山东省青岛市2020届高三上学期期末考试数学试卷
山东省青岛市2020高三上学期期末考试
山东省青岛市2020高三上学期期末考试在2020年，山东省青岛市高中生迎来了学业上的一个重要节点——高三上学期期末考试。
这次考试对于每一位学生来说都至关重要，因为它不仅代表着他们在这个学期所学的知识水平，更是他们向未来发展迈出的一步。
考试临近时，学生们忙碌地复习着各科目的知识，每一个知识点都值得他们去深入理解和掌握。
政治科目是本次考试的重点之一，学生们需要牢记政治理论知识，了解国家政策与法规。
历史科目同样是考试的难点，需要学生们熟记古代历史事件，理解历史背景和发展脉络。
语文科目考查学生的文字表达能力，需要他们能够准确理解作文题目，用优美的文字表达自己的观点和情感。
数学科目则考验学生的逻辑思维与数学运算能力，需要他们掌握各种解题方法，熟练运用数学知识。
英语科目则需要学生们具备英语听说读写的综合能力，能够顺利阅读英文文献，听懂英语广播。
为了备战这场激烈的考试，学校和老师们积极组织了各类复习辅导班和模拟考试，帮助学生更好地理解和掌握知识。
学生们也自觉地利用课余时间进行复习，积极解答老师布置的作业和练习题。
他们相互之间还互相交流复习心得，共同进步。
终于，期末考试的那一天到来了。
当考卷分发到每一位学生手中时，紧张的气氛弥漫在整个考场。
学生们拿起笔，开始认真解答试题。
时间一分一秒地流逝，他们努力地完成每一道题目，希望能够取得一个满意的成绩。
考试结束后，学生们迫不及待地盼望着成绩的公布。
每个人都希望自己能够取得优异的成绩，为自己的努力和付出交上一份满意的答卷。
无论结果如何，学生们都将以积极的态度迎接未来的挑战，不断进步，追求更好的自己。
2020年山东省青岛市高三上学期期末考试，是一场重要的学业检阅，也是一个学生成长的历练之旅。
希望每一位学生都能从这次考试中汲取到经验和教训，不断提高自己的学习能力，迎接未来更多的挑战和机遇。
愿每一个学生都能勇往直前，书写自己美好的未来！。
山东省青岛市2021届高三数学上学期期末考试试卷(00001)
山东省青岛市2020届高三数学上学期期末考试试题2020．01本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b ，满足()()1,2,2a b a b a b ==+⊥-，则向量a b 与的夹角为A ．45B ．60C ．90D ．1204．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是 A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+，若，则A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市2020届高三上学期期末考试数学试题及答案
A．4
B．3
C．2
D．1
6．在 ABC 中， AB + AC = 2AD, AE + 2DE = 0，若EB = xAB + y AC ，则
A． y = 2x
B． y = −2x
C． x = 2 y
D． x = −2 y
7．已知双曲线
C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1,(a
0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2，O 为坐标原点，P
A．将
y
=
sin
2x
+
3
的图象
C2沿x
轴方向向左平移
12
个单位
B．
y
=
sin
2x
+
3
的图象
C2沿x
轴方向向右平移
11 12
个单位
C．先作 C2关于x
轴对称图象 C3 ，再将图象 C3沿x
轴方向向右平移 5 12
个单位
D．先作
C2
关于
x
轴对称图象
C3
，再将图象
是双曲线在第一象限上的点， PF1 =2 PF2 =2m,(m 0), PF1 PF2 = m2 ，则双曲线 C 的渐
1
近线方程为
A． y = 1 x B． y = 2 x
2
2
C． y = x
8．已知奇函数 f ( x) 是 R 上增函数， g ( x) = xf ( x) 则
D． y = 2x
A.
g
log3
1 4
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
【精品解析】山东省青岛市2020届高三数学上学期期末检测 理(教师版)
【精品解析】山东省青岛市2020届高三数学上学期期末检测试卷总体说明：本套试题紧靠高考出题模式，立足教材，紧扣考试大纲，很好地体现新课标对高中教学与学生能力的要求.知识点涉及多，题目跨度大，能很好的训练学生思维，反映学生的实际水平.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4.参考公式：锥体的体积公式V =13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
柱体体积公式V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
台体体积公式1()3V S S S S h ''=++，S '、S 分别为上、下底面面积，h 为台体的高.球的表面积公式24S r π=，体积公式343V r π=，r 是球的半径。
圆锥的侧面积为rl π，r 为圆锥底面半径，l 为母线.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“∈∃x R ，0123=+-x x ”的否定是 A ．∈∃x R ，0123≠+-x x B ．不存在∈x R ，0123≠+-x x C ．∈∀x R, 0123=+-x x D ．∈∀x R, 0123≠+-x x答案：D解析：根据含有量词的命题的否定规律知D 正确.2.关于命题p ：A φφ=I ，命题q ：A A φ=U ，则下列说法正确的是 A ．()p q ⌝∨为假B ．()()p q ⌝∧⌝为真C ．()()p q ⌝∨⌝为假D ．()p q ⌝∧为真答案：C解析：由题意得命题p ，q 均是真命题，又复合命题的真假判断可知C 项正确.3.已知tan()34πα+=，则的值为A ．21 B ．21- C ．41 D ．41- 答案：A5. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是解析：由三视图可知，该集合体为底面是边长为20的正方形、高为20的四棱锥，1800020202033V =⨯⨯⨯=.6.函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈-U 的图象可能是下列图象中的/()1cos ,(0,)f x x x π=-∈，易知/()0f x ≥在(0,)x π∈恒成立，所以min ()(0)0,(0,)f x f x π>=∈，∴1sin xy x=>，故选答案C.7.等差数列{}n a 中，已知16a =-，0n a =，公差d ∈N *，则n ()3n ≥的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．8答案：A解析：1(1)0n a a n d =+-=，∴61d n =-，又d ∈N *，∴n ()3n ≥的最大值为7. 8.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ； ②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥. 其中正确的个数为 A ．0个B ．1个C ． 2个D ． 3个答案：B解析：①b ，c 可能异面；②b ，c 可能异面，也可能平行. 9.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．3-B ．6C 3D ．3-答案：D解析：由函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，可知2πϕ=，24πω=，∴2πω=，3A =，∴()3sin2f x x π=-，(1)3f =-.10.以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是 A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=答案：D解析：由222690x y x y +-++=可知圆心坐标为(1,3)-，设抛物线方程为22x py =-或22y px =，将点(1,3)-分别代入得23x y -=或x y 92=.11.以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线 A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定答案：C解析：左焦点F 为(-c,0),渐近线方程为by x a=即0bx ay -=,∴圆心到直线的距离为22||bc b a b-=+，所以相切.12.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过*(N )n n ∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数 ①1()f x x x =+(0)x > ② 3()g x x = ③1()()3x h x = ④()ln x x ϕ=， 其中是一阶整点函数的是 A ．①②③④B ．①③④C ．④D ．①④答案：D解析：3()g x x =通过点（1,1），（2,8）等，故不是一阶整点函数；1()()3xh x =通过点（-1,3），（-2,9）等，故不是一阶整点函数.所以选D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为 .答案：14π答案：4解析：点),(nmA在直线022=-+yx上，则220m n+-=，即22m n+=，224224224m n m n m n++≥⋅==.16.设不等式组2030322xyx y⎧-≤⎪-≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域为S，若A、B为S内的两个点，则AB的最大值为 .答案：65解析：做出线性约束条件下的可行域，可得到是一个直角三角形，解得两个锐角顶点一个为（-2，-4），一个为（83，3），由两点间的距离公式得228||(2)(34)653AB=+++=三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知函数221y ax ax =++的定义域为R ，解关于x 的不等式220x x a a --+> .答案：综上，当102a ≤<时，不等式的解集为：{x x a <或1}x a >- 当12a =时， 不等式的解集为：1{}2x x ≠当112a <≤时，不等式的解集为：{1x x a <-或}x a >………………………12分 解析说明：由函数221y ax ax =++R 可求a 的取值范围，在a 的范围内讨论方程220x x a a --+=的两根的大小，写出解集. 18．（本小题满分12分） 已知函数2231()2(cos sin )12f x x x x =---，R x ∈，将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数()g x ，设ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . （Ⅰ）若7c =()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B =u r ，(1,sin cos tan )n A A B =-r，求m n ⋅u r r 的取值范围.答案：解析：（Ⅰ）2231()2(cos sin )12f x x x x =---31sin 2cos 21sin(2)1226x x x π=--=--…………………………………………1分 ()sin(2)106f C C π=--=,所以sin(2)16C π-=因为112(,)666C πππ-∈-,所以262C ππ-=所以3C π= …………………3分由余弦定理知：222cos73a b ab π+-=，因sin 3sin B A =,所以由正弦定理知：3b a = ………………………………………………………5分解得：3,1==b a …………………………………………6分（Ⅱ）()sin(2)16g x x π=+-所以()sin(2)106g B B π=+-=,所以sin(2)16B π+=因为132(,)666B πππ+∈,所以262B ππ+= 即6B π=3(cos ,)2m A =u r ，3(1,sin cos )3n A A =-r 于是3313cos (sin cos )cos sin sin()23226m n A A A A A A π⋅=+-=+=+u r r …… 8分 5(0,)66B A ππ=∴∈Q ,得 ),6(6πππ∈+A ………………………………10分∴ ]1,0()6sin(∈+πA ，即](0,1m n ⋅∈u r r …………………………………………………12分解析说明：（1）将2231()sin 2(cos sin )122f x x x x =---化为sin(2)16y x π=--的形式后，代入C 求解.（2）sin()6m n A π⋅=+u r r ，根据B 的范围求得A 的范围，再求m n ⋅u r r 的范围.19．（本小题满分12分） 设同时满足条件：①122++≥+n n n b b b ；②n b M ≤(N n *∈，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n b 叫“嘉文”数列.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0a ≠，1a ≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21nn nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值，并证明此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“嘉文”数列.若{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而13b =，232a b a+=，232322a a b a ++=故22232322()3a a a a a +++=⋅，解得13a = ………………………………7分 再将13a =代入得3nn b =成等比数列， 所以13a =成立 …………………8分 由于①2221111111121133332223n n n n n n n n b b b ++++++⋅+=>==…………………10分 （或做差更简单：因为0323135121121212>=-=-++++++n n n n n n b b b ，所以211112n n n b b b +++≥也成立) ②11133n n b =≤，故存在13M ≥； 所以符合①②,故1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“嘉文”数列………………………………………12分 解析说明：利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a 与1n a -之间的关系，利用等比数列的定义证明.根据所给定义证明即可. 20．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点.（Ⅰ）求四棱1B AECD -的体积； （Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ； （Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值. 答案：解析：（Ⅰ）取AE 的中点,M 连接1B M ，因为12BA AD DC BC a ====，ABE ∆为等边三角形，则132B M a =，又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ，……2分所以313sin 3234a V a a a π=⨯⨯⨯⨯= …………………4分（Ⅱ）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，因为AECD 为菱形，OE OD =，又F 为1B D 的中点，所以FO ∥1B E ，所以1B E ∥面ACF …………………………………7分（Ⅲ）连接MD ，分别以1,,ME MD MB 为,,x y z 轴 则1333(,0,0),(,,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,)22222a a E C a a A D a B a - 113333(,,0),(,0,),(,,0),(,0,)2222a a a a a a a aEC EB AD AB ==-==u u u r u u u r u u u r u u u r ……9分设面1ECB 的法向量(,,)v x y z '''=r ，30223022a x ay a x az ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''-+=⎪⎩，令1x '=，则33(1,,)33u =-r 设面1ADB 的法向量为(,,)u x y z =r ，30223022a x ay a x az ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令1x =，则33(1,,)33v =--r …………………………………………………………11分 则111333cos ,51111113333u v +-<>==++⨯++r r ，所以二面角的余弦值为35……………12分 解析说明：利用体积公式即可.构造三角形BD E 的中位线，利用线面平行的判定定理证明即可. 以1,,ME MD MB 为,,x y z 轴，通过求两平面的法向量所成的角，进而求得两平面所成的角.依题意有13-和1是方程02322=-+a bx ax 的两根∴2233133b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴()32f x x x x =--．（经检验，适合）……5分（Ⅱ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,∴当6a =时，()p a 有极大值为324，∴()p a 在(]0,9上的最大值是324， ∴b 的最大值为18． ……………………………12分 解析说明：利用极值点的导数为零，可求得a ，b 的值，从而可得函数的解析式.由1212()x x x x ≠、是函数导数的零点，根据二次方程根与系数的关系，构造b 关于a 的函数，利用导数求解.22．（本小题满分14分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线1:l 220x y --=相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程；（Ⅱ）设点0,0()A x y 为圆上任意一点,AN x ⊥轴于N ,若动点Q 满足OQ mOA nON =+u u u r u u u r u u u r ,(其中1,,0,m n m n m +=≠为常数),试求动点Q 的轨迹方程2C ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当32m =时,得到曲线C ，问是否存在与1l 垂直的一条直线l 与曲线C 交于B 、D 两点,且BOD ∠为钝角，请说明理由.答案：解析：(Ⅰ)设圆的半径为r ,圆心到直线1l 距离为d ，则22|22|211d -==+…………2分 所以圆1C 的方程为224x y +=……………………………………………………3分（Ⅱ）设动点(,)Q x y ,0,0()A x y ,AN x ⊥轴于N ,0(,0)N x由题意,000(,)(,)(,0)x y m x y n x =+，所以000()x m n x x y my =+=⎧⎨=⎩………………5分即: 001x x y y m =⎧⎪⎨=⎪⎩，将1(,)A x y m 代入224x y +=,得222144x y m +=………………7分 （Ⅲ）32m =时,曲线C 方程为22143x y +=，假设存在直线l 与直线1:l 220x y --=垂直,设直线l 的方程为y x b =-+ ………………………………………………8分设直线l 与椭圆22143x y +=交点1122(,),(,)B x y D x y 联立得:223412y x b x y =-+⎧⎨+=⎩，得22784120x bx b -+-= ………………………9分 因为248(7)0b ∆=->，解得27b <，且212128412,77b b x x x x -+==……10分 12121212()()OD OB x x y y x x b x b x ⋅=+=+--u u u r u u u r 212122()x x b x x b =-++ 222824877b b b -=-+27247b -=………………………………………………12分。
