(完整)上海师范大学高数试题(12)

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上海市上海师范大学附中2025届数学高三第一学期期末复习检测试题含解析

上海市上海师范大学附中2025届数学高三第一学期期末复习检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（）A ．()4,6B ．()4,6--C ．1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1313⎛-- ⎝⎭2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB = A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．已知函数2()sincos 444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（） A ．2018B ．1009C ．1010D ．2020 4．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x=++，下列说法正确的是（） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 5．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（）A ．6481B ．3227 C ．89 D ．16276．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( )A ．1225B ．1225- C ．2425 D ．2425-7．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若函数12log,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（）A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)10． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 312．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海师范学校2020年高三数学文下学期期末试卷含解析

上海师范学校2020年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A2. 双曲线中，F2为其右焦点，A1为其左顶点，点B(0，b)在以A1F2为直径的圆上，则此双曲线的离心率为( )A． B． C. D．参考答案：D3. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 ( )A．－3 B．－1 C． 1 D．3参考答案：C略4. 设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，为直角顶点作等腰，则动点的轨迹是（）A．圆 B．两条平行直线 C．抛物线 D．双曲线参考答案：B略5. 设M（，）为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是 ( ）A．（0，2） B．[0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）参考答案：C由题意只要即可，而所以，简单考查抛物线的方程、直线与圆的位置关系、抛物线的定义及几何性质，是简单题。

6. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是高考资源A. B.C. D.参考答案：D7. 已知函数f（x）=4x3﹣ax+1存在n（n∈N）个零点对应的实数a构成的集合记为A（n），则（）A．A（0）=（﹣∞，3] B．A（1）={2} C．A（2）=（3，+∞）D．A（3）=（3，+∞）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=0得出a=4x2+，令h（x）=4x2+，判断h（x）的单调性，作出h（x）的函数图象，利用函数图象判断方程h（x）=a的解的个数，从而得出A（n）．【解答】解：令f（x）=0得a=4x2+，∴当f（x）有n个零点时，方程a=4x2+有n个不同的解．设h（x）=4x2+，则h′（x）=8x﹣=，∴当x＞时，h′（x）＞0，当x＜0或0时，h′（x）＜0．作出h（x）=4x2+的大致函数图象如下：由图象可知当a＜3时，h（x）=a只有一解，当a=3时，h（x）=a有两解，当a＞3时，h（x）=a有三解．∴A（0）=?，A（1）=（﹣∞，3），A（2）={3}，A（3）=（3，+∞）．故选D．8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 2π+4D.3π+4参考答案：D该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.9. 对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( )A．B. C. D.参考答案：【知识点】抽象函数及其应用．A 解：对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项B、C、D函数没有对称轴；函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项A正确．故选：A．【思路点拨】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后依次判断选项即可．10. 若.则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系可得，再利用诱导公式及同角三角函数的平方关系化简，求值即可。

2019-2020学年上海师范学校高三数学理期末试题含解析

2019-2020学年上海师范学校高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 当时，复数（为虚数单位）子复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：2.已知函数，（C为复数），则等于A、B、 C、D、参考答案：答案:C解析:∵∴故选C3. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为．．．．参考答案：依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得．故选．【解题探究】本题主要考查复数的基本概念与复数的运算．解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时还需要注意理解纯虚数的概念．4. 已知函数f t（x）=﹣（x﹣t）2+t（t∈R），设a＞b，f（x）=，若函数y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，则b﹣a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣2﹣）B．（﹣∞，2﹣） C．（﹣2﹣，0）D．（2﹣.0）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】解方程f a（x）=f b（x）得交点坐标，函数f（x）的图象与直线l：y=x+b﹣a有四个不同的交点，由图象知，点P在l下方，由此解得b﹣a的取值范围．【解答】解：作函数f（x）的图象，且解方程f a（x）=f b（x）得，﹣（x﹣a）2+a=﹣（x﹣b）2+b，解得x=，此时y=﹣（﹣b）2+b=﹣（）2+b，即交点坐标为（，﹣（）2+b），若y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，即f（x）﹣x+a﹣b=0有四个根，即f（x）=x+b﹣a，分别作出f（x）与y=x+b﹣a的图象如图：要使函数y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，即函数f（x）的图象与直线l：y=x+b﹣a有四个不同的交点．由图象知，点P在下方，所以﹣（）2+b＜+b﹣a，即（）2＞，设t=a﹣b，则t＞0，则方程等价为＞，即t2﹣4t﹣1＞0，即t＜2，或t＞2+，∵t＞0，∴t＞2+，故b﹣a=﹣t＜﹣2﹣，即b﹣a的取值范围是（﹣∞，﹣2﹣），故选：A【点评】本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键．5. 下面关于复数的四个结论，正确的是①②③④A．①② B．②③ C．②④D．③④参考答案：C6. 已知是虚数单位，则=A． B． C． D．参考答案：A略7. 若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：双曲线的标准方程．专题：压轴题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k﹣3和k+3同号，进而求得k的范围即可判断是什么条件．解答：解：依题意：“方程﹣=1表示双曲线”可知（k﹣3）（k+3）＞0，求得k＞3或k＜﹣3，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．8. 在△ABC中，已知，，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】D 解析：∵=，∴sinA=；∴cosA=±∴==4×1×（±）=±2，故选：D．【思路点拨】先根据三角形的面积公式可求得A的正弦值，从而可求得余弦值，根据向量的数量积运算可得到的值．9. 若二次函数y=ax2（a＞0）的图象与不等式组表示的平面区域无公共点，则实数a的取值范围为（）A．（，2）B．（，）C．（0，）∪（，+∞）D．（0，）∪（2，+∞）参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】函数思想；数形结合法；不等式．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出临界点的坐标，从而求出a的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将A（1，2）代入y=ax2，解得：a=2，将B（3，2）代入y=ax2，解得：a=，若二次函数y=ax2（a＞0）的图象与不等式组表示的平面区域无公共点，则a∈（0，）∪（2，+∞），故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．10. 已知集合，，则（）A． B．{ } C．{ } D．{}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为___________.参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积G2由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，，故相当于棱长分别为，，2的长方体的外接球，故满足，所以，几何体的外接球的体积为，故答案为：．【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入体积公式，可得答案．12. 设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=____________.参考答案：2略13. 记为不超过实数的最大整数,例如,,,.设为正整数,数列满足,,现有下列命题:①当时,数列的前3项依次为5,3,2;②对数列都存在正整数,当时总有;③当时,;④对某个正整数,若,则.其中的真命题有_________.(写出所有真命题的编号)参考答案：①③④略14. 已知、是方程的两根，且、，则；参考答案：答案：15. 某同学为了研究函数的性质,构造了如图所示的两个边长为的正方形和,点是边上的一个动点,设,则.那么,可推知方程解的个数是_________个参考答案：216. 设奇函数的定义域为R，且周期为5，若，则实数a 的取值范围是参考答案：17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则b+c的最大值为．参考答案：6在中，∵，∴整理可得：，∴，∴，∴，∴，可得：，∴由余弦定理可得：，∴解得：，∴，当且仅当时，．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

(NEW)上海师范大学数理学院861高等代数历年考研真题汇编(含部分答案)

