高等量子力学 Feynman路径积分公式
量子力学的路径积分与费曼图理论
量子力学的路径积分与费曼图理论量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而路径积分与费曼图理论是量子力学中一种重要的计算工具。
本文将详细介绍量子力学的路径积分与费曼图理论，以及它们在研究微观粒子行为中的应用。
路径积分理论最早由费曼提出，它是一种计算量子力学问题的方法。
传统的量子力学使用波函数描述粒子的运动状态，而路径积分理论则从粒子的轨迹出发，通过积分求和的方式计算出系统的行为。
路径积分理论的基本思想是将粒子的运动轨迹划分为许多小段，然后对每一段轨迹进行积分求和。
最终，通过对所有可能的轨迹进行求和，得到系统的行为。
路径积分理论的核心是费曼路径积分，它描述了粒子在不同时间点之间所有可能的轨迹。
具体而言，费曼路径积分可以表示为：\[\int \exp\left(\frac{i}{\hbar}S[x(t)]\right) \mathcal{D}x(t)\]其中，S[x(t)]是作用量，x(t)是粒子在不同时间点的位置，$\mathcal{D}x(t)$表示对所有可能的轨迹进行积分。
通过对费曼路径积分进行计算，可以得到系统的物理量，如能量、动量等。
费曼图理论是路径积分理论的一种图形表示方法。
它通过图形化的方式表示粒子之间的相互作用。
每个费曼图由线和顶点组成，线表示粒子的传播，顶点表示粒子之间的相互作用。
通过对不同的费曼图进行求和，可以得到系统的物理量。
在费曼图理论中，线的类型对应着不同的粒子，如电子、光子等。
而顶点表示粒子之间的相互作用，如电子和光子之间的散射。
通过将不同的线和顶点组合在一起，可以构建出各种不同的费曼图，从而描述系统的行为。
路径积分与费曼图理论在量子力学中有广泛的应用。
首先，它们可以用来计算系统的物理量。
通过对路径积分进行计算，可以得到系统的能谱、散射截面等物理量。
其次，路径积分与费曼图理论可以用来研究量子场论。
量子场论是描述粒子与场相互作用的理论，路径积分与费曼图理论提供了一种计算量子场论问题的方法。
路径积分简介
N →∞
(
N −1 h
1 ˙2 ¯j) ¯ − V (x ¯ j, t mx 2 j
) i
(25)
也可以将此式看作路径积分的精确定义式,我们以后的计算都是基于此.
3 几个例子
下面我们讨论几个具体计算的例子.为简单起见,我们暂时使用自然单位制.
3.1 自由粒子的运动
˙ 2 /2,因此 自由粒子的Lagrange函数为L =x
+∞
(27) (28)
这里a和b是保证积分收敛的任意复数,最终上述积分式的结果为 其中 容易算出
bN − 1 =
q
h i −π ab exp (ζ − η)2 a+b a+b
(−π)(N −1)/2(a1a2…aN −1)−1/2exp{bN −1(ξN − ξ0)2} a1 = 2, a2 = b1 + 1, …, aN −1 = bN −2 + 1, b1 = 1/2, b2 = b1 /(b1 + 1), …, bN −1 = bN −2 /(bN −2 + 1) 1 1 , a a ⋯a = +1 N 1 2 N −1 1
(29) (30)
因此得到
K(b, a) = lim
1 1 (2πiϵ)N /2 2 π iNϵ N →∞ AN ϵ
1 1 +1 ⋯ +1 =N 2 N−1
1/2
exp
n
1 (ξ − ξa)2 N b
(31) (32)
o
4
节3
要保证上式在N → ∞以及ϵ → 0时有极限,我们取
Aϵ = (2πiϵ)1/2 (33)
09路径积分 2
讨 论
●传播子满足的方程
K(rt,r't')实 上 态 数 质 是 函
ℏ2 2 ∂ iℏ K(rt,r't') = − ∇ +V(r,t)K(rt,r't') ∂t 2m (t >t')
∂ ℏ2 2 iℏ∂t + 2m∇ −V(r,t)K(rt,r't') =0 (t >t')
路径积分方法的由来
●量子力学三种形式与经典力学的关系 † 矩阵力学 泊松括号→对易子 矩阵力学—泊松括号→ 泊松括号 † 波动力学 H-J方程→薛定谔方程 波动力学—H 方程→ ♥ 均与经典力学的哈密顿形式密切相关 † 路径积分 源于经典力学的拉格朗日形式 路径积分—源于经典力学的拉格朗日形式 ♥ 便于推广到相对论形式 ♥ 把含时与不含时问题纳于同一框架处理 ♥ 便于考察量子力学与经典力学之关系
→K(r"t",r't') ~ e
i Scl (r"t",r 't') ℏ
