追及和相遇问题典型例题分析

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第12讲追及和相遇问题(解析版)

第12讲追及和相遇问题甲、乙两人沿平直的公路进行自行车追逐比赛，他们初始在同一位置A ，某时刻甲以12m/s 的速度从A 位置开始匀速运动，经过时间2s 后，乙再从A 位置出发追赶甲，乙先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为23m/s ，速度达到15m/s 后做匀速直线运动。

（1）求乙追上甲之前，甲、乙间的最大距离；（2）经过多少时间乙才能追上甲？【答案】（1）4s ；（2）20.5s 【解析】（1）乙出发时，甲运动的位移1124m x vt ==乙追上甲之前，当甲、乙速度相等时，它们间距离最大，设乙运动的时间为2t ，有2v at =解得24s t =甲乙相距的最大距离122m 48m 2vs x vt t =+-=（2）乙加速到最大速度所用的时间为m35s v t a== 设乙运动4t 时间追赶上甲，则()2143m 4312x vt at v t t +=+- 解得420.5st1．追及相遇问题两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题．2．分析追及相遇问题的思路和方法(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系．一个条件速度相等这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点两个关系时间关系和位移关系通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口(2)常用方法物理分析法抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系图像法将两者的v-t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解数学分析法设从开始到相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰例题1.平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？【答案】(1)40 s20 m/s400 m(2)10 s225 m【解析】(1)设甲经过时间t 追上乙，则有x 甲＝12a 甲t 2，x 乙＝v 乙t ，根据追及条件，有12a 甲t 2＝x 0＋v 乙t ，代入数据解得t ＝40 s 和t ＝－20 s(舍去) 这时甲的速度v 甲＝a 甲t ＝0.5×40 m/s ＝20 m/s 甲离出发点的位移x 甲＝12a 甲t 2＝12×0.5×402 m ＝400 m.(2)在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲、乙之间的距离便不断减小；当v 甲＝v 乙，甲、乙之间的距离达到最大值．由a 甲t ′＝v 乙，得t ′＝v 乙a 甲＝50.5 s ＝10 s ，即甲在10 s 末离乙的距离最大．x max ＝x 0＋v 乙t ′－12a 甲t ′2＝200 m ＋5×10 m －12×0.5×102 m ＝225 m.对点训练1. 汽车以20 m/s 的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s 停下来．现在同一平直公路上以20 m/s 的速度行驶时发现前方200 m 处有一货车以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则：(1)求汽车刹车时的加速度大小；(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？【答案】(1)0.5 m/s 2 (2)不会相撞 4 m 【解析】(1)汽车制动加速度大小a ＝v At ＝0.5 m/s 2(2)当汽车减速到与货车共速时t 0＝v A －v Ba ＝28 s汽车运动的位移x 1＝v A 2－v B 22a ＝364 m此时间内货车运动的位移为x 2＝v B t 0＝168 m Δx ＝x 1－x 2＝196 m ＜200 m ，所以两车不会相撞．此时两车相距最近，最近距离Δs ＝x 0－Δx ＝200 m －196 m ＝4 m.例题2. 甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度-时间图像分别为如图所示的甲、乙两条图线。

专题追及相遇问题

专题追及相遇问题一、考法剖析【例题1】在十字路口，汽车以0.5m/s2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求:(1)每一个物理题都是一个故事。

假想你座在汽车前排，请你跟大家描述一下，你与自行车之间的距离变化，并简单说明一下原因。

(2)追上前汽车与自行车之间什么时候距离最远?最远相距是多少?画出此过程的示意图。

(3)在什么地方汽车追上自行车?追到时汽车的速度是多大?画出此过程的示意图。

(4)请在同一坐标系中，画出两车的v-t图像，并借助图像来解决上述问题。

【例题2】在平直的公路上，一辆小汽车前方26m处有一辆大客车正以12m/s的速度匀速前进，这时小汽车从静止出发以1m/s的加速度追赶。

(1)每一个物理题都是一个故事。

假想你座在小汽车前排，请你跟大家描述一下，你与大客车之间的距离变化，并简单说明一下原因。

(2)追上前小汽车与大客车之间什么时候距离最远?最远相距是多少?画出此过程的示意图。

(3)小汽车何时追上大客车?追上时小汽车的速度有多大?画出此过程的示意图。

【例题3】A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度v A=4m/s，B车的速度v B=10m/s.当B车运动至A车前方7m处时，B车以a=2m/s2的加速度开始做匀减速运动.从该时刻开始计时.(1)A车追上B车前，两车间的最大距离d是多大?(2)A车追上B车需要的时间是多少？求解思路：设需要时间为t，列出位移关系式。

【例题4】客车以20m/s的速度行驶，突然发现同轨前方12m处有一列货车正以6m/s的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，刹车引起的加速度大小为0.8m/s2，问两车是否相撞？二、巩固提升1.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a=3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v=6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车。

则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？2.如图，甲、乙两名运动员在训练2×100 m接力赛跑。

追及相遇问题----高中物理模块典型题归纳(含详细答案)

追及相遇问题----高中物理模块典型题归纳（含详细答案）一、单选题1.甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的加速度随时间变化图象如图所示。

关于两车的运动情况，下列说法正确的是（）A.在0~4 s内两车的合力不变B.在t=2 s时两车相遇C.在t=4 s时两车相距最远D.在t=4 s时甲车恰好追上乙车2.某人驾驶一辆质量为m=5×103kg汽车甲正在平直的公路以某一速度匀速运动，突然发现前方50m处停着一辆乙车，立即刹车，刹车后做匀减速直线运动．已知该车刹车后第I个2s 内的位移是24m，第4个2s内的位移是1m．则下列说法正确的是（）A.汽车甲刹车后做匀减速直线运动的加速度为B.汽车甲刹车后做匀减速直线运动的加速度为2m/s2C.汽车甲刹车后停止前，可能撞上乙车D.汽车甲刹车前的速度为14m/s3.甲、乙两物体从同一地点同时开始沿同一方向运动，甲物体运动的vt图象为两段直线，乙物体运动的v-t图象为两段半径相同的圆弧曲线，如图所示，图中t4＝2t2，则在0～t4时间内，以下说法正确的是()A.甲物体的加速度不变B.乙物体做曲线运动C.甲物体的平均速度等于乙物体的平均速度D.两物体t1时刻相距最远，t4时刻相遇4.甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向作直线运动，t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标。

