高中数学绝对值不等式的解法

x c x c c x c
x c x2 c2 x c,或x c
2
题型2: 如果 c 是正数，那么
ax +b c (ax +b) c c ax +b c
2
2
2 2 ax +b c (ax +b) c ax +b c, 或ax +b c ②
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 , , 2 2
从图象可知当 x 3 或
y 2x 3， x 1, 1 x 1, 1， 2x 3， x 1.
②
-m -n 0 n
①
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m
(m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
| ax b | n | ax b | m
②
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式
|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
即 x2－1<0
即 (x+1)(x－1)<0
即－1<x<1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}

题型5: |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式 含有多个绝对值的不等式的解法 －－－零点分段法
三、例题讲解
例1、(1)不等式|x－1|＜2的解集是_____.
【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.
答案：(－1,3)
(2)不等式|4－3x|≥2的解集是_____. 【解析】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2 或3x－4≥2，解得 x 答案：
x 9 x 1 x5
2
1 5 9
2
三、例题讲解
题型：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
【思路点拨】 可用零点分段讨论，可用图象法， 也可用绝对值几何意义求解．
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
或x 0 x 3， 即 1 x 4
-1 0
3
4
原不等式的解集是 {x | 1 x 0， 或3 x 4}.
三、例题讲解
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 | 3 2 x | 5 3 | 2 x 3 | 5 2 x 3 0 2 x 3 0 ， 或 3 2 x 3 5 3 (2 x 3) 5 3 3 x x ， 2 2 ， 或 3 x 4 1 x 0
四、小结 （1）解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对 值的符号，其基本思想是把含绝对值的不等式转 为不含绝对值的不等式。 （2）零点分段法解含有多个绝对值的不等式。 ①
x1
②
x2
③
3 x 4， 或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0， 或3 x 4}.
三、例题讲解
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法3：3 | 3 2 x | 5 3 | 2 x 3 | 5
3 2 x 3 5， 或 5 2 x 3 3
的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数
轴上的 x .
3 2
.
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴
3 上的 x . , 2
从数轴上可看到，
点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3， 所以原不等式的解集是 (, ] [ , ).
形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a恒成立的问题
例6 (1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒成立， 求实数a的取值范围．
(2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空， 求实数a的取值范围． (3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求 实数a的取值范围． 【思路点拨】 对 (1)(2)(3) 来说，问题的关键是 如何转化，求出函数 f(x) ＝ |x － 3| ＋ |x ＋ 2| 的最值 , 则问题获解．
3 x 4， 或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0， 或3 x 4}.
0 4
-1
3
三、例题讲解
例3、解不等式|2x－1|<2－3x.
解：原不等式等价为 3x－2<2x－1<2－3x，
2x－1<2－3x， 5x<3， 即 得 2x－1>3x－2， x<1，
探索：不等式|x|<1的解集。 方法四： 利用函数图象观察 从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数 y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对 y 应的x的取值范围。 所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1} 1 y=1 x
－1 o 1
②-cΒιβλιοθήκη ①0②c
2
题型1: 如果 c 是正数，那么 ① ② ①
3 原不等式解集为{x|x< }． 5
形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式. ①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
三、例题讲解 例4、解不等式 x 9 x 1 解：
平方法
x 9 x 1
方法一：当x≤-1时,原不等式可以化为 -(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3 . 当-1＜x＜1时,原不等式可以化为
2
x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.
3 当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以 x . 2 综上,可知原不等式的解集为 3 3 {x | x 或x }. 2 2
【解】
(1)问题可转化为对一切x∈R恒有
a<f(x)⇔a<f(x)min，
∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，
即f(x)min＝5，∴a<5. (2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min， 同上得a>5. (3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x－x1|
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 y
1
－1
o 1
x
1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
2
3 时,y≥0. x 2
所以原不等式的解集为 (, 3 ] [ 3 , ).
2
2
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
解：方法三：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么
A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式
3 2
3 2
小结：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想,
理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释.
(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 正、负 性，进而去掉绝对值符号. 内多项式的_______ (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程 零点 并画出函数图象(有时需要考查 的思想.正确求出函数的_____ 函数的增减性)是关键.
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0 1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
2 或x≥2. 3