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2024年上海市春季高考数学试题及答案

2024年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2log x 的定义域．2．直线10x y -+=的倾斜角大小为．3．已知i 1iz=+，则z ．4．6(1)x -展开式中4x 的系数为．5．三角形ABC 中，2,,34BC A B ππ===，则AB =．6．已知1ab =，2249a b +的最小值为．7．数列{}n a ，n a n c =+，70S <，c 的取值范围为．8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．9．已知2(),0(),()(),0f x x f x x g x f x x ⎧==⎨--<⎩，求()2g x x - 的x 的取值范围．10．已知四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为平行四边形，13AA =，4BD =且115AB BC AD DC ⋅-⋅=，求异面直线1AA 与BD 的夹角．11．正方形草地ABCD 边长1.2，E 到AB ，AD 距离为0.2，F 到BC ，CD 距离为0.4，有个圆形通道经过E ，F ，且与AD 只有一个交点，求圆形通道的周长．（精确到0.01)12．12a =，24a =，38a =，416a =，任意1b ，2b ，3b ，4b R ∈，满足{|14}{|14}i j i j a a i j b b i j +<=+< ，求有序数列1{b ，2b ，3b ，4}b 有对．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．a ，b ，c R ∈，b c >，下列不等式恒成立的是()A ．22a b a c +>+B ．22a b a c+>+C ．22ab ac >D ．22a b a c>14．空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m ，n ，则下列说法中正确的是（）A ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥B ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则n β⊥C ．若//αβ，//m α，//n β，则//m nD ．若//αβ，//m α，//m n ，则//n β15．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A ：所选盒中有中国结，事件B ：所选盒中有记事本，事件C ：所选盒中有笔袋，则（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 相互独立C ．事件A 与事件B C 互斥D ．事件A 与事件B C 相互独立16．现定义如下：当(,1)x n n ∈+时()n N ∈，若(1)()f x f x +='，则称()f x 为延展函数．现有，当(0,1)x ∈时，()x g x e =与10()h x x =均为延展函数，则以下结论（）（1）存在(y kx b k =+，b R ∈；k ，0)b ≠与()y g x =有无穷个交点（2）存在(y kx b k =+，b R ∈；k ，0)b ≠与()y h x =有无穷个交点A ．（1）（2）都成立B ．（1）（2）都不成立C ．（1）成立（2）不成立D ．（1）不成立（2）成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．已知()sin()3f x x πω=+，0ω>．（1）设1ω=，求解：()y f x =，[0x ∈，]π的值域；（2）()a a R π>∈，()f x 的最小正周期为π，若在[x π∈，]a 上恰有3个零点，求a 的取值范围．18．如图，PA 、PB 、PC 为圆锥三条母线，AB AC =．（1）证明：PA BC ⊥；（2,BC 为底面直径，2BC =，求二面角B PA C --的大小．19．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆22:162x y Γ+=上一点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点A 的横坐标为2，求1||AF 的长；（2）设Γ的上、下顶点分别为1M 、2M ，记△12AF F 的面积为1S ，△12AM M 的面积为2S ，若12S S ，求||OA 的取值范围．（3）若点A 在x 轴上方，设直线2AF 与Γ交于点B ，与y 轴交于点K ，1KF 延长线与Γ交于点C ，是否存在x 轴上方的点C ，使得111222()()F A F B F C F A F B F C R λλ++=++∈成立？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．21．记M （a ）{|()t t f x f ==-（a ），}x a ，L （a ）{|()t t f x f ==-（a ），}x a ．（1）若2()1f x x =+，求M （1）和L （1）；（2）若32()3f x x x =-，求证：对于任意a R ∈，都有M （a ）[4⊆-，)+∞，且存在a ，使得4M -∈（a ）．（3）已知定义在R 上()f x 有最小值，求证“()f x 是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c ，均有()M c L -=（c ）”．参考答案及逐题解析：一、填空题：1、解：2log x 的定义域为(0,)+∞．2、解：由直线10x y -+=变形得：1y x =+所以该直线的斜率1k =，设直线的倾斜角为α，即tan 1α=，[0α∈ ，180)︒，45α∴=︒．3、解：由题意可得(1)1z i i i =+=-+，所以1z i =--．4、解：根据二项式展开426(1)15C ⨯-=．5、解：三角形ABC 中，5,12A B C C ππ++==，sin sin()sin cos cos sin 464646C ππππππ=+=+=，由正弦定理sin sin BC AB A C =，2BC =，3A π=，故2sin sin 32BC CAB A===．6、解：由1ab =，224922312a b a b +⋅⋅= ，当且仅当23a b =，即a b ==或a b ==时取最小值12，所以2249a b +的最小值为12．7、解：等差数列由n a n c =+，知数列{}n a 为等差数列17747()702a a S a +==<，即7(4)0c +<，解得4c <-．故c 的取值范围为(,4)-∞-．8、解：由双曲线的定义，26c =，22a =，解得3c =，1a =，3ce a∴==．9、解：根据题意知22,0(),0x x g x x x ⎧=⎨-<⎩，所以当0x 时，2()220g x x x x -⇒+- ，解得[0x ∈，1]；同理当0x <时，2()220g x x x x -⇒-+- ，解得(,0)x ∈-∞；综上所述：(x ∈-∞，1]．10、解：如图，因为1111,AB AB AA AD AD AA =+=+，又115AB BC AD DC ⋅-⋅=，∴11()()5AB AA AD AD AA DC +⋅-+⋅=，化简得15AA BD ⋅=，∴134cos 5AA BD θ⋅=⨯⨯=，∴5cos 12θ=．异面直线1AA 与BD 的夹角为5arccos12．11、解：以A 为原点，线段AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，易知(0.2,0.2)E ，(0.8,0.8)F ．不妨设EF 中点为(0.5,0.5)M 直线EF 中垂线所在直线方程为0.5(0.5)y x -=--，化简得1y x =-+．所以可设圆心为(,1)a a -+，半径为a ，且经过E ，F 点，即222(0.2)(10.2)a a a -+-+-=，化简得220.680a a -+=，求得211210a ==±±．结合题意可得，10.434a =-=．故有圆的周长2 2.725 2.73C a π==≈．12、解：由题意得{|6i j a a +，10，12，18，20，24}，满足11{|14}{|14}j j a a i j b b i j +<=+<，不妨设1234b b b b <<<，由单调性有126b b +=，1310b b +=，2420b b +=，3424b b +=，分两种情况讨论：①2312b b +=，1418b b +=，解得12b =，24b =，38b =，416b =，②2318b b +=，1412b b +=，解得11b =-，27b =，311b =，413b =，所以有2种，综上共有44248A =对．二、选择题：13、解：对于A ，若||||b c <，则22b c <，选项不成立，故A 错误；对于B ，22a a =，b c >，由不等式的可加性可知，22a b a c +>+，故B 正确．对于C 、D ，若0a =，则选项不成立，故C 、D 错误．故选：B ．14、解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，由m n ⊥，则n 与β斜交、垂直、平行均有可能，故B 错误；对于C ，若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，由//n β，则m 与n 相交、平行、异面均有可能，故C 错误；对于D ，若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，又//m n ，则//n β或n β⊂，故D 错误．故选：A ．15、解：选项A ，事件A 和事件B 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件A 与事件B 不互斥，A 错误；选项B ，P （A ）12=，P （B ）12=，1()4P AB =，P ∴（A ）P （B ）()P AB =，B 正确；选项C ，事件A 与事件B C 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C 错误；选项D ，P （A ）12=，1()4P B C = ，1(())4P A B C =⋂ ，P ∴（A ）()(())P B C P A B C ≠⋂ ，A ∴与B C 不独立，故D 错误．故选：B ．16、解：根据题意，当(0,1)x ∈时，()x g x e =与10()h x x =均为延展函数，对于①，对于()x g x e =，(1)()x g x g x e +='=，则()g x 是周期为1的周期函数，其值域为(1,)e ，因为0k ≠，y kx b =+与()y g x =不会有无穷个交点，所以（1）错；对于②，当10!k =时，存在b 使得直线y kx b =+可以与()h x 在区间(9,10)的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．故选：D ．三、解答题：17、解：（1）当1ω=时，()sin(sin()33f x x x ππω=+=+．因为[0x ∈，]π，所以令4,[,333t x t πππ=+∈，根据()sin y f t t ==在[,]32ππ上单调递增，在4[,23ππ上单调递减，所以函数的最大值为sin 12π=，最小值为4sinsin 33ππ=-=．因此函数的值域为3[2-，1]．（2）由题知2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)3f x x π=+．当()0f x =时，2,3x k k Z ππ+=∈，即,62k x k Z ππ=-+∈．当3k =时，43x ππ=>，所以443332T a T ππ+<+ ，即71736a ππ<．18、解：（1）证明：取BC 中点O ，连接AO ，PO ，因为AB AC =，PB PC =，所以AO BC ⊥，PO BC ⊥，又因为PO ，AO ⊂面PAO ，PO AO O = ，所以BC ⊥面PAO ，又PA ⊂面PAO ，所以PA BC⊥；（2）解：法()i由（1）可知，BC OA⊥，又PO⊥底面ABC，作PM AB⊥，BD PA⊥交于D，连接CD，由题意PBA PCA∆≅∆，可得CD PA⊥，所以CDB∠为所求的二面角的平面角，连接OD，则2CDB BDO∠=∠，,BC为底面直径，2BC=，所以底面半径为1PO==，PA==AB=PB==PM===，1122PBAS AB PM PA BD∆=⨯⨯=⨯⨯，BD=，解得BD=，所以15sin5OBBDOBD∠==，所以21cos12sin125CDB BDO∠=-∠=-⨯=-，所以二面角B PA C--的平面角为钝角，所以二面角B PA C--的大小为1arccos5π-．法()ii由（1）可知，BC OA⊥，又PO⊥底面ABC，,BC为底面直径，2BC=，所以底面半径为1PO==，建立以OB为x轴，OA为y轴，以OP为z轴的坐标系，则可得(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0)P A B C-，故(0,1,(1,0,(1,0,PA PB PC===-，设1111(,,)n x y z=为平面PAB的一个法向量，由1n PA⊥，1n PB⊥，可得1111110000n PA y n PB x ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩，令1x =，则111y z ==，可得1n =，设2222(,,)n x y z =为平面PAC 的一个法向量，由2n PA ⊥ ，2n PC ⊥ ，可得2222220000n PA y n PC x ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩，令2x =221y z ==，可得2(n =，则1212121cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==-，设二面角B PA C --的平面角为θ，由图可知θ为钝角，所以二面角B PA C --的大小为1arccos 5π-．19、解：（1）古典概型：设A 事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数213613613591802n C ⨯===，A 事件的样本点的公式11102343468m C C =⋅=，所以P （A ）346817918045m n ===；（2）因为一级果箱数：二级果箱数3:1=，所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；（3）设一级果平均质量为x ，方差为2xS ，二级果质量为?y ，方差为2y S ，总体样本平均质量为z 平均值，方差为2S ，因为303.45x =，240.41y =，2603.46x S =，2648.21y S =，所以12048303.45240.41285.441204812048z =⨯+⨯=++克，22212048[603.46(303.45285.44)][648.21(240.41285.44)]1427.271204812048S =⨯+-+⨯+-=++克2．预估：平均质量为10234287.69136136x y ⋅+⋅=克．20、解：（1）因为点A 的横坐标为2，不妨设(2,)A y ，因为点A 在椭圆Γ上，所以222162y +=，解得223y =，易知1(2,0)F -，所以1||AF ==；（2）不妨设(,)A x y ，0xy ≠，此时11221211||||2||,||||||22S F F y y S M M x x ====，因为12S S ，所以2|||y x ，即222y x ，又22162x y +=，所以22263y y - ，解得2625y < ，则||OA =故||OA 的范围为；（3）不妨设1(A x ，1)y ，10y >，2(B x ，2)y ，由对称性可得A 、C 关于y 轴对称，所以1(C x -，1)y ，又1(2,0)F -，2(2,0)F ，此时111122111(2,),(2,),(2,)F A x y F B x y F C x y =+=+=-+ ，所以111221(6,2)F A F B F C x y y ++=++ ，同理得222221(6,2)F A F B F C x y y ++=-+ ，因为111222()()F A F B F C F A F B F C R λλ++=++∈ ，所以111222//F A F B F C F A F B F C ++++ ，解得2120y y +=或21222066y y x x +≠⎧⎨+=-⎩（无解），不妨设直线2:2AF x my =+，联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(3)420m y my ++-=，由韦达定理得21212121222343y y y m m y y y m -⎧=-=⎪⎪+⎨⎪+=-=-⎪+⎩，解得55m =，此时154y =，又112x my =+，解得194x =，此时95()44C -．故存在x轴上方的点9(44C -，使得111222()()F A F B F C F A F B F C R λλ++=++∈ 成立．21、解：（1）由题意，得M （1）2{|12t t x ==+-，1}[0x = ，)+∞；{}2(1)12,1[1,)L t t x x ==+-=-+∞∣ ．（2）证明：由题意知，M （a ）3232{|33t t x x a a ==--+，}x a ，记3232()33g x x x a a =--+，则2()3600g x x x x '=-=⇒=或2．x (,0)-∞0(0,2)2(2,)+∞()g x '正0负0正()g x 极大值极小值现对a 分类讨论，当2a ，有323233t x x a a =--+，x a 为严格增函数，因为g （a ）0=，所以此时M （a ）[0=，)[4+∞⊆-，)+∞符合条件；当02a < 时，323233t x x a a =--+，x a 先增后减，32(2)34min t g a a ==-+-，因为3223(3)0(0a a a a a -+=-= 取等号），所以32(2)344min t g a a ==-+-- ，则此时M （a ）32[34a a =-+-，)[4+∞⊆-，)+∞也符合条件；当0a <时，323233t x x a a =--+，x a ，在[a ，0)严格增，在[0，2]严格减，在[2，)+∞严格增，{}32{(),(2)}0,34min t min g a g min a a ==-+-，因为h （a ）3234a a =-+-，当0a <时，h '（a ）2360a a =-+>，则h （a ）(0)4h >=-，则此时M （a ）[min t =，)[4+∞⊆-，)+∞成立；综上可知，对于任意a R ∈，都有M （a ）[4⊆-，]+∞，且存在0a =，使得4M -∈（a ）．（3）证明：必要性：若()f x 为偶函数，则(){|()()M c t t f x f c -==--，}x c - ，L （c ）{|()t t f x f ==-（c ），}x c ，当x c - ，()()()t f x f c f x f =--=--（c ），因为x c - ，故()M c L -=（c ）；充分性：若对于任意正实数c ，均有()M c L -=（c ），其中(){|()()M c t t f x f c -==--，}x c - ，L （c ）{|()t t f x f ==-（c ），}x c ，因为()f x 有最小值，不妨设f （a ）min f m ==，由于c 任意，令||c a ，则[a c ∈-，]c ，所以()M c -最小元素为f （a ）()()f c m f c --=--．L （c ）中最小元素为m f -（c ），又()M c L -=（c ）f ⇒（c ）()f c =-对任意||c a 成立，所以f （a ）()f a m =-=，若0a =，则f （c ）()f c =-对任意0c 成立()f x ⇒是偶函数；若0a ≠，此后取(||,||)c a a ∈-，()()()()()()()()M c f a f c f c f c L c f a f c ⎫---⎪⇒-=⎬---⎪⎭最小元素是最小元素是，综上，任意0c ，f （c ）()f c =-，即()f x 是偶函数．。