在描述两车运动的v－t图中（如图），直线a、b分别描述了甲乙两车在0~20秒的运动情况。

关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是（）A.在0~10秒内两车逐渐靠近B.在10~20秒内两车逐渐远离C.在5~15秒内两车的位移相等D.在t=10秒时两车在公路上相遇5.甲、乙两质点沿同一方向做直线运动，某时刻经过同一地点．若以该时刻作为计时起点，得到两质点的x﹣t图像如图所示．图像中的OC与AB平行，CB与OA平行．则下列说法中正确的是（）A.t1～t2时间内甲和乙的距离越来越远B.0～t2时间内甲的速度和乙的速度始终不相等C.0～t3时间内甲和乙的位移相等.0～t3时间内甲的平均速度大于乙的平均速度6.甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲=16m/s，加速度大小a甲=2m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙=4m/s，加速度大小a乙=1m/s2，做匀加速直线运动，下列叙述正确的是（）A.两车再次相遇前二者间的最大距离为20mB.两车再次相遇所需的时间为4sC.两车再次相遇前二者间达到最大距离用时8sD.两车再次相遇在64m处二、多选题7.a、b两车在平直公路上沿同一方向行驶，运动的v﹣t图像如图所示，在t=0时刻，b车在a车前方s0处，在t=t1时间内，a车的位移为s，则（）A.若a、b在t1时刻相遇，则B.若a、b在时刻相遇，则下次相遇时刻为2t1C.若a、b在时刻相遇，则D.若a、b在t1时刻相遇，则下次相遇时刻为2t18.物体A以10m/s的速度做匀速直线运动。

追及相遇问题

例题2 在水平面上，一辆小车从静止开始以1 例题2、在水平面上，一辆小车从静止开始以1m/s2 的加速度前进．有一人在车后与车相距x 的加速度前进．有一人在车后与车相距 0＝20m处，处同时以6 的速度匀速追车的速度匀速追车．同时以6m/s的速度匀速追车． (1)试分析人能否追上车试分析人能否追上车？ (1)试分析人能否追上车？ (2)若能追上求追上时小车的速度；若追不上，若能追上， (2)若能追上，求追上时小车的速度；若追不上，求人与车的最小距离．人与车的最小距离．
解析：)当人与车相距最近时，即人与车速度相等时， (1 v 6 所需时间：t = = s＝ s 6 a 1 v 车的位移：x = t = 18m，x＋x0＝ m＋20m＝ m 18 38 2 人的位移：x1＝vt＝ m 36 因为x1 < x＋x0，所以，人追不上小车．
( 2) 两者相距的最小距离：xmin＝x＋x0－x1＝38m－36m＝2m
1 解析：方法1：（1）∆x = x自 - x汽 = 5t - × 0.5t 2 = 2 1 2 - （ t -10） + 25 4 当 t＝10 s时， ∆x有最大值，最远距离为25m. 1 2 ( 2 ) 追上时∆x＝0，即5t－ t ＝0 4 解得t1＝0， t2＝20 s，t1＝0表示开始两车从同一位置出发， t2＝20 s 表示经 20 s汽车追上自行车，此时两车行驶的距离x＝5 × 20 m＝100 m，汽车的速度 v汽＝0.5 × 20 m / s＝10 m / s
此时间内B车位移为 v2 − v0 x2＝v2 t＝6 × 28m＝168m(t = ＝28s ) a ∆x＝364m－168m＝196m＞180m 所以两车相撞．
例题4、甲、乙两汽车在一条平直的单行道上乙前甲后同向匀速行驶．甲、乙两车的速度分别为v01 ＝40m/s和v02＝20m/s，当两车距离接近分别为a1＝1.0m/s2和a2＝1/3m/s2，问甲车是否会撞上乙车？

小学数学-相遇问题与追及问题典型例题

1.一辆小轿车和一辆面包车从两地同时出发，相向而行，2.5小时后还相距25千米．（列方程解答）2.一列快车全长151米，每秒钟行15米，一列慢车全长254米，每秒行12米．两车相向而行，从相遇到离开要___ 秒钟．3.甲乙两地相距520km，客车和货车同时从两地相向而行，4小时后相遇，货车与客车的速度比是4：9，两车速度各是多少？4.小明和爷爷围着小区中心的圆形花坛散步．花坛直径30米，小明每秒走0.8米，爷爷每秒走0.7米．两人同时同地出发，背向而行，多少秒后可以相遇？5.甲乙两辆汽车同时从某地出发，背向而行．甲车每小时行42.5千米，比乙车每小时慢23.5千米，3小时后两车相距多少千米？6.在AB两城有甲乙两人，分别从AB两城同时相向而行，2小时相遇，相遇时甲所走的路程与乙所走的路程比是9：7，如果甲乙两人同时同向而行，甲需要多少小时才能追上乙？参考答案与试题解析1.一辆小轿车和一辆面包车从两地同时出发，相向而行，2.5小时后还相距25千米．（列方程解答）【解析】：根据题意可知：有两种情况，相遇前相距25千米，（小轿车的速度+面包车的速度）×2.5+25=400千米，设小轿车每小时行驶x千米，据此列方程解答即可；如果是相遇后两车相距25千米，（小轿车的速度+面包车的速度）×2.5-400=25千米，设小轿车每小时行驶x千米，据此列方程解答即可；【解答】：解：相遇前两车25千米。

设小轿车每小时行驶x千米，（x+60）×2.5+25=400（x+60）×2.5=375x+60=150x=90答：小轿车每小时行驶90千米．相遇后两车相距25千米。

设小轿车每小时行驶x千米，（x+60）×2.5-400=25（x+60）×2.5-400+400=25+400（x+60）×2.5=425（x+60）×2.5÷2.5=425÷2.5x+60=170x+60-60=170-60x=110答：小轿车每小时行驶110千米。

追及和相遇问题

追及（和相遇）追及（和相遇）问题
例题一一小汽车从静止开始以3m/s 静止开始以一小汽车从静止开始以3m/s2 的加速度行驶时行驶时，的加速度行驶时，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？长时间两者相距最远？此距离是多少？（何时追上自行车，？（2 多少？（2）何时追上自行车，追上自行车时汽车的速度是多少？上自行车时汽车的速度是多少？
物理情景图解法一: 解法一: (1)开始时，自行车比汽车速度大，两者相距 (1)开始时，自行车比汽车速度大，越来越远，当速度相等时，两车距离最大。越来越远，当速度相等时，两车距离最大。 V汽=at = V自， t= V自/a= 6/3 =2 (s) 6（ △Xmax= V自t - at2/2= 6（m）
（ｍ／ｓ）
１
２
３
４Ｔ／Ｓ
解法三（利用二次函数求极值）利用二次函数求极值）设汽车追上自行车之前经时间ｔ（１）设汽车追上自行车之前经时间ｔ相距最远。距最远。 △ｘ＝ｘ自－ｘ汽＝ｖ自ｔ－ａｔ２／２ｔ－３＝６ｔ－３ｔ２／２最大。ｔ＝－ｂ／２当ｔ＝－ｂ／２ａ＝２ｓ时，△ｘ最大。此时， △ｘｍａｘ＝６ｍ此时，（２）同上（略）同上（
如何处理追及问题
1、认清两个关系（位移关系、时间关系），认清两个关系（位移关系、时间关系），画出运动情况示意图。画出运动情况示意图。抓住一个条件：极值条件或临界条件； 2、抓住一个条件：极值条件或临界条件；要注意挖掘隐含条件，刚好” 要注意挖掘隐含条件，如“刚好”、恰好” 最多” 至少” “恰好”、“最多”、“至少” 等，它们往往对应某个临界条件。们往往对应某个临界条件。列方程求解（ 3、列方程求解（根据位移关系或时间关系）。

