13.4最短路径问题
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A
A1 M
N
B
证明：另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ1
Ａ１Ｎ１. 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ1Ｎ，
ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，A
ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
A1
AM+MN+BN=ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，
M M1
而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１
N N1
=ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
B
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞
要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使
从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸
是平行的直线，桥要与河垂直）。
分析：由于河岸宽度 A 是固定的，造的桥要
与河垂直，因此路径
M
AMNB中的MN的长
度是固定的。要使路
N
径AMNB最短，只需
B
AM+BN最短。
分析：我们可以将点A沿与河垂直的方向平移 MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只 需A1B最短。根据两点之间距离最短，连接 A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得 路径AMNB就是最短路径。
作用是什么？
若直线l 上任意一点（与 点C 不重合）与A，B 两点
·A
·B
的距离和都大于AC +BC，
C C′
l
就说明AC + BC 最小．
B′
运用新知
1.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前 往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河 岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最 短路径．
C 山Q 河岸
13.4 课题学习
最短路径问题
引例：如图，在小河l的两侧有A村和B村，
要在小河l上修一个水泵站M,请你确定水泵站
M的位置，使它到两个村庄的距离和最小.
A
作法：连结AB，交
M
直线l于点wenku.baidu.com，则点M l 为水泵站的位置。
前面我们研究B过一些关于“两点的所有连
线中，线段最短”、“连接直线外一点与直 线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的 问题，我们称它们为最短路径问题．现实生 活中经常涉及到选择最短路径的问题。
A1B，因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ ＞
AM+MN+BN即从A到B的路径AMNB是最短的。
运用新知 1、直线L的同侧有两点A、B，
在直线L上求两点C、D，使得AC、CD、
DB的和最小，且CD的长为定 值a，点D在点C的右侧。
A
B
作法：①将点A向右平移a个 C D
单位到A1；②作点B关于直线 L的对称点B1；③连结A1B1交
复习
1、平移的概念
图形的平行移动就是平移变换，简称
作平移.
2、平移的性质
C' C
（1）把一个图形整体沿某一
直线方向移动，会得到一个
A'
新的图形，新图形与原图形
A
B'
的形状和大小完全相同. B
（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的
某一点移动后得到的，这两个点是对应点。
连接各组对应点的线段平行（或在同一直线
追问：在如图所示的位置，AC与 C
BC的差小于AB，会有AC与BC
B
的差等于AB的时候吗？
A
作法：连BA，并延长交直线 L于点C，则点C即为所求。 C C’
探索新知 问题1从图中的A 地出发，到一条笔直的
河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮 马可使他所走的路线全程最短？
你能将这个问题抽象 为数学问题吗？
B
A
C
l
探索新知
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一
条直线．
·B
A·
l
设C 为直线上的一个动点，上面的问题 就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小．
P A 大桥 B
2.已知：如图A是锐角∠MON内部任意一 点，在∠MON的两边OM，ON上各取一 点B，C，组成三角形，使三角形周长最 小.
B
变式：在角内有两点A、B，在射线OM、
ON上分别求一点C、D，使线段AC、CD、 DB的和最小。
小结
三种类型 (Ⅰ)两点在一条直线异侧 (Ⅱ) 两点在一条直线同侧 (Ⅲ)一点在两相交直线内部
探索新知
·B
如图，点A，B 在直线l A· 的同侧，点C 是直线上的
一个动点，当点C 在l 的什
l
么位置时，AC 与CB的和
最小？
思考:1、这个问题与前面“确定水泵位置”
的问题有联系吗？
2、如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足
直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？ 3、你能找到符合条件的点B′吗？
A
A1
B
直线L于点D；④过点A作
AC∥A1D交直线L于点C，连 结BD。则线段AC、CD、DB 的和最小。点C、D即为所求。
CD B1
2、直线L的同侧有两点A、B，在直线L上
求一点C，使CB与CA的差最大。
分析：在我们所学过的知识中，哪个知
识点与两条线段的差有关系？
B
三角形任意两边的差小于第三边。 A
上）且相等.对应线段相等，对应角相等。
引例：如图，小明从小河岸边的A地到河的
对面的B地,怎样走距离最近？（只能从桥上
过河）
A
桥
小河
C
B
方法：小明过桥走到C，连接CB，小明走的 路径和是AC＋CB，此时所走路经最短.
理由：AC确定不变，C和Ｂ之间由“两点之 间，线段最短”可知CB最短.
