工科数学分析全微分

则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
内容小结
1. 微分定义:
z
o() (x)2 (y)2
d z fx (x, y)dx f y (x, y)dy
2. 重要关系: 函数连续
偏导存在
函数可微
偏导数连续
3. 微分应用 近似计算
全微分
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o(x)
dy f (x)x 应用
本节内容:
一、全微分的定义
近似计算 估计误差
二、全微分在数值计算中的应用
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
证：z f (x x, y y) f (x, y)
[ f (x x, y y) f (x, y y)]
[ f (x, y y) f (x, y)]
fx (x 1x, y y)x f y (x, y 2y)y ( 0 1 , 2 1 )
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
3. 证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
ห้องสมุดไป่ตู้
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
令y 0, Ax o ( x )
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因 xy sin 1
xy x2 y2
x2 y2
2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2) f (x,0) 0, fx (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.
所以函数
在点 可微.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 d u u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u d z z
例1. 计算函数
解: z yexy , x
在点 (2,1) 处的全微分.
z xexy y
z x
(2,1)
e2 ,
z y
(2,1) 2e2
例2. 计算函数
的全微分.
解: d u
(
1 2
cos
y 2
zeyz
)d y
二、全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算 由全微分定义
z fx (x, y)x f y (x, y)y o()
dz
可知当 及 较小时, 有近似等式:
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分
记作 dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
[ fx (x, y) ]x [ f y (x, y) ]y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
注意到
x y
, 故有
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2
0,
x2 y2 0
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
fx (x, y)x f y (x, y)y
fx (x, y)x f y (x, y)y
思考与练习
1. 选择题
函数 z f (x, y)在 (x0, y0 ) 可微的充分条件是( D )
( A) f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 连续 ; (B) fx(x, y), f y (x, y) 在 (x0 , y0 )的某邻域内存在 ; (C) z fx(x, y)x f y (x, y)y
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 ; (D) z f x(x, y)x f y (x, y)y
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 .
2. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
fx
(0,0,0)
z d z fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算; 误差分析)
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算)
例3.计算
的近似值.
解: 设 f (x, y) x y,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x 取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02