最短路径问题和最小

最短路径问题——和最小

【典型例题】1、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

2、如图，抛物线y ＝12

x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．

3、已知，如图，二次函数y ＝ax 2＋2ax ﹣3a （a ≠0）图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：y ＝33x ＋3对称． （1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN ＋NM ＋MK 和的最小值．

4．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（－1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a＋1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．