相遇问题与追及问题

72 x 96 x 252
解得： x 1 . 5 经检验，符合题意.
答：1.5小时后相遇.
甲、乙两站相距252千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶72千米，另一列快车从乙站开出，每小时行96千米. (2)慢车先开出1小时，相向而行，慢车开出几小时后两车相遇？
分析：慢
速度 72千米/小时速度 96千米/小时
作业布置
教材22页第11、13题
车速度72千米/小时甲路程 72 x
速度 96千米/小时
·
252千米
·
乙路程 96 x
快车
等量关系：快车路程+慢车路程=420千米 — 252千米解：设 x 小时后两车相距420千米，根据题意得，
72 x 96 x 420 252
解得： x 1 经检验，符合题意.
答：1小时后两车相距420千米.
行程问题 ——相遇问题、追及问题
例题
甲、乙两站相距252千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶72千米，另一列快车从乙站开出，每小时行96千米. (1)两列火车同时开出，相向而行，几小时后相遇？
分析：慢
速度 72千米/小时速度 96千米/小时
车甲
·
x
路程 72 x
丙
·
路程
96 x
·
乙
快车
等量关系：快车路程+慢车路程=总路程解：设小时后相遇，根据题意得，
96 x 72 x 252
解得： x 10 . 5 经检验，符合题意.
答：10.5小时后相遇.
甲、乙两站相距252千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶72千米，另一列快车从乙站开出，每小时行96千米. (5)两列火车同时开出，同向而行，慢车在快车后面，几小时后快车与慢车相距420千米？分析：慢车

追及问题相遇问题

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解法一：后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和V2 相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于
前车速度，两车距离将逐渐增大．可见，当两车速度相等时，
两车距离最近．若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度
减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未过上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度。大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车．这正
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1、追及问题的分析思路（1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系．（2)通过对运动过程的分析，画出简单的运动情景图，找出两物体的运动位移间的关系式．追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同．
S梯一S钉= h 式中S梯＝vt十? at 2，S钉＝vt－? gt2
可得t= 2h /?g ? a ?
V0、a
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? 【例4】火车以速度Vl匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一火车沿同方向以速度V2（对地、且V1＞V2）做匀速运动．司机立即以加速度a紧急刹车．要使两车不相撞，a应满足什么条件？
对于追及问题的处理，要通过两质点的速度比较进行分析，找到隐含条件（即速度相同时，而质点距离最大或最小）。再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应的方程求解，必要时可借助两质点的速度图象进行分析。