青岛市2020届高三上学期期末考试数学试题(附详细答案)
青岛市2020届高三上学期期末考试试题数学试题2020．01本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i - 2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是 A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB xAB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市胶州市2020届高三上学期期末考试数学试题及答案
青岛市胶州市2019-2020学年度第一学期期末学业水平检测本试卷6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合2{R |20}A x x x =∈−−<，集合{R |}x B x e e =∈≥，则=B A （ ）A ．)2,1(B ．(1,2]C ．[1,2]D ．[1,2)2．已知i 是虚数单位，复数(R)1a ia i+∈+为纯虚数的充要条件是（ ） A ．2a = B ．1a = C ．1a =− D ．2a =−3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，……．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．则第七组的频数为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．164．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2) 2 ()f x f x +=，且[]12,(0,1)()ln(2),1,2x x f x x x +⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩．则()f e =（ ）A ．12e +B ．2eC ．12e −D ．ln(2)e +5．在直角梯形ABCD 中，4AB =，2CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 为BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=（ ）A ．20B ．16C ．12D ．86．已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x −+>的解集为（ ）A ．(,3)−∞−B ．(,1)−∞C ．(3,)−+∞D ．(1,)+∞7．三棱锥P ABC −的底面ABC ∆2的球上，则三棱锥P ABC −的体积最大值为（ ）A ．34B C ．34+ D ．94+ 8．已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，满足(1)(1)f x f x −=+，()()f x f x −=−，且()f x 在[0,1]上单调递增，若2(log 3)a f =，b f =，(2020)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年1月山东省青岛市2020届高三上学期期末考试数学试题及答案
绝密★启用前山东省青岛市普通高中2020届高三年级上学期期末教学质量监测数学试题2020年1月本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前,考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈,则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r ,则向量a b r r 与的夹角为 A ．45o B ．60o C ．90o D ．120o4．已知数列{}n a 中,372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a = A ．23 B ．32 C ．43 D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．在ABC ∆中,2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若,则A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =- 7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,则双曲线C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
山东省青岛市2020届高三数学上学期期末考试试卷
山东省青岛市2020届高三数学上学期期末考试试题2020．01本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b ，满足()()1,2,2a b a b a b ==+⊥-，则向量a b 与的夹角为A ．45B ．60C ．90D ．1204．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是 A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题(含答案解析)
2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知条件可得，然后代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵复数在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，得成立；若，得【详解】若，得成立；反之，若，得故选：C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.3．向量,a b r r 满足1a r =，b =r ，()(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C【解析】试题分析：设向量a r 与b r 的夹角为θ．∵()(2)a b a b +⊥-r rr r ，∴2222()(2)2211cos 0a b a b a b a b θ+⋅-=-+⋅=⨯-+=rrrrrrrr ，化为cos 0θ=，∵[0,]θπ∈，∴090θ=．故选C ． 【考点】平面向量数量积的运算． 4．已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32 C ．43D ．34【答案】C【解析】根据等差数列的性质先求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差，即可求出5a ． 【详解】设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则73114d a a =+，即1142d =+，解得18d =． 则53111132244d a a =+=+=，解得343a =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．5．已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出． 【详解】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6．在ABC ∆中,2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ,20AE DE +=u u u r u u u r,若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,则( )A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【解析】依题可得，点D 为边BC 的中点，2AE DE =-u u u r u u u r，从而可得出1()6DE AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ， 1()2DB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ， 2133EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，从而可得出21,33x y ==-，即可得到2x y =-．【详解】如图所示：∵2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r， ∴点D 为边BC 的中点，∵20AE DE +=u u u r u u u r ，∴2AE DE =-u u u r u u u r ，∴11()36DE AD AB AC =-=-+u u u r u u u r u u ur u u u r ，又11()22DB CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．又EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴21,33x y ==-，即2x y =-． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量基本定理等知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==u u u u r u u u u r ,(0m >),212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r ,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y x =C ．y x =±D ．y =【答案】D【解析】利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出． 【详解】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==u u u u r u u u u r 可得2m a =，由212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r 可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 8．已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】根据定义，可判断出()g x 为偶函数，根据其导数可得出，0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小． 【详解】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及 当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数． 因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<． 故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3【答案】ABD【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h =，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故222111322r ++==，故选项D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题． 10．要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位 B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC【解析】根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到． 【详解】对于A ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项A 正确；对于B ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项C 正确； 对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故选项D 不正确．故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题． 11．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD【解析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横②直角顶点A在1坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中③直角顶点A在x轴上，斜边在1点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横④直角顶点A在x轴上，斜边不在1坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．三、填空题13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB V 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．【答案】【解析】根据等腰直角三角形边长可求得弦长2AB =，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离d ，根据垂径定理构造方程可求得结果. 【详解】AOB ∆Q 为等腰直角三角形 OA OB ∴⊥，又OA OB r === 2AB ∴=又圆O的圆心到直线距离d ==2AB ∴===，解得：a =故答案为【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为. 14．已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3【解析】设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1x a+，得k 切＝01x a +＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ． 【详解】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+． 所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案为3． 【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15．2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间Ｔ(单位:年)的衰变规律满足573002TN N -=⋅(0N 表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到______年之间.(参考数据:lg 20.3≈,lg 70.84≈,lg30.48≈) 【答案】126876 【解析】把5730T =代入573002TN N -=⋅，即可求出；再令3573072T ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出T 的范围． 【详解】 ∵573002TN N -=⋅，∴当5730T =时，100122N N N -=⋅=， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12， 由题意可知：3573072T ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7T ->， ∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2T -->=≈-，6876T ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876． 