必修二圆的方程讲义
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圆 的 方 程
一、圆的标准方程：
1、定义：平面上动点到定点的距离等于定长r (r ＞0)，则动点形成的轨迹是一个圆，定
点为圆圆心，定长为圆的半径。
2、轨迹方程：设定点圆心A(a ，b )，动点M(x ，y)，圆的
半径为r(r ＞0)，则动点的轨迹方程：r b y a x =-+-2
2
)()(
3、圆的标准方程：（1）圆心为A(a ，b )，半径为r 的圆的
方程(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
；（2）圆心在坐标原点O(0，0)，半径
为r 的圆的标准方程：x 2＋y 2＝r 2
。
例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径。（a ＞0， b ＞0）
（1）x 2＋y 2＝2 （2）(x －3)2＋y 2＝a 2 （3）(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝b 2
变式练习1：写出下列圆的标准方程：
（1）圆心在C(－3，4)，半径长是5 （2）圆心在C(8，－3)，且经过点M(5，1)
变式练习2：圆心在y 轴上，半径为2，且过点(2，4)的圆的方程为（ ）
A ：x 2
＋(y －1)2
＝4 B ：x 2
＋(y －2)2
＝4
C ：x 2＋(y －3)2＝4
D ：x 2＋(y －4)2
＝4 【解析】：D
变式练习3：当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，
5为半径的圆的方程为( )
A ：(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝5 B ：(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝5
C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5
D ：(x －1)2＋(y －2)2
＝5
【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝2，
∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5。【答案】 C
变式练习4：已知圆1C ：2
2)1()1(-++y x ＝4，圆2C 与圆1C 关于直线x －y －1＝0对称，
则圆2C 的方程为（ ）
A ：22)2()2(-++y x ＝4
B ：2
2)2()2(++-y x ＝4
C ：2
2
)2()2(+++y x ＝4 D ：2
2
)2()2(-+-y x ＝4
【解析】：B
例2：已知圆心为C 的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心C 的圆的标准方程。
【解析】设圆心坐标为(x ，x ＋1)，则2
2
)2()3(+++y x ＝25
变式练习1：已知圆C 过点A(4，7)，B(－3，6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，
求圆C 的方程。
【解】 法一：设圆C ：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)，∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
4－a 2
＋ 7－b 2
＝r 2
， －3－a 2＋ 6－b 2＝r 2，2a ＋b －5＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝3，
r ＝5.
故圆C 的方程为(x －1)2
＋(y －3)2
＝25.
法二：设圆C ：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)，∵C ∈l ，∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ， ∴圆心为C (a,5－2a )．由圆的定义得|AC |＝|BC |，即 a －4 2
＋ 5－2a －7 2
＝ a ＋3 2
＋ 5－2a －6 2
.
解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝ 4－1 2
＋ 7－3 2
＝5. 故圆C 的方程为(x －1)2
＋(y －3)2
＝25.
二、点与圆的位置关系
1、若M(m ，n)在圆上⇔2
2
2
)()(r b n a m =-+- 2、若M(m ，n)在圆外⇔2
2
2
)()(r b n a m >-+- 3、若M(m ，n)在圆内⇔2
2
2
)()(r b n a m <-+-
例3：若点(1，1)在圆4)()(2
2
=++-a y a x 的内部，则a 的取值范围（ ） A ：－1＜a ＜1 B ：0＜a ＜1 C ：a ＜－1或a ＞1 D ：a ＝±1
三、圆的一般方程： x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0
利用配方法得：(x ＋2D )2＋(y ＋2
E )2＝4422F
E D -+
（1）当D 2
＋E 2
－4F ＞0，方程表示以(－2D ，－2
E
)为圆心，2422F E D -+为半径的圆。
（2）当D 2＋E 2
－4F ＝0，方程表示(－
2D ，－2
E
)点。 （3）当D 2
＋E 2
－4F ＜0，不表示任何图形。
注意：（1）在二元二次方程中，x 2和y 2
的系数相同，不等于0。
（2）没有xy 这样的二次项。
（3）如果问题中给出了圆心坐标之间的关系或圆心的特殊位置，一般用标准方程；如果给出圆上任意三点的坐标，一般用一般方程。
（4）在圆的一般方程中，当D 2＋E 2
－4F ＝0时，方程表示一个点(2
D -，2
E -)； 当D 2＋
E 2
－4F ＜0时，无轨迹。
例3：方程x 2
＋y 2
＋a x ＋2a y ＋22
a ＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ：a ＜－2或a ＞
32 B ：－32＜a ＜0 C ：－2＜a ＜0 D ：－2＜a ＜3
2