2020年上海师范学校高一数学理上学期期末试卷含解析

2020年上海师范学校高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对数式中，实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C2. 直线当变动时，所有直线都通过定点（）A.（0，0）B.（0，1）C.（3，1）D.（2，1）参考答案：C3. 设函数，则下列说法中正确的是（）A.在区间内均有零点.B.在区间内均无零点.C.在区间内有零点，在内无零点.D.在区间内无零点，在内有零点.参考答案：D略4. 设等差数列{a n}满足，，S n是数列{a n}的前n项和，则使得{S n}取得最大值的自然数n是（）A．4 B． 5 C.6 D．7参考答案：B5. 要使与轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有（）A． B． C． D．参考答案：D6. 已知，，则的值为（）．A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据角的范围可知，；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果.【详解】由可知：，由得：本题正确选项：A7. 已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x+1）的定义域为( )A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．参考答案：B考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接由2x+1在函数f（x）的定义域内求解x的取值集合得答案．解答：解：∵函数f（x）的定义域为（0，1），由0＜2x+1＜1，得．∴函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的定义域，是高考常见题型，属基础题，也是易错题8. 半径为的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）.[来源:学&科&网]A. B. C. D.参考答案：C略9. 已知x∈[－π，π]，则“x∈”是“sin（sin x）＜cos（cos x）成立”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C试题分析：当x∈时，sinx＋cosx≤所以0≤sinx＜－cosx≤于是sin（sinx）＜sin（－cosx）＝cos（cosx），充分性成立.取x＝－，有sin（sinx）＝sin（－）＝－sin＜0cos（cosx）＝cos（－）＝cos＞0所以sin（sinx）＜＜cos（cosx）也成立，必要性不成立故选C考点：三角函数的性质，充要条件10. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A. B.C. D.参考答案：D由图象可以看出，，则，将点代入中，得，，又函数表达式，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小值为．参考答案：12. 函数的定义域是．参考答案：令且，得，解得，故填．13. 等差数列{a n}的首项a1=1，且a2是a1和a6的等比中项，那么公差d= _________ ．参考答案：0或314. 给出下列命题：①是幂函数；②函数在上有3个零点；③的解集为；④当时，幂函数的图象与两坐标轴不相交；其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．参考答案：②④15. 关于x的方程= p x有4个不同的实数根，则p的取值范围是。

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【全国百强校】上海市上海师范大学...一、填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分．）1.集合{}*|03,A x x x N =≤<∈的真子集的个数是 .【答案】3【解析】试题分析：{}*|03,={1,2}A x x x N =≤<∈，真子集个数22-1=3，所以答案应填：3．考点：集合的子集概念．2.命题“如果,a b 都是奇数，那么a b +是偶数”的逆否命题是 .【答案】如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数【解析】试题分析：命题的条件和结论否定后交换，所以答案应填：如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数．考点：逆否命题． 3.已知函数()922-=x x x f ，()3-=x x g ，()33+=x x x h ，则()()()=+x h x g x f ．【答案】(3)x x ≠±考点：函数的定义域．4.已知集合{223}A y y x x ==--，集合{}2213B y y x x ==-++，则AB = .【答案】[4,14]-【解析】试题分析：由2223=1)44y x x x =----≥-（，22213(1)1414y x x x =-++=--+≤，知 A B =[4,14]-，所以答案应填：[4,14]-．考点：1、集合；2、二次函数值域．5.函数2()|1|||f x x x a =-+-（常数a R ∈），若(2)1f =，则(1)f = .【答案】3【解析】试题分析：(2)1f =得：4a =，故(1)3f =，所以答案应填：3．考点：函数概念．6.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，且{}1,2U BC A =，{}5U A C B =,{}0,4U U C A C B =，则集合A = .【答案】{3,5}考点：1、集合的交集2、集合的补集．7.已知集合{|A a =关于x 的方程211x a x +=-有唯一实数解，}a R ∈，用列举法表示集合 A = ．【答案】51,1,4??--【解析】试题分析：由211(1)(1)x a x a x x x ++==--+，当1x a x +=-或1x a x +=+时，方程有一解，当21x a x +=-有一解时，0?=，54a =-，所以答案应填：51,1,4??--．考点：含参分式方程．8. 对于集合,A B ，定义运算：{}A B x x A x B -=∈?且，()()A B AB B A ?=--．若{}1,2A =， {}2,B x x x Z =<∈，则A B ?= ．【答案】{}1,0,2-【解析】试题分析：{}1,2A =，{}2,{1,01}B x x x Z =<∈=-，，()(){2}{1,0}{1,0,2}A B B A --=-=-，所以答案应填：{}1,0,2-．考点：集合的运算．9. 已知全集U R =，实数,a b 满足0a b >>，集合{|},{|}2a b M x b x N x x a +=<<=<<，则U M C N = ．【答案】(b考点：集合的交集、补集．10.已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-，其中,a c R ∈，则关于x 的不等式 022>-+-a x cx 的解集是 .【答案】)3,2(-【解析】试题分析：由不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-知211321 6a c a-=-+=-??，解得122a c =-??=?，所以022>-+-a x cx 即为260x x -++>，解得23x -<<，所以答案应填：)3,2(-．考点：1、一元二次不等式；2、一元二次方程．【思路点晴】本题主要考查的是含参一元二次不等式的解法，属于中档题．解题时一定注意不等式的解集端点与相应方程的关系，即端点是方程的根，再根据根与系数关系得出a ，c ，从而解出022>-+-a x cx 的解集．11.对于实数x ，若1,n x n ≤<+规定[]x n =()n Z ∈，则不等式[][]2420210x x -+<的解集是．【答案】【解析】。

2024年上海高考真题数学(含解析)

2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。

上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、填空题1．函数()f x =2．已知0a >. 3．已知幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭，求(3)f -=．4．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=.5．已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是. 6．设a ，b ∈R ．已知关于x 的不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，则不等式250ax x b ++<的解集为．7．已知锐角α的顶点为原点，始边为x 轴的正半轴，将α的终边绕原点逆时针旋转π6后交单位圆于点1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α的值为．8．已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=.9．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30o 和45o ，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15o ，则鹳雀楼的高度约为m .10．对于函数()f x 和()g x ，设(){}|0x f x α∈=，(){}|0x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数()1e 2x f x x -=+-与()21g x x ax =-+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是.11．若函数()y f x =的图像上存在不同的两点M x 1,y 1 和N x 2,y 2 ，满足1212x x y y +≥()y f x =具有性质P ，给出下列函数： ①()sin f x x =；②()x f x e =；③1(),(0,)f x x x x=+∈+∞；④()||1f x x =+．其中其有性质p 的函数为（填上所有正确序号）．12．已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为．二、单选题13．已知a b ∈R ，且0ab ≠，则“22a b >”是“11a b<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．设函数()sin f x x =，若对于任意5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的值可能是（）A ．π6B ．π3C ．2π3 D ．5π6 15．已知在ABC V 中，0P 是边AB 上一定点，满足023P B AB =u u u r u u u r，且对于边AB 上任意一点P ，都有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定16．设函数,()2,2x x P f x x x M x∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){(),},(){(),}A P y y f x x P A M y y f x x M ==∈==∈∣∣，有下列命题：①对任意满足P M ⋃=R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃=R ； ②对任意满足P M ⋃≠R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃≠R ，则对于两个命题真假判断正确的是（）A ．①和②都是真命题B ．①和②都是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题三、解答题17．已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭r r ．(1)当a b r r∥时，求tan 2x 的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅r rr ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域．18．已知函数()22x x af x =+其中a 为实常数.（1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =; （2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.19．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数()f x 模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数()f x 模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：①()2150xf x =+；②()ln 2f x x =-；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？20．已知函数()y f x =的定义域为区间D ，若对于给定的非零实数m ，存在0x ，使得()()00f f x x m =+，则称函数()y f x =在区间D 上具有性质()P m .(1)判断函数()2f x x =在区间[]1,1-上是否具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并说明理由；(2)若函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫⎪⎝⎭，求n 的取值范围；(3)已知函数()y f x =的图像是连续不断的曲线，且()()02f f =，求证：函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.21．已知函数()e (,1),()(,)k x f x x k k g x cx m c m =∈≥=+∈N R ，其中e 是自然对数的底数．(1)当1k =时，若曲线()y f x =在1x =处的切线恰好是直线()y g x =，求c 和m 的值； (2)当1k =，e m =-时，关于x 的方程()()f x g x =有正实数根，求c 的取值范围：(3)当2,1k m ==-时，关于x 的不等式2()e ()f x ax bx g x -≥+≥对于任意[1,)x ∈+∞恒成立（其中,a b ∈R ），当c 取得最大值时，求a 的最小值．。