【点睛】本题主要考查了对数的运算， 以及利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题． 16．已知ABC ∆的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α异侧,且2AB =,3AC =,若AB ,AC 与α所成的角分别为3π,6π,则线段BC 长度的取值范围为______.【答案】7,13⎡⎤⎣⎦【解析】由题意画出图形，分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ，根据()222111111274BC BB B C C CB C =++=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 可知，线段BC 长度的最大值或最小值取决于11B C 的长度，而111111AB AC B C AB AC -≤≤+u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r，即可分别求出BC 的最小值与最大值． 【详解】如图所示：分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ． 由已知可得，13BB =13CC =11AB =，132AC =． ∵1111BC BB BC C C=++u u u r u u u r u u u u r u u u u r， ()22222221111111111111132723344BC BB B C C CBB B C C C BB C C B C B C =++=+++⋅=+++=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 而111111AB AC B C AB AC -≤≤+u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， ∴当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点同侧时，BC 长度最小，此时111131122B C AB AC =-=-=u u u u r u u u r u u u u r ，BC 最小为= 当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点异侧时，BC长度最大，此时111135122B C AB AC =+=+=u u u u r u u u r u u u u r ，BC =．∴线段BC 长度的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．四、解答题17．已知()()2cos sin f x x x x =-+. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)π,32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)⎡-⎣. 【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 的解析式进行三角恒等变换，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据周期公式和整体代换法即可求出周期和单调递减区间；(2)令42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，由sin y t =在4,33ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求出22sin t -≤≤，从而求出()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围．【详解】(1)由题意，化简得())22cos sin 2cos 1f x x x x =-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期π ∵sin y x =的减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+．所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．(2)因为∵,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，即有22sin t -≤≤所以，函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围是⎡-⎣． 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，周期公式的应用，整体代换法求正弦型函数的单调区间，以及换元法求三角函数在闭区间上的值域，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．18．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a=+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S . 【答案】(1)45;(2)152或92. 【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出． 【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c=由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析,12n n a -=;(2)不存在,理由见解析.【解析】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在． 【详解】(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈ 因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列． ∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21n n S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2) 因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+ ∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n nn n T -+=++⋅⋅⋅+-=- 即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226xf x x =--(1x ≥)，()2ln 210x f x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及其通项公式的求法，错位相减法，构造函数法，零点存在性定理等的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题． 20．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)5. 【解析】(1)按照题目定义，只要证明AB ⊥面11ACC A 即可，而由1A A AB ⊥，AB AC ⊥即可证出AB ⊥面11ACC A ；(2)先根据基本不等式求出当AB AC ==鳖膈1C ABC -体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角11C A B C --的余弦值． 【详解】(1)∵1A A ⊥底面ABC ，AB Ì面ABC ∴1A A AB ⊥又AB AC ⊥，1A A AC A =I ∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形 ∴四棱锥11B A ACC -为阳马．(2)∵AB AC ⊥，2BC =，∴224AB AC += 又∵1A A ⊥底面ABC ， ∴111132C ABC V C C AB AC -=⋅⋅⋅ 221123323AB AC AB AC +=⋅⋅≤⋅=当且仅当AB AC ==113C ABC V AB AC -=⋅⋅取最大值∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系)B，()C ，()10,0,2A)12A B =-uuu r，()BC =u u u r，()11AC =uuu u r设面1A BC 的一个法向量()1111,,n x y z =u r由11100n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v得)1n =ur同理得()22,0,1n =u ur∴12121215cos ,5||||n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r二面角11C A B C --的余弦值为155．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．21．给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O ,22a b +C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率22,点(2在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值.【答案】(1)22184x y +=,2212x y +=;(2)证明见解析.【解析】(1)根据题意列出222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩再结合222a b c =+即可解出22a =，2b =，从而得到椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；(2) 根据1l ⊥2l 分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设1l 无斜率)，可知其方程为2x =22x =-43MN =经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，与椭圆方程联立，由0∆=可得()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===---，所以线段MN 应为“卫星圆”的直径，即MN = 【详解】(1)由条件可得:222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a =2b =所以椭圆的方程为22184x y +=，卫星圆的方程为2212x y +=(2)①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，∴12l l ⊥∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则，()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得到()()()2220000124280tx t y tx x y tx ++-+--=，∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===--- 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点()00,P x y ，又分别交“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 是“卫星圆”220012x y +=的直径，∴MN 为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题．22．已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1) 设()()112cos g x f x x x'==-+，然后判断函数()g x '在(0,)π上的符号，得出()g x 的单调性，再利用零点存在定理判断()g x 在(0,)π上是否存在唯一零点即可；(2) 分(0,)x π∈，[),2x ππ∈，和[)2,x π∈+∞三种情况分别考虑()f x 的零点存在情况，从而得证．【详解】(1)设()()112cos g x f x x x'==-+， 当()0,x π∈时，()212sin 0g x x x '=--<，所以()g x 在()0,π上单调递减， 又因为31103g ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ 所以()g x 在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点α，所以命题得证． (2) ①由(1)知：当()0,x α∈时，()0f x '>，()f x 在()0,α上单调递增;当(),x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(),απ上单调递减;所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 所以()ln 2202222f f ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220f e e e e ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭所以()f x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20f ππππ=-<-<所以()f x 在(),απ上也恰有一个零点．②当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤-设()ln h x x x =-，()110h x x'=-< 所以()h x 在[),2ππ上单调递减，所以()()0h x h π≤<所以当[),2x ππ∈时，()()()0f x h x h π≤≤<恒成立所以()f x 在[),2ππ上没有零点．③当[)2,x π∈+∞时，()ln 2f x x x ≤-+设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-< 所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20f x x ϕϕπ≤≤<恒成立所以()f x 在[)2,π+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，零点存在性定理的应用，以及放缩法的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的能力，转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力，属于较难题．。
2020届山东省青岛市胶州市高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2020届山东省青岛市胶州市高三上学期期末考试数学试题一、单选题1．集合{}220A x R x x =∈--<，集合{}xB x R e e =∈≥，则A B =I （ ） A ．()1,2 B ．(]1,2C ．[]1,2D ．[)1,2【答案】D【解析】计算{}12A x x =-<<，{}1B x x =≥，再计算交集得到答案. 【详解】{}{}22012A x R x x x x =∈--<=-<<，{}{}1x B x R e e x x =∈≥=≥.故[)1,2A B =I . 故选：D . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 2．已知i 是虚数单位，复数1a ii++（a R ∈）为纯虚数的充要条件是（ ） A ．2a = B ．1a =C ．1a =-D ．2a =-【答案】C 【解析】化简得到11122a i a ai i ++-=++，根据复数类型得到答案. 【详解】()()()()()11111111222a i i a a i a i a ai i i i +-++-++-===+++-，为纯虚数，故1a =-. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力.3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，…….如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.则第七组的频数为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．16【答案】A【解析】直接根据频率和为1计算得到答案. 【详解】设第七组的频率为p ，则()0.0040.0120.0160.030.020.0060.004101p +++++++⨯=，故0.008p =. 故第七组的频数为：100100.0088⨯⨯=. 故选：A . 【点睛】本题考查了频率分布直方图，意在考查学生对于频率直方图的理解和掌握.4．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()2 2 f x f x +=，且()()[]12,0,1ln(2),1,2x x f x x x +⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩则()f e =（ ） A ．12e + B ．2eC ．12e -D ．()ln 2e +【答案】B【解析】取2x e =-，代入()()2 2 f x f x +=，计算得到答案. 【详解】()()122222e e f e f e -=-=⋅=.故选：B . 【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.5．在直角梯形ABCD 中，4AB =，2CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=u u u v u u u v u u u v（ ）A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】由数量积的几何意义可得8AB AC ⋅=u u u v u u u v ，12AB AE ⋅=u u u v u u u v，又由数量积的运算律可得()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，代入可得结果.