工科数学分析全微分
《高等数学》课件 3第三节 全微分 ppt
[ f ( x, y y) f ( x, y)]
fx ( x 1 x, y y) x f y ( x, y 2 y) y
( 0 1 , 2 1 )
z [ f x ( x0 , y0 ) ]x [ f y ( x0 , y0 ) ]y
lim
x0
0,
lim
x0
则该函数在该点偏导数 z , z 必存在,且有
x y
d z z x z y. x y
证: 由全增量公式
令y 0,
得到对 x 的偏增量
xz f ( x x, y) f (x, y) Ax o ( x )
z lim x z A
x x0 x 同样可证 z B , 因此有
二、可微分存在的条件
一元函数: 可微 可导
可微分的必要条件： 可微分
偏导数存在
定理1. 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微分, 则该函数在 该点偏导数 z , z 必存在,且有
x y
d z z x z y. x y
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微分,
xy ( x)2 ( y)2
xy
( x)2 ( y)2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
可微分的充分条件: 偏导数连续
可微分
定理2. 若函数
的偏导数 z , z x y
在点( x, y) 连续, 则函数在该点可微分, 且
z z x z y o( ).
x y
三、全微分的计算
V πr 2h. 记 r,h 和V 得增量依次为Δ r,Δ h和Δv,则有
ΔV dV VrΔr VhΔh 2π rhΔr π r2Δh. 把 r 20,h 100,Δ r 0.05,Δ h 1 代入,得
全微分的定义公式
全微分的定义公式全微分是描述多元函数在其中一点处的微小变化的概念。
它可以帮助我们理解多元函数的性质，并在一些应用中起到重要的作用。
首先，我们先回顾一元函数的微分的定义。
对于一个一元函数f(x)，如果在其中一点x=x0处，函数f(x)的微分存在，则微分df(x0)可以表示为：df(x0) = f'(x0)dx其中，f'(x0)是f(x)在x=x0处的导数，dx是自变量的一个微小增量。
对于多元函数来说，全微分的定义与一元函数类似，只是自变量有多个。
假设有一个二元函数f(x, y)，我们希望求解在点(x0, y0)处的全微分。
全微分df(x0, y0)可以表示为：df(x0, y0) = (∂f/∂x)，x=x0,y=y0 * dx + (∂f/∂y)，x=x0,y=y0 *dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f(x, y)对x和y的偏导数，dx和dy分别为自变量x和y的微小增量。
这个定义可以推广到任意多个自变量的情况。
这个定义稍微有点抽象，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个二元函数f(x,y)=x^2+y^2，在点(1,2)处求解全微分。
首先，求解∂f/∂x和∂f/∂y。
对于f(x,y)=x^2+y^2，我们可以得到：∂f/∂x=2x∂f/∂y=2y然后，我们给定自变量的微小增量dx和dy的值，比如dx=0.1，dy=0.2、代入上式，就可以计算出df(x0, y0)的值：df(x0, y0) = (∂f/∂x)，x=1,y=2 * dx + (∂f/∂y)，x=1,y=2 * dy=2*1*0.1+2*2*0.2=0.6所以，在点(1, 2)处，函数f(x, y)的全微分df(x0, y0)的值为0.6、这个值表示函数在这个点处的微小变化。
df(x10, x20, ..., xn0) = (∂f/∂x1)，x1=x10, x2=x20, ...,xn=xn0 * dx1 + (∂f/∂x2)，x1=x10, x2=x20, ..., xn=xn0 * dx2 + ... + (∂f/∂xn)，x1=x10, x2=x20, ..., xn=xn0 * dxn其中，∂f/∂xi表示f(x1, x2, ..., xn)对xi的偏导数，dxi表示自变量xi的微小增量。
全微分和微分
全微分和微分全微分和微分是微积分中的两个重要概念。
在学习微积分时，这两个概念经常被提到，但是很多人可能不太清楚它们之间的区别和联系。
本文将从定义、性质和应用等方面介绍全微分和微分。
一、全微分全微分是一个函数在自变量改变一个无限小量时，所引起的函数值的改变量与自变量的改变量之比。
如果这个比值存在极限，那么这个函数就是全微分可导的。
全微分的定义可以表示为：df=f’(x)dx其中，f’(x)表示函数f(x)的导数，dx表示自变量x的无限小变化量，df表示函数f(x)在x处的全微分。
从定义上看，全微分是一个函数在某个点上的微小变化量，它是一个实数。
全微分具有以下性质：1. 全微分是一个线性函数。
2. 全微分是一个一阶微分形式。
3. 全微分是一个标量。
4. 全微分是一个恰当形式。
全微分在物理学、经济学和统计学等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，全微分可以用来计算热力学系统的内能；在经济学中，全微分可以用来描述边际效用；在统计学中，全微分可以用来计算方差。
二、微分微分是一个函数在某一点上的导数，也就是函数的变化率。
微分的定义可以表示为：dy=f’(x)dx其中，f’(x)表示函数f(x)在x处的导数，dx表示自变量x的无限小变化量，dy表示函数f(x)在x处的微分。
从定义上看，微分是一个函数在某一点上的变化率，它也是一个实数。
微分具有以下性质：1. 微分是一个线性函数。
2. 微分是一个一阶微分形式。
3. 微分是一个标量。
4. 微分是一个非恰当形式。