讨 论
●传播子的组合规则
K(r"t",r't') = ∫ d x1K(r"t",rt1)K(rt1,r't') 1 1
3
推 →t0 =t',t1,t2,⋯tN−1tN =t" 广 ,
坐 ： ',r ,r ,⋯rN−1,rN = r" 标 r 1 2 ,
第九章 路径积分
２００５年１月
§9.0 引 言
２００５年１月
路径积分方法的由来
●Feynman于1940年代提出 于 年代提出 † 原始思想←狄拉克1933年一篇文章 原始思想←狄拉克 年一篇文章 † 费曼加以发展 ●理论核心：传播子 (propagator) 理论核心： † 包含了量子体系的全部物理信息 † 与经典力学中的作用量相联系
九Feynman路径积分公式
2
V
x
t
Hale Waihona Puke m 2 xn
xn1 2
t
V
xn
xn1 2
对自由粒子， xn tn xn1tn1 已知。由于W(Δ t)与V(x)
无关，用自由粒子情况算出：
x t x t w 1t e | n n n1 n1 tn tn1
经典运动： 量子力学：
重力诱导的量子干涉
仅与几何有关 与h/m有关 可产生量子效应
实验结果
引力不是纯几何性的 量子力学适用于万有引 力作用体系
三、电磁场的规范变换
电动力学里 在
变换下不变(规范不变)
为简便,只讨论不含时情形： 经典H：
量子H
1. 力学动量
由海森堡运动方程：
一、常数势的效应
V(x) 牛顿力学的力不变，量子力学呢？
取t0时两态同相位， 则t时两态有相位差：
对于整个系统，观察量随时间的变化： <B>
只与能级差有关，V0无影响。 但量子力学可观测经典所没有的效应：量子干涉
经典对应于h0的结果
二、量子力学中的重力场
N 2 i t
dxN 1dxN 2
D xN x1
x
t
exp
i
tN t1
dt
L x, x
N
dx2 eiSn,n1/ n2
lim 其中
xN x1
D
x
t
m N 1/ 2
25 传播子和Feynman路径积分
征左矢和右矢。
因 b', t | a', t 0 是从| a', t0 到| b', t 态的跃迁振幅，故
几率x"振, t 幅| x'。, t 0或者是说t0时 处x",于t |
xx'',
的粒子在t时处于 x"
t 0 是由时空点 (x', t 0
)
的 到
另一时空点 (xv",t) 的跃迁振幅。
2 2
2 x2
xt x1t1
L
对一阶Δt项有
t
xt x1t1
m
2 ih
2
ih m
3/ 2
1 2
22 x2
xt x1t1
iV h
xt x1t1
h2 2
所以
ih t
xt x1t1
2m x2
xt x1t1
V
xt x1t1
可见费曼路径积分的 xt x1t1 表达式与薛定谔波动方程的 传播子一致（也侧面证明了w(Δt)与V无关的正确性）。
xn
xn1 t
2
V
xn
xn1 2
对自由粒子， xn t n xn1t n1 已知。由于W(Δt)与V(x)无关， 用自由粒子情况算出：
xntn xn1tn1
w 1t e tn tn1
im xn xn1 2 2ht
tn tn1
xn xn1
1
wt
m 2it
于是，对 t 0 ，有
典轨道。
九、Feynman路径积分公式
1. 无限小时间间隔的一段路径， xntn
x n1t n1
1 eiSn,n1/
高等量子力学答案
(1)对于氢原子，En
=
-
e2 2an2
, E1
=
-
e2 2a
, E2
=
e2 -
8a
1
8
E1的几率为 9，E2的几率为 9
1 æ e2 ö 8 æ e2 ö 3e2
\
E
=
9
´
çç è
-
2a
÷÷ ø
+
9
´
çç è
-
8a
÷÷ ø
=
18a
i
i
i
i
( ) ( ) ( ) - Ht
1 - Ht
1 - Ht
å Ck ( j + k ) j + k, j + k = ( j + 1)åCk j + k, j + k
k
k
å Ck (k -1) j + k, j + k = 0
k
\ Ck (k - 1) = 0,即C1 ¹ 0，Ck = 0(k ¹ 1)
\V+ jj = c j + 1, j + 1
7
2.1
11
3æ
11
1 1ö 6
11
，22
=-
3
çç è
2 1,-1, , 22
+ 1,0, ,22
÷÷ + ø
3
´
2 1,0, ,22
1 综上所述，j1 = 1, j2 = 2 时，耦合表象基矢对非耦合表象基矢的展开式为：
33
11
