13.4最短路径问题
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题教案
其次，在新课讲授环节，我发现学生们对轴对称性质的理解较为扎实，但在将其应用于最短路径问题的求解过程中，部分学生还是显得有些吃力。针对这一点，我在讲解过程中尽量放慢速度，通过详细的步骤解析和直观的图形演示，帮助他们理解。在之后的课堂中，我还需要加强对学生的个别辅导，确保他们能够真正掌握这一知识点。
（2）确定最短路径问题中的对称轴：在实际问题中，确定对称轴可能较为困难，尤其是当问题涉及多个线段或点时。
难点解析：通过具体例子，展示如何寻找和确定线段、点到线段的最短路径问题中的对称轴。
（3）计算最短路径长度的方法：在确定对称轴和对称点后，如何进行有效计算，避免复杂和繁琐的步骤。
难点解析：教授学生运用几何图形的直观和代数计算相结合的方法，简化计算过程，如利用勾股定理等。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了轴对称的基本概念、最短路径问题的求解方法及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了人教版数学八年级上册13.4节“最短路径问题”。这节课让我感受到了学生们对几何问题的热情，也让我意识到了一些教学中的亮点和需要改进的地方。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成最短路径问题的求解，提高学生的沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）轴对称图形的性质及其应用：轴对称图形的对称轴、对称点等基本概念，以及如何利用这些性质解决最短路径问题。
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
4.鼓励学生在课后进行深入研究，不断提高自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过引入实际生活中的最短路径问题，如旅行路线规划、物流配送等，使学生能够直观地理解最短路径问题的意义和应用，提高学生的学习兴趣。
3.教师引导学生运用坐标系、函数、图论等知识，分析问题、解决问题。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论，培养学生的团队合作意识。
2.教师组织小组间的交流与分享，促进学生间的互帮互助。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点进行针对性指导。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结最短路径问题的解决方法。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为“人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题”，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等基础知识的基础上进行学习的。通过对最短路径问题的探究，旨在培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3.组织学生探讨、交流最短路径问题的解决方法，培养学生合作学习的能力。
4.引导学生运用图论中的最短路径算法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
5.对学生进行评价，了解学生对最短路径问题的理解和运用程度，及时进行教学调整。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.设计具有挑战性和吸引力的数学问题，激发学生的求知欲。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上敢于发表自己的观点，培养学生的创新精神。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“如何找到两点之间的最短路径？”、“最短路径问题在实际生活中有哪些应用？”等。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
13.4课题学习 最短路径问题
作法：作点B关于直线 a 的对称点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽 水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE，CE，BE，BD。
∵点B，C关于直线 a 对称,
点D，E在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC,
A
·
B·
a
AE+EB=AE+EC
在△ACE中，AE+EC＞AC,
M
C
∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
ND E
所以桥的位置建在CD处，A、B两地的路程最短。
B
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便 灌溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地 问该站建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，试在图 中确定该点。
谢谢பைடு நூலகம்赏
You made my day!
