概率论教学难点解析
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i =1 n n
件 B， 有 P（ B ） = ∑ P（ A i ） P（ B | A i ） 。
i =1
学生在求事件的概率时， 遇到什么情形应主动 想到利用全概率公式求解， 以及如何使用全概率公 式， 这是一个难点。在此介绍一些参考方法。 求事件的概率 P （ B ） ， 如果有多种可能的情形 导致事件 B 发生或试验是分几步完成的， 则可以考
( 1． 内蒙古科技大学 高教研究所， 内蒙古 包头 014010 ; 2． 西南财经大学 工商管理学院， 四川 成都 610074 ; 3． 内蒙古科技大学 高职院， 内蒙古 包头 014010 )
摘要： 针对概率论教学中随机现象的统计规律性、 全 概 率 公 式 及 其 应 用 等 难 点 问题 进 行 解析， 可以帮助教师在讲课过程 中更好地化解这些教学难点， 促进学生对这些知识的深入理解和灵活掌握， 同时也可作为现有教材的一点补充。 关键词： 概率论; 教学难点; 随机现象的统计规律性; 全概率公式; 解析 中图分类号： G642 文献标识码： A 文章编号： 1671 —1580 ( 2012 ) 10 —0145 —02
来自百度文库
观意志而创造和消灭， 只能随着客观事物的发生、 发 展、 消亡的变化而变化， 这就要求人们在社会生活和 生产实际中尊重它， 并利用它来指导人们的实践活 ； “辩证性” 是指随机现象的统计规律性体现了辩 动 证唯物主义的偶然性和必然性关系的原理 ， 反映了 量变与质变的辩证统一关系， 如小概率事件的统计 规律性表明， 小概率事件的发生 （ 质变 ） 是以试验次 数（ 量变） 的积累为前提的， 在试验条件相同的情况 下， 当试验次数积累到一定程度， 必然会突破度的界 引起质变， 导致小概率事件发生， 如果没有试验 限， …， 二次、 三次、 直至大量的重复， 小概 次数由一次、 率事件就不会发生。由此可见， 质变以量变为基础， 量变是质变的必要准备， 没有量变积累到一定程度， 质变不会发生。而量变不会永远持续下去， 量变积 累到一定程度， 就会突破度的界限， 产生质变， 质变 是量变的必然结果。 2． 全概率公式的应用 A2 ， …， A n 是样本空 全概率公式 设事件组 A1 ， A2 ， …， A n 互不相 间 Ω 的一个划分 （ 分割 ） ， 即 A1 ， i = 1， 2 …， n， 且∪ = Ω， 若 P（ A i ） ＞ 0 ， 则对任一事 容，
在概率论教与学的过程中， 教师普遍反映概率 论难讲， 学生普遍抱怨概率论难学， 这表明概率论教 学中存在着一些教学难点。其中诸多难点也是教学 重点， 如对随机现象的统计规律性的理解 、 全概率公 式的应用等等， 这些难点在课程教学中未能得到很 好的化解是导致教师感到概率论难讲、 学生感到概 率论难学的重要原因。这里针对上述两个难点问题 进行解析， 不仅可以帮助教师在讲课过程中更好地 化解这些教学难点， 而且可以促进学生对这些知识 同时还可以作为现有教材 的深入理解和灵活掌握， 的一点补充。 一、 概率论教学难点解析 1． 对随机现象统计规律性的理解 在一定条件下， 现象可能出现这样的结果， 也可 能出现那样的结果， 而且不能事先预言出现哪种确 切的结果， 现象本来具有不确定性， 但在大量重复 时， 现象的结果又呈现出某种规律性 ， 这种现象称为 随机现象。随机现象在大量重复试验中所呈现出的 固有规律性， 称为随机现象的统计规律性。 对随机现象的统计规律性可以从不可预言、 可 、 。“ 预言 客观性和辩证性四个方面解释说明 不可 预言” 是指随机现象在每一次试验中现象的确切结 果无法事先确定， 是不可预言的， 因而随机现象带有 ； “可预言” 不确定性 是指随机现象的统计规律性具 有稳定性， 因此它是可以预言的， 是可以事先知道 ； “客观性 ” 的 是指不管人们认识与否， 随机现象的 统计规律性都是客观存在的， 它不能按照人们的主
2012 年第 10 期 第 28 卷 （ 总 286 期）
吉林省教育学院学报 JOURNAL OF EDUCATIONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCE
No. 10 ， 2012 Vol. 28 Total No. 286
概率论教学难点解析
1 2 3 金明鸥 ， 尚晗之 ， 程学建
收稿日期： 2012 —07 —05 作者简介： 金明鸥（ 1964 —） ， 女， 韩国庆尚北道人， 内蒙古科技大学高教研究所， 教授。研究方向： 数学教育教学及研究。 项目简介： 内蒙古科技大学教改基金课题重点项目， 编号： JY2009032 。