2024年上海市高考数学试卷

2024年上海市高考数学试卷（2024•上海）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．答案：{1，3，5}．解析：结合补集的定义，即可求解．解答：解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．（2024•上海）已知f （x ）=，则f（3）=．{，x ＞01，x ≤0√x√3答案：．√3解析：根据已知条件，将x=3代入函数解析式，即可求解．解答：解：f （x ）=，则f（3）=．故答案为：．{，x ＞01，x ≤0√x√3√3（2024•上海）已知x∈R，则不等式x 2-2x-3＜0的解集为 {x|-1＜x＜3}．答案：{x|-1＜x＜3}．解析：根据一元二次不等式的解法直接求解即可．解答：解：x 2-2x-3＜0可化为（x-3）（x+1）＜0，解得-1＜x＜3，故不等式的解集为：{x|-1＜x＜3}．故答案为：{x|-1＜x＜3}．（2024•上海）已知f（x）=x 3+a,x∈R，且f（x）是奇函数，则a=0．答案：0．解析：首先根据f（0）=0，解得a=0，再根据奇函数的定义进行验证即可．解答：解：由题意，可得f（0）=0+a=0，解得a=0，当a=0时，f（x）=x 3，满足f（-x）=（-x）3=-x 3=-f（x），即f（x）是奇函数，故a=0符合题意．故答案为：0．（2024•上海）已知k∈R，a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，则k的值为 15．→→→→答案：15．解析：根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．解答：解：由a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，可得2k-5×6=0，解得k=15．故答案为：15．→→→→（2024•上海）在（x+1）n 的二项展开式中，若各项系数和为32，则x 2项的系数为 10．答案：见试题解答内容解析：根据二项式系数和求得n值，再结合二项式的通项公式即可求得．解答：解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n =32，所以n=5，则该二项式的通项公式是=••，令5-r=2，解得r=3，故x 2项的系数为=10．故答案为：10．T r +1C 5rx 5-r 1rC 53（2024•上海）已知抛物线y 2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 4．√2答案：4．√2解析：根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．解答：解：设P坐标为（x 0，y 0），P到准线的距离为9，即x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程，可得=±4，故P到x轴的距离为4．故答案为：4．y 0√2√2√2（2024•上海）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是答案：．1720解析：根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．解答：解：由题可知，A题库占比为，B题库占比为，C题库占比为，故P =×0.92+×0.86+×0.72=．故答案为：．5121314512131417201720（2024•上海）已知虚数z,其实部为1，且z +=m （m ∈R ），则实数m为 2．2z答案：2．解析：根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．解答：解：虚数z,其实部为1，则可设z=1+bi（b≠0），所以z +=1+bi +=1+bi +=1++（b -）i ，因为m∈R，所以b -=0，解得b=±1，所以m =1+=1+1=2．故答案为：2．2z 21+bi 2•（1-bi ）1+b221+b22b 1+b22b 1+b221+b2（2024•上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 329．答案：329．解析：根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解．解答：解：由题可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有=72种；（2）若个位不为0，这样的偶数有••=256种；所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种．故答案为：329．P 92C 41C 81C 81（2024•上海）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD，存在点A满足∠BAC=16.5°，∠DAC=37°，则∠BCA=7.8°．（精确到0.1度）答案：7.8°．解析：根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．解答：解：在△ACD中，根据正弦定理可得=，设∠ACB=α，则∠ACD=90°-α，所以==，①在△ABC中，根据正弦定理可得=，==，②联立①②，因为BC=CD，所以=，利用计算器可得，α=7.8°，即∠BCA=7.8°．故答案为：7.8°．AC sin ∠DCD sin ∠CADAC sin [180°-（37°+90°-α）]CD sin 37°AC sin （90°-α+37°）CB sin ∠BAC CA sin ∠BBC sin ∠16.5°CA sin [180°-（α+16.5°）]CA sin （α+16.5°）sin 37°sin （90°-α+37°）sin 16.5°sin （α+16.5°）（2024•上海）无穷等比数列{a n }满足首项a 1＞0，q＞1，记I n ={x-y|x,y∈[a 1，a 2]∪[a n ，a n+1]}，若对任意正整数n,集合I n 是闭区间，则q的取值范围是 [2，+∞）．答案：[2，+∞）解析：当n≥2时，不妨设x≥y,则x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，结合I n 为闭区间可得q -2≥-对任意的n≥2恒成立，故可求q的取值范围．1q n -2解答：解：由题设有=，因为a 1＞0，q＞1，故a n+1＞a n ，故[,]=[，]，a n a n q n -1a n a n +1a 1q n -1a 1q nA．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势A．sinx+cosx B．sinxcosx C．sin 2x+cos 2xD．sin 2x-cos 2x当n=1时，x,y∈[a 1，a 2]，故x-y∈[a 1-a 2，a 2-a 1]，此时I 1为闭区间，当n≥2时，不妨设x≥y,若x,y∈[a 1，a 2]，则x-y∈[0，a 2-a 1]，若y∈[a 1，a 2]，x∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[a n -a 2，a n+1-a 1]，若x,y∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[0，a n+1-a n ]，综上，x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，又I n 为闭区间等价于[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]为闭区间，而a n+1-a 1＞a n+1-a n ＞a 2-a 1，故a n+1-a n ≥a n -a 2对任意n≥2恒成立，故-2+≥0即（q -2）+≥0，故q n-2（q-2）+1≥0，故q -2≥-对任意的n≥2恒成立，因为q＞1，故当n→+∞时，-→0，故q-2≥0即q≥2．故答案为：[2，+∞）．a n +1a n a 2a 1q n -1a 21q n -21q n -2（2024•上海）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）答案：C解析：利用变量的性关系，判断选项即可．解答：解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋势，所以A、B、D选项错误．故选：C．（2024•上海）下列函数f（x）的最小正周期是2π的是（）答案：AA．（0，0，0）∈ΩB．（-1，0，0）∈ΩC．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，-1）∈ΩA．存在f（x）是偶函数B．存在f（x）在x=2处取最大值C．存在f（x）为严格增函数解析：利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．解答：解：对于A，sinx+cosx=sin（x+），则T=2π，满足条件，所以A正确．对于B，sinxcosx=sin2x,则T=π，不满足条件，所以B不正确．对于C，sin 2x+cos 2x=1，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以C不正确．对于D，sin 2x-cos 2x=-cos2x,则T=π，不满足条件，所以D不正确．故选：A．√2π412（2024•上海）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P 1，P 2，P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（）λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→答案：C解析：利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．解答：解：不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为（1，0，0）∈Ω，所以对于A三者不能构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故A错误；对于B，（1，0，0）∈Ω，（-1，0，1）∈Ω，且（1，0，0），（-1，0，0）共线，所以（0，0，1）可以属于Ω，此时三者不共面，故B错误；对于C，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出（0，0，1）∉Ω，故C正确；对于D，三者无法构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故D错误．故选：C．λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→（2024•上海）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M={x 0|x 0∈R，x∈（-∞，x 0），f（x）＜f （x 0）}，在使得M=[-1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（）D．存在f（x）在x=-1处取到极小值答案：B解析：根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．解答：解：对于A，x＜x 0时，f（x）＜f（x 0），当x 0=1时，x 0∈[-1，1]，对于任意x∈（-∞，1），f（x）＜f（1）恒成立，若f（x）是偶函数，此时f（1）=f（-1），矛盾，故A错误；对于B，若f（x）函数图像如下：当x＜-1时，f（x）=-2，-1≤x≤1时，f（x）∈[-1，1]，当x＞1，f（x）=1，所以存在f（x）在x=2处取最大值，故B正确；对于C，在x＜-1时，若函数f（x）严格增，则集合M的取值不会是[-1，1]，而是全体定义域，故C错误；对于D，若存在f（x）在x=-1处取到极小值，则在x=-1左侧存在x=n,f（n）＞-1，与集合M定义矛盾，故D错误．故选：B．（2024•上海）如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心．（1）若AP=5，AD =3，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；（2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．√2答案：（1）12π；（2）．π4解析：（1）根据已知条件，先求出PO，再结合棱锥的体积公式，即可求解．（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．解答：解：（1）因为P-ABCD是正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，因为AD =3，√2所以AO=OD=OB=OC=3，因为AP=5，所以PO ==4，所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，所以=Sh =π××4=12π；（2）如图建立空间直角坐标系，因为AP=AD，由题知P-ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设AB =a ，则AO=OD=OB=OC=a,PO ==a ，则O（0，0，0），P（0，0，a），A（0，-a,0），B（a,0，0），C（0，a,0），D（-a,0，0），E （，0，），故BD =（-2a ,0，0），AC =（0，2a ,0），AE =（，a ,），设n =（，，）为平面AEC的法向量，则，即，令x 1=1，则y 1=0，z 1=-1，所以n =（1，0-1），则cos 〈n ，BD 〉==设直线BD与面AEC所成角为θ，因为sinθ=|cos 〈n ，BD 〉θ∈[0，]，则θ=，故直线BD与平面AEC所成角的大小为．√A -A P 2O 2V圆锥131332√2√A -A P 2O 2a 2a 2→→→a 2a 2→x 1y 1z 1{n •AC =0n •AE =0→→→→{2a •=0•+a •+•=0y 1a 2x 1y 1a 2z 1→→→n •BD →→|n |•|BD |→→2→→2π2π4π4（2024•上海）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若y=f（x）过（4，2），求f（2x-2）＜f（x）的解集；（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，求a的取值范围．答案：（1）（1，2）；（2）（1，+∞）．解析：（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解；（2）根据等差数列的性质，推得log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解．解答：解：（1）由y=f（x）过（4，2）可得log a 4=2，则a 2=4，解得a=2（负值舍去），因为f（x）=log 2x在（0，+∞）上是严格增函数，f（2x-2）＜f（x），则0＜2x-2＜x,解得1＜x＜2，故所求解集为（1，2）；（2）因为f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，所以f（x+1）+f（x+2）=2f（ax），即log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，化简可得lo （x +1）（x +2）=lo （ax ，则（x+1）（x+2）=（ax）2且，故=在（0，+∞）上有解，又=++1=2（+-，故在（0，+∞）上，＞2（0+-=1，故a 2＞1，解得a＜-1或a＞1，又a＞0，所以a＞1，故a的取值范围为（1，+∞）．g a g a ）2⎧⎨⎩x +1＞0x +2＞0a ＞0，a ≠1ax ＞0a 2（x +1）（x +2）x 2（x +1）（x +2）x 22x 23x1x 34）218（x +1）（x +2）x 234）218（2024•上海）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？