追及与相遇问题知识详解及典型例题

追及与相遇问题知识详解及典型例题精品知识要点追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系,所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律;追及、相遇问题常常涉及到临界问题,分析临界状态,找出临界条件是解决这类问题的关键;速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件;在两物体沿同一直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置;因此应分别对两物体研究,列出位移方程,然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出;解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系,这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据;1. 追及追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件;如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时,若二者速度相等了,还没有追上,则永远追不上,此时二者间有最小距离;若二者相遇时追上了,追者速度等于被追者的速度,则恰能追上,也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,其间速度相等时二者的距离有一个较大值;再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时,当二者速度相等时二者有最大距离,位移相等即追上;“追上”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置,常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时,一定能追上,在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等,即v甲=v乙；二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时,存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件：两物体速度相等,即v甲＞v乙,此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法,即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析,具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置,比较此时的速度大小,若v甲＞v乙,则能追上去,若v甲＜v乙,则追不上,如果始终追不上,当两物体速度相等时,两物体的间距最小；三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时,情形跟第二种相类似;两物体恰能“相遇”的临界条件：两物体处在同一位置时,两物体的速度恰好相同;2. 相遇同向运动的两物体追及即相遇,分析同1;相向运动的物体,当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇;三. 解题方法指导：1. 解“追及”“相遇”问题的思路：解决“追及”和“相遇”问题大致分为两种方法,即数学方法和物理方法求解过程中可以有不同的思路,例如考虑图象法等等;解题的基本思路是：① 根据对两物体运动过程的分析,画出物体的运动示意图；② 根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程;注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中;③ 由运动示意图找出两物体位移间关联方程;④ 联立方程求解;运动物体的追赶、相遇问题,一般解法较多：解析法、图象法、极值法等;应适当地做些一题多解的练习,以开启思路,培养发散思维的能力;但平时训练仍应以物理意义突出的解析法为主;通过适当的练习后,总结一下追赶、相遇、避碰问题的特点、分析方法,特别是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、“恰好不相碰”等临界问题,应在思考的基础上总结出临界状态的特点,找出临界条件;2. 分析“追及”“相遇”问题应注意：① 分析“追及”“相遇”问题时,一定要抓住一个条件,两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件,如“两物体距离最大、最小,恰好追上或恰好追不上等”;两个关系是时间关系和位移关系;其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系,是解题的突破口,也是解题常用方法;因此,在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯,对帮助我们理解题意,启迪思维大有裨益;养成根据题意画出物体运动示意图的习惯;特别对较复杂的运动,画出草图可使运动过程直观,物理图景清晰,便于分析研究;② 分析研究对象的运动过程,搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段,各个阶段遵循什么规律,各个阶段间存在什么联系;特别是,若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否停止运动;③ 仔细审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐合条件,如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等;往往对应一个临界状态,由此找出满足相应的临界条件;还要注意：由于公式较多,且公式间有相互联系,因此,题目常可一题多解;解题时要思路开阔,联想比较,筛选最简捷的解题方案;解题时除采用常规的公式解析法外,图象法、比例法、极值法、逆向转换法如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动等也是解题中常用的方法;典型例题例1 火车以速度v1向前行驶;司机忽然发现,在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车,它沿相同的方向以较小的速度v2作匀速运动,于是他立即使车作匀减速运动,加速度大小为a,要使两车不致相撞,则a应满足的关系式为_____________________;分析：司机使火车作匀减速运动,当后面的火车与前方火车时的速度相等时,两车再也不能接近了,也就是后面的火车与前面火车的速度相等时,后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于s时,两车才不致相撞,本题解法中有四种;解法一：当两车速度相等时,两车没有相撞,以后再也不会相撞,前车减速的时间为t,则解法二：以前车为参照系,后车的速度为,当后车的速度减为零时,其位移小于s,两车不会相撞,即解法三：作出两车运动的速度—时间图像如图所示,由图像可知：在两图像相交前与时间轴所围面积之差即图中阴影部分小于s时,两车不会相撞;即解法四：后车的位移为,前车的位移为,要使两车不相撞,即说明此二次函数无解,即以上四种解法中,以第二种解法最简捷;例2 甲、乙两车相距s,同时同向运动,乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动,甲在后面做加速度为a2、初速度为v的匀加速运动,试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系;解析：由于两车同时同向运动,故有v甲=v+a2t,v乙=a1t① 当a1<a2时,a1t<a2t,可得两车在运动过程中始终有v甲> v乙,由于原来甲在后,乙在前,所以甲、乙两车的距离在不断缩短,经过一段时间后甲车必然超过乙车,且甲超过乙后相距越来越大,因此甲、乙两车只能相遇一次；② 当a1=a2时,al t=a2t,可得v甲>v乙,因此甲、乙两车也只能相遇一次：③ 当a1>a2时,a1t>a2t,v甲和v 乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化,刚开始,a 1t 和a 2t 相差不大且甲有初速v 0,所以,v 甲>v 乙,随着时间的推移,a 1t 和a 2t 相差越来越大；当a l t —a 2t=v 0时,v 甲=v 乙,接下来a 1t —a 2t>v 0,则有v 甲<v 乙,若在v 甲=v 乙之前,甲车还没有超过乙车,随后由于v 甲<v 乙,甲车就没有机会超过乙车,即两车不相遇；若在v 甲=v 乙时,两车刚好相遇,随后v 甲=v 乙,甲车又要落后乙车,这样两车只能相遇一次；若在v 甲=v 乙前甲车己超过乙车,即已相遇过一次,随后由于v 甲<v 乙,甲、乙距离又缩短,直到乙车反超甲车时,再相遇一次,别两车能相遇两次;解法一：由于x 甲=v 0t+a 2t 2,x 乙=a 1t 2,相遇时有x 甲—x 乙=x,则：v 0t+a 2t 2－a 1t 2=x,a 1—a 2t 2—v 0t+x=0所以t= ①① 当a 1<a 2 时,①式t 只有一个正解,别相遇一次;② 当a 1=a 2 时,x 甲—x 乙= v 0t 十a 2t 2—a 1t 2=v 0t=x,所以t=,t 只有一个解,则相遇一次;③ 当a 1＞a 2 时,若<2a 1—a 2x,①式无解,即不相遇,若=2a 1—a 2x,①式t 只有一个解,即相遇一次;若＞2a 1—a 2x,①式t 有两个正解,即相遇两次;解法二：利用v —t 图象求解,① 当a 1<a 2时,甲、乙两车的运动图线分别为如右上图中：的I 和Ⅱ,其中划斜线部分的面积表示t 时间内甲车比乙车多发生的位移,若此面积为S,则t 时刻甲车追上乙车而相遇,以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多,所以只能相遇一次;② 当a1<a2时,甲、乙两车的运动图线分别为如上左图中的I和Ⅱ,讨论方法同①,所以两车也只能相遇一次;③ 当a1=a2时,甲、乙两车的运动图线分别为如上右图中的I和Ⅱ,其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移;若划实斜线部分面积小于S,则不能相遇；若划实斜线部分面积等于S,说明甲车刚追上乙车又被反超,则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于s,如图中0─t1内划实斜线部分的面积为S,说明t1时刻甲车追上乙车,以后在t1—t时间内,甲车超前乙车的位移为t1─t时间内划实斜线部分的面积,随后在t─t2时间内,乙车比甲车多发生划虚线部分的面积,如果两者相等,则t2时刻乙车反超甲车,故两车先后相遇两次;模拟试题1. 甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动,其速度图象由图所示,下列说法正确的是A. 甲做匀速直线运动,乙做匀变速直线运动B. 两物体两次相遇的时刻分别为2 s末和6 s末C. 乙在前4 s内的平均速度等于甲的速度D. 2 s后甲、乙两物体的速度方向相反2. 在足够长的平直公路上,一辆汽车以加速度a启动时,有一辆匀速前进的自行车以速度v从旁边经过,则以下说法正确的是A. 汽车追不上自行车,因为汽车启动时速度小B. 以汽车为参考系,自行车时向前匀速运动的C. 汽车与自行车之间的距离开始是不断增加的,直到两车速度相等,然后距离减小,直到两车相遇D. 汽车追上自行车的时间是3. 甲乙丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一个路标,从此开始甲车一直匀速运动,乙车先加速后减速,丙车先减速后加速,它们经过下一个路标时速度又相等,则A. 甲车先通过下一个路标B. 乙车先通过下一个路标C. 丙车先通过下一个路标D. 条件不足,无法判断,若前车突4. 两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为v然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车的加速度开始刹车;已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为A. 1sB. 2sC. 3sD. 4s5. 