微分在物理学、工程学和金融学等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，微分可以用来计算速度和加速度；在工程学中，微分可以用来描述电路和控制系统；在金融学中，微分可以用来计算期权价格和风险价值。
三、全微分和微分的区别和联系从定义上看，全微分和微分都是一个函数在某一点上的变化量。
但是，它们之间还存在一些区别和联系。
1. 区别全微分和微分的主要区别在于它们所描述的函数不同。
高等数学8-3全微分讲解
dz z dx z dy . x y
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为 二元函数的微分符合叠加原理.
叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如uf(x, y, z)的全 微分为
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz
.
设
zf(x,
y),
则
dz
z x
dx
如果函数zfxy的偏导数xz??yz??在点xy连续?叠加原理按着习惯xy分别记作dxdy并分别称为自变量的微分这样函数zfxy的全微分可写作二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理
§8.3 全微分及其应用
一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
偏增量与偏微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有
f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, f(xx, y)f(x, y) ——函数f(x, y)对x的偏增量
f(x, yy)f(x, y) ——函数f(x, y)对y的偏增量
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大
到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化
的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,
x2 y1
e2
,
z y
x2 y1
2e2
,
dze2dx2e2dy.
全微分 公式
全微分公式全微分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。
在物理学、工程学和经济学等领域，全微分在描述变量之间的关系和进行近似计算时都起到了重要作用。
在微积分中，全微分是指一个函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。
假设有一个函数f(x,y)，其自变量分别为x和y，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
其中，∂f/∂x和∂f/∂y 分别表示函数f对x和y的偏导数，dx和dy分别表示自变量x和y 的微小变化量。
全微分的概念可以用来描述函数在某一点的局部变化情况。
例如，假设有一个函数f(x,y) = x^2 + y^2，当x和y分别发生微小变化dx和dy时，函数值的变化量df可以用全微分来表示。
根据全微分的定义，df = 2x * dx + 2y * dy。
这个式子说明了函数值的微小变化量df与自变量的微小变化量dx和dy之间的关系。
全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。
泰勒展开式可以将一个函数在某一点附近进行近似表示。
假设有一个函数f(x,y)，在点(x0,y0)处进行泰勒展开，展开的结果可以表示为f(x,y) ≈ f(x0,y0) + ∂f/∂x(x0,y0) * (x - x0) + ∂f/∂y(x0,y0) * (y - y0)。
其中，∂f/∂x(x0,y0)和∂f/∂y(x0,y0)分别表示函数f在点(x0,y0)处的偏导数。
通过将自变量的微小变化量dx和dy带入泰勒展开式，可以得到函数值的微小变化量df。
全微分在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，全微分可以用来描述物理量之间的关系，例如速度、加速度和力之间的关系。
在工程学中，全微分可以用来描述工程系统的变化情况，例如电路中电压和电流之间的关系。
高等数学(第三版)课件：全微分
从而
f (x x, y y) f (x, y) f x(x, y)x f y(x, y)y
例4 求(1.98)4.01 的近似值．
解 (1.98)4.0可1 看作函数 z x y在 x x 1.98 y y 4.01的函数值.取 x 2 x 0.02
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1、引例 一矩形金属片,长为 x ,宽为y ,则面积z xy
当边长x, y分别有增量x,y 时,面积的增量为 z (x x)( y y) xy yx xy xy
z称为函数z xy的全增量，记 (x)2 (y)2
y 4, y 0.01
f x(2,4) yx y1 x2 32 f y(2,4) x y ln x x2 11.09
y4
y4
(1.98)4.01 f x(2,4)x f y(2,4)y f (2,4)
32 (0.02) 11.09 0.0116 15.47
在点 (x, y)处必可微．
例１ 求函数 z x y 的全微分．
解
z yx y1 x
z x y ln x y
d z z d x z d y x y
yx y1 d x x y ln x d y
注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充
分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上
的多元函数.