答案：（1）12500人；（2）0.9h；（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关解析：（1）由已知结合频率与概率关系即可求解；（2）先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可；（3）结合独立性检验即可判断．解答：解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比P ==，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为29000×=12500；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为×[×0.5×（5+134）+×（4+147）+×（42+137）+×（3+40）+×（1+27）]=≈0.9h；（3）由题意可得2×2列联表，[1，2）其他总数优秀455095不优秀177308485①提出零假设 H 0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，②确定显著性水平α=0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，③=≈3.976＞3.841，④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．42+3+1+137+40+27580255825581580121+0.521+1.521.5+222+2.522729χ2580×（45×308-177×50）2（45+50）×（177+308）×（45+177）×（50+308）（2024•上海）已知双曲线Γ：-=1，（b＞0），左右顶点分别为A 1，A 2，过点M（-2，0）的直线l交双曲线Γ于P、Q两点，且点P在第一象限．（1）当离心率e=2时，求b的值；x 2y 2b2（2）当b =，△MA 2P为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若R •P =1，求b的取值范围．2√63→A 1→A 2答案：（1）b =；（2）P（2，2）；（3）b∈（0，）∪（，√3√2√3√33解析：（1）由题意可得=2，a=1，可得c=2，由a 2+b 2=c 2求解即可；（2）由题意可得MA 2=PA 2，P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，则可得（-1+=9，再由-=1，求解即可；（3）设 P（x 1，y 1） Q（x 2，y 2）则R（-x 2，-y 2），设直线l ：x =my -2（m ＞），联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得y 1+y 2=，y 1y 2=，又由R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，即有（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，可得=＞，即可得答案．c ax 0）2y 02x 02y 02831b 4m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2m 210-3b2b21b2解答：解：（1）因为e=2，即=2，所以=4，又因为a 2=1，所以c 2=4，又因为a 2+b 2=c 2，所以b 2=3，所以b =（负舍）；（2）因为△MA 2P为等腰三角形，①若A 1A 2为底，则点P在线段MA 2的中垂线，即x =-上，与P双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；②若A 2P为底，则MP=MA 2，与MP＞MA 2矛盾，故舍去；③若MP为底，则MA 2=PA 2，设P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，c ac 2a 2√312则=3，即（-1+=9，又因为-=1，得（-1+（-1×=9，得11-6-32=0，解得=2，=2，即P （2，2）；（3）由题可知A 1（-1，0），A 2（1，0），当直线l的斜率为0时，此时R •P =0，不合题意；则k l ≠0，设直线l：x=my-2，设P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），根据延长OQ交双曲线于点R，则R（-x 2，-y 2），联立，得（b 2m 2-1）y 2-4b 2my+3b 2=0，二次项系数b 2m 2-1≠0，√（-1+（-0x 0）2y 0）2x 0）2y 02x 02y 0283x 0）2x 0）283x 02x 0x 0y 0√2√2→A 1→A 2{x =my -2-=1x 2y 2b2Δ=（-4b 2m）2-12b 2（b 2m 2-1）=4b 4m 2+12b 2＞0，y 1+y 2=，y 1y 2=，所以R =（-x 2+1，-y 2），P =（x 1-1，y 1），又因为R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，则（x 2-1）（x 1-1）+y 1y 2=-1，即（my 2-3）（my 1-3）+y 1y 2=-1，化简后可得到（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，再由韦达定理得3b 2（m 2+1）-12m 2b 2+10（b 2m 2-1）=0，化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以=-3，代入b 2m 2-1≠0，得b 2=10-3b 2≠1，所以b 2≠3，且=-3≥0，解得b 2≤，又因为b＞0，则0＜b 2≤，综上，b 2∈（0，3）∪（3，]，所以b∈（0，）∪（，4m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2→A 1→A 2m 210b2m 210b 210310310√3√33（2024•上海）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．答案：{1，3，5}．解析：结合补集的定义，即可求解．解答：解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．（2024•上海）已知f （x ）=，则f（3）=．{，x ＞01，x ≤0√x√3答案：．√3解析：根据已知条件，将x=3代入函数解析式，即可求解．解答：解：f （x ）=，则f（3）=．故答案为：．{，x ＞01，x ≤0√x√3√3（2024•上海）已知x∈R，则不等式x 2-2x-3＜0的解集为 {x|-1＜x＜3}．答案：{x|-1＜x＜3}．解析：根据一元二次不等式的解法直接求解即可．解答：解：x 2-2x-3＜0可化为（x-3）（x+1）＜0，解得-1＜x＜3，故不等式的解集为：{x|-1＜x＜3}．故答案为：{x|-1＜x＜3}．（2024•上海）已知f（x）=x 3+a,x∈R，且f（x）是奇函数，则a=0．答案：0．解析：首先根据f（0）=0，解得a=0，再根据奇函数的定义进行验证即可．解答：解：由题意，可得f（0）=0+a=0，解得a=0，当a=0时，f（x）=x 3，满足f（-x）=（-x）3=-x 3=-f（x），即f（x）是奇函数，故a=0符合题意．故答案为：0．（2024•上海）已知k∈R，a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，则k的值为 15．→→→→答案：15．解析：根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．解答：解：由a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，可得2k-5×6=0，解得k=15．故答案为：15．→→→→（2024•上海）在（x+1）n 的二项展开式中，若各项系数和为32，则x 2项的系数为 10．答案：见试题解答内容解析：根据二项式系数和求得n值，再结合二项式的通项公式即可求得．解答：解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n =32，所以n=5，则该二项式的通项公式是=••，令5-r=2，解得r=3，故x 2项的系数为=10．故答案为：10．T r +1C 5rx 5-r 1rC 53（2024•上海）已知抛物线y 2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 4．√2答案：4．√2解析：根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．解答：解：设P坐标为（x 0，y 0），P到准线的距离为9，即x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程，可得=±4，故P到x轴的距离为4．故答案为：4．y 0√2√2√2（2024•上海）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000答案：．1720解析：根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．解答：解：由题可知，A题库占比为，B题库占比为，C题库占比为，故P =×0.92+×0.86+×0.72=．故答案为：．5121314512131417201720（2024•上海）已知虚数z,其实部为1，且z +=m （m ∈R ），则实数m为 2．2z答案：2．解析：根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．解答：解：虚数z,其实部为1，则可设z=1+bi（b≠0），所以z +=1+bi +=1+bi +=1++（b -）i ，因为m∈R，所以b -=0，解得b=±1，所以m =1+=1+1=2．故答案为：2．2z 21+bi 2•（1-bi ）1+b221+b22b 1+b22b 1+b221+b2（2024•上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 329．答案：329．解析：根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解．解答：解：由题可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有=72种；（2）若个位不为0，这样的偶数有••=256种；所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种．故答案为：329．P 92C 41C 81C 81（2024•上海）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD，存在点A满足∠BAC=16.5°，∠DAC=37°，则∠BCA=7.8°．（精确到0.1度）答案：7.8°．解析：根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．解答：解：在△ACD中，根据正弦定理可得=，设∠ACB=α，则∠ACD=90°-α，所以==，①在△ABC中，根据正弦定理可得=，==，②联立①②，因为BC=CD，所以=，利用计算器可得，α=7.8°，即∠BCA=7.8°．故答案为：7.8°．AC sin ∠DCD sin ∠CADAC sin [180°-（37°+90°-α）]CD sin 37°AC sin （90°-α+37°）CB sin ∠BAC CA sin ∠BBC sin ∠16.5°CA sin [180°-（α+16.5°）]CA sin （α+16.5°）sin 37°sin （90°-α+37°）sin 16.5°sin （α+16.5°）（2024•上海）无穷等比数列{a n }满足首项a 1＞0，q＞1，记I n ={x-y|x,y∈[a 1，a 2]∪[a n ，a n+1]}，若对任意正整数n,集合I n 是闭区间，则q的取值范围是 [2，+∞）．答案：[2，+∞）解析：当n≥2时，不妨设x≥y,则x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，结合I n 为闭区间可得q -2≥-对任意的n≥2恒成立，故可求q的取值范围．1q n -2解答：解：由题设有=，因为a 1＞0，q＞1，故a n+1＞a n ，故[,]=[，]，当n=1时，x,y∈[a 1，a 2]，故x-y∈[a 1-a 2，a 2-a 1]，此时I 1为闭区间，当n≥2时，不妨设x≥y,若x,y∈[a 1，a 2]，则x-y∈[0，a 2-a 1]，若y∈[a 1，a 2]，x∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[a n -a 2，a n+1-a 1]，若x,y∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[0，a n+1-a n ]，综上，x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，又I n 为闭区间等价于[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]为闭区间，而a n+1-a 1＞a n+1-a n ＞a 2-a 1，故a n+1-a n ≥a n -a 2对任意n≥2恒成立，故-2+≥0即（q -2）+≥0，故q n-2（q-2）+1≥0，故q -2≥-对任意的n≥2恒成立，因为q＞1，故当n→+∞时，-→0，故q-2≥0即q≥2．故答案为：[2，+∞）．a n a n q n -1a n a n +1a 1q n -1a 1q n a n +1a n a 2a 1q n -1a 21q n -21q n -2A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势A．sinx+cosx B．sinxcosx C．sin 2x+cos 2xD．sin 2x-cos 2x（2024•上海）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）答案：C解析：利用变量的性关系，判断选项即可．解答：解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋势，所以A、B、D选项错误．故选：C．（2024•上海）下列函数f（x）的最小正周期是2π的是（）答案：A解析：利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．解答：解：对于A，sinx+cosx=sin（x+），则T=2π，满足条件，所以A正确．对于B，sinxcosx=sin2x,则T=π，不满足条件，所以B不正确．对于C，sin 2x+cos 2x=1，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以C不正确．对于D，sin 2x-cos 2x=-cos2x,则T=π，不满足条件，所以D不正确．故选：A．√2π412A．（0，0，0）∈ΩB．（-1，0，0）∈ΩC．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，-1）∈ΩA．存在f（x）是偶函数B．存在f（x）在x=2处取最大值C．存在f（x）为严格增函数D．存在f（x）在x=-1处取到极小值（2024•上海）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P 1，P 2，P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（）λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→答案：C解析：利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．解答：解：不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为（1，0，0）∈Ω，所以对于A三者不能构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故A错误；对于B，（1，0，0）∈Ω，（-1，0，1）∈Ω，且（1，0，0），（-1，0，0）共线，所以（0，0，1）可以属于Ω，此时三者不共面，故B错误；对于C，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出（0，0，1）∉Ω，故C正确；对于D，三者无法构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故D错误．