汽车A在红绿灯前停住,绿灯亮起时起动,以 m/s2的加速度做匀加速运动,经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时,汽车B以8 m/s 的速度从A车旁边驶过,且一直以相同的速度做匀速直线运动,运动方向与A车相同,则从绿灯亮时开始A. A车在加速过程中与B车相遇B. A、B相遇时速度相同C. 相遇时A车做匀速运动D. 两车不可能再次相遇6. 同一直线上的A、B两质点,相距s,它们向同一方向沿直线运动相遇时互不影响各自的运动,A做速度为v的匀速直线运动,B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动;若A在B前,两者可相遇______次,若B在A前,两者最多可相遇______次;7. 从相距30 km的甲、乙两站每隔15 min同时以30 km/h的速率向对方开出一辆汽车;若首班车为早晨5时发车,则6时从甲站开出的汽车在途中会遇到辆从乙站开出的汽车;8. 一矿井深125m,在井口每隔一段时间落下一个小球,当第11个小球刚从井口开始下落时,第1个小球恰好到达井底,则：1相邻两个小球下落的时间间隔是 s；2这时第3个小球与第5个小球相距 g取10 m／s29. 如图,某时刻A、B两物体相距7m,A以4 m／s的速度向右做匀速直线运动,此时B的速度为10 m／s,方向向右,在摩擦力作用下以2 m/s2的加速度做匀减速运动;从该时刻经多长时间A追上B10. 一辆巡逻车最快能在10 s内由静止加速到最大速度50 m／s,并能保持这个速度匀速行驶,问该巡逻车在平直的高速公路上由静止追上前方2 000m处正以35 m／s的速度匀速行驶的汽车,至少需要多长时间11. A球自距地面高h处开始自由下落,同时B球以初速度v正对A球竖直上抛,空气阻力不计;问：1要使两球在B球上升过程中相遇,则v应满足什么条件2要使两球在B球下降过程中相遇,则v应满足什么条件12. 已知自行车速度为6m/s作直线运动,汽车从同时同地以初速10m/s,加速度a=－s2直线运行,试求自行车追上汽车前,两车的最大距离;13. 摩托车以速度v1沿平直公路行驶,突然驾驶员发现正前方s处,有一辆汽车正以v2<v1的速度开始减速,加速度大小为α2;为了避免发生碰撞,摩托车也同时减速;求其加速度至少需要多少14. 在某市区内,一辆汽车在平直的公路上以速度v向东匀速行驶,一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路,汽车司机发现前方有危险游客正在D处向北走,经 s作出反应,从A点开始紧急刹车,但仍将正步行至B处的游客撞伤,该车最终在C处停下;为了清晰了解事故现场,现以图示之：为了判断汽车司机是否超速行驶,并测出肇事汽车的速度v,警方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的车以法定最高速度vm＝／s行驶在同一马路的同一地段,在肇事汽车的出事点B急刹车,恰好也在C点停下来,在事故现场测得AB＝ m、BC＝、BD= m;问：1该肇事汽车的初速度vA是多大2游客横过马路的速度是多大15. 如图所示,长L=75cm的静止直筒中有一不计大小的小球,筒与球的总质量为4kg现对筒施加一竖直向下,大小为21N的恒力,使筒竖直向下运动,经t=时间,小球恰好跃出筒口;求：小球的质量;g=10m/s216. 如图所示,升降机以匀加速度a上升,当上升速度为v时,有一螺帽自升降机天花板上松落,已知天花板距升降机底面为hm,求落至底面的时间;17. 杂技演员把三只球依次竖直向上抛出,形成连续的循环,在循环中,他每抛出一球后,再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间,又接到下一个球,这样,在总的循环过程中,便形成有时空中有3个球,有时空中有两个球,而演员手中则有一半时间内有球,有一半时间内没有球;设每个球上升的高度为,取,求每个球每次在手中停留的时间是多少18. 某升降机以s的速度匀速上升,机内一人自离升降机地板高处将一小球释放,球与底板间的碰撞无任何损失,则第一次反弹的最高点比释放点高或低了多少19. 将两小石块A、B同时竖直上抛,A上升的最大高度比B的高出35m,返回地面的时间比B迟2s;问：1A、B的初速度分别为多少2A、B分别达到的高度最大值各为多少20. 甲、乙、丙三辆车行驶在平直公路上,车速分别为6m/s、8m/s、9m/s;当甲、乙、丙三车依次相距5m时,乙驾驶员发现甲车开始以1m/s2的加速度做减速运动,于是乙也立即做减速运动,丙车亦同样处理;如图所示;直到三车都停下来时均未发生撞车事故;求丙车减速运动的加速度至少应为多大试题答案1. B2. C3. B4. B5. C6. 1；27. 7辆8. ；35 m9. 8 s 10. 150 s11.1v0＞ 2＜v＜解析：两球相遇时位移之和等于h;即：gt2+vt－gt2=h 所以：t=而B球上升的时间：t1=,B球在空中运动的总时间：t2=1欲使两球在B球上升过程中相遇,则有t＜t1,即＜,所以v＞2欲使两球在B球下降过程中相遇,则有：t1＜t＜t2即＜＜所以：＜v＜12. 解析：画出两车v—t图象如图所示,可知,在自行车追上汽车前,二者速度相同时,相距最大,为阴影三角形面积;且由图可知,t=16s时,自行车追上汽车;13. 解：1如图甲所示,其相对位移为即甲2如图乙所示,当两车间距较小,即时,两车不发生碰撞的条件是,其相对速度为0,即二者有共同速度;因为,所以,由此可得摩托车的加速度为3如图丙所示,两车间距较大,即,汽车经过时间先停下,摩托车经时间后停下,这种情况下两车不发生碰撞的条件为;有这时摩托车的加速度为14.12l m／s 2 m／s15. 解：筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动,且加速度大于重力加速度；而小球则是在筒内做自由落体运动,小球跃出筒口时,筒的位移比小球的位移多一个筒的长度;设筒与小球的总质量为M,小球的质量为m,筒在重力及恒力的共同作用下竖直向下做初速为零的匀加速运动,设加速度为a；小球做自由落体运动设在时间t内,筒与小球的位移分别为h1、h2球可视为质点,如图所示;由运动学公式得又有：,代入数据解得又因为筒受到重力M－mg和向下作用力F,据牛顿第二定律得16. 解：选升降机为参考系,螺帽受重力作用,相对加速度大小为g+a,竖直向下,相对运动可视为以g+a为加速度的自由落体,有所以为所求;17. 解：设一个球每次在手中停留的时间为,则手中连续抛出两球之间的时间间隔为,而对于同一个球,它连续两次自手中抛出的时间间隔则为;在这段时间内,此球有的时间停留在手中,则有的时间停留在空中,根据竖直上抛运动的规律得：代入数值得：∴ 球一次竖直上抛运动的时间,则它每次在手中停留时间为;18. 解：设从放球到球与底板相碰需要时间t,放球时,球与底板的距离为h,升降机速度为,在此期间球下降距离,升降机上升距离为,如图所示,因此有代入数据得解之得负根舍去这时球相对于地面的速度为而球相对于底板的速度由题意知,球与底板碰撞前后速度大小不变,即球被弹回时,球相对于底板的速度应为s;由于升降机质量较小球大得多,所以碰撞对升降机速度不影响,仍为向上,所以碰撞后小球相对于地面向上的速度由此可知球第一次上升的高度为因而第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为19. 解析：设A、B初速度分别为、,二者上升的最大高度分别为、,A、B上升到最高点所经历的时间依次为、;在最高点,有将两式代入得,由题意知所以20. 解：先研究两车行驶中的一种特殊临界状态,两车同时停下且刚好接触在一起;则1若,要使其同时停下则必然相碰;即是说仍要增大,按DC线所示规律变化,在D处时二者相距最近,如图所示;由题意知,有12如果,则还可再小些,二者不同时停下,停止时相对位移为,如图中线那样变化;有三式联立得 2将题中数据代入可得由1式得乙、丙两车间距由2式得一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申A、B两列火车在同一轨道上同向行驶,A在前,速度为v A＝10m/s,B在后,速度为v B＝30m/s,因大雾能见度低,B车在距A车500m时,才发现前方有A车,这时B车立即刹车,但要经过1800mB车才能停下,问：1车若要仍按原速前进,两车是否相撞试说明理由;2B在刹车的同时发出信号,A车司机在收到信号后加速前进,A车加速度为多大时,才能避免事故发生不计信号从A传到B的时间第一问的解法如下：解：先求B车从刹车到停下来所需时间t Bs0s As B由s B =21v B ·t B 得 B A A ’ B ’ t B =vB sB 2 =2×301800s=120s 再求在相同的时间内A 车通过的位移s As A =v A ·t B =10×120m=1200m最后比较s A +s 0和s B 的大小关系即可判断结果由于s A +s 0=1200+500m=1700m 故s A +s 0＜s B 由位置关系图可知两车会相撞;提问1：通过上面的计算我们知道两车能相撞,试问它们何时相撞解：设B 车刹车后经过时间t 两车相遇,依题意有s A +s 0=s B而s A =v A ·t,s B =v B ·t+21at 2其中a 为B 车刹车过程中的加速度,根据已知条件很易求出a ＝s 2,将s A 、sB 的表达式代入上式解得t 1=31s, t 2=129s提问2：为什么有两个解t 2是否有意义答：A 、B 两车相撞两次,第一次是B 车追上A 车,第二次是A 车追上B 车;两车只能相撞一次,故t 2没有意义;提问3：B 车追上A 车时,哪车的速度大答：B 车的速度大, 因为B 车从减速到和A 车的速度相等所需的时间为：t ’=avB vA - =2503010.--s=80s,因为t ’＞ t 1,故B 车的速度大; 提问4：若A 、B 两车相遇但不会相撞,A 车又追上B 车时,B 车的速度是多大从B 车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间答：由于B 车刹车后经过120s 后就停下来,故129s 时它的速度仍为零;由于B 车停止后不能往后倒,故第二次相遇所需时间为：t 2’=vA s sB 0- =105001800-s=130s;这是一个实际问题,要注意解的合理性; 提问5：若开始两车相距700m,试问两车是否会相撞答：由于s A +s 0=1200+700m=1900m,而s B =1800m,即s A +s 0＞s B ,故两车不会相撞; 提问6：若用第二种方法,即设B 刹车后经过时间t 两车相撞,方程是否有解呢答：由s A +s 0=s B 得v A ·t+ s 0=v B ·t+21at 2 即10t+700=移项并整理得t2-160t+5600=0该方程的判别式为△=1602-4×5600=3200＞0,故该方程有解,即相撞,并且有相遇两次的可能;原来先是B超过A,后来A又超过B,我们不能认为开始时A在B的前面,后来A仍在B的前面,就得出两车不相撞的结论;由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的;提问7：试问：若要使两车不相撞,开始时两车间的距离s0至少为多少解：设两车经过时间t后相撞,由位置关系易得出：1at2v A·t+ s0=v B·t +2即10t+s0=移项并整理得t2-160t+8s0=0要使两车不相撞,即要使该方程无解,即△＜０即1602-4×8s0＜0故s0＞800m,即开始时两车间的距离至少为800m;提问8：若两车刚好能相撞,相撞时两车的速度有何关系答：应该刚好相等,刚开始时B车的速度比A车的速度大,两车之间的距离减小,当两车的速度达到相等时,距离最小,之后两车之间的距离将变大,若速度相等时还没有相遇,则两车不会再相遇;若s0=800m时,解得t=80s,此时B车的速度为v B’ =v B +at=30+-025×80m/s=10m/s=v A;规律总结：求追及、相遇或相撞问题时,若问两物体能否相撞,一般是设经过时间t后两物体相撞,根据位移关系列出方程,它一般是关于t的二次方程,然后根据判别式的正、负或零来判断,若△≥０,则二者能相撞,若△＜０,则不能相撞；若问二者何时相撞,解法同上,但要注意解是否合理,是否是实际问题；若问能相遇几次,解出相遇所需的时间,有几个解,就能相遇几次,同样要注意解是否合理；若求两者之间的最大或最小距离,通常求出两物体速度达到相等时各自的位移,两位移之差即为两物体之间的最大或最小距离；也可设经过时间t后两者相距△S,根据位置关系写出△S的表达式,然后根据二次函数求极值的方法可以求出一般用配方的方法来求;这样,该题第二问的解法很易得出：设B 车刹车后经过ts 两车刚好相撞,则应有： s B = s A +s 0即v B ·t+21a B t 2=v A ·t 0+ v A t-t 0+ 21a A t-t 02+s 0 30t-81t 2=15+10+ 21a A 2+500刚好相撞,则△=0,解得a A =s 2。