， = 1,1, ,
22
22
31 6 11 3 1 1 ， = 1,0, , + 1,1, ,-
3－3路径积分的计算
3－3 路径积分的计算一 Feyman 的多边道折线方法根据Feyman 的假定，传播子可以表示为：∑=所有道路)]([)'',""(t r S i eCt r t r K r hrr其中：dt t t t rr L t r S ∫′′′=),,()]([&r r r 代表粒子沿道路的作用量到从t t t r ′′′)(r，L 是粒子的Largrange 量，C 为归一化常数。
L=T-V求和是对一切可能的道路进行的。
由于从的到t t ′′′轨道是连续变化的，所以求和可以用积分代替：)]([t r D r表示对给定初、末点的一切连续变化的可能轨道积分。
下面，介绍Feyman 的多边道折线（polygonal paths ）方法 把时间间隔()t t ′−′′分成N 等分，令：N t t /)(′−′′=ε 则 t ",,,,,'1210t t t t t t N N ==−L")(,,,,,')(1210r t r r r r r r t r r N N rr r r L r r r r r =′′==′=−坐标：满足：1,2...N)(i 1==−−εi i t t下面，以一维运动的粒子的传播子为例，进行讨论：其中：),(22t x V mP H +=根据传播子的组合规则：)'',()...,(),""(...)'',""(11221111121t x t x K t x t x K t x t x K dx dx dx t x t x K N N N N N N N −−−−−−−∫=上式包含了n 个矩阵元因子，共n-1重积分，对于任一个传播子：>>=<=<−−−−−−−−1ˆ1)(ˆ11||||),(1i H i i i t t H i i i i i i x ex x ex t x t x K i i εhhεQ 很小，εεH i eH i ˆ1ˆhh−≈∴−)],,(/)([),,()()()()(1)(1)(11111ˆ1111111112121)],,(1[21),,(2121),,(|2121||2121||||||ˆ1|||ˆ1|||),(t x p H x x p iit x p H ix x p i i x x p ii i i i i x x p ii x x p i i i i i i x p ii x x p ii i i x p ii x x p i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i H i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i e dp e dp e t x p H idp t x p H e dp i e dp t x p H x p e dp i e dp x H p e dp i e dp x H p p x dp ix p p x dp x H i p p x dp x H i x x ex t x t x K −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==−=−=><−=><−=>><<−>><<=>−><<=>−>=<=<∴εεεππεππεππεππεπεεεh h h h h h hh h h hhhhh h hh hh h hh h hhhi x i p i i i ep x h hπ21|>=< >>=>=+>=i i i i i i i i i p t x p H p H p t x V mPp H |),,(||)],(2[|2),,(t x p H i i 是第i 小段区间的哈密顿量。
25传播子和Feynman路径积分
可见体系的lim完0 a整' E能谱E1a'都 表i 现 a在' E复1EEa—' 平面的
的极点。
研究物理体系的能谱，只要研究
的解析G~性(E)质
G~ (E)
五、传播子作为跃迁振幅
波函数是特定位置左矢与随时间变化右态矢的内积，
也可被认为是Heisenberg图象中反向时间演化的位置
对 “不相同位位”置）的：贡(x献) 求 和 d，3x与' | 静x(电x'x)学'| 求电势相似（但有
传播子其实就是含时波动方程的格林函数：
2 2m
"2
V(x")
i
t
K"(x",
t;
x ' ,
t
0
)
i3
(x 'x" )(t
2
2
n0
2n
n
n
!