【详解】∵()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由数量积的几何意义可得：AB AC u u u v u u u v ⋅的值为AB u u u v 与AC u u u v 在AB u u u v方向投影的乘积， 又AC u u u v 在AB u u u v方向的投影为12AB =2， ∴428AB AC ⋅=⨯=u u u v u u u v ，同理4312AB AE ⋅=⨯=u u u v u u u v，∴()81220AB AC AE ⋅+=+=u u u v u u u v u u u v，故选D. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题. 6．已知函数()1xf x x=+，则不等式()()320f x f x -+>的解集为（ ） A ．(),3∞-- B ．(),1-∞C ．()3,-+∞D ．()1,+?【答案】D【解析】确定函数为奇函数和增函数，化简得到32x x ->-，解得答案. 【详解】()1x f x x =+，()()1xf x f x x--==-+，函数为奇函数， 当0x >时，()1111x f x x x ==-++，函数单调递增，函数连续，故()f x 在R 上单调递增.()()320f x f x -+>，故()()32f x f x ->-，即32x x ->-，解得1x >.故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性和单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.7．三棱锥P ABC -的底面ABC ∆该三棱锥的所有顶点均在半径为2的球上，则三棱锥P ABC -的体积最大值为（ ）A ．B C D 【答案】C【解析】计算1r ==max 2h =，再计算体积得到答案. 【详解】ABC ∆中，22sin ar A==，即1r ==故max 2h =，故max max 11sin 32V bc A h =⨯⨯=故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的体积的最值，确定高的最大值是解题的关键.8．已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，满足()()11f x f x -=+，()()f x f x -=-，且()f x 在[]0,1上单调递增，若()2log 3a f =，b f=，()2020c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D【解析】计算函数周期为4，()()202000c f f ===，计算0b <，0a >，得到答案. 【详解】()()f x f x =--，()()11f x f x -=+，则()()()2f x f x f x -=+=-，故()()()42f x f x f x +=-+=，故函数周期为4，()()202000c f f ===，)(440b ff f ===-<，()()22log 32log 30a f f ==->.故b c a <<. 故选：D . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，周期性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.二、多选题9．已知点()1,0F 为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为（ ） A ．24y x =B ．24x y =C ．22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<） D ．22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<） 【答案】AD【解析】依次计算每个曲线方程的焦点判断得到答案. 【详解】A. 24y x =，抛物线的焦点为()1,0F ，满足；B. 24x y =，抛物线的焦点为()0,1F ，不满足；C. 22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<），焦点为()，或(0,或曲线表示圆不存在焦点，02πθ<<，则22cos sin cos 21θθθ-=≠，均不满足；D. 22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<），双曲线的焦点为()1,0F ，满足； 故选：AD . 【点睛】本题考查了曲线的焦点，意在考查学生对于圆锥曲线知识的综合应用.10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．直线BM 与平面11ADD A 平行B ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为3π D ．1MB MD +的最小值为5 【答案】ACD【解析】根据线面平行，异面直线夹角，截面图形，线段最值的计算依次判断每个选项得到答案. 【详解】如图所示：易知平面11//BCC B 平面11ADD A ，BM ⊂平面11BCC B ，故直线BM 与平面11ADD A 平行，A 正确；平面1BMD 截正方体所得的截面为1BMD N 为四边形，故B 错误；连接1BC ，1A B ，易知11//AD BC ，故异面直线1AD 与11A C 所成的角为11AC B ∠，1111A B AC BC ==，故113AC B π∠=，故C 正确；延长DC 到'B 使'1CB =，易知'BM B M =，故11'5MB MD D B +≥=， 当M 为1CC 中点时等号成立，故D 正确； 故选：ACD .【点睛】本题考查了异面直线夹角，截面图形，线面平行，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11．对于函数()313f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（ ）A ．若2ω=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的最小值为12-；B ．若2ω=，则函数21y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()y f x =的图象；C ．若2ω=，则函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；D ．若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则2ω=. 【答案】AD【解析】根据三角函数的单调性，周期，最值，平移依次判断每个选项判断得到答案. 【详解】2ω=，则()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.故()()min 102f x f ==-，A 正确；21y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()2213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故B 错误； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数先增后减，故C 错误； 函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则44T π=，故T π=，2ω=，D 正确； 故选：AD . 【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，单调性，周期，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.12．如图()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，»CD是以OD 为直径的圆上一段圆弧，»CB是以BC 为直径的圆上一段圆弧，»BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W .则下述正确的是（ ）A ．曲线W 与x 轴围成的面积等于2π；B ．曲线W 上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；C ．»CB所在圆的方程为：()2211x y +-=； D ．»CB与»BA 的公切线方程为：21x y+=+.【答案】BCD【解析】计算面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；计算圆方程得到C 正确；计算公切线得到D 正确；得到答案. 【详解】如图所示：连接BC ，过点C 作CK ⊥x 轴于K ，BL x ⊥轴于L . 则面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；»CB所在圆圆心为()0,1，半径为1，故圆的方程为：()2211x y +-=，C 正确； 设»CB与»BA 的公切线方程为：y kx b =+，根据图像知k 0<，则2211,111k b b kk+-==++，解得1k =-，21b =+，即21x y +=+，D 正确；故选：BCD .【点睛】本题考查了圆的面积，圆方程，公切线，意在考查学生的计算能力.三、填空题13．若命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1a <-；【解析】根据命题为假得到220x x a -->恒成立，计算得到答案. 【详解】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，故220x x a -->恒成立.440a ∆=+<，故1a <-.故答案为：1a <-. 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的推断能力.14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N .若321320S S S -+=，则21a a =______. 【答案】2；【解析】根据等比数列公式化简得到322a a =，3212a a a a =得到答案. 【详解】321320S S S -+=，故()()123121320a a a a a a ++-++=，即322a a =，32122a a a a ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列公式，意在考查学生的计算能力.15．若二项式()13nx -（n *∈N ）的展开式中所有项的系数和为32-，则： （1）n =______；（2）该二项式展开式中含有3x 项的系数为______. 【答案】5 270-；【解析】（1）取1x =，代入计算到答案. （2）直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】（1）取1x =，则()1332n -=-，故5n =；（2）()()5155133r r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，取3r =得到系数为()3353270C ⋅-=-.故答案为：(1)5 ；(2)270-. 【点睛】本题查看了二项展开式的计算，意在考查学生的计算能力. 16．黄金分割比0.618ω=≈被誉为“人间最巧的比例”.离心率12e =的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点分别为A ，B ，“优美椭圆”C 上动点P （异于椭圆的左右顶点），设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k =______.【解析】设()cos ,sin P a b θθ，,2k k Z πθ≠∈，(),0A a -，(),0B a ，计算2121k k e =-得到答案. 【详解】设()cos ,sin P a b θθ，,2k k Z πθ≠∈，(),0A a -，(),0B a ， 则()222212222sin sin sin 11cos cos 2cos 1b b b b k k e a a a a a a θθθθθθ-=⋅==-=-=+--.. 【点睛】本题考查了根据椭圆的离心率求斜率关系，意在考查学生的计算能力.四、解答题17．已知数列{}n a ，{}n b 满足：11a =，10b =，1443n n n b a b +=++，1434n n n a a b +=++，*n ∈N .（1）证明：数列{}n n a b +为等差数列，数列{}n n a b -为等比数列； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n W ，求n W 及使得9n W >的n 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）21122nn n W ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；5n ≥【解析】（1）两式相加得到()()112n n n n a b a b +++-+=，两式相减得到1112n n n n a b a b ++-=-，得到证明.（2）计算1122n n a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，21122nn n W ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解不等式得到答案.【详解】（1）由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相加得：()()11448n n n n a b a b +++=++所以()()112n n n n a b a b +++-+=，因此数列{}n n a b +是以2为公差的等差数列 由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相减得：()()1142n n n n a b a b ++-=-，所以1112n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，因此数列{}n n a b -是以12为公比的等比数列 （2）21n n a b n +=-，112n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，两式相加得：1122nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()2111221*********nn nn n n n W ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=+- ⎪⎝⎭-因为11022nn a n ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以1n n W W +>又因为419916W =-<，52719232W =->， 所以使得9n W >的n 的取值范围为5n ≥. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的证明，分组求和法，根据数列的单调性解不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2B Ca Bb +=. （1）求A ；（2）若2b c +=，求a 取最小值时ABC ∆的面积S . 【答案】（1）3A π=（2）4【解析】（1）化简sin cos2Aa Bb =，再利用正弦定理计算得到答案. （2）根据余弦定理得到22()3a b c bc =+-，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）因为sin sin2B C a B b +=，所以sin sin 22A a B b π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos 2A a B b =，由正弦定理得sin sin sin cos2AA B B =， 由于C 为ABC ∆的内角，所以sin 0B ≠，所以sin cos 2A A =，即2sin cos cos 222A A A= 由于B 为ABC ∆的内角，∴cos 02A ≠，所以1sin 22A =，又因为()0,A π∈，所以26A π=，3A π=； （2）在ABC ∆中由余弦定理知：()2222222cos ()332b c a b c bc A b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭，所以1a ≥，等号当仅当1b c ==时等号成立，此时13sin 2S bc A ==. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 19．如图，在三棱台ABC DEF -中，2BC EF =，G ，H 分别为AC ，BC 上的点，平面//GHF 平面ABED ，CF BC ⊥，AB BC ⊥.（1）证明：平面BCFE ⊥平面EGH ；（2）若AB CF ⊥，22AB BC CF ===，求二面角B AD C --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）3π【解析】（1）证明GH BC ⊥，HE BC ⊥得到BC ⊥平面EGH ，得到答案.（2）分别以HG ，HB ，HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，计算平面ABD 的一个法向量为()0,1,1m =u r，平面ADC 的一个法向量为()1,1,0n =-r，计算夹角得到答案.【详解】（1）因为平面GHF ∥平面ABED ，平面BCFE ⋂平面ABED BE =， 平面BCFE ⋂平面GHF HF =，所以BE HF ∥.因为BC EF ∥，所以四边形BHFE 为平行四边形，所以BH EF =， 因为2BC EF =，所以2BC BH =，H 为BC 的中点.同理G 为AC 的中点，所以//GH AB ，因为AB BC ⊥，所以GH BC ⊥， 又HC EF ∥且HC EF =，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF HE ∥， 又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE GH H =I ，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ⊂平面BCFE ，所以平面BCFE ⊥平面EGH（2）HE HB ⊥，HG HB ⊥，AB CF ⊥，CF HE ∥，//GH AB ，所以HE HG ⊥. 分别以HG ，HB ，HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则()2,1,0A ，()0,1,0B ，()1,0,1D ，()0,1,0C -.设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ，因为()2,0,0AB =-u u u r ，()1,1,1BD =-u u u r则1111200m AB x m BD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取11y =，得()0,1,1m =u r .设平面ADC 的一个法向量为()222,,n x y z =r ，因为()1,1,1AD =--u u u r，()2,2,0AC =--u u u r则222220220n AD x y z n AC x y ⎧⋅=-=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取21x =，得()1,1,0n =-r . 所以1cos ,2m n m n m n ⋅==⋅u r ru r r ur r ，则二面角B AD C --的大小为3π【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司职位A B C D职位A B C D 月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公150********司若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：0.0500.0250.0100.0053.841 5.024 6.6357.879【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）分别求出两家公司的月薪的期望E（X）、E（Y），经计算E（X）＝E（Y），再求出两家公司的月薪的方差，D（X）＜D（Y），比较这些数据即可作出选择；（2）由k1＝5.5513＞5.024，结合表中对应值，可以得出“选择意愿与年龄有关系”的结论的犯错的概率的上限，由题中数据可以得到选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表，求出对应的K2，可得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率的上限，从而可知选择意愿与性别关联性更大。