故选：C．λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→（2024•上海）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M={x 0|x 0∈R，x∈（-∞，x 0），f（x）＜f （x 0）}，在使得M=[-1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（）答案：B解析：根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．解答：解：对于A，x＜x 0时，f（x）＜f（x 0），当x 0=1时，x 0∈[-1，1]，对于任意x∈（-∞，1），f（x）＜f（1）恒成立，若f（x）是偶函数，此时f（1）=f（-1），矛盾，故A错误；对于B，若f（x）函数图像如下：当x＜-1时，f（x）=-2，-1≤x≤1时，f（x）∈[-1，1]，当x＞1，f（x）=1，所以存在f（x）在x=2处取最大值，故B正确；对于C，在x＜-1时，若函数f（x）严格增，则集合M的取值不会是[-1，1]，而是全体定义域，故C错误；对于D，若存在f（x）在x=-1处取到极小值，则在x=-1左侧存在x=n,f（n）＞-1，与集合M定义矛盾，故D错误．故选：B．（2024•上海）如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心．（1）若AP=5，AD =3，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；（2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．√2答案：（1）12π；（2）．π4解析：（1）根据已知条件，先求出PO，再结合棱锥的体积公式，即可求解．（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．解答：解：（1）因为P-ABCD是正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，因为AD =3，所以AO=OD=OB=OC=3，因为AP=5，所以PO ==4，所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，所以=Sh =π××4=12π；（2）如图建立空间直角坐标系，√2√A -A P 2O 2V圆锥131332因为AP=AD，由题知P-ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设AB =a ，则AO=OD=OB=OC=a,PO ==a ，则O（0，0，0），P（0，0，a），A（0，-a,0），B（a,0，0），C（0，a,0），D（-a,0，0），E （，0，），故BD =（-2a ,0，0），AC =（0，2a ,0），AE =（，a ,），设n =（，，）为平面AEC的法向量，则，即，令x 1=1，则y 1=0，z 1=-1，所以n =（1，0-1），则cos 〈n ，BD 〉==设直线BD与面AEC所成角为θ，因为sinθ=|cos 〈n ，BD 〉θ∈[0，]，则θ=，故直线BD与平面AEC所成角的大小为．√2√A -A P 2O 2a 2a 2→→→a 2a 2→x 1y 1z 1{n •AC =0n •AE =0→→→→{2a •=0•+a •+•=0y 1a 2x 1y 1a 2z 1→→→n •BD →→|n |•|BD |→→2→→2π2π4π4（2024•上海）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若y=f（x）过（4，2），求f（2x-2）＜f（x）的解集；（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，求a的取值范围．答案：（1）（1，2）；（2）（1，+∞）．解析：（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解；（2）根据等差数列的性质，推得log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解．解答：解：（1）由y=f（x）过（4，2）可得log a 4=2，则a 2=4，解得a=2（负值舍去），因为f（x）=log 2x在（0，+∞）上是严格增函数，f（2x-2）＜f（x），则0＜2x-2＜x,解得1＜x＜2，故所求解集为（1，2）；（2）因为f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，所以f（x+1）+f（x+2）=2f（ax），即log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，化简可得lo （x +1）（x +2）=lo （ax ，则（x+1）（x+2）=（ax）2且，故=在（0，+∞）上有解，又=++1=2（+-，故在（0，+∞）上，＞2（0+-=1，故a 2＞1，解得a＜-1或a＞1，又a＞0，所以a＞1，故a的取值范围为（1，+∞）．g a g a ）2⎧⎨⎩x +1＞0x +2＞0a ＞0，a ≠1ax ＞0a 2（x +1）（x +2）x 2（x +1）（x +2）x 22x 23x1x 34）218（x +1）（x +2）x 234）218（2024•上海）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？答案：（1）12500人；（2）0.9h；（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关解析：（1）由已知结合频率与概率关系即可求解；（2）先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可；（3）结合独立性检验即可判断．解答：解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比P ==，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为29000×=12500；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为×[×0.5×（5+134）+×（4+147）+×（42+137）+×（3+40）+×（1+27）]=≈0.9h；（3）由题意可得2×2列联表，[1，2）其他总数优秀455095不优秀177308485①提出零假设 H 0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，②确定显著性水平α=0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，③=≈3.976＞3.841，④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．42+3+1+137+40+27580255825581580121+0.521+1.521.5+222+2.522729χ2580×（45×308-177×50）2（45+50）×（177+308）×（45+177）×（50+308）（2024•上海）已知双曲线Γ：-=1，（b＞0），左右顶点分别为A 1，A 2，过点M（-2，0）的直线l交双曲线Γ于P、Q两点，且点P在第一象限．（1）当离心率e=2时，求b的值；（2）当b =，△MA 2P为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若R •P =1，求b的取值范围．x 2y 2b22√63→A 1→A 2答案：（1）b =；（2）P（2，2）；（3）b∈（0，）∪（，]．√3√2√3√3√303解析：（1）由题意可得=2，a=1，可得c=2，由a 2+b 2=c 2求解即可；（2）由题意可得MA 2=PA 2，P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，则可得（-1+=9，再由-=1，求解即可；（3）设 P（x 1，y 1） Q（x 2，y 2）则R（-x 2，-y 2），设直线l ：x =my -2（m ＞），联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得y 1+y 2=，y 1y 2=，又由R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，即有（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，可得=＞，即可得答案．c ax 0）2y 02x 02y 02831b 4m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2m 210-3b2b21b2解答：解：（1）因为e=2，即=2，所以=4，又因为a 2=1，所以c 2=4，又因为a 2+b 2=c 2，所以b 2=3，所以b =（负舍）；（2）因为△MA 2P为等腰三角形，①若A 1A 2为底，则点P在线段MA 2的中垂线，即x =-上，与P双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；②若A 2P为底，则MP=MA 2，与MP＞MA 2矛盾，故舍去；③若MP为底，则MA 2=PA 2，设P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，c ac 2a 2√312则=3，即（-1+=9，又因为-=1，得（-1+（-1×=9，得11-6-32=0，解得=2，=2，即P （2，2）；（3）由题可知A1（-1，0），A 2（1，0），当直线l的斜率为0时，此时R •P =0，不合题意；则k l ≠0，设直线l：x=my-2，设P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），根据延长OQ交双曲线于点R，则R（-x 2，-y 2），联立，得（b 2m 2-1）y 2-4b 2my+3b 2=0，二次项系数b 2m 2-1≠0，Δ=（-4b 2m）2-12b 2（b 2m 2-1）=4b 4m 2+12b 2＞0，y 1+y 2=，y 1y 2=，所以R =（-x 2+1，-y 2），P =（x 1-1，y 1），又因为R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，则（x 2-1）（x 1-1）+y 1y 2=-1，√（-1+（-0x 0）2y 0）2x 0）2y 02x 02y 0283x 0）2x 0）283x 02x 0x 0y 0√2√2→A 1→A 2{x =my -2-=1x 2y 2b24m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2→A 1→A 2即（my 2-3）（my 1-3）+y 1y 2=-1，化简后可得到（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，再由韦达定理得3b 2（m 2+1）-12m 2b 2+10（b 2m 2-1）=0，化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以=-3，代入b 2m 2-1≠0，得b 2=10-3b 2≠1，所以b 2≠3，且=-3≥0，解得b 2≤，又因为b＞0，则0＜b 2≤，综上，b 2∈（0，3）∪（3，]，所以b∈（0，）∪（，m 210b2m 210b 210310310√3√33（2024•上海）对于一个函数f（x）和一个点M（a,b），定义s（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，若存在P（x 0，f（x 0）），使s（x 0）是s（x）的最小值，则称点P是函数f（x）到点M的“最近点”．（1）对于f （x ）=（x＞0），求证：对于点M（0，0），存在点P，使得点P是f（x）到点M的“最近点”；（2）对于f（x）=e x ，M（1，0），请判断是否存在一个点P，它是f（x）到点M的“最近点”，且直线MP与f（x）在点P处的切线垂直；（3）已知f（x）存在导函数f′（x），函数g（x）恒大于零，对于点M 1（t-1，f（t）-g（t）），点M 2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M 1与点M 2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．1x答案：（1）证明过程见解析；（2）存在，P（0，1）；（3）f（x）严格单调递减．解析：（1）代入M（0，0），利用基本不等式即可；（2）由题得s（x）=（x-1）2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P，再证明直线MP与切线垂直即可；（3）根据题意得到s 1'（x 0）=s 2'（x 0）=0，对两等式化简得f ′（）=-，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t,最后得到函数单调性．x 01g （t ）解答：解：（1）当M（0，0）时，s （x ）=（x -0+（-0=+≥22，当且仅当=即x=1时取等号，故对于点M（0，0），存在点P（1，1），使得该点是M（0，0）在f（x）的“最近点”；（2）由题设可得s（x）=（x-1）2+（e x -0）2=（x-1）2+e 2x ，则s'（x）=2（x-1）+2e 2x ，因为y=2（x-1），y=2e 2x 均为R上单调递增函数，则s'（x）=2（x-1）+2e 2x 在R上为严格增函数，而s'（0）=0，故当x＜0时，s'（x）＜0，当x＞0时，s'（x）＞0，故s（x）min =s（0）=2，此时P（0，1），而f'（x）=e x ，k=f'（0）=1，故f（x）在点P处的切线方程为y=x+1，而==-1，故k MP •k=-1，故直线MP与y=f（x）在点P处的切线垂直．（3）设（x ）=（x -t +1+（f （x ）-f （t ）+g （t ），（x ）=（x -t -1+（f （x ）-f （t ）-g （t ），而s 1'（x）=2（x-t+1）+2（f（x）-f（t）+g（t））f'（x），s 2'（x）=2（x-t-1）+2（f（x）-f（t）-g（t））f'（x），若对任意的t∈R，存在点P同时是M 1，M 2在f（x）的“最近点”，设P（x 0，y 0），则x 0既是s 1（x）的最小值点，也是s 2（x）的最小值点，因为两函数的定义域均为R，则x 0也是两函数的极小值点，则存在x 0，使得s 1'（x 0）=s 2'（x 0）=0，即s 1'（x 0）=2（x 0-t+1）+2f′（x 0）[f（x 0）-f（t）+g（t）]=0，①s 2'（x 0）=2（x 0-t-1）+2f′（x 0）[f（x 0）-f（t）-g（t）]=0，②由①②相等得4+4g（t）•f'（x 0）=0，即1+f'（x 0）g（t）=0，即f ′（）=-，又因为函数g（x）在定义域R上恒正，则f ′（）=-＜0恒成立，接下来证明x 0=t,因为x 0既是s 1（x）的最小值点，也是s 2（x）的最小值点，则s 1（x 0）≤s（t），s 2（x 0）≤s（t），即（-t +1+（f （）-f （t ）+g （t ）≤1+（g （t ），③（-t -1+（f （）-f （t ）-g （t ）≤1+（g （t ），④③+④得2（-t +2+2[f （）-f （t ）+2（t ）≤2+2（t ），即（-t +（f （）-f （t ）≤0，因为（-t ≥0，（f （）-f （t ）≥0）21x ）2x 21x 2x 21x 2k MP 0-11-0s 1）2）2s 2）2）2x 01g （t ）x 01g （t ）x 0）2x 0）2）2x 0）2x 0）2）2x 0）2x 0]2g 2g 2x 0）2x 0）2x 0）2x 0）2则，解得x 0=t,则f ′（t ）=-＜0恒成立，因为t的任意性，则f（x）严格单调递减．{-t =0f （）-f （t ）=0x 0x 01g （t ）。