H
n
H
n
也可通过a和a+算符方法或将描述的路径积分方法。
由于传播子是以ω为角频率的时间周期函数，位于x’ 的粒子将在 t 2n 回到原位置。
四、传播子的时间与空间积分
空间积分： G t d3x ' K x ',t; x ',0
如 一知般无的穷x小t时| x间, t间 隔可利 x用t传| x播, t 子 t的 组t 合dt性的质形而式得，。则这 种推理方式导致了Feynman的量子力学理论形式。
七、作为路径求和的路径积分
量子隧道效应的路径积分描述与费曼图
量子隧道效应的路径积分描述与费曼图量子隧道效应是量子力学领域的一个重要现象，它描述了粒子在经典力学中无法通过的势垒或势峰的情况下，却能够以概率的方式穿越该势垒或势峰的现象。
量子隧道效应的理论描述主要基于路径积分形式的费曼图方法，这是理论物理学家理查德·费曼在20世纪50年代提出的。
路径积分方法是一种基于福克-普朗克方程（Feynman-Kac equation）的表达方式，其中路径指的是粒子在空间中任意可能的路径。
通过对所有可能路径的积分，我们可以计算出给定初态和末态之间的转移概率。
为了进行实验验证量子隧道效应，我们可以设计一个简单的实验。
首先，我们需要一个微小的势垒或势峰结构，在此结构中，经过经典力学分析，我们预测粒子是无法通过的。
接下来，我们需要一个合适的粒子源，例如电子或中子。
在实验准备的过程中，我们需要先对所选择的势垒或势峰材料进行特性分析。
该材料的特性将决定量子隧道效应的强度。
我们还需要设计一个合适的实验装置，包括粒子源和探测器。
探测器通常是一些灵敏的仪器，用于检测到来粒子的位置、能量或其他相关信息。
在实验过程中，我们将粒子源放置在势垒或势峰材料的一侧，然后测量探测器中的信号。
这个实验可以采用不同的几何形状和探测器的排布方式，以便获得更多的信息和重复性。
在实验结果的分析阶段，我们将使用费曼图方法对实验数据进行量子隧道效应的解释。
这意味着我们将计算各个路径的转移概率，并将它们加总以获得整体的转移概率。
随着实验数据与理论计算的比较，我们可以验证量子隧道效应。
量子隧道效应的应用广泛存在于现实生活和科学研究中。
例如，在微电子领域，量子隧道效应是隧道二极管和隧道场效应晶体管等器件的基本原理。
这些器件利用了量子隧道效应来实现低功耗和高速操作。
在核物理学中，量子隧道效应也有重要的应用，例如在核衰变和核反应的研究中。
此外，量子隧道效应还在量子计算和量子通信领域扮演着重要角色。
利用量子隧道效应，可以实现量子比特之间的量子信息传递和量子纠缠等非经典的量子操作。
费曼路径积分及其在量子物理中的应用
费曼路径积分及其在量子物理中的应用费曼路径积分，听上去是不是有点像是从宇宙某个角落传来的神秘术语？别慌，咱们一点一点地捋清楚，保证你听了之后不会觉得云里雾里。
先从费曼这个人说起吧。
你知道，理查德·费曼可是个名副其实的大人物，不光是物理学界的传奇人物，人家还是个天才中的天才。
他提出的“路径积分”理论，至今仍在量子物理领域扮演着超级重要的角色。
好嘛，咱们就从费曼的“路径积分”谈起。
简单来说，路径积分就是一种非常独特的方式，用来描述粒子是怎么从一个地方“跳”到另一个地方的。
你想象一下，如果咱们用普通的方式思考，一个物体从A点到B 点，可能只有一条路线对吧？但是，在量子世界里，粒子可不按常理出牌！它们不只会走一条路，而是能同时走好多条路，可能A到B的路径不止一条，而是好几万条几百万条，甚至是无限多条。
你要问，怎么能这么神奇呢？别急，费曼给了我们一个办法，告诉我们怎样“计算”这些路径的所有可能性。
别看这个理论听起来有点高深，实际上，它的背后藏着一种非常简单的哲理：我们日常看到的世界，其实只是量子世界的一部分。