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现
探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB的和最小？
·B
作法：（1）作点B 关于 ·A
直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直
C
l
线l 相交于点C．则点C
即为所求．
B′
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
探索新知
追问：证明AC +BC 最短时，为什么要在 直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证 明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的
A1 M
N
B
证明：另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ1
Ａ１Ｎ１. 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ1Ｎ，
ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，A
ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
A1
AM+MN+BN=ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，
M M1
而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１
N N1
=ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
B
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞
要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使
从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸
是平行的直线，桥要与河垂直）。
分析：由于河岸宽度 A 是固定的，造的桥要
与河垂直，因此路径
M
AMNB中的MN的长
度是固定的。要使路
N
径AMNB最短，只需
B
AM+BN最短。
分析：我们可以将点A沿与河垂直的方向平移 MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只 需A1B最短。根据两点之间距离最短，连接 A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得 路径AMNB就是最短路径。
作用是什么？
若直线l 上任意一点（与 点C 不重合）与A，B 两点
·A
·B
的距离和都大于AC +BC，
C C′
l
就说明AC + BC 最小．
B′
运用新知
1.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前 往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河 岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最 短路径．
C 山Q 河岸
13.4 课题学习
最短路径问题
引例：如图，在小河l的两侧有A村和B村，
要在小河l上修一个水泵站M,请你确定水泵站
M的位置，使它到两个村庄的距离和最小.
A
作法：连结AB，交
M
直线l于点wenku.baidu.com，则点M l 为水泵站的位置。
前面我们研究B过一些关于“两点的所有连
线中，线段最短”、“连接直线外一点与直 线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的 问题，我们称它们为最短路径问题．现实生 活中经常涉及到选择最短路径的问题。
A1B，因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ ＞
AM+MN+BN即从A到B的路径AMNB是最短的。
运用新知 1、直线L的同侧有两点A、B，
在直线L上求两点C、D，使得AC、CD、
DB的和最小，且CD的长为定 值a，点D在点C的右侧。
A
B
作法：①将点A向右平移a个 C D
单位到A1；②作点B关于直线 L的对称点B1；③连结A1B1交
复习
1、平移的概念
图形的平行移动就是平移变换，简称
作平移.
2、平移的性质
C' C
（1）把一个图形整体沿某一
直线方向移动，会得到一个
A'
新的图形，新图形与原图形
A
B'
的形状和大小完全相同. B
（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的
某一点移动后得到的，这两个点是对应点。
连接各组对应点的线段平行（或在同一直线
追问：在如图所示的位置，AC与 C
BC的差小于AB，会有AC与BC
B
的差等于AB的时候吗？
A
作法：连BA，并延长交直线 L于点C，则点C即为所求。 C C’
探索新知 问题1从图中的A 地出发，到一条笔直的
河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮 马可使他所走的路线全程最短？
你能将这个问题抽象 为数学问题吗？
B
A
C
l
探索新知
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一
条直线．
·B
A·
l
设C 为直线上的一个动点，上面的问题 就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小．
P A 大桥 B
2.已知：如图A是锐角∠MON内部任意一 点，在∠MON的两边OM，ON上各取一 点B，C，组成三角形，使三角形周长最 小.
B
变式：在角内有两点A、B，在射线OM、
ON上分别求一点C、D，使线段AC、CD、 DB的和最小。
小结
三种类型 (Ⅰ)两点在一条直线异侧 (Ⅱ) 两点在一条直线同侧 (Ⅲ)一点在两相交直线内部
探索新知
·B
如图，点A，B 在直线l A· 的同侧，点C 是直线上的
一个动点，当点C 在l 的什
l
么位置时，AC 与CB的和
最小？
思考:1、这个问题与前面“确定水泵位置”
的问题有联系吗？
2、如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足
直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？ 3、你能找到符合条件的点B′吗？
A
A1
B
直线L于点D；④过点A作
AC∥A1D交直线L于点C，连 结BD。则线段AC、CD、DB 的和最小。点C、D即为所求。
CD B1
2、直线L的同侧有两点A、B，在直线L上
求一点C，使CB与CA的差最大。
分析：在我们所学过的知识中，哪个知
识点与两条线段的差有关系？
B
三角形任意两边的差小于第三边。 A
上）且相等.对应线段相等，对应角相等。
引例：如图，小明从小河岸边的A地到河的
对面的B地,怎样走距离最近？（只能从桥上
过河）
A
桥
小河
C
B
方法：小明过桥走到C，连接CB，小明走的 路径和是AC＋CB，此时所走路经最短.
理由：AC确定不变，C和Ｂ之间由“两点之 间，线段最短”可知CB最短.
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现
探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB的和最小？
·B
作法：（1）作点B 关于 ·A
直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直
C
l
线l 相交于点C．则点C
即为所求．
B′
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
探索新知
追问：证明AC +BC 最短时，为什么要在 直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证 明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的