山东省青岛市黄岛区2020届高三上学期期末学业水平检测数学答案
高三数学答案第1页共5页（数学是有生命的，题目是有经典的）2019-2020学年度第一学期期末学业水平检测高三数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1-8：D C A B A D C D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9.AD;10.ACD;11.AD;12.BCD;三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.1a <-；14.2；15.5，270-；16.12；四、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）解：（1）由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相加得：114()4()8n n n n a b a b +++=++所以11()()2n n n n a b a b +++-+=，因此数列{}n n a b +是以2为公差的等差数列·········2分又由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相减得：114()2()n n n n a b a b ++-=-，所以1112n n n n a b a b ++-=-，又1110a b -=≠，因此数列{}n n a b -是以12为公比的等比数列·····························4分（2）由（1）知：1121()2n n n n n a b n a b -+=--=，两式相加得：11()22n n a n =-+·······································································6分所以211[1(](1)1221(1222212n n n n n n n W -+=-+=+--···········································8分因为11(022n n a n =-+>，所以1n n W W +>······················································9分又因为45127199,916232W W =-<=->，所以使得9n W >的n 的取值范围为5n ≥·························································10分18.（12分）解：（1）因为sin sin2B C a B b +=，所以sin sin()22A a B b π=-，即sin cos 2A a B b =，·········································1分由正弦定理得sin sin sin cos 2A B B A =，·························································2分由于C 为ABC ∆的内角，所以sin 0B ≠，························································3分所以sin cos 2A A =，即2sin cos cos 222A A A =···················································4分由于B 为ABC ∆的内角，∴cos 02A ≠，。
2020届山东省青岛市胶州市高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2020届山东省青岛市胶州市高三上学期期末考试数学试题本试卷6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2.作答选择题时：选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效；3.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}220A x R x x =∈--<，集合{}xB x R e e =∈≥，则A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. []1,2D. [)1,2【答案】D 【解析】 【分析】计算{}12A x x =-<<，{}1B x x =≥，再计算交集得到答案.【详解】{}{}22012A x R x x x x =∈--<=-<<，{}{}1xB x R e e x x =∈≥=≥. 故[)1,2AB =.故选：D .【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 2.已知i 是虚数单位，复数1a ii++（a R ∈）为纯虚数充要条件是（ ） A. 2a = B. 1a =C. 1a =-D. 2a =-【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到11122a i a ai i ++-=++，根据复数类型得到答案.【详解】()()()()()11111111222a i i a a i a i a ai i i i +-++-++-===+++-，为纯虚数，故1a =-. 故选：C .【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力.3.某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，…….如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.则第七组的频数为（ ）A. 8B. 10C. 12D. 16【答案】A 【解析】 【分析】直接根据频率和为1计算得到答案. 【详解】设第七组的频率为p ，则()0.0040.0120.0160.030.020.0060.004101p +++++++⨯=，故0.008p =. 故第七组的频数为：100100.0088⨯⨯=. 故选：A .【点睛】本题考查了频率分布直方图，意在考查学生对于频率直方图的理解和掌握.4.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()2 2 f x f x +=，且()()[]12,0,1ln(2),1,2x x f x x x +⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩则()f e =（ ）A. 12e +B. 2eC. 12e -D. ()ln 2e +【答案】B 【解析】 【分析】取2x e =-，代入()()2 2 f x f x +=，计算得到答案. 【详解】()()122222e e f e f e -=-=⋅=.故选：B .【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.5.在直角梯形ABCD 中，4AB =，2CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】由数量积的几何意义可得8AB AC ⋅=，12AB AE ⋅=，又由数量积的运算律可得()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅，代入可得结果.【详解】∵()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅，由数量积的几何意义可得：AB AC ⋅的值为AB 与AC 在AB 方向投影的乘积， 又AC 在AB 方向的投影为12AB =2， ∴428AB AC ⋅=⨯=，同理4312AB AE ⋅=⨯=， ∴()81220AB AC AE ⋅+=+=， 故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题. 6.已知函数()1xf x x=+，则不等式()()320f x f x -+>的解集为（ ）A. (),3∞--B. (),1-∞C. ()3,-+∞D. 1,【答案】D 【解析】【分析】确定函数为奇函数和增函数，化简得到32x x ->-，解得答案. 【详解】()1x f x x =+，()()1xf x f x x--==-+，函数为奇函数， 当0x >时，()1111x f x x x ==-++，函数单调递增，函数连续，故()f x 在R 上单调递增. ()()320f x f x -+>，故()()32f x f x ->-，即32x x ->-，解得1x >.故选：D .【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性和单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.7.三棱锥P ABC -的底面ABC ∆2的球上，则三棱锥P ABC -的体积最大值为（ ）A.34B.4C.34D.94+ 【答案】C 【解析】 【分析】计算1r ==max 2h =，再计算体积得到答案.【详解】ABC ∆中，22sin ar A==，即1r ==故max 2h =，故max max 113sin 324V bc A h +=⨯⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的体积的最值，确定高的最大值是解题的关键.8.已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，满足()()11f x f x -=+，()()f x f x -=-，且()f x在0,1上单调递增，若()2log 3a f =，b f =，()2020c f =，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】计算函数周期为4，()()202000c f f ===，计算0b <，0a >，得到答案.【详解】()()f x f x =--，()()11f x f x -=+，则()()()2f x f x f x -=+=-， 故()()()42f x f x f x +=-+=，故函数周期为4，()()202000c f f ===，)(440b ff f ===-<，()()22log 32log 30a f f ==->.故b c a <<. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，周期性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知点()1,0F 为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为（ ） A. 24y x =B. 24x y =C. 22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<） D. 22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<） 【答案】AD 【解析】 【分析】依次计算每个曲线方程的焦点判断得到答案.【详解】A. 24y x =，抛物线的焦点为()1,0F ，满足；B. 24x y =，抛物线的焦点为()0,1F ，不满足；C. 22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<），焦点()，或(0,或曲线表示圆不存在焦点，02πθ<<，则22cos sin cos 21θθθ-=≠，均不满足；D. 22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<），双曲线的焦点为()1,0F ，满足； 故选：AD .【点睛】本题考查了曲线的焦点，意在考查学生对于圆锥曲线知识的综合应用.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ）A. 直线BM 与平面11ADD A 平行B. 平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C. 异面直线1AD 与11A C 所成的角为3πD. 1MB MD +的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行，异面直线夹角，截面图形，线段最值的计算依次判断每个选项得到答案.【详解】如图所示：易知平面11//BCC B 平面11ADD A ，BM ⊂平面11BCC B ，故直线BM 与平面11ADD A 平行，A 正确；平面1BMD 截正方体所得的截面为1BMD N 为四边形，故B 错误；连接1BC ，1A B ，易知11//AD BC ，故异面直线1AD 与11A C 所成的角为11AC B ∠，1111A B AC BC ==，故113AC B π∠=，故C 正确；延长DC 到'B 使'1CB =，易知'BM B M =，故11'5MB MD D B +≥=， 当M 为1CC 中点时等号成立，故D 正确； 故选：ACD .【点睛】本题考查了异面直线夹角，截面图形，线面平行，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11.对于函数()13f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（ ） A. 若2ω=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的最小值为12-；B. 若2ω=，则函数21y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()y f x =的图象； C. 若2ω=，则函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； D. 若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则2ω=. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性，周期，最值，平移依次判断每个选项判断得到答案.【详解】2ω=，则()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 故()()min 102f x f ==-，A 正确；21y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()2213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故B 错误； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数先增后减，故C 错误； 函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则44T π=，故T π=，2ω=，D 正确； 故选：AD .【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，单调性，周期，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用. 12.如图()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W .则下述正确的是（ ）A. 曲线W 与x 轴围成的面积等于2π；B. 曲线W 上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；C. CB 所在圆的方程为：()2211x y +-=； D. CB 与BA 的公切线方程为：21x y +=+.【答案】BCD 【解析】 【分析】计算面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；计算圆方程得到C 正确；计算公切线得到D 正确；得到答案.【详解】如图所示：连接BC ，过点C 作CK ⊥x 轴于K ，BL x ⊥轴于L . 则面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；CB 所在圆圆心为()0,1，半径为1，故圆的方程为：()2211x y +-=，C 正确；设CB 与BA 的公切线方程为：y kx b =+，根据图像知k 0<，则2211,111k b b kk+-==++，解得1k =-，21b =+，即21x y +=+，D 正确；故选：BCD .