量子物理可不是像咱们眼睛能直接看到的那样单一，粒子在量子世界里有时候又像波，又像粒子，这让人有点晕头转向，但也正是这种反常规的行为，才让它显得格外迷人。
而“路径积分”就是帮助我们理解这些奇妙现象的一个工具。
说白了，这个路径积分的核心思想就是：粒子从A到B，所有可能的路径都要算进来，而每条路径的贡献程度（在数学上我们叫它“振幅”）不一样。
比如说，有的路径可能特别直观，走得快又直接，贡献大；有的路径可能绕得远又曲折，贡献小。
我们要做的，就是把所有路径的贡献加起来，然后看看哪个路径最有可能发生。
这就像咱们玩扑克牌，想知道某张牌出现的几率，得看所有可能的情况，而不是只看一个结果。
那你可能会问，这跟量子物理的应用有什么关系呢？嗯，想想看，量子物理本来就是个充满不确定性的领域。
咱们都知道，量子世界里的粒子，既不是像我们日常生活中那样确定的物体，也不完全是一个混乱无序的状态。
路径积分
K ( b, a ) dxc K ( b, c) K ( c, a )
【证】 根据传播子的定义
（ tb tc ta ）
( xb , tb ) dxc K ( b, c) ( xc , tc ) ( xc , tc ) dxa K ( c, a ) ( xa , ta )
tb
2-1
tb L d x L , t ) x dt L( x , x ta dt x x
S ( x) x
ta
tb
tb L L tb d L x dt dt x t a ta x x dt x
tb ta N
（ t j 1 t j ）
相应的折点： x0 xa , x1 , x2 , , xN 1 , xN xb （ xa ， xb 固定，
2-6
但 x1 , x2 , , xN 1 ( , ) ）
t
tN t N 1
t j1 tj
t1 t0
2-3
因此若 ta 时刻粒子位于空间的 xa 点， 则传播子就是在 tb 时刻于 xb 点找到 。 由 ( xa , ta ) 传来的粒子的几率波幅（波函数）
t
( xb , tb )
K(b, a)
( xa , ta )
0
x
【结论】 传播子是一种特殊的波函数，代表着点源的影响。它实际上是薛定谔 （Schrödinger）方程的格林（Green）函数。 （2） 传播子的传递性
2 x 2 x
m 2 L 2
m2 (xb xa cosT )2 2 2xa (xb xa cosT ) cos2 ( ) sin2 ( ) x t t t t a a a 2 sin2 T sinT
系综平均意义下的hellmann-feynman 定理
系综平均意义下的hellmann-feynman 定理Hellmann-Feynman定理是量子力学中的一个重要定理，它描述了哈密顿量中的势能项对能量期望值的贡献。
在系综平均意义下，Hellmann-Feynman定理可以表示为：$$\frac{d\langle
H\rangle}{d\lambda}=\langle\frac{\partial
H}{\partial\lambda}\rangle$$其中，$\lambda$是哈密顿量中的某个参数，例如原子核的位置或电场的强度。
$\langle H\rangle$是系统的能量期望值，$\frac{\partial H}{\partial\lambda}$是哈密顿量关于参数$\lambda$的偏导数，$\langle\frac{\partial
H}{\partial\lambda}\rangle$是该偏导数的系综平均值。
这个定理的意义在于，它告诉我们如何通过改变哈密顿量中的参数来控制系统的能量。
例如，在分子动力学模拟中，我们可以通过改变原子核的位置来改变分子的能量。