我们，还在路上……
即 AE+EC＞AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处
D E
C
再见！
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
人教版八年级数学上册13.4最短路径问题优秀教学案例
4.多媒体教学手段：利用多媒体教学手段，如图片、视频等，展示实际问题情境，让学生更直观地感受到问题的背景和意义，提高学习效果。
在现实生活中，最短路径问题具有广泛的应用，如道路规划、网络路由等。因此，本节课的教学案例将以实际问题为背景，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识。
为了提高教学效果，本节课将采用小组合作、讨论交流的教学方法，让学生在探讨最短路径问题的过程中，提高自主学习能力和合作意识。同时，教师将以引导者、组织者的角色参与教学，为学生提供必要的帮助和指导，确保教学活动的顺利进行。
（三）小组合作
1.教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同探讨最短路径问题的解决方法。
2.教师引导学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和观点，培养学生的合作意识和团队精神。
3.教师巡回指导，参与小组讨论，为学生提供必要的帮助和指导，确保每个学生都能参与到教学活动中来。
（四）反思与评价
1.教师引导学生进行自我反思，总结自己在解决最短路径问题过程中的思路和方法，找出自己的不足之处。
3.教师介绍迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，讲解这两种算法的原理和步骤，并通过示例进行演示。
4.教师引入动态规划思想，讲解如何运用动态规划解决最短路径问题，并给出动态规划解决最短路径问题的步骤。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，并提出讨论问题，如“比较迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法的优缺点”、“如何运用动态规划解决最短路径问题？”等。
2.利用多媒体教学手段，展示实际问题情境，让学生直观地感受到最短路径问题的重要性和实用性。
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马优秀教学案例
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生从实际问题出发，培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.利用数学软件、教具等辅助工具，培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
4.通过对最短路径问题的探讨，引导学生掌握数学建模的方法，提高学生的数学思维能力。
4.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生疑问。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结、反思，帮助学生巩固知识点，形成知识体系。
2.鼓励学生自我评价，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，培养学生的自我认知能力。
3.组织小组互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进团队合作。
3.对学生提出的解决方案进行讨论、分析，找出最优解，并解释其原理。
（三）小组合作
小组合作是实现教学目标的重要途径，具体策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性格等方面具有一定的互补性。
2.各小组针对问题进行讨论、研究，共同寻找解决方案。
3.小组间进行交流、分享，互相学习，取长补短。
4.教师对学生在课堂上的表现进行评价，给予肯定和鼓励，指出需要改进的地方。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将布置以下任务：
1.请学生运用所学知识，解决一个生活中的最短路径问题，并以作文或报告的形式提交。
2.要求学生在作业中阐述自己的思考过程、解决方案和心得体会，以提高学生的书面表达能力。
3.鼓励学生进行课后拓展，了解其他求解最短路径的方法，如：A*算法、遗传算法等，提升学生的自主学习能力。
3.小组间进行分享、交流，互相借鉴，完善各自的方法和思路。
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
13.4最短路径问题 课件
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000米.
C
D 河
新课引入
我们把研究关于“两点之间，线 段最短” “垂线段最短”等问题， 称它们为最短路径问题.最短路径问 题在现实生活中经常碰到，今天我们 就通过几个实际问题,具体体会如何 运用所学知识选择最短路径.
第十三章 轴对称
13.4课题学习 最短路径问题
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名 的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，请教一个百思不得其解的问题：
C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信
息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度 远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现， 互联网出现在20世纪90年代。 答案：B
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
13.4课题学习-最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法：(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所.例题1：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．注意：距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．【练习】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？警误区：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．二、解决“两线＋一点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作两次轴对称，从而构造出最短路径．例题2：如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。
试画出图形，并说明理由.三、解决“两线＋两点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋两点”型最短路径问题，要每点做一次轴对称，从而构造出最短路径．例题3：圣林中学八年级举行元旦联欢会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a四、造桥选址问题：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．例题4：如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？注：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．。