追及与相遇问题

4 1 a 100 (10)2
2
0
4 1 a
2
则a 0.5m / s2
或列方程 ∵不相撞
v1t
1 2
at
∴△<0
2
v2t x0
100
代入数据得
4 1 a 100
1
2
at
0
2
10t
100
0
2
则a 0.5m / s2
根的判别式法
方法四：相对运动法
以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为
追及与相遇问题
例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
x汽
△x
x自
NEXT
追及与相遇问题
追及与相遇——
3)当v1>v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且之
后当两者速度相等时，两者间有最大距离。
NEXT
追及与相遇问题
例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
方法一：公式法
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
由A、B速度关系： v1 at v2
由A、B位移关系： v1t
1 2
at 2

小学数学典型应用题相遇和追及问题

小学数学典型应用题相遇和追及问题相遇问题含义：两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫做相遇问题。

数量关系：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例题1：欢欢和乐乐在一条马路的两端相向而行，欢欢每分钟行60米，乐乐每分钟行80米，他们同时出发5分钟后相遇。

这条马路长（）。

解：根据公式总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间，可以求出这条马路长（60＋80）×5=700（米）。

例题2：甲乙两车分别以不变的速度从AB两地同时出发，相向而行。

到达目的地后立即返回。

已知第一次相遇地点距离A地50千米，第二次相遇地点距离B地60千米，AB两地相距_____千米。

解：1、本题考查的是二次相遇问题，灵活的运用画线段图的方法来分析是解决这类问题的关键。

2、画线段图3、从图中可以看出，第一次相遇时甲行了50千米。

甲乙合行了一个全程的路程。

从第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了两个全程的路程。

由于甲乙速度不变，合行两个全程时，甲能行50×2=100(千米)。

4、因此甲一共行了50+100=150(千米)，从图中看甲所行路程刚好比AB两地相距路程还多出60千米。

所以AB两地相距150-60=90(千米)。

例题3：欢欢和乐乐在相距80米的直跑道上来回跑步，乐乐的速度是每秒3米，欢欢的速度是每秒2米。

如果他们同时分别从跑道两端出发，当他们跑了10分钟时，在这段时间里共相遇过_____次。

解：1、根据题意，第一次相遇时，两人共走了一个全程，但是从第二次开始每相遇一次需要的时间都是第一次相遇时间的两倍。

（线段图参考例2。

）2、根据“相遇时间=总路程÷速度和”得到，欢欢和乐乐首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。