(完整)上海师范大学高数试题(13)

《微积分下》作业5学院专业年级班级姓名序号一．单选题（共3×10分）*1．.若D 是由y=2x, y=x, x=1所围成的平面区域,则⎰⎰Ddxdy =( B )A.1B.21 C.41 D.23 *2．设二重积分的积分区域D 为:,4122≤+≤y x 则⎰⎰Ddxdy =( C )A.πB.2πC.π3D.π4 3.改变积分次序,则⎰⎰212),(xxdy y x f dx =( C )A.⎰⎰10),(yydx y x f dy B.⎰⎰210),(yydx y x f dyC.⎰⎰⎰⎰+410214121),(),(yyydx y x f dy dx y x f dyD.⎰⎰⎰⎰+410212141),(),(yyydx y x f dy dx y x f dy*4.若D 是由y=1, y=x, x=2所围成的平面区域,则Dxydxdy ⎰⎰= ( B )A.1B.98 C.18D.23*5.改变积分次序,则221sin2y yxdy dx yπ⎰⎰= ( C )A.dy yxdx xx ⎰⎰412sinπB.412xxdx dy yπ⎰C.dy yxdx dy yxdx xx x ⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinππD.24122in22xxxdx dy dx dy yyππ+⎰⎰6．设积分区域D 为：1,2≤≤y x 则dxdy D⎰⎰21=（ D ） A.1 B.2 C.3 D.47．改变积分次序,则⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(＝（ D ）A ．⎰⎰-1010),(dx y x f dy xB.⎰⎰-xdx y x f dy 101),( C.⎰⎰11),(dx y x f dy D.⎰⎰-ydx y x f dy 101),(8．设D ：,222a y x ≤+当=a ( B )时π=--⎰⎰dxdy y x a D222A.1B.323C.343 D.321 rdr r a d a⎰⎰-02220πθππ=⋅=3231a233=a 323=a 9改变积分次序,则⎰⎰-2221),(x xdy y x f dx =（ B ）A.⎰⎰-1022),(y dx y x f dy B.⎰⎰⎰⎰-+224121),(),(y y dx y x f dy dx y x f dyC.⎰⎰-yydx y x f dy 524),( D.⎰⎰⎰⎰+-yydx y x f dy dx y x f dy 52412210),(),(10．由曲线,222x y x =+ ,422x y x =+ x y =, 0=y 所围成的图形的面积S ＝（ C ） A.)2(41π+ B.)2(21π+ C.)2(43π+ D.π+2 ⎰⎰==40cos 4cos 2πθθθrdr d s )2(43cos 6402+=⎰πθθπd 二.计算题(共5×10分)1. 计算⎰⎰--Ddxdy y x ,)1(其中D 是由x=0,y=0及x+y=1所围成的闭区域.⎰⎰=--Ddxdy y x )1(⎰⎰---xdy y x dx 101)1(=⎰---1102]21)1[(dx y y x x=103212)1(61])1(21)1[(x dx x x --=---⎰=61 2. 计算22(),D x y x d σ+-⎰⎰其中D 是由y=x,y=2及y=2x 所围成的闭区域.22(),Dx y x d σ+-⎰⎰=⎰⎰-+20222)(yy dx x y x dy dy y x x y x y 222320]2131[-+=⎰dy y y )832419(232-⎰02)243241941(34y y -⋅=6133．求dxdy y x D⎰⎰+22，D 是由222a y x ≤+所确定的区域。

(完整)上海师范大学高数试题(17)

《微积分下》作业3学院专业年级班级姓名学号一．单选题（共4×10分）1．函数（）为微分方程y xy 2'=的解A ．2x y = B.x y = C.x y 2= D.2x y =2． .函数3x y =为微分方程 ( )的解A. 322'y y = B.433'x y y -= C.03'=-y xy D.22'x x y y =+ 3. 微分方程022=+y dx y d 的通解是( ). A.x A y sin = B.x B y cos =C.x B x y cos sin +=D.x B x A y cos sin += 4. 微分方程''3'25y y y -+=的通解是( ).A.2125x x y k e k e =++B. 2125x x y k e k e =+-C. 21252x x y k e k e =++D. 21252x x y k e k e =+- 5．微分方程dy y y tg dx x x=+的通解是（） A.1sin cx y x = B.sin y x c x =+ C.sin y cx x= D.sin x cx y = 6.通过坐标系的原点且与微分方程1dy x dx=+的一切积分曲线均正交的曲线的方程是（）A. 1y e x -=+B.10y e x ++=C. 1y e x =+D.222y x x =+7. 微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是( ) A.()x y x e c =+ B.()y x y e c =+C.()x y x c e =-D.()y x y c e =-8．函数()y x 满足微分方程2'ln 0xy y y x +-=且在1x =时，1y =，则在 x e =时，=y ( )A.1eB.12C.2D.e 9. 微分方程"3'232x y y y x e -+=-的特解*y 的形式是（）A.()x ax b e +B.()x ax b xe +C.()x ax b ce ++D.()x ax b cxe ++10．设)(x f 连续，且满足2ln )2()(20+=⎰x dt t f x f ，则=)(x f （） A.2ln x e B.2ln 2x eC.2ln +x eD.2ln 2+x e二.计算题(共6×10分) 1.求方程2220d y dy y dx dx++=满足初始条件004,'2x x y y ====-的特解2．求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解3．求方程ln dy y xy dx x =的通解4．求方程3)2(2)2(-+=-x y dx dy x 的通解5．求方程2(cos sin )dy y y x x dx+=-的通解。

上海师范大学高等数学期末考试试卷(含答案)

上海师范大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
3．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．函数是微分方程的解．
A、正确
B、不正确
【答案】B
5．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
6．不定积分（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
7．设，则微分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
8． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
9．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
10．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
11．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】B
12．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
13．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
14．函数的图形如图示，则函数 ( )．
A、有四个极大值
B、有两个极大值
C、有一个极大值
D、没有极大值
【答案】C
15．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】B。

上海师范大学标准试卷高数上2009-2010Word版

上海师范大学天华学院标准试卷2009 ~ 2010学年第一学期考试日期 2010 年 1 月日科目：高等数学（二）Ⅰ （A 卷）专业本科年级班姓名学号我承诺，遵守《上海师范大学天华学院考场规则》，诚信考试。