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虑利用全概率公式求 P （ B ） 。 使用全概率公式的关 可以把导致事件 B 发生 键是找出一组合适的划分， 的多种可能的情形作为划分； 或以试验过程的第一 把第一步 步（ 前一步 ） 为第二步 （ 后一步 ） 的条件， （ 前一步） 所有可能的情形作为划分。 例 1 假设一审判机构把确实有罪的嫌疑犯判 为有罪的概率是 0． 8 ， 把无罪的嫌疑犯判为无罪的 概率是 0． 99 ， 并假设 90% 的嫌疑犯实际上是有罪 的， 求该审 判 机 构 对 一 个 嫌 疑 犯 做 出 错 误 判 决 的 概率。 “审判机构对一个嫌疑犯做出错 分析 求事件 （ 记作 B ） 的概率。由于导致事件 B 发生有 误判决” （ 而审判机 两种可能的情形： 一个是“嫌疑犯有罪 ” “嫌疑犯无罪 ” （ 而审判机 构认定其无罪） ， 另一个是 构却认定其有罪 ） ， 因此利用全概率公式求 P （ B ） ， “嫌疑犯有罪” （ 记作 A） 和事件“嫌疑犯无 并把事件 珚 （ 记作 A ） 作为划分， 罪” 则有 珔 珔 珚 P（ A） = 0． 9 ， P（ B | A） = 0． 8 ， P（ B |A ） = 0． 99 ， 珔 珔 ） = 0． 1， P （ B | A ） = 0． 2， P（ B | A ） = 从而有 P （ A 0． 01。 根据全概率公式， 得 珚 珚 P（ B ） = P （ A ） P （ B | A ） + P （ A ） P（ B | A ） = 0． 9 × 0． 2 + 0． 1 × 0． 01 = 0． 181 。 此概率虽然不算大， 但作为审判机构责任重大， 这样的错判率是不能令人满意的， 因此该审判机构 急需提高工作质量。 例 2 有 12 个乒乓球都是新球， 每次比赛时取 出 3 个球用完后放回去， 求第三次比赛时取到的 3 个球都是新球的概率。 “第三次比赛时取到的 3 个球都 分析 求事件 （ 记作 B ） 的概率。 由于试验分三步完成， 是新球” 前一步为后一步的条件， 因此可以利用全概率公式 求 P（ B ） ， 并且把第二步的四种可能的情形作为划 分。第一次比赛时取出的 3 个新球用完后放回便变 成 3 个旧球， 这时有 9 个新球和 3 个旧球； 第二次比 赛时取出的 3 个球有四种可能的情形， 也就是事件
件 B， 有 P（ B ） = ∑ P（ A i ） P（ B | A i ） 。
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学生在求事件的概率时， 遇到什么情形应主动 想到利用全概率公式求解， 以及如何使用全概率公 式， 这是一个难点。在此介绍一些参考方法。 求事件的概率 P （ B ） ， 如果有多种可能的情形 导致事件 B 发生或试验是分几步完成的， 则可以考
( 1． 内蒙古科技大学 高教研究所， 内蒙古 包头 014010 ; 2． 西南财经大学 工商管理学院， 四川 成都 610074 ; 3． 内蒙古科技大学 高职院， 内蒙古 包头 014010 )
摘要： 针对概率论教学中随机现象的统计规律性、 全 概 率 公 式 及 其 应 用 等 难 点 问题 进 行 解析， 可以帮助教师在讲课过程 中更好地化解这些教学难点， 促进学生对这些知识的深入理解和灵活掌握， 同时也可作为现有教材的一点补充。 关键词： 概率论; 教学难点; 随机现象的统计规律性; 全概率公式; 解析 中图分类号： G642 文献标识码： A 文章编号： 1671 —1580 ( 2012 ) 10 —0145 —02
来自百度文库
观意志而创造和消灭， 只能随着客观事物的发生、 发 展、 消亡的变化而变化， 这就要求人们在社会生活和 生产实际中尊重它， 并利用它来指导人们的实践活 ； “辩证性” 是指随机现象的统计规律性体现了辩 动 证唯物主义的偶然性和必然性关系的原理 ， 反映了 量变与质变的辩证统一关系， 如小概率事件的统计 规律性表明， 小概率事件的发生 （ 质变 ） 是以试验次 数（ 量变） 的积累为前提的， 在试验条件相同的情况 下， 当试验次数积累到一定程度， 必然会突破度的界 引起质变， 导致小概率事件发生， 如果没有试验 限， …， 二次、 三次、 直至大量的重复， 小概 次数由一次、 率事件就不会发生。由此可见， 质变以量变为基础， 量变是质变的必要准备， 没有量变积累到一定程度， 质变不会发生。而量变不会永远持续下去， 量变积 累到一定程度， 就会突破度的界限， 产生质变， 质变 是量变的必然结果。 2． 全概率公式的应用 A2 ， …， A n 是样本空 全概率公式 设事件组 A1 ， A2 ， …， A n 互不相 间 Ω 的一个划分 （ 分割 ） ， 即 A1 ， i = 1， 2 …， n， 且∪ = Ω， 若 P（ A i ） ＞ 0 ， 则对任一事 容，