【点睛】本题考查了圆的面积，圆方程，公切线，意在考查学生的计算能力.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1a <-； 【解析】 【分析】根据命题为假得到220x x a -->恒成立，计算得到答案.【详解】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，故220x x a -->恒成立.440a ∆=+<，故1a <-.故答案为：1a <-.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的推断能力.14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N .若321320S S S -+=，则21a a =______. 【答案】2； 【解析】 【分析】根据等比数列公式化简得到322a a =，3212a a a a =得到答案. 【详解】321320S S S -+=，故()()123121320a a a a a a ++-++=，即322a a =，32122a a a a ==. 故答案为：2.【点睛】本题考查了等比数列公式，意在考查学生的计算能力.15.若二项式()13nx -（n *∈N ）的展开式中所有项的系数和为32-，则： （1）n =______；（2）该二项式展开式中含有3x 项的系数为______. 【答案】 (1). 5 (2). 270-； 【解析】 【分析】（1）取1x =，代入计算到答案. （2）直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】（1）取1x =，则()1332n-=-，故5n =；（2）()()5155133rrr r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，取3r =得到系数为()3353270C ⋅-=-.故答案为：(1)5 ；(2)270-.【点睛】本题查看了二项展开式的计算，意在考查学生的计算能力. 16.黄金分割比0.618ω=≈被誉为“人间最巧的比例”.离心率e =的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点分别为A ，B ，“优美椭圆”C 上动点P （异于椭圆的左右顶点），设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k =______.【答案】12； 【解析】 【分析】设()cos ,sin P a b θθ，,2k k Z πθ≠∈，(),0A a -，(),0B a ，计算2121k k e =-得到答案. 【详解】设()cos ,sin P a b θθ，,2k k Z πθ≠∈，(),0A a -，(),0B a ， 则()222212222sin sin sin 1cos cos cos 1b b b b k k e a a a a a a θθθθθθ=⋅==-=-=+--故答案为：12. 【点睛】本题考查了根据椭圆的离心率求斜率关系，意在考查学生的计算能力.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a ，{}n b 满足：11a =，10b =，1443n n n b a b +=++，1434n n n a a b +=++，*n ∈N . （1）证明：数列{}n n a b +为等差数列，数列{}n n a b -为等比数列； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n W ，求n W 及使得9n W >的n 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）21122nn n W ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；5n ≥ 【解析】 【分析】（1）两式相加得到()()112n n n n a b a b +++-+=，两式相减得到1112n n n n a b a b ++-=-，得到证明. （2）计算1122n n a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，21122nn n W ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解不等式得到答案.【详解】（1）由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相加得：()()11448n n n n a b a b +++=++ 所以()()112n n n n a b a b +++-+=，因此数列{}n n a b +是以2为公差的等差数列 由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相减得：()()1142n n n n a b a b ++-=-，所以1112n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，因此数列{}n n a b -是以12为公比的等比数列 （2）21n n a b n +=-，112n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，两式相加得：1122nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()2111221111222212nn nn n n n W ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=+- ⎪⎝⎭- 因为11022nn a n ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以1n n W W +>又因为419916W =-<，52719232W =->， 所以使得9n W >的n 的取值范围为5n ≥.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的证明，分组求和法，根据数列的单调性解不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2B Ca Bb +=. （1）求A ；（2）若2b c +=，求a 取最小值时ABC ∆的面积S . 【答案】（1）3A π=（2【解析】 【分析】（1）化简sin cos2Aa Bb =，再利用正弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理得到22()3a b c bc =+-，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）因为sin sin2B C a B b +=，所以sin sin 22A a B b π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos 2A a B b =， 由正弦定理得sin sin sin cos2A AB B =， 由于C 为ABC ∆的内角，所以sin 0B ≠，所以sin cos 2A A =，即2sin cos cos 222A A A = 由于B 为ABC ∆的内角，∴cos 02A ≠，所以1sin 22A =，又因为()0,A π∈，所以26A π=，3A π=； （2）在ABC ∆中由余弦定理知：()2222222cos ()332b c a b c bc A b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭，所以1a ≥，等号当仅当1b c ==时等号成立，此时13sin 2S bc A ==. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.19.如图，在三棱台ABC DEF -中，2BC EF =，G ，H 分别为AC ，BC 上的点，平面//GHF 平面ABED ，CF BC ⊥，AB BC ⊥.（1）证明：平面BCFE ⊥平面EGH ；（2）若AB CF ⊥，22AB BC CF ===，求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）3π【解析】 【分析】（1）证明GH BC ⊥，HE BC ⊥得到BC ⊥平面EGH ，得到答案.（2）分别以HG ，HB ，HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，计算平面ABD 的一个法向量为()0,1,1m =，平面ADC 的一个法向量为()1,1,0n =-，计算夹角得到答案.【详解】（1）因为平面GHF ∥平面ABED ，平面BCFE ⋂平面ABED BE =， 平面BCFE ⋂平面GHF HF =，所以BE HF ∥.因为BC EF ∥，所以四边形BHFE 为平行四边形，所以BH EF =， 因为2BC EF =，所以2BC BH =，H 为BC 的中点.同理G 为AC 的中点，所以//GH AB ，因为AB BC ⊥，所以GH BC ⊥， 又HC EF ∥且HC EF =，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF HE ∥， 又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥. 又HE ，GH ⊂平面EGH ，HEGH H =，所以BC ⊥平面EGH ，又BC ⊂平面BCFE ，所以平面BCFE ⊥平面EGH（2）HE HB ⊥，HG HB ⊥，AB CF ⊥，CF HE ∥，//GH AB ，所以HE HG ⊥.分别以HG ，HB ，HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则()2,1,0A ，()0,1,0B ，()1,0,1D ，()0,1,0C -.设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =，因为()2,0,0AB =-，()1,1,1BD =-则1111200m AB x m BD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11y =，得()0,1,1m =. 设平面ADC 的一个法向量为()222,,n x y z =，因为()1,1,1AD =--，()2,2,0AC =--则222220220n AD x y z n AC x y ⎧⋅=-=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取21x =，得()1,1,0n =-.所以1cos ,2m n m n m n⋅==⋅，则二面角B AD C --的大小为3π【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司职位 A B C D 职位 A B C D月薪/元6000 7000 8000 9000 月薪/元5000 7000 9000 11000 获得相应职位概率0.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位概率0.4 0.3 0.2 0.1（1）根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司110 120 140 80选择乙公司150 90 200 110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）分别求出两家公司的月薪的期望E（X）、E（Y），经计算E（X）＝E（Y），再求出两家公司的月薪的方差，D（X）＜D（Y），比较这些数据即可作出选择；（2）由k1＝5.5513＞5.024，结合表中对应值，可以得出“选择意愿与年龄有关系”的结论的犯错的概率的上限，由题中数据可以得到选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表，求出对应的K2，可得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率的上限，从而可知选择意愿与性别关联性更大．【详解】（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000，E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1＝7000，D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1＝10002，D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1＝20002，则E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：计算K 2＝()210002502003502002000600400450550297⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈6.734， 且K 2＝6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01， 由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．【点睛】本题考查了期望与方差的求法及应用，考查了独立性检验，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于中档题．21.已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （ⅰ）证明：102n a <<（n *∈N ）； （ⅱ）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()1cos 1f x x x x'=+-+，()f x 在区间()1,0-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，得到()()00f x f ≥=得到证明. （2）计算318ln02-<，得到当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01f x <<，得到1102a <<；函数()()h x f x x =-，证明()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，得到答案.【详解】（1）由题意知，()1cos 1f x x x x'=+-+，()1,x ∈-+∞， 当()1,0x ∈-时，()1101f x x x x'<+-<<+，所以()f x 在区间()1,0-上单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()g x f x '=，因为()()()22111sin 011g x x x x '=+->>++所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增，因此()()00g x g >=，故当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增， 因此当()1,x ∈-+∞时，()()00f x f ≥=，所以()0f x ≥ （2）（ⅰ）()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f >=，因为881288311111C C 147122224e ⎛⎫⎛⎫=+=+++>++=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故83318ln ln ln 022e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以()1113131131sin ln sin ln 18ln 22826822822f x f π⎛⎫⎛⎫<=+-<+-=+-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01f x <<，又因为110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()()()()12110,2n n n a f a ff a f ff a --⎛⎫====∈ ⎪⎝⎭（ⅱ）函数()()h x f x x =-（102x <<），则()()11cos 11h x f x x x x''=-=+--+， 令()()x h x ϕ='，则()()0x g x ϕ''=>，所以()x ϕ在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；因此()()111217cos 1cos 0222326h x x ϕϕ⎛⎫'=≤=+--=-< ⎪⎝⎭，所以()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00h x h <=， 因此()()10n n n n n a a f a a g a +-=-=<， 所以x *∀∈N ，1n n a a +<【点睛】本题考查了导数与数列的综合应用，难度大综合性强，意在考查学生的综合应用能力.22.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足：122QF QF a +=.已知直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点2F ，且222AF F B =，求直线l的方程；（3）若直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >），且AB 中点的横坐标等于23，证明：符合题意的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标.【答案】（1）2212x y +=（2）22y x =-或22y x =-+（3）证明见解析；其中一个的坐标为()1,0T 【解析】 【分析】（1）根据题意计算得到22222a b c b =+=，221112a b+=，解得答案. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意()21,0F ，则可设直线l 的方程为：()1y k x =-，联立方程，根据韦达定理得到2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，代入计算得到答案. （3）设()33,A x y ，()44,B x y ，设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程得到342412kmx x k +=-+，根据切线方程得到2ln 1033tt t ++-=，根据对应函数的单调性得到答案. 