签名：________________一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1. 当0→x 时，无穷小量kx =α与x x 2sin )21ln(++=β为等价无穷小量，则=k （）.A 1 .B 2 .C 3 .D 42. 若4)(lim =+-+∞→cx x cx c x ，则常数=C （）.A 2ln .B 2ln - .C 2ln 21 .D 2ln 21-3. 设函数xxx f arcsin )(=，则0=x 是)(x f 的（）.A 可去间断点 .B 跳跃间断点 .C 无穷间断点 .D 连续点4. 下列函数中，在区间[]10，上满足拉格朗日中值定理条件的是（） .A 11)(-=x x f .B x x f ln )(= .C 32)(x x f = .D x x f cot )(=5. 设某商品的需求函数为)(P f Q =，P 表示商品价格，Q 表示需求量，在0P P =时的需求弹性为)()()(0000P f P f P P '-=η，则3)(0=P η的经济意义是（） .A 当P 从0P 增加1时，Q 从)(0P f 减少3.B 当P 从0P 增加1时，Q 从)(0P f 增加3 .C 当P 从0P 增加%1时，Q 从)(0P f 减少%3.D 当P 从0P 增加%1时，Q 从)(0P f 增加%3二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-00)(23sin x a x xe e xf x x 在0=x 处连续，则常数=a2. 设)0(f '存在，且1)3()0(lim=--→h f f hh ，则=')0(f3. 设)()(x f x F ='且)(x f 是连续函数，则=⎰dx xx f )(4. 若x x f 2cos )(sin ='且0)0(=f ，则=)(x f5. 设某商品的需求函数为3202Q P -=，P 为价格（万元/百台），Q 为销售量（百台）则销售量Q 为2百台时的边际收益是三、计算题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 求极限)21ln(arctan lim30x xx x +-→2. 求极限)tan 11(lim 20xx x x -→.3. 求极限111)2(lim -→-x x x4. 设,5sin 1arccos )1ln()(2π++-+=x x x x f 求)2(f '5. 设函数)(x f y =由方程y x xy+=2确定，求曲线)(x f y =在()1,0处的切线方程6. 设2211arctan )(xx x f -+= ，求)0(f ''7. 试求常数,c b a 、、使曲线1623+++=cx bx ax y 在点2-=x 处有水平切线，而点)10,1(-为其拐点8. 求⎰+dx x x 3ln 19. 求 ⎰+224xxdx10. 设x 2sin 是)(x f 的原函数，求⎰'dx x f x )(四、综合题（本大题共2个小题，第1小题8分，第2题7分,共15分） 1. 求函数21ln )(x x f +=的单调区间、极值和该曲线的凹凸区间、拐点.2. 某产品的总成本)(Q C （单位：万元）的边际成本为Q Q C -='3)(（单位：万元/百台），总收入)(Q R （单位：万元）的边际收入Q Q R 29)(-='（单位：万元/百台），其中Q 为产量，固定成本为2万元，问：（1）产量等于多少时总利润)(Q L 为最大？（2）从利润最大时再生产一百台，总利润减少多少？五.证明题: (本大题5分)设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内具有二阶导数, 点())(,c f c 在点))(,(a f a 和点))(,(b f b 的连线上(其中)b c a <<, 试证明在()b a ,内至少存在一点ξ, 使得0)(=''ξf（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

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第九章作业一．单选题1．二元函数)ln(1y x z +=的定义域( D )A.x+y ≠0B.x+y ＞0C.x+y ≠1D.x+y ＞0且x+y ≠1 2.设z=sin(x 2y),则yz∂∂=( C ) A.cos(x 2y) B.-cos(x 2y) C.x 2cos(x 2y) D.-x 2cos(x 2y) 3.=→→x xyy x sin lim20( B )A.不存在B.2C.0 D ∞ 4.函数f(x,y)=x 3+y 3-3xy 在驻点(1,1)处（ B ）A.取得极大值B.取得极小值C.不取得极值D.无法判断是否取得极值 5.设xye z =,则=dz ( D )A.dx ye xyB.xyxe dy C.)(ydy xdx e xy + D.)(xdy ydx e xy+6.设)ln ln(y x z +=，则=∂∂==ey x yz1( B )A.e 1B.e21 C.e D.e 2 7.设xyxye z = ，则yx z ∂∂∂2=( C )A.xy e xy y )(+B.xye y x x )(2+ C. xye y x xy )31(22++ D.xye xy xy y x )3(22++ 8.函数22),(y x y x f +=在点)0,0(处（ B ）A ．有极大值 B. 有极小值 C.无极值 D.不是驻点 9.区域是且}12),{(22<+<+=x y y x y x D （ C ） A. 有界闭区域 B. 无界闭区域C. 有界开区域D. 无界开区域 10．若函数,),(y x y x y x f -+=则=-),1(y xf （ C ） A.y x y x +- B.xy xy -+11 C.xy xy +-11 D.xy-111. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处存在两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x ''是函数在该点存在全微分的（ B ）。

A.充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件12．设222233),(y x xy y x y x xy y x f +++++=+，则='),(y x f x （ B ）。

A. x xy y x 22322+++B.x y x 2232+- C. y x 22- D.222-+y xxy y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x f 2)()(2)(),(23222233-+++-+=+++++=+y x yx x y x f 22),(23-+-= x y x f x 2232+-='13. 设)ln(n n y x z +=,则yzy x z x∂∂+∂∂＝（ C ） A.１ B.n C.n 1D.以上均不正确 14. 若=z （ A ），则有xfx z ∂∂=∂∂。

A. ),(2y x f z = B. ),(2y x f z =C. ),(y x x f z +=D. ),(z x f z =xff f f x z x ∂∂='=⋅'+⋅'=∂∂0121 15．设,)2sin()(sin 0⎰=xdt t x f dt t x g x⎰+=20)1ln()(，则当0→x 时，)(x f 与)(x g 相比是（ B ）A.等价无穷小B.同价但非等价无穷小C.高价无穷小D.低价无穷小)21ln(2cos )sin 2sin(lim )1ln()2(sin lim )()(lim 020sin 000x x x dtt dtt x g x f x x xx x +=+=→→→⎰⎰2122sin 2lim=⋅=→x x x二、填空题1．设)2ln(),(xyx y x f +=则=')0,1(x f 1 。

2．函数22224)1ln(),(yx y x y x f ---+=的定义域是{}41),(22<+<y x y x 。

（用集合表示）3．设y x y x z -=22，则)1,2(x z∂∂= 0 。

4．设222y x z++=，则34==x y dz=dy dx 5453+。

5．设函数),(y x f 的驻点为),(00y x ),,(00y x f A xx''=),,(00y x f B xy ''=),,(00y x f C yy ''= 2B AC D -=，则点),(00y x 为极小值点的充分条件为00>>A D 且。

三.计算题1. 设)ln(y x x z +=求22x z ∂∂ 22yz ∂∂ y x z∂∂∂2 解：y x x y x x z +++=∂∂)ln( 2222)(2)(1y x yx y x x y x y x x z ++=+-+++=∂∂ y x x y z +=∂∂ 222)()(1y x y y x x y x y x z +=+-+=∂∂∂ 222)(y x x y z +-=∂∂ 2．设z=ue v 而u=x 2+y, v=xy,求yz x z ∂∂∂∂,解：)2(222y y x x e y e u x e xzxy v v ++=⋅⋅+⋅=∂∂)1(13xy x e x e u e yzxy v v ++=⋅⋅+⋅=∂∂ 3．设x 2+y 2+2x-2yz=e z 确定函数z=f(x,y),求.,yz x z ∂∂∂∂ 解：令ze yz x y x z y x F --++=22),,(2222+=x F x ， z y F y 22-=， zz e y F --=2z z x e y x F F x z ++=-=∂∂222 zz y e y z y F F y z+-=-=∂∂222 4．设.,,1,0222dzdydz dx z y x z y x 求⎩⎨⎧=++=++ 解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dyy dz dx x dz dy dz dx ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=yx x z dz dy y x z y dz dx 5．计算03.2)1.10(的近似值。

解：设yx z = 100=x 1.0=∆x 20=y 03.0=∆y 1-=y x yx z x x z yy ln =03.2)1.10(≈03.010ln 101.01021022⨯⋅+⨯⨯+=10ln 32100++9.108≈6．设,ln 2v u z = 而y x u =y x v 23-= 求x z ∂∂ yz ∂∂ 解： )23(3)23ln(2311ln 22222y x y x y x y x v u y v u x z -+-⋅=⋅⋅+⋅⋅=∂∂ )23(2)23ln(2)2(1)(ln 2223222y x y x y x y x v u y x v u y z ---⋅-=-⋅⋅+-⋅⋅=∂∂7.设f 可微),(22xye y xf z -=求x z y z解：212122f ye f x y e f x f xzxy xy '+'⋅=⋅⋅'+⋅'=∂∂21212)2(f xe f y x e f y f yzxy xy '+'⋅-=⋅⋅'+-'=∂∂ 8求函数xy y x z 333-+=的极值解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=xy z y x z y x 333322令⎩⎨⎧==00y x z z ⇒)0,0( )1,1( 为驻点 x z xx 6= 3-=xy z y z yy 6=在（0，0）处 092<-=-=B AC D 无极值。

在（1，1）处 0272>=-=B AC D 06>=A )1,1(∴为极小值点且极小值为-1。

9．求函数)1(),(y x xy y x f --=的极值。

解：⎩⎨⎧-+--=-+--=)1()1()1()1(xy y x x f xy y x y f y x 令⎩⎨⎧==00y x f f ⇒驻点(0,0) (1,0) (0,1) 31,31()y f A xx 2-== y x f B xy 221--== x f C yy 2-==(0,0)处 012<-=-B AC 无极值 (1,0)处 012<-=-B AC 无极值 (0,1)处 012<-=-B AC 无极值 31,31(）处0312>=-B AC 032<-=A ∴为极大值点且极大值为271。

10．求函数dt t t t x I xe⎰+-=12ln )(2在区间],[2e e 上的最大值。

0)1(ln 12ln )(22>-=+-='x xx x x x I ↑)(x I在2e x =取得最大值 dt t t t t t td dt t t e I e e e e e ee e ⎰⎰⎰-+-⋅-=--=-=2222)1(1)11(ln )11(ln )1(ln )(22 =dt tt e e e e )111(121122--+---⎰[]2ln )1ln(11e e t t e --++==1)1ln(2)1ln(112+----++e e e 1)1ln(11-+++=e e四综合题1.设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数,且z=z(x,y)由方程xe x -ye y =ze z 所确定,求du. 设zyxze ye xe z y x F --=),,(x x x xe e F += y y y ye e F --=- z z z ze e F --=-z x z x e z e x F F x z )1()1(++=-=∂∂z yz y ez e y F F y z )1()1(++-=-=∂∂ x z z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂=zx e z x z f x f -++⋅∂∂+∂∂11 y z z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂=zy e z y z f y f -++⋅∂∂-∂∂11 dy y u dx x u du ∂∂+∂∂==（zx e zx z f x f -++⋅∂∂+∂∂11）dx +（z y e z y z f y f -++⋅∂∂-∂∂11）dy 2．若)(x f 在[0，1]上连续，证明：⎰⎰=πππ,)(sin 2)(sin dx x f dx x xf并计算dx xxx ⎰+π2cos 1sin证明；令t x -=π⎰⎰---=πππππ00)()][sin()()(sin t d t f t dx x xf =⎰-ππ0)(sin )(dx x f x⎰⎰=∴πππ0)(sin )(sin 2dx x f dx x xf⎰⎰=∴πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xfdx x x x ⎰+π2cos 1sin =0]cos [2cos 1sin 202ππππx arctg dx x x -=+⎰ =4]1)1([22ππ=---arctg arctg。