在概率论教与学的过程中， 教师普遍反映概率 论难讲， 学生普遍抱怨概率论难学， 这表明概率论教 学中存在着一些教学难点。其中诸多难点也是教学 重点， 如对随机现象的统计规律性的理解 、 全概率公 式的应用等等， 这些难点在课程教学中未能得到很 好的化解是导致教师感到概率论难讲、 学生感到概 率论难学的重要原因。这里针对上述两个难点问题 进行解析， 不仅可以帮助教师在讲课过程中更好地 化解这些教学难点， 而且可以促进学生对这些知识 同时还可以作为现有教材 的深入理解和灵活掌握， 的一点补充。 一、 概率论教学难点解析 1． 对随机现象统计规律性的理解 在一定条件下， 现象可能出现这样的结果， 也可 能出现那样的结果， 而且不能事先预言出现哪种确 切的结果， 现象本来具有不确定性， 但在大量重复 时， 现象的结果又呈现出某种规律性 ， 这种现象称为 随机现象。随机现象在大量重复试验中所呈现出的 固有规律性， 称为随机现象的统计规律性。 对随机现象的统计规律性可以从不可预言、 可 、 。“ 预言 客观性和辩证性四个方面解释说明 不可 预言” 是指随机现象在每一次试验中现象的确切结 果无法事先确定， 是不可预言的， 因而随机现象带有 ； “可预言” 不确定性 是指随机现象的统计规律性具 有稳定性， 因此它是可以预言的， 是可以事先知道 ； “客观性 ” 的 是指不管人们认识与否， 随机现象的 统计规律性都是客观存在的， 它不能按照人们的主
2012 年第 10 期 第 28 卷 （ 总 286 期）
吉林省教育学院学报 JOURNAL OF EDUCATIONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCE
No. 10 ， 2012 Vol. 28 Total No. 286
概率论教学难点解析
1 2 3 金明鸥 ， 尚晗之 ， 程学建
收稿日期： 2012 —07 —05 作者简介： 金明鸥（ 1964 —） ， 女， 韩国庆尚北道人， 内蒙古科技大学高教研究所， 教授。研究方向： 数学教育教学及研究。 项目简介： 内蒙古科技大学教改基金课题重点项目， 编号： JY2009032 。
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虑利用全概率公式求 P （ B ） 。 使用全概率公式的关 可以把导致事件 B 发生 键是找出一组合适的划分， 的多种可能的情形作为划分； 或以试验过程的第一 把第一步 步（ 前一步 ） 为第二步 （ 后一步 ） 的条件， （ 前一步） 所有可能的情形作为划分。 例 1 假设一审判机构把确实有罪的嫌疑犯判 为有罪的概率是 0． 8 ， 把无罪的嫌疑犯判为无罪的 概率是 0． 99 ， 并假设 90% 的嫌疑犯实际上是有罪 的， 求该审 判 机 构 对 一 个 嫌 疑 犯 做 出 错 误 判 决 的 概率。 “审判机构对一个嫌疑犯做出错 分析 求事件 （ 记作 B ） 的概率。由于导致事件 B 发生有 误判决” （ 而审判机 两种可能的情形： 一个是“嫌疑犯有罪 ” “嫌疑犯无罪 ” （ 而审判机 构认定其无罪） ， 另一个是 构却认定其有罪 ） ， 因此利用全概率公式求 P （ B ） ， “嫌疑犯有罪” （ 记作 A） 和事件“嫌疑犯无 并把事件 珚 （ 记作 A ） 作为划分， 罪” 则有 珔 珔 珚 P（ A） = 0． 9 ， P（ B | A） = 0． 8 ， P（ B |A ） = 0． 99 ， 珔 珔 ） = 0． 1， P （ B | A ） = 0． 2， P（ B | A ） = 从而有 P （ A 0． 01。 根据全概率公式， 得 珚 珚 P（ B ） = P （ A ） P （ B | A ） + P （ A ） P（ B | A ） = 0． 9 × 0． 2 + 0． 1 × 0． 01 = 0． 181 。 此概率虽然不算大， 但作为审判机构责任重大， 这样的错判率是不能令人满意的， 因此该审判机构 急需提高工作质量。 例 2 有 12 个乒乓球都是新球， 每次比赛时取 出 3 个球用完后放回去， 求第三次比赛时取到的 3 个球都是新球的概率。 “第三次比赛时取到的 3 个球都 分析 求事件 （ 记作 B ） 的概率。 由于试验分三步完成， 是新球” 前一步为后一步的条件， 因此可以利用全概率公式 求 P（ B ） ， 并且把第二步的四种可能的情形作为划 分。第一次比赛时取出的 3 个新球用完后放回便变 成 3 个旧球， 这时有 9 个新球和 3 个旧球； 第二次比 赛时取出的 3 个球有四种可能的情形， 也就是事件