例２：计算 u
处的两个偏导数 z
x
、yz
必都存在．
(2)函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 处可微,则函数在点(x, y)
处连续．
高等数学 全微分PPT课件
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
机动
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结束
一、全微分的定义
第四节 全微分
z f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y o( )
当 | x |, | y | 充分小时，
x y z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] , 2 2 ( x ) ( y )
x 0 y x
f x (0,0) f y (0,0) 0 ,
lim
x y x 2 y 2
/ x 2 y 2 lim
精确值
0.940326993
12
练习：
P324 习题七
13
f x (1, 2) y x y 1
(1, 2 ) y 2 , f y (1, 2) x ln x (1, 2) 0 ,
f (1, 2) 1 , 所以
(0.97) 2.02 f (1, 2) f x (1, 2) x f y (1, 2) y
1 2 (0.03) 0 0.02 0.94 .
2
二、函数可微的必要条件及充分条件
定理 如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可微分, 则函 数在该点连续.
证明 事实上, 若 z Ax By o( ) ,
则 lim z 0 , 即
0
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
f ( x0 x , y0 y ) lim[ f ( x0 , y0 ) z ]
0
f ( x 0 , y0 ) ，
全微分计算公式
全微分计算公式全微分是数学分析中的一个重要概念，特别是在多元函数的研究中有着广泛的应用。
对于很多同学来说，初次接触全微分计算公式可能会感到有些头疼，但其实只要咱们耐心梳理，它也没那么可怕。
先来说说啥是全微分。
假如咱们有一个二元函数 z = f(x, y)，那它的全微分 dz 就等于∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy 。
这里的∂z/∂x 和∂z/∂y 分别是函数对 x 和 y 的偏导数。
举个例子吧，就说函数 z = x^2 + 2xy + y^2 。
咱们先来求对 x 的偏导数，把 y 看成常数，那∂z/∂x 就是 2x + 2y 。
再求对 y 的偏导数，这次把 x 看成常数，∂z/∂y 就是 2x + 2y 。
假设 x 从 1 变到 1.1，dx = 0.1，y 从 2 变到 2.05，dy = 0.05 。
那全微分 dz 就等于 (2*1 + 2*2) * 0.1 + (2*1 + 2*2) * 0.05 。
算一算，(2*1 + 2*2) * 0.1 + (2*1 + 2*2) * 0.05 = 0.6 + 0.3 = 0.9 。
这时候可能有同学要问了，全微分有啥用呢？其实用处可大啦！比如在实际问题中，我们常常需要估计由于自变量的微小变化引起的函数值的变化量。
通过全微分，就能快速地做出一个相对准确的估计。
还记得有一次，我和朋友去买水果。
苹果的价格是根据重量和品质来定的，假设价格函数是 P(x, y)，x 表示重量，y 表示品质等级。
我们想买稍微重一点、品质好一点的苹果，就想大概算一下价格的变化。
这时候全微分计算公式就派上用场啦，我们根据偏导数和重量、品质的变化量，很快就估算出了价格的变化范围，心里有了底，买起来也更踏实。
再回到全微分计算公式，大家一定要多做练习题来加深理解。
只有通过不断地练习，才能真正掌握这个知识点，遇到问题时才能灵活运用。
总之，全微分计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多思考、多练习，就一定能攻克它！相信大家都能在数学的海洋里畅游，发现更多的乐趣和奥秘！。
全微分的定义与应用
全微分的定义与应用全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化与其自变量的微小变化之间的关系。
在本文中，我们将介绍全微分的定义以及一些常见的应用。
**一、全微分的定义**在微积分中，对于一个具有多个自变量的函数，其全微分可以被定义为函数在某一点处的线性逼近。
假设有一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn为自变量。
在点(a₁, a₂, ..., an)处，函数f的全微分df可以表示为如下形式：df = ∂f/∂x₁ · dx₁ + ∂f/∂x₂ · dx₂ + ... + ∂f/∂xn · dxn其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xn分别表示函数f对自变量x₁, x₂, ..., xn的偏导数，dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。