通过Hellmann-Feynman定理，我们可以计算出这种改变对能量的影响，从而更好地理解分子的行为。
系综平均意义下的hellmann-feynman定理
系综平均意义下的hellmann-feynman定理Hellmann-Feynman定理是量子力学中一个重要的定理，它描述了波函数中随外加势能变化而引起的能量变化。
这个定理在理论化学和固体物理等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨在系综平均意义下的Hellmann-Feynman定理。
Hellmann-Feynman定理可以用来计算任意系统的总能量对外加势能的导数。
假设我们考虑的系统由N个粒子组成，其波函数为Ψ(R1,...,RN)。
若外加一个势能V(R1,...,RN)，则系统的总能量E可以表示为：E=⟨Ψ，(T+V)，Ψ⟨其中，T表示系统的动能算符，V表示外加的势能。
根据Hellmann-Feynman定理，我们可以得到系统总能量关于势能的导数：∂E/∂λ=⟨Ψ，(dV/dλ)，Ψ⟨其中，λ表示势能的一些参数，dV/dλ表示外加势能对该参数的导数。
这个导数可以通过引入一个耦合常数λ'来实现：dV/dλ=(dV/dλ')x(dλ'/dλ)因此，我们可以得到：∂E/∂λ=⟨Ψ，(dV/dλ')，(dλ'/dλ)，Ψ⟨在进行推导之前，让我们对系综平均所涉及的概念进行进一步的说明。
在量子力学中，我们通常使用系综平均来描述物理量的期望值。
系综平均是对于大量相同系统的平均。
对于N个粒子系统，系综平均值可以表示为：〖<〗(A)〗_ens = ∑_(j=1)^N a_j ，ψ_j，^2其中，a_j表示第j个粒子的物理量A的本征值，ψ_j，^2表示第j个粒子的波函数的模平方。
而在我们的讨论中，物理量A即为(dV/dλ')。
根据Hellmann-Feynman定理，我们可以将∂E/∂λ转化为一种平均值的形式：∂E/∂λ=∑_(j=1)^N(a_j/，ψ_j，^2)，ψ_j，^2(dλ'/dλ)对上述公式稍加整理，我们可以得到：∂E/∂λ=∑_(j=1)^Na_j，ψ_j，^2(dλ'/dλ)这个表达式表示了系统总能量对势能参数λ的导数，可以看做是系综平均下的Hellmann-Feynman定理。
最新25传播子和Feynman路径积分汇总
其传播子为 K (x"t;x't0) 2ism i n tt0ex 2p sii m n tt0*
x"2x'2co stt02x"x'
该式的证明可通过特殊函数的性质
1 1 2 e x p 2 1 2 2 2 e x p 2 2 n 0 2 n n n ! H n H n
25传播子和Feynman路径积分
讨论：
上式表明，若初态已知，则波函数的时间演化 便完全由K确定。Schrödinger波动力学是纯粹 的因果理论。
受势作用的波函数的时间变化，只要系统不受 扰动，便与经典力学中任何量一样完全确定。
不同处：当测量介入时，波函数以不可控制的 方式突然变为所测观测量的本征函数之一（但 “投影”有确定的几率）。
该性质称为跃迁振幅（传播子）的组合性质。
类似地有 t""tt"t' ：
x t " " | x t d x d x x " " t / x t x t / x t x t / x t
可得 K(x",xpip'(x"x')ip'22(m tt0)
2i(m tt0)expi2m ((xt" xt0'))2
该式可用于研究诸如高斯波包随时间扩散展开的情形
2. 谐振子 的传播子
波函数为
u nxe iE n t/ 2 n 2 1 n ! m 1 4 e x p m 2 2 x 2 H n m x e i n 1 2 t
和边界条件 K (x ",t;x ',t0)0（对t<t0）.