初中数学八年级上册《13.4 课题学习 最短路径问题》
13.4 课题学习 最短路径问题学习目标：1.利用“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”来解决有关的最短路径问题.2.学会运用轴对称、平移把已知问题转化为容易解决的问题，从而解决最短路径问题. 一、学前准备1.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B =30°，AD =2 cm ，则AB 的长度是（ ） A .2 cmB .4 cmC .8 cmD .16cm2.如图所示，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？二、预习导航 （一）预习指导活动1 探究牧马人饮马问题（阅读教材第85～86页，运用轴对称解决牧马人饮马问题） 3.（两点在一条直线异侧）如图，点A 、点B 在直线的两侧，请你在上找一个点P ，使得这个点到点A 、B 的距离和最短，即PA +PB 最小. 思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证PA +PB 最短呢？lAB第1题图BA CD第2题图4.（两点在一条直线同侧）问题：如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地.牧马人到河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？（提示：这个问题可以转化为：当点C 在的什么位置时，AC 与BC 的和最小？）活动2 探究造桥选址问题（阅读教材第86～87页，运用平移解决造桥选址问题） 5.如图所示，在一条河的两岸有两个村庄A 和B ，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短？归纳：造桥选址问题是利用__________将问题转化为__________________________的问题. 预习疑惑： （二）预习检测6.如图，在正方形ABCD 中，点M 在DC 上，点N 是AC 上一动点，当N 在________和AC 的交点处时，DN +MN 的值最小.三、课堂互动 问题1最短路径问题7.如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸的距离分别为AC ，BD ，且AC =BD ，若A 到河岸CD 的中点的距离为500 m .问：lABa bAB（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？（2）最短路程为多少？方法总结：四、总结归纳1. 你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2. 你还有哪些疑惑？3. 你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4. 在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.如图，直线l是一条河，A、B两地相距5 km，A，B两地到l的距离分别为3 km，6 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A.B.C.D.2.如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD 上一点，则PE+PC的最小值为（）A.3B.3C.2D.333.如图，A，B两个电话分机到电话线l的距离分别是3 m，5 m，CD=6 m，若由l上一点分别向A，B连电话线，最短应为（）A.8 mB.9 mC.10 mD.11 m4.如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在C D上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为．《13.4 课题学习 最短路径问题》参考答案一、学前准备 1.答案：C.2.答案：②，理由：两点之间，线段最短. 二、预习导航3.略.4.略.5.略.归纳：平移；两点之间，线段最短. 6.答案：BM . 三、课堂互动7.解：（1）作点A 关于CD 的对称点A′，连接A′B ，交CD 于M .则点M 为饮水处，线段A′B 的长度即为牧童从A 处把牛赶到河边饮水后回家，所走的最短路程； （2）连接AM .∵点A 关于CD 的对称点是A′，点M 在CD 上， ∴A′C =AC ，A′M =AM . ∵AC =DB ， ∴A′C =BD .∵AC ⊥CD ，BD ⊥CD ， ∴∠ACD =∠A′CD =∠BDC =90°. ∵在△CA′M 和△DBM 中，'''A CM BDM A MC BMD A C BD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△CA′M ≌△DBM . ∴A′M =BM ，CM =DM . ∴M 为CD 中点.∴BM=AM=500（米）∴A′B=A′M+BM=AM+BM=1000（米）即最短路程是1000米.五、达标检测1.答案：A.2.答案：D.3.答案：C.4.答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F.。
专题13.4 最短路径问题 (解析版)
专题13.4 最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC ＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例题1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．【答案】见解析。
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
八年级数学人教版上册13.4节主要讲述最短路径问题，这是学生对图论初步了解后的进一步深化。在学习了图的定义、表示和遍历等基础知识后，最短路径问题既是对前面知识的综合运用，又是向更为复杂图论问题的过渡。
本节课内容对于学生来说具有一定的难度，需要他们能够理解并掌握最短路径的算法，并能够运用到具体的问题中。同时，这也是对学生逻辑思维能力和问题解决能力的考查。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用PPT展示生活中的最短路径问题，如旅行中最短路线的选择、网络数据传输的最短路径等，引导学生关注最短路径问题在现实生活中的应用。
2.向学生提出问题：“如何找到两点之间的最短路径？”让学生思考并发表自己的观点，为导入新课做好铺垫。
3.教师总结：今天我们将学习图论中的一个重要问题——最短路径问题，希望通过本节课的学习，大家能够掌握最短路径的求解方法，并能够运用到实际问题中。
4.在解决问题的过程中，引导学生总结规律，提高学生的归纳总结能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.分配具有挑战性的任务，让学生在合作中共同解决问题，提高解决问题的效率。
3.鼓励学生互相评价、互相学习，培养学生的自主学习和反思能力。
4.教师在小组合作过程中进行巡视指导，关注学生的学习情况，及时给予帮助和引导。
在教学过程中，我通过设计丰富多样的教学活动，引导学生主动探究、合作交流，从而提高他们对最短路径问题的理解和运用能力。同时，注重培养学生的数学素养，让他们在学习过程中感受到数学的趣味性和实用性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的概念，掌握基本的最短路径算法。