**二、全微分的应用**全微分的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些常见应用。
**1. 近似计算**全微分可以用于进行函数值的近似计算。
通过求解函数的全微分，可以将函数在某一点处的微小变化近似表示为自变量的微小变化量与偏导数的乘积之和。
这对于计算复杂函数在某一点处的近似值非常有用。
**2. 极值问题**全微分还可以用于求解函数的极值问题。
对于一个多元函数，函数的局部极值点处，其全微分等于0，即df=0。
通过求解这个方程组可以得到极值点的坐标。
**3. 函数的变化率**全微分还可以用于描述函数的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其全微分可以看作一个量对另一个量的变化率。
这对于分析函数在不同自变量取值情况下的变化规律非常有帮助。
**4. 微分方程的求解**全微分在微分方程的求解中也起到重要作用。
通过对微分方程进行全微分，可以将微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到方程的解析解。
**结语**全微分作为微积分中的一个重要概念，在数学和科学研究中有着广泛的应用。
§8.3全微分
有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分(简称可微),
称Ax+By为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记为dz,
即
dz = Ax + By
函数z=f(x, y)若在某区域D内各点处处可微分, 则 称函数z=f(x, y)在D内可微分.
22
dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
例3: 试证函数
f
(
x,
y)
xysin
1 x2 y2
( x, y) (0,0)
0
( x, y) (0,0)
在点(0, 0)处连续且偏导数存在, 但偏导数在点(0, 0)处
不连续, 而函数 f(x, y)在点(0, 0)处可微.
=[ f(x+x, y+y) – f(x, y+y)]
+[ f(x, y+y) – f(x, y)]
对第一个方括号内的表达式在以 x 和 x+x 为端
点构成的区间内应用拉格朗日中值定理(此时将y+y
视为常量), 得
f(x+x, y+y) – f(x, y+y)
= fx(x+1x, y+y)x ( 0<1<1 ) = fx(x, y)x + 1x (依偏导数的连续性) 其中, 1为x→0, y→0时的无穷小量. 同理, f(x, y+y) – f(x, y)
所求全微分为: dz e2dx 2e2dy.
例2: 计算函数 u x sin y e yz 的全微分.
全微分的性质
全微分的性质
全微分是微积分的基本概念，它是描述一元函数增量与多变量异量之间关系的数学表达式，也是研发机器学习中的基础，用于解决优化问题。
全微分的定义是，给定函数f（x，y），当一元变量x和多元可变量y之间存在函数关系时，其全微分表示为：
Df（x，y）=ｆ（x，y）+ｚ（x）exp（ｙ）时，全微分为：
Df（x，y）=∂f∂x+∂f∂y，
其意思是，当一元变量x和多元可变量y相互依存时，函数f的增量与多变量的增量之间
的关系将把两个变量的变化统一起来衡量。
全微分可以给出函数两个变量增量之间的关系，并可以帮助我们理解函数关系，有助于解决优化问题，是研发机器学习的基础。
全微分的求解可以用链式法则来完成，例如：
Df（x，y）=（∂f∂x）a+（∂f∂y）b，
用链式法则，等式左边Df（x，y）可以拆分成：（∂f∂x）a+（∂f∂y）b，而右边Df（x，y）可以拆分成：（∂f（x）/∂x）a+（∂f（x，y）/∂y）b，
用这种方法，可以迅速求出，函数f（x，y）的全微分。
总之，全微分是微积分的基本概念，它可以提供函数两个变量增量之间的关系，有助于解决研发机器学习中的优化问题，是微积分知识的重要内容之一。
高等数学课件第八章全微分
则
称为函数
在点 (x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
处全增量
则称此函数在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
由微分定义 :
思考与练习
1. P72 题 1 (总习题八)
函数
在
可微的充分条件是( )
的某邻域内存在 ;
时是无穷小量 ;
时是无穷小量 .
2. 选择题
答案:
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
在点 (0,0) 可微 .
备用题
在点 (0,0) 连续且偏导数存在,
续,
证: 1)
因
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
但偏导数在点 (0,0) 不连
证明函数
所以
同理
极限不存在 ,
在点(0,0)不连续 ;
同理 ,
在点(0,0)也不连续.
