．Wilson 定理：设p 是一个素数，则 。

8．P (A )是集合A 的幂集，“⊕”为集合的对称差运算。P (A )对于运算“⊕”的单位元是 ，A 的逆元是 。

9．设m ，n 是互素的两个正整数，则ϕ ( m ，n ) = 。

10．设集合A 有n 个元素，则集合A ×A 有__________个元素，集合A 上的

不同运算有___________种。

三．证明题 （写出详细证明过程，共4小题，30分）

1．(1) 证明：形如6k ＋5的正整数必含6k ＋5形式的素因数。

(2) 证明：形如6k +5的素数有无穷多个。 （10分）

2．设a , b 是任意两个不全为零的整数，证明

(1) 若m 是任一正整数，则(am , bm ) = (a , b )m 。

(2) 若非零整数d 满足d |a ，d |b ，则(,)(,

)a b a b d d d =。 （8分）

3．设m 是正整数，a ≡b (mod m )，如果整数d 满足d | (a , b , m )，则有 。 （6分）

(mod )

a b m d d d

≡

4．证明：如果m和n是互素的大于1的整数，则mϕ(n)＋nϕ(m)≡1 (mod mn)。

（6分）

四．计算题（写出详细计算过程，共2小题，30分）

1．设a＝8142，b＝11766，运用广义欧几里得除法

(1) 计算(a, b)；(2) 求整数s，t使得sa＋tb＝(a, b)。（15分）2．计算31000000 (mod 1771)。（15分）