【详解】（1）设椭圆C 焦距为2c ，因为椭圆C 的短轴长和焦距相等， 所以b c =，22222a b c b =+=①，因为122QF QF a +=，所以点Q 在椭圆C 上，将1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=得：221112a b +=②， 由①②解得：22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=，（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意()21,0F ，则可设直线l 的方程为：()1y k x =-，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222124220k x k x k +-+-=， 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， 又因为222AF F B =，所以()()11221,21,x y x y --=-，1223x x +=，所以()1212223x x x x x +=++=，解得：2222312k x k +=+，2122312k x k -=+， 所以()224212222222323492212121212k k k k x x k k k k +---=⋅==++++， 所以()()422492212k k k-=-+，解得：k =±所以直线l的方程为：22y x =-或22y x =-+. （3）设()33,A x y ，()44,B x y ，由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y kx m =+，由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222124220k x kmx m +++-=，则342412km x x k +=-+， 因为直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >）， 所以1|x t k y t ='==，ln 1m t =-，所以()34241ln 423t t x x t -+==+， 整理得2ln 1033tt t ++-=， 令()2ln 133t f t t t =++-（0t >），所以()22212132333t t f t t t t +-'=-+=，因为()232g t t t =+-在()0,∞+上单调递增；且11024g ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()120g =>， 所以，存在α（112α<<）使得()0g α=. 因此()f t 在()0,α上单调递减，在(),α+∞上单调递增；所以()()f t f α≥，又因为()10f =，所以()()f t fα≥，()0f α<，又因()22242222291121291303333e e ee ef e ee e -+-+⎛⎫=+-==> ⎪⎝⎭， 因此()f t 除零点1t =外，在1,e α⎛⎫ ⎪⎝⎭上还有一个零点， 所以，符合题意的点T 有两个，其中一个的坐标为()1,0T .【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，切线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
数学丨山东省青岛市2020届高三上学期期末考试数学试卷及答案
高三教学质量检测数学试题2020．01本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b ，满足()()1,2,2a b a b a b ==+⊥-，则向量a b 与的夹角为A ．45B ．60C ．90D ．1204．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A.233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题(有答案解析)
2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知条件可得，然后代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵复数在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，得成立；若，得【详解】若，得成立；反之，若，得故选：C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.3．向量,a b r r 满足1a r =，b =r ，()(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C【解析】试题分析：设向量a r 与b r 的夹角为θ．∵()(2)a b a b +⊥-r rr r ，∴2222()(2)2211cos 0a b a b a b a b θ+⋅-=-+⋅=⨯-+=rrrrrrrr ，化为cos 0θ=，∵[0,]θπ∈，∴090θ=．故选C ． 【考点】平面向量数量积的运算． 4．已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32 C ．43D ．34【答案】C【解析】根据等差数列的性质先求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差，即可求出5a ． 【详解】设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则73114d a a =+，即1142d =+，解得18d =． 则53111132244d a a =+=+=，解得343a =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．5．已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出． 【详解】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6．在ABC ∆中,2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ,20AE DE +=u u u r u u u r,若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,则( )A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【解析】依题可得，点D 为边BC 的中点，2AE DE =-u u u r u u u r，从而可得出1()6DE AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ， 1()2DB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ， 2133EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，从而可得出21,33x y ==-，即可得到2x y =-．【详解】如图所示：∵2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r， ∴点D 为边BC 的中点，∵20AE DE +=u u u r u u u r ，∴2AE DE =-u u u r u u u r ，∴11()36DE AD AB AC =-=-+u u u r u u u r u u ur u u u r ，又11()22DB CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．又EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴21,33x y ==-，即2x y =-． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量基本定理等知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==u u u u r u u u u r ,(0m >),212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r ,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y x =C ．y x =±D ．y =【答案】D【解析】利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出． 【详解】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==u u u u r u u u u r 可得2m a =，由212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r 可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 8．已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】根据定义，可判断出()g x 为偶函数，根据其导数可得出，0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小． 【详解】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及 当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数． 因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<． 故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3【答案】ABD【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h =，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故222111322r ++==，故选项D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题． 10．要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位 B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC【解析】根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到． 【详解】对于A ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项A 正确；对于B ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项C 正确； 对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故选项D 不正确．故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题． 11．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD【解析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横②直角顶点A在1坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中③直角顶点A在x轴上，斜边在1点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横④直角顶点A在x轴上，斜边不在1坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．三、填空题13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB V 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．【答案】【解析】根据等腰直角三角形边长可求得弦长2AB =，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离d ，根据垂径定理构造方程可求得结果. 【详解】AOB ∆Q 为等腰直角三角形 OA OB ∴⊥，又OA OB r === 2AB ∴=又圆O的圆心到直线距离d ==2AB ∴===，解得：a =故答案为【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为. 14．已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3【解析】设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1x a+，得k 切＝01x a +＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ． 【详解】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+． 所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案为3． 【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15．2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间Ｔ(单位:年)的衰变规律满足573002TN N -=⋅(0N 表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到______年之间.(参考数据:lg 20.3≈,lg 70.84≈,lg30.48≈) 【答案】126876 【解析】把5730T =代入573002TN N -=⋅，即可求出；再令3573072T ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出T 的范围． 【详解】 ∵573002TN N -=⋅，∴当5730T =时，100122N N N -=⋅=， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12， 由题意可知：3573072T ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7T ->， ∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2T -->=≈-，6876T ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876． 【点睛】本题主要考查了对数的运算， 以及利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题． 16．已知ABC ∆的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α异侧,且2AB =,3AC =,若AB ,AC 与α所成的角分别为3π,6π,则线段BC 长度的取值范围为______.【答案】7,13⎡⎤⎣⎦【解析】由题意画出图形，分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ，根据()222111111274BC BB B C C CB C =++=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 可知，线段BC 长度的最大值或最小值取决于11B C 的长度，而111111AB AC B C AB AC -≤≤+u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r，即可分别求出BC 的最小值与最大值． 【详解】如图所示：分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ． 由已知可得，13BB =13CC =11AB =，132AC =． ∵1111BC BB BC C C=++u u u r u u u r u u u u r u u u u r， ()22222221111111111111132723344BC BB B C C CBB B C C C BB C C B C B C =++=+++⋅=+++=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 而111111AB AC B C AB AC -≤≤+u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， ∴当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点同侧时，BC 长度最小，此时111131122B C AB AC =-=-=u u u u r u u u r u u u u r ，BC 最小为= 当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点异侧时，BC长度最大，此时111135122B C AB AC =+=+=u u u u r u u u r u u u u r ，BC =．∴线段BC 长度的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．四、解答题17．已知()()2cos sin f x x x x =-+. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)π,32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)⎡-⎣. 