2)
3)
4) 下面证明
可微 :
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
第八章
*二、全微分在数值计算中的应用
应用
第三节
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
【全微分】-图解高等数学系列09
【全微分】-图解高等数学系列09
回忆一元函数的微分就是"以直代曲" - 以切线近似曲线, 也就是对函数增量的线性近似.
全微分的几何意义, "以平代曲" - 就是切平面来近似曲面.
以平面近似曲面
当在某个点处不断放大函数, 观察曲面时候, 可以看到在局部很小的范围内几乎曲面重合(局部线性近似).
全微分(total derivative)
全微分的几何意义 - 函数的增量Δz 用切平面的增量 dz 来近似代替.
上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解高等数学例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看平面相关的动图.
因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列. 感谢关注! Thanks!
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【向量】- 图解高等数学 01
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【平面】- 图解高等数学 05
【二次曲面】- 图解高等数学 06
【空间曲线】- 图解高等数学 07
【导数/微分】- 图解高等数学系列 08。
工科数学分析全微分课件
内容小结
1. 微分定义:
∆z =
+ o(ρ)
ρ = (∆x)2 + (∆y)2
d z = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 偏导数连续 偏导存在
3. 微分应用 近似计算
f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y
= f x (x +θ1∆x, y + ∆y)∆x + f y (x, y +θ2∆y)∆y ( 0 <θ1 , θ2 < 1)
lim α = 0, lim β = 0 ∆x→0 ∆x→ 0 ∆y→0 ∆y→ 0
=[ f x (x, y) + α]∆x +[ f y (x, y) +β ]∆y
∂z ∂z 定理2 充分条件) 定理2 (充分条件) 若函数 的偏导数 偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 可微分. 可微分 证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
=[ f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] +[ f (x, y + ∆y) − f (x, y)]
点 4) 下面证明 f (x, y) 在 (0,0)可微 :
令 ρ = (∆x)2 + (∆y)2 , 则
∆ f − f x (0,0)∆x − f y (0,0)∆y
ρ
说明: 说明 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
3全微分
y
工科数学分析（网课）
东南大学贺传富
5.已知f
(x
,y)在(0,0)处连续,且
(x
lim
,y )→(0,0)
f
(x
,y) − 3x + x2 + y2
4y
= 0.01，
判定f (x,y)在(0,0)处是否可偏导，是否可微？为什么？
6.已知f
(x
,y)
=
y
arctan
0,
1 , (x,y) ≠ (0,0) x2 + y2
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第三节 全微分
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1. 全微分的定义 2. 可微的条件 3. 连续、可导与可微的关系 4. 小结
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一、全微分的定义 1、复习：一元函数的微分：
若 y(x )在点P0满足
∆y =y(x0 + ∆x ) − y(x0 ) =A ⋅ ∆x + o(∆x )
∆x ∆y
− [0 ⋅ ∆x + 0 ⋅ ∆y]
= (∆x )2 + (∆y)2 (∆x )2 + (∆y)2
=
∆x ∆y (∆x )2 + (∆y)2
→ 0.
⇒ f (x,y)在(0,0)处不可微.
( (x
lim
,y )→(0,0)
x
xy 2+
y
2
不存在)
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说明：多元函数的各偏导数存在⇒全微分存在。
(∆x )2 + (∆y)2
(∆x )2 + (∆y)2
全微分求解方法
全微分求解方法一、全微分的概念。
1.1 啥是全微分呢？简单来说，全微分就是用来描述多元函数在各个自变量都有微小变化时，函数值的总体变化情况的一个好东西。
就好比你要考虑一个东西的变化，不是只看一个方面的小变动，而是好几个相关方面都有一点小改变时，对这个东西整体的影响。
这就像我们生活中做事情，不能只看一个因素变了会咋样，得综合考虑好多因素同时有点小波动的情况。
1.2 从数学式子上看，如果有个二元函数z = f(x,y)，那么全微分dz就和x、y 的微小变化dx和dy有关系。
这就像是一个小团队里，每个成员的小行动（dx和dy）都会对整个团队的成果（dz）有影响，牵一发而动全身啊。
二、全微分的求解步骤。
2.1 首先呢，得求出函数对各个自变量的偏导数。
这偏导数就像是在一个多因素的事情里，单独看一个因素对整体的影响程度。
比如说，对于函数z = f(x,y)，就要分别求出∂z/∂x和∂z/∂y。
这就好比在一个大家庭里，要看看爸爸挣钱的能力（∂z/∂x）和妈妈理财的能力（∂z/∂y）对家庭财富（z）的单独影响。
2.2 然后呢，全微分的公式就是dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy。
这就像是把爸爸和妈妈各自对家庭财富的影响（∂z/∂x和∂z/∂y），再结合他们各自的小行动（dx和dy），最后得到家庭财富总体的小变化（dz）。
这个公式看起来简单，但是可别小瞧它，就像老话说的“麻雀虽小，五脏俱全”，这里面包含了多元函数变化的很多奥秘呢。
2.3 要是多元函数的自变量更多，比如说三元函数u = f(x,y,z)，那全微分公式就是du = ∂u/∂x dx+ ∂u/∂y dy + ∂u/∂z dz。
这就好比一个更复杂的团队，有更多的成员，每个成员的小行动（dx、dy、dz）和他们对整体的单独影响（∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z）共同决定了整个团队成果（du）的小变化。