第一式右边的δ函数是由于K在t=t0不连续
高等量子力学-chapter2
ˆ2 假设 H p ˆ) V (x 2m
则 ˆ2 ˆ2 p p xj | | x j 1 dp' dp x j | p' p' | | p p | x j 1 2m 2m dp i p2 exp[ p( x j x j 1 )] 2 2m 同理
dp i ˆ ) | x j 1 x j | V (x exp[ p( x j x j 1 )]V ( x j ) 2
其中
x j ( x j x j 1 ) / 2
得到
x j | H | x j 1 dp i exp[ 2 p( x j x j 1 )] H ( p, x j )
一维简谐振子
2 iEnt 1 m 1 m x un ( x) exp( ) n/2 ( ) 4 exp( ) 2 2 n!
m 1 Hn ( x) exp[ i (n )t ] 2
传播子为:
m im K ( x" , t; x' ,0) exp{[ ] 2i sin t 2 sin t [(x"2 x'2 ) cost 2 x" x' ]}
K 的另一表示形式： iH (t t0 ) K ( x" , t ; x ' , t0 ) x"| exp[ ] | x'
传播子的性质:
(1) t t0 , K ( x", t; x ' , t0 ) 满足Schrodinger方程
(2) limt t0
ˆ (t ) e x
i H ( t t0 )
ˆ (t0 )e x
2.6传播子和费曼路径积分五、传播子作为跃迁振幅
iV t 1
2 2 xt x t xt x1t1 11 2 2 x
对一阶Δ t项有
m xt x1t1 t 2 i
2 2 xt x1t1 xt x1t1 V xt x1t1 所以 i 2 t 2m x
因而 x t | x ' t ' dx" x t | x" t" x" t"| x ' t ' 该性质称为跃迁振幅（传播子）的组合性质。 类似地有 t "" t t " t ' ：
xt "" | xt dx dx x "" t | xt xt | xt xt | xt
经典对应于h0的结果 不过该量子干涉很难观测到
二、量子力学中的重力场
经典运动： 量子力学：
仅 仅与几何有关 还与h/m有关 可产生量子效应
重力诱导的量子干涉
实验结果
引力不是纯几何性的 量子力学适用于万有引 力作用体系
习题：2.34
六、传播子的组合性质
x " , t" | x ' , t' 为使时空坐标记号更对称，记 x", t | x' , t 0 为
由于海森堡绘景中在任意给定时间的位置态矢形成完备基， 可在任意位置插入单位算符 d 3 x"|x" t" x"| t" 1
m iV t d exp[im 2 / 2 t ] x , t x1t1 2 i t
费曼引入变分自由能 量子物理路径积分公式
费曼引入变分自由能量子物理路径积分公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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fg积分公式
fg积分公式FG积分公式，即Feynman-Gell-Mann公式，是理论物理学中的一个重要公式。
它是由两位物理学家Richard Feynman和Murray Gell-Mann在20世纪50年代提出的，用于描述粒子的相互作用并计算其概率。
FG积分公式的核心思想是量子场论中的路径积分。
根据量子力学的原理，粒子的行为可以通过概率幅来描述。
而概率幅可以通过路径积分的方法来计算。
路径积分是将所有可能的路径都考虑进去，然后对它们进行加权求和得到最终的概率幅。
FG积分公式的具体形式如下：S = ∫ e^(iS) Dφ其中S是作用量，φ是场变量，Dφ表示对所有可能的场变量进行积分，e^(iS)是作用量的指数形式。
这个公式可以看作是对所有可能路径的加权求和，每条路径的权重由e^(iS)决定。
通过对路径积分进行计算，可以得到系统的概率幅，从而计算出各种物理过程的概率。
FG积分公式的应用非常广泛。
它可以用于描述粒子的散射过程、衰变过程、相互作用等。
在粒子物理学中，研究粒子的相互作用是非常重要的，而FG积分公式正是用于描述这些相互作用的工具之一。
举个例子来说明FG积分公式的应用。
假设我们想计算两个粒子之间的散射概率。
首先，我们需要确定系统的作用量S，然后对所有可能的路径进行加权求和。
在实际计算中，由于路径的数量非常庞大，通常需要使用数值方法进行近似计算。