追击和相遇问题典型例题

【学习目标】1、掌握追及及相遇问题的特点2、能熟练解决追及及相遇问题一、追及问题1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系.甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度,则两者之间的距离。

若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离。

若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离 .2、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：⑴初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件:两物体速度相等,即v甲=v乙。

⑵匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙,存在一个能否追上的问题.判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小.②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，并会有两次相遇③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发.⑶匀减速运动的物体甲追赶同向的匀速运动的物体已时,情形跟⑵类似。

判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断.①若甲乙速度相等时,甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。

②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，并会有两次相遇③若甲乙速度相等时,甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

3、分析追及问题的注意点：⑴要抓住一个条件，两个关系：①一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。

②两个关系是时间关系和位移关系,通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v-t图象的应用。

二、相遇⑴同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

追及和相遇问题

在这段时间里，人、车的位移分别为：
x人=v人t=6×6=36m
x车=at′2/2=1×62/2=18m
△x=x0+x车－x人=25+18－36=7m
结论：速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前
追上,否则就不能追上.
解析：作汽车与人的运动草图如下图甲和v-t图象如下图乙所示．因v-t图象不能看出物体运动的初位置，故在图乙中标上两物体的前、后．由图乙可知：在0～6 s时间内后面的人速度大，运动得快；前面的汽车运动得慢．即0～6 s内两者间距越来越近．因而速度相等时两者的位置关系，是判断人能否追上汽车
临界条件。
若无解，则不能追上。
代入数据并整理得：t2－12t+50=0 △=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0
所以，人追不上车。
在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。
at′= v人 t′=6s
的两个关系：
1.两个物体运动的时间关系; 2.两个物体相遇时必须处于同一位置。
即：两个物体的位移关系
③匀减速直线运动的物体追赶同向匀速（或匀加速）直线运动的物体时，恰好追上（或恰好追不上）的临界条件为：即追尾时，追及者速度等于被追及者速度.当追及者速度大于被追及者速度，
例题3：经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s 在平直公路上行使时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车 B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否
∵△x=x1－x2=v自t － at（2/2位移关系）

追及与相遇问题

练习1：一辆值勤的警车停在公路边．当警员发现从他旁边以v0＝8 m/s 的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶．经2.5 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，试问： (1)警车要多长时间才能追上违章的货车？ (2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大？答案：(1)10 s (2)36 m
追及与相遇——
1、追及与相遇问题的实质：研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2、理清三大关系：速度关系、时间关系、位移关系。 3、巧用一个条件：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
追及问题的解题步骤——
1、认真审题、弄清题意。
练习2：一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在 90km/h 以内．问： (1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ 75m (2）警车发动后要多长时间才能追上 12S 货车？
s
【例题】一辆汽车从静止开始以
1m/s2的加速度匀加速直线前进，汽车后面25m处有一自行车，以6m/s的速度匀速追赶汽车，问能否追上？若追不上，求自行车与汽车间的最小距离？
练习1：甲乙两物体在同一条直线上沿同一方向运动，乙以6m/s 的速度做匀速直线运动，从计时时起，甲在乙前7m处做初速度为为零，加速度为2m/s2的匀加速直线运动，乙能否追上甲？
第三类：匀速追匀减（加）速
【例题】两车某时刻相距40m，A车在前，B车在后沿同一平直的公路向前进，已知A的速度20m/s，并将以5m/s² 的加速度做匀减速运动， B以16m/s的速度做匀速运动。求经过多长时间B追上A 。

高中物理追击和相遇问题专题(含详解)

直线运动中的追及和相遇问题一、相遇和追及问题的实质研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。

二、解相遇和追及问题的关键1.画出物体运动的情景图2.理清三大关系（1）时间关系：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =±（3）速度关系：v A=v B两者速度相等往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

三、追及、相遇问题的分析方法: A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D. 联立方程求解.说明:追及问题中常用的临界条件:⑴速度小者加速追速度大者,速度在接近，但距离在变大。

追上前两个物体速度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者, 速度在接近，但距离在变小。

追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上. 四、典型例题分析：(一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v 1< v 2）： 1.当v 1< v 2时，两者距离变大； 2．当v 1= v 2时，两者距离最大；3．v 1>v 2时，两者距离变小，相遇时满足x 1= x 2+Δx ，全程只相遇(即追上)一次。

【例1】一小汽车从静止开始以3m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？(二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v 1> v 2）： 1．当v 1> v 2时，两者距离变小；2．当v 1= v 2时，①若满足x 1< x 2+Δx ，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x 1=x 2+Δx ，则恰能追上，全程只相遇一次； ③若满足x 1> x 2+Δx ，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。

高一追及相遇问题分析

追及相遇问题分析1．追及问题(1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置．(2)追及问题满足的两个关系：①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等．②位移关系：x2＝x0＋x1.其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞，相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2.2．相遇问题(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置．(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇．(3)临界状态：避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零．例题1、汽车A以v A＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以v B＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从此刻开始计时．(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少？(2)经过多长时间A恰好追上B?1.解题思路2．解题技巧(1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．(2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．(3)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析．变式训练1、平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？过关检测1.(2014·广州联考)甲、乙两物体同时从同一地点出发，同方向做匀加速直线运动的v－t图象如图所示，则()A．甲的瞬时速度表达式为v＝2tB．乙的加速度比甲的加速度大C．t＝2 s时，甲在乙的前面D．t＝4 s时，甲、乙两物体相遇2.(2014·孝感联考)在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图象，以下说法正确的是()A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾B．在t＝5 s时追尾C．在t＝3 s时追尾D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾3、某同学以校门口为原点，正东方向为正方向建立坐标系，记录了甲、乙两位同学的位置－时间(x－t)图线，如图1所示，下列说法中正确的是()图1A．在t1时刻，甲的速度为零，乙的速度不为零B．在t2时刻，甲、乙速度可能相同C．在t2时刻，甲、乙两同学相遇D．在t3时刻，乙的速度为零、加速度不为零4、甲、乙两物体相距1m，甲在后乙在前沿同一直线、同一方向运动，其v－t 图象如图2所示，下列说法正确的是()图2A．0～3s内两物体间的距离不断减小B．t＝3s时两物体间的距离为5mC．t＝4s时两物体第二次相遇D．在3～6s间某一时刻两物体第二次相遇5、淮北车手王克在全国摩托车越野锦标赛六盘水站中获青少年组第一名．某段时间他和另一名车手在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车在同一计时线处．它们在四次比赛中的v－t图象如图3所示．下列说法正确的是()图3A．甲图对应的比赛中，10s时刻b车追上a车B．乙图对应的比赛中，b车和a车之间的距离一直不变C．丙图对应的比赛中，两车出发后相遇两次D．丁图对应的比赛中，两车出发后a车追不上b车6．如图4所示，一汽车停在小山坡底，突然司机发现在距坡底240m的山坡处泥石流以8m/s 的初速度、0.4 m/s2的加速度匀加速倾泄而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动．图4已知司机的反应时间为1s，汽车启动后以0.5m/s2的加速度一直做匀加速直线运动．试分析汽车能否安全脱离？7．汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好没碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远．。