三、全微分求解的实际例子。
3.1 比如说有个函数z = x² + y²，那先求偏导数，∂z/∂x = 2x，∂z/∂y = 2y。
09-10-2BIT7-3全微分
为
dz z x z y．
x y
证 如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 P (x ,y )可 微 分 ,
Q( x x, y y) P 的某个邻域
z A x B y o ()总成立,
当 y 0 时 ， 上 式 仍 成 立 ， 此时|x|,
f(1 ,2 ) 1 , fx(x,y)yyx 1, fy(x,y)xyln x,
fx(1,2)2, fy(1,2)0, 由公式得 ( 1 .0)2 .0 4 2 1 2 0 .0 0 4 0 .02 1.0.8
全微分在近似计算中的应用2 --- 误差估计
设函数z f (x, y),x, y,z分别是各变量的 精确值，x0, y0, z0分别是x, y, z的近似值， 如果
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du udx udyud.z x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数z e xy在点(2,1)处的全微分.
解 z yexy, z xe xy ,
[f( x ,y y ) f( x ,y )],
在 第 一 个 方 括 号 内 ， 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理
f ( x x , y y ) f ( x , y y )
f x ( x 1 x ,y y ) x(011)
fx (x ,y ) x 1 x （依偏导数的连续性）
其 中 1 为 x , y 的 函 数 ,
且 当 x 0 , y 0 时 ， 1 0 .
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一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o(x)
dy f (x)x 应用
本节内容:
一、全微分的定义
近似计算 估计误差
二、全微分在数值计算中的应用
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
z xexy y
Байду номын сангаас
z x
(2,1)
e2 ,
z y
(2,1) 2e2
例2. 计算函数
的全微分.
解: d u
(
1 2
cos
y 2
zeyz
)d y
二、全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算 由全微分定义
z fx (x, y)x f y (x, y)y o()
dz
可知当 及 较小时, 有近似等式:
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分
记作 dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
内容小结
1. 微分定义:
z
o() (x)2 (y)2
d z fx (x, y)dx f y (x, y)dy
2. 重要关系: 函数连续
偏导存在
函数可微
偏导数连续
3. 微分应用 近似计算
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 ; (D) z f x(x, y)x f y (x, y)y
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 .
2. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
fx
(0,0,0)
fx (x, y)x f y (x, y)y
fx (x, y)x f y (x, y)y
思考与练习
1. 选择题
函数 z f (x, y)在 (x0, y0 ) 可微的充分条件是( D )
( A) f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 连续 ; (B) fx(x, y), f y (x, y) 在 (x0 , y0 )的某邻域内存在 ; (C) z fx(x, y)x f y (x, y)y
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
证：z f (x x, y y) f (x, y)
[ f (x x, y y) f (x, y y)]
[ f (x, y y) f (x, y)]
fx (x 1x, y y)x f y (x, y 2y)y ( 0 1 , 2 1 )
z d z fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算; 误差分析)
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算)
例3.计算
的近似值.
解: 设 f (x, y) x y,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x 取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2
0,
x2 y2 0
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
[ fx (x, y) ]x [ f y (x, y) ]y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
注意到
x y
, 故有
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
3. 证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
令y 0, Ax o ( x )
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
所以函数
在点 可微.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 d u u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u d z z
例1. 计算函数
解: z yexy , x
在点 (2,1) 处的全微分.
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因 xy sin 1
xy x2 y2
x2 y2
2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2) f (x,0) 0, fx (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.