圆锥曲线大题题型归纳

圆锥曲线大题题型归纳

基本方法：

1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；

2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；

基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；

5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例1、已知F1，F2为椭圆

2

100

x

+

2

64

y

=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1 PF2=60°，则△F1 PF2的面积为多少？

点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

变式1-1 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且

12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。

⋅=，OP OQ

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

变式2-1 （2012秋•香坊区校级期中）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为3

直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为43

（1）求抛物线的方程；

（2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标．

例3、（2014秋•市中区校级月考）已知椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦

点与短轴两端点构成等边三角形．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，

判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由

点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明

变式3-1 （2012秋•沙坪坝区校级月考）已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=(a＞b＞0)的离心率为焦距为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值．

例4、过抛物线24y ax =（a >0）的焦点F 作任意一条直线分别交抛物线于A 、B 两点，如果AOB ∆（O 为原点）

的面积是S ，求证：2

S AB

为定值。

变式4-1 （2014•天津校级二模）设椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2=43y

的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=

2

且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，使得若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由

（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

题型三“是否存在”问题

例5、（2012秋•昔阳县校级月考）已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线y2=2px（p

变式5-1（2013•柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由

点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。

变式6-2（2014•蚌埠三模）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：

2

21

4

x

y

+=的上、下顶点分别为

A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N；（Ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；

（Ⅱ）求线段MN长的最小值；

（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论