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探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB的和最小？
·B
作法：（1）作点B 关于 ·A
直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直
C
l
线l 相交于点C．则点C
即为所求．
B′
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
探索新知
追问：证明AC +BC 最短时，为什么要在 直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证 明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的
A1B，因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ ＞
AM+MN+BN即从A到B的路径AMNB是最短的。
运用新知 1、直线L的同侧有两点A、B，
在直线L上求两点C、D，使得AC、CD、
DB的和最小，且CD的长为定 值a，点D在点C的右侧。
A
B
作法：①将点A向右平移a个 C D
单位到A1；②作点B关于直线 L的对称点B1；③连结A1B1交
作用是什么？
若直线l 上任意一点（与 点C 不重合）与A，B 两点
·A
·B
的距离和都大于AC +BC，
C C′
l
就说明AC + BC 最小．
B′
运用新知
1.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前 往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河 岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最 短路径．
C 山Q 河岸
追问：在如图所示的位置，AC与 C
BC的差小于AB，会有AC与BC
B
的差等于AB的时候吗？
A
作法：连BA，并延长交直线 L于点C，则点C即为所求。 C C’
探索新知
·B
如图，点A，B 在直线l A· 的同侧，点C 是直线上的
一个动点，当点C 在l 的什
l
么位置时，AC 与CB的和
最小？
思考:1、这个问题与前面“确定水泵位置”
的问题有联系吗？
2、如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足
直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？ 3、你能找到符合条件的点B′吗？
上）且相等.对应线段相等，对应角相等。
引例：如图，小明从小河岸边的A地到河的
对面的B地,怎样走距离最近？（只能从桥上
过河）
A
桥
小河
C
B
方法：小明过桥走到C，连接CB，小明走的 路径和是AC＋CB，此时所走路经最短.
理由：AC确定不变，C和Ｂ之间由“两点之 间，线段最短”可知CB最短.
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现
A
A1
B
直线L于点D；④过点A作
AC∥A1D交直线L于点C，连 结BD。则线段AC、CD、DB 的和最小。点C、D即为所求。
CD B1
2、直线L的同侧有两点A、B，在直线L上
求一点C，使CB与CA的差最大。
分析：在我们所学过的知识中，哪个知
识点与两条线段的差有关系？
B
三角形任意两边的差小于第三边。 A
13.4 课题学习
最短路径问题
引例：如图，在小河l的两侧有A村和B村，
要在小河l上修一个水泵站M,请你确定水泵站
M的位置，使它到两个村庄的距离和最小.
A
作法：连结AB，交
M
直线l于点M，则点M l 为水泵站的位置。
前面我们研究B过一些关于“两点的所有连
线中，线段最短”、“连接直线外一点与直 线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的 问题，我们称它们为最短路径问题．现实生 活中经常涉及到选择最短路径的问题。
探索新知 问题1从图中的A 地出发，到一条笔直的
河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮 马可使他所走的路线全程最短？
你能将这个问题抽象 为数学问题吗？
B
A
C
l
探索新知
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一
条直线．
·B
A·
l
设C 为直线上的一个动点，上面的问题 就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小．
P A 大桥 B
2.已知：如图A是锐角∠MON内部任意一 点，在∠MON的两边OM，ON上各取一 点B，C，组成三角形，使三角形周长最 小.
B
变式：在角内有两点A、B，在射线OM、
ON上分别求一点C、D，使线段AC、CD、 DB的和最小。
小结
三种类型 (Ⅰ)两点在一条直线异侧 (Ⅱ) 两点在一条直线同侧 (Ⅲ)一点在两相交直线内部
复习
1、平移的概念
图形的平行移动就是平移变换，简称
作平移.
2、平移的性质
C' CΒιβλιοθήκη （1）把一个图形整体沿某一
直线方向移动，会得到一个
A'
新的图形，新图形与原图形
A
B'
的形状和大小完全相同. B
（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的
某一点移动后得到的，这两个点是对应点。
连接各组对应点的线段平行（或在同一直线
A
A1 M
N
B
证明：另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ1
Ａ１Ｎ１. 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ1Ｎ，
ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，A
ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
A1
AM+MN+BN=ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，
M M1
而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１
N N1
=ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
B
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞
要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使
从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸
是平行的直线，桥要与河垂直）。
分析：由于河岸宽度 A 是固定的，造的桥要
与河垂直，因此路径
M
AMNB中的MN的长
度是固定的。要使路
N
径AMNB最短，只需
B
AM+BN最短。
分析：我们可以将点A沿与河垂直的方向平移 MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只 需A1B最短。根据两点之间距离最短，连接 A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得 路径AMNB就是最短路径。