解析几何知识点总结

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解析几何知识点总结

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义:直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围:(0,180)

2.斜率:直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. k=tan α

(1).倾斜角为90°的直线没有斜率。

(2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。

(3)设经过A (x1,y1)和B (x2,y2)两点的直线的斜率为K ,

则当X1≠X2时,k=tan α=Y1-Y2/X1-X2;当X1=X2时,α=90°;斜率不存在; 二、直线的方程

1.点斜式:已知直线上一点P (x 0,y 0)及直线的斜率k (倾斜角α)求直线的方程用点斜式:y-y 0=k(x-x 0)

注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x=x0;

2.斜截式:若已知直线在y 轴上的截距(直线与y 轴焦点的纵坐标)为b ,斜率为k ,则直线方程:y=kx+b ;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:y=kx

注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。

3.两点式:若已知直线经过(x1,y1)和(x2,y2)两点,且(X1≠X2,y1≠y2)则直线的方程:

1

21

121x x x x y y y y --=--;

注意:①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线;

②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式:若已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a ,b (a ≠0,b ≠0)则直线方程:1=+

b

y

a x

; 注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a

5一般式:任何一条直线方程均可写成一般式:Ax+By+C=0;(A,B 不同时为零);反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。 三、两条直线的位置关系

位置关系

2

22111::b x k y l b x k y l +=+= 0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

设两直线的方程分别为:

222111:b x k y l +=或0

:22221111=++C y B x A l ;当21k k ≠或

1221B A B A ≠时它们相交,交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222

111C y B x A C y B x A 解; 五、点到直线的距离公式:

1.点P(X0,Y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离为:2

2

00|

|B

A C By Ax d +++=

2.两平行线L1:Ax+By+C1=0,L2:Ax+By+C2=0的距离为:2

2

21||B

A C C d +-=;

六、直线系:

(1)设直线L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C2=0,经过L1,L2的交点的直线方程为

0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ(除去L2);

如:①Y=kx+1→y-1-kx=0,即也就是过y-1=0与x=0的交点(0,1)除去x=0 的直线方程。 ②直线L:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一个定点 。 (2)和L:Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+C1=0

(3)与L:Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+C1=0;

七、对称问题:

(1)中心对称:

①点关于点的对称:

该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点A (a.b )关于C (c,d )的对称点(2c-a,2d-b ) ②直线关于点的对称:

Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再

由两点式求出直线方程;

Ⅱ、求出一个对称点,在利用L1//L2由点斜式得出直线方程; Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如:求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。 (2)轴对称:

①点关于直线对称:

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。

如:求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。 ②直线关于直线对称:(设b a ,关于l 对称)

Ⅰ、若a.b 相交,则a 到L 的角等于b 到L 的角;若a ∥L ,则b ∥L ,且a.b 与L 的距

离相等。 Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点,在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点,则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a 的

方程。

如:求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。 第二部分:圆与方程

2.1圆的标准方程:2

2

2

)()(r b y a x =-+-圆心),(b a C ,半径r 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:2

2

2

r y x =+. 2.2点与圆的位置关系:

1. 设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : (1)点在圆上 d=r ;(2)点在圆外 d >r ;(3)点在圆内 d <r .

2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔ ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔

( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ 2.3 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x .

当042

2

>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫

⎝⎛--2,2

E D C ,半径2

422F

E D r -+=

.

当0422=-+F E D 时,方程表示一个点⎪⎭⎫

⎛--

2,2E D . 当0422<-+F E D 时,方程无图形(称虚圆).

注:(1)方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且

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