高中物理：第二章小专题相遇和追及问题题型归纳

【典型例题】类型一、机动车的行驶安全问题例1、2015年1月3日在京津高速上，司机驾驶小汽车以108km/h 的速度匀速行驶，突然发现同一车道的正前方110m 处停有一辆故障车，由于无法从其它车道避让，司机立即采取措施．司机从发现前方故障车到开始制动有1s 的反应时间，制动后小汽车以大小为a=5m/s 2的加速度刹车，请你通过计算判断这辆小汽车能否跟前方故障车发生追尾事故？请你给司机提出至少一条合理的可以防止和减少追尾的建议．【☆答案☆】见解析【解析】108/30/km h m s =，司机在反应时间内做匀速运动，1030130x v t m m ==⨯=，刹车后做匀减速运动的位移20290090210v x m m a ===，总位移123090120110x x x m m m =+=+=＞，会发生追尾．建议：1、不要超速，2、不要酒后驾驶，3、不要疲劳驾驶．答：会发生追尾．建议：1、不要超速，2、不要酒后驾驶，3、不要疲劳驾驶．【总结升华】决本题的关键知道汽车在反应时间内和刹车后的运动规律，结合运动学公式灵活求解，基础题．举一反三【变式】酒后驾车严重威胁交通安全．其主要原因是饮酒会使人的反应时间(从发现情况到实施操作制动的时间)变长，造成制动距离(从发现情况到汽车停止的距离)变长，假定汽车以108 km/h 的速度匀速行驶，刹车时汽车的加速度大小为8 m/s 2，正常人的反应时间为0.5 s ，饮酒人的反应时间为1.5 s ，试问：(1)驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米？(2)饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间？【☆答案☆】 (1)30 m (2)5.25 s【解析】 (1)汽车匀速行驶v ＝108 km/h ＝30 m/s正常情况下刹车与饮酒后刹车，从刹车到车停止这段时间的运动是一样的，设饮酒后的刹车距离比正常时多Δs ，反应时间分别为120.5 s 1.5 s t t ＝、＝则 21()s v t t ∆＝－代入数据得30 m s ∆＝(2)饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时间3(0)/t v a ＝－解得3 3.75 s t ＝所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间23t t t ＝＋解得 5.25 s t ＝类型二、追及问题一：速度小者追赶同向速度大者例2、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。

追及和相遇问题的解题方法

当：t b 2s时x有最大值 2a
此时：x 4ac b2 6m 4a
(2)当汽车追上自行车时：
x 0
所以 : - 3 t'2 6t' 0 2
即：t' 4s
此时：v汽 =at' 12m / s
规律总结：（1）相遇条件：两者到达同一位置。（2）产生最大或最小距离的条件：
两者速度相等。
（1）写出前面的分析过程，并得出结论
（2）当人、车之间的距离最小时：
v1 v2即at 5m / s 所以t 5s
则有：x
1 2
at 2
x0
v1t
1 2
1
25
20
25
7.5m
追及和相遇问题的解题方法：第一：数学解析法第二：物理分析法第三：v-t图像法
例题2：方法一：物理分析法
（1）当汽车与自行车同速时，即v汽=v自时，两车相距最远
at v自
所以：t v自 2s a
而：x
v自t
1 2
at 2
6m
(2)当汽车追上自行车时，x汽=x自，
1 2
at '2
v自t '
所以：t' 2v自 4s a
此时：v'汽 at' 12m / s
方法二：数学解析法
（1）两车之间的距离为：
x
v自t
1 2
at 2
3 2
t2
6t(开口向下的抛物线)
5t
2（0 开口向上的抛物线）
若两者距离最小，则：
x= 4ac b2 7.5m 4a
方法二：物理分析法
分析过程：
开始人在车后，两者相距20m。

追及和相遇问题

变式题来自变式1 自行车甲沿着平直公路以速度v 做匀速直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追赶自行车甲，根据上述已知条件【】 A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度 B．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程 C．可求出乙车从开始启动到追上甲车所用的时间 D．不能求出上述三者中的任何一个答案：A
变式题

变式2 汽车从静止开始以a =1m/s2的加速度启动，车后相距x0=25 m处，与汽车运动方向相同的某人骑自行车同时开始以v =6m/s的速度匀速追赶汽车，问：（1）自行车能否追上汽车？（2）若能追上，自行车何时何地追上？若追不上，求两者间的最小距离为多少？

答案：（1）追不上
追及和相遇问题
例1. 在交通十字路口，当绿灯亮时，一小汽车以a =1m/s2匀加速启动，恰有一自行车以v =6m/s的速度从汽车边匀速驶过。（1）汽车从开动后到追上自行车之前，要经过多长时间两者相距最远？此时最远距离为多少？（2）什么时候追上自行车，此时汽车的速度为多大？

（2）7m
交通安全
例题2. 客车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同一轨道上相距x0处有另一列货车沿同方向以速度v2（对地，且v1 > v2）做匀速行驶。客车司机立即以加速度a (表示大小)紧急刹车。要使两车不相撞，a 应满足什么条件？解析：客车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和v2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当客车速度减小至小于货车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。若这时客车追上货车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度a 0。

追及和相遇问题典型例题分析

第12讲 追及和相遇问题(解析版)

专题 追及相遇问题

追及相遇问题----高中物理模块典型题归纳(含详细答案)

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相遇问题与追及问题

追及问题相遇问题

追及与相遇问题知识详解及典型例题

追及与相遇问题

小学数学典型应用题相遇和追及问题

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追及和相遇问题

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高中物理：第二章 小专题相遇和追及问题题型归纳

追及和相遇问题的解题方法

追及和相遇问题

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专题追及相遇问题

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