除了在粒子物理学中的应用，FG积分公式还被广泛应用于统计物理学、凝聚态物理学等领域。
在这些领域中，FG积分公式可以用于计算系统的配分函数、能量谱等物理量。
总结一下，FG积分公式是理论物理学中的一个重要公式，用于描述粒子的相互作用并计算其概率。
它基于路径积分的思想，通过对所有可能路径的加权求和来计算系统的概率幅。
FG积分公式在粒子物理学、统计物理学和凝聚态物理学等领域有广泛的应用。
通过对FG 积分公式的研究和应用，我们可以更好地理解和描述微观世界的各种物理过程。
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V
xn
xn1 2
对自由粒子， xn tn xn1tn1 已知。由于W(Δt)与V(x)
无关，用自由粒子情况算出：
xntn xn1tn1
w 1t e tn tn1
im xn xn1 2 2ht
tn tn1
xn xn1
1
wt
m 2it
于是，对 t 0 ，有
x n t n x n t n1
九、Feynman路径积分公式
1. 无限小时间间隔的一段路径，
xntn
x n1t n1
1 eiSn,n1/
W t
w(Δt)只与Δt而与V(x)无关的权重因子。
由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而
S n, n 1
tn tn1
dt
mx&2 2
V
x
t
m 2
xn
xn1 t
2
§2.4 规范变换
一、常数势的效应
V(x) 牛顿力学的力不变，量子力学呢？
取t0时两态同相位， 则t时两态有相位差：
对于整个系统，观察量随时间的变化： <B>
只与能级差有关，V0无影响。 但量子力学可观测经典所没有的效应：量子干涉
经典对应于h0的结果
二、量子力学中的重力场
经典运动： 量子力学：
重力诱导的量子干涉
仅与几何有关 与h/m有关 可产生量子效应
实验结果
三、电磁场的规范变换
电动力学里 在
变换下不变(规范不变)
为简便,只讨论不含时情形： 经典H：
量子H
1. 力学动量
由海森堡运动方程：
可见正则动量pi 与 mdxi/dt 不同
称
为力学动量
对易关系：
哈密顿算符： Lorentz力算符：
xN
1tN
1
x1t1
或
xt t x1t1
m 2 iht
d exp[im2
/ 2ht
iV t ]x ,t h
x1t1
从而
xt
x1t1
t t
xt
x1t1
m 2 iht
d
exp
im 2 2 ht
对一阶Δt项有
1
iV t h
L
xt
x1t1
2 2 2 x2
xt x1t1
m 2it
expiSn,n
1
2. 对有限时间间隔的路径
lim xNtN
x1t1
m N 1/ 2
N 2 iht
N
dxN 1dxN 2 L dx2 eiSn,n1/ h
n2
D xN x1
x
t
exp
i
tN t1
dt
L x, x&
h
lim 其中
xN x1
D
x
t
m N 1/ 2
L
t
xt x1t1
m
2 ih
2
ih m
3/ 2
1 2
22 x2
xt x1t1
iV h
xt x1t1
所以
ih t
xt x1t1
Байду номын сангаас
h2 2m
2 x2
xt x1t1
V
xt x1t1
可见Feynman路径积分的 xt x1t1 表达式与 Schrödinger波动方程的传播子一致。
Feynman路径积分表达式复杂，对普通量子力 学问题的应用并不方便，但在量子场论统计力 学中很有用。
N 2 iht
dxN 1
dxN 2 L
dx2
上式即为Feynman路径积分的表达式。
十、Feynman路径积分与薛定谔方程
Q xNtN x1t1 dxN 1 xNtN xN 1 tN 1 xN 1tN 1 x1t1
dxN 1
m
2 iht
exp
im
2h
xN
xN 1 2
t
iV t h
故：
规范变换下的薛定谔方程
变换前： 变换后 考虑到 得: 即薛定谔方程满足规范不变性
规范变换下其他物理量的变换
波函数：
几率密度不变 相位 几率流量不变
此外，如上所述，x，Π不变， pv pv e c
习题：
第二章30、31、34、36
2. 薛定谔方程
相当于 连续性方程仍成立： 但 或 且
3. 规范变换
v
v
由于 B A ，对给定B，可选不同的A。
如
，
或
A的选取不应改变物理现实
dx/dt=Π/m, Π是规范不变的，但p=Π+eA/c会变
物理限制对态变换的要求：
对 要求：
即求合适的幺正变换 使得
结果：
1）幺正 2）与x对易 3）由于