【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 的解析式进行三角恒等变换，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据周期公式和整体代换法即可求出周期和单调递减区间；(2)令42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，由sin y t =在4,33ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求出22sin t -≤≤，从而求出()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围．【详解】(1)由题意，化简得())22cos sin 2cos 1f x x x x =-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期π ∵sin y x =的减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+．所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．(2)因为∵,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，即有22sin t -≤≤所以，函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围是⎡-⎣． 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，周期公式的应用，整体代换法求正弦型函数的单调区间，以及换元法求三角函数在闭区间上的值域，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．18．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a=+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S . 【答案】(1)45;(2)152或92. 【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出． 【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c=由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析,12n n a -=;(2)不存在,理由见解析.【解析】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在． 【详解】(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈ 因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列． ∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21n n S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2) 因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+ ∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n nn n T -+=++⋅⋅⋅+-=- 即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226xf x x =--(1x ≥)，()2ln 210x f x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及其通项公式的求法，错位相减法，构造函数法，零点存在性定理等的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题． 20．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)5. 【解析】(1)按照题目定义，只要证明AB ⊥面11ACC A 即可，而由1A A AB ⊥，AB AC ⊥即可证出AB ⊥面11ACC A ；(2)先根据基本不等式求出当AB AC ==鳖膈1C ABC -体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角11C A B C --的余弦值． 【详解】(1)∵1A A ⊥底面ABC ，AB Ì面ABC ∴1A A AB ⊥又AB AC ⊥，1A A AC A =I ∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形 ∴四棱锥11B A ACC -为阳马．(2)∵AB AC ⊥，2BC =，∴224AB AC += 又∵1A A ⊥底面ABC ， ∴111132C ABC V C C AB AC -=⋅⋅⋅ 221123323AB AC AB AC +=⋅⋅≤⋅=当且仅当AB AC ==113C ABC V AB AC -=⋅⋅取最大值∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系)B，()C ，()10,0,2A)12A B =-uuu r，()BC =u u u r，()11AC =uuu u r设面1A BC 的一个法向量()1111,,n x y z =u r由11100n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v得)1n =ur同理得()22,0,1n =u ur∴12121215cos ,5||||n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r二面角11C A B C --的余弦值为155．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．21．给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O ,22a b +C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率22,点(2在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值.【答案】(1)22184x y +=,2212x y +=;(2)证明见解析.【解析】(1)根据题意列出222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩再结合222a b c =+即可解出22a =，2b =，从而得到椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；(2) 根据1l ⊥2l 分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设1l 无斜率)，可知其方程为2x =22x =-43MN =经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，与椭圆方程联立，由0∆=可得()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===---，所以线段MN 应为“卫星圆”的直径，即MN = 【详解】(1)由条件可得:222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a =2b =所以椭圆的方程为22184x y +=，卫星圆的方程为2212x y +=(2)①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，∴12l l ⊥∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则，()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得到()()()2220000124280tx t y tx x y tx ++-+--=，∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===--- 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点()00,P x y ，又分别交“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 是“卫星圆”220012x y +=的直径，∴MN 为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题．22．已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1) 设()()112cos g x f x x x'==-+，然后判断函数()g x '在(0,)π上的符号，得出()g x 的单调性，再利用零点存在定理判断()g x 在(0,)π上是否存在唯一零点即可；(2) 分(0,)x π∈，[),2x ππ∈，和[)2,x π∈+∞三种情况分别考虑()f x 的零点存在情况，从而得证．【详解】(1)设()()112cos g x f x x x'==-+， 当()0,x π∈时，()212sin 0g x x x '=--<，所以()g x 在()0,π上单调递减， 又因为31103g ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ 所以()g x 在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点α，所以命题得证． (2) ①由(1)知：当()0,x α∈时，()0f x '>，()f x 在()0,α上单调递增;当(),x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(),απ上单调递减;所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 所以()ln 2202222f f ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220f e e e e ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭所以()f x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20f ππππ=-<-<所以()f x 在(),απ上也恰有一个零点．②当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤-设()ln h x x x =-，()110h x x'=-< 所以()h x 在[),2ππ上单调递减，所以()()0h x h π≤<所以当[),2x ππ∈时，()()()0f x h x h π≤≤<恒成立所以()f x 在[),2ππ上没有零点．③当[)2,x π∈+∞时，()ln 2f x x x ≤-+设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-< 所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20f x x ϕϕπ≤≤<恒成立所以()f x 在[)2,π+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，零点存在性定理的应用，以及放缩法的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的能力，转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力，属于较难题．。
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山东省青岛市2020届高三上学期期末考试数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是 A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分。
9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是： A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 的距离为22C ．两条异面直线11D C BC 和所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -外接球半径为3210．要得到cos 2y x =的图象1C ，只要将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到? A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C x 沿轴方向向左平移12π个单位 B ．sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C x 沿轴方向向右平移1112π个单位C ．先作2C x 关于轴对称图象3C ，再将图象3C x 沿轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C x 沿轴方向向左平移12π个单位 11．已知集合()(){}=,M x y y f x =，若对于()()1122,,,x y M x y M ∀∈∃∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：(){}21,1M x y y x ==+；(){2,M x y y ==；(){}3,xM x y y e ==；(){}4,sin 1M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ，1805～l859)在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数()f x 有如下四个命题： A ．函数()f x 是偶函数B ．()()()121212,,R x xC Q f x x f x f x ∀∈+=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立D ．不存在三个点()()()()()()112233,,,A x f x B x f x C x f x ，，，使得△ABC 为等腰直角三角形其中真命题的个数是__________________．第II 卷(非选择题 共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线2202x y a y -+=+=与圆O ：x 相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；14．已知直线2y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为_________；l5．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t(单位：年)的衰变规律满足573002TN N -=⋅ (0N 表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的__________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的3172至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到__________年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)(本题第一空2分，第二空3分)16．已知ABC ∆的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α异侧，且2AB AC ==，若AB ，AC 与α所成的角分别为36ππ，，则线段BC 长度的取值范围为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
l7．(本小题满分10分)已知()()2cos sin f x x x x =-+(I)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； (II)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围．18．(本小题满分12分)在ABC ∆，,,a b c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且()2228sin 3ab C b c a =+-，若5a c ==．(I)求cosA(Ⅱ)求ABC ∆的面积S ．19．(本小题满分l2分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,21,n n a S S n N *+=-=∈． (I)证明：{}1n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若n nnb a =，求{}n b 的前n 项和n T ，并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值；若不存在说明理由． 、20．(本小题满分12分)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥． (I)求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；(Ⅱ)若12C C BC ==，当鳖膈1C ABC -体积最大时，求锐二面角11C A B C --的余弦值．21．(本小题满分12分)给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆是椭圆C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率2，点(在C 上． (I)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；(Ⅱ)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l ， 与椭圆C 与椭圆C 都只有一个交点，且12,l l ，分别交其“卫星圆”于点M ，N ，证明：弦长MN 为定值．22．(本小题满分12分)已知函数()()()ln 2sin ,f x x x x f x f x '=-+为的导函数． (I)求证：()()0f x π'在，上存在唯一零点； (Ⅱ)求证：()f x 有且仅有两个不同的零点。