高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式(1)学案2_3

1．2.1 排列(一)

[学习目标]

1．理解并掌握排列的概念．

2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．

[知识链接]

1．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？

答由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素．

2．排列与排列数的区别是什么？

答“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．

[预习导引]

1．排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

2．排列数的定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n表示．

3．排列数公式

A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！

（n－m）！

.

要点一排列的概念

例1 判断下列问题是否是排列问题

(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？

(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？

(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？

解 (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．

(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．

(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． ∴(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题．

规律方法 确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认． (1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．

(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．

跟踪演练1 下列问题是排列问题吗？并说明理由．

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？

(2)从集合M ＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的

椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2

b

2＝1?

解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．

(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，

则必有a ＞b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a ＞b 还是a ＜b ，方程x 2

a 2－

y 2

b 2

＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． 要点二 列举法解决排列问题

例2 (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列． 解 (1)由题意作树形图，如图．

故所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个． (2)由题意作树形图，如图．

故所有的排列为：abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，

cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb ，共有24个．

规律方法 “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．

跟踪演练2 将A ，B ，C ，D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法． 解 树形图为(如图)：

由树形图知，所有排法为BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共有9种排法．

要点三 排列数公式的应用 例3 求解下列问题：

(1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *

且n <55)； (2)计算2A 5

8＋7A 4

8

A 88－A 59

；

(3)解方程：A 4

2x ＋1＝140A 3

x .

解 (1)因为55－n ，56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)，所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 15

69－n ； (2)2A 5

8＋7A 4

8A 88－A 59

＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）

＝1； (3)根据原方程，x 应满足⎩

⎪⎨⎪

⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N * 解得x ≥3，x ∈N *

.

根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)． 因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)．即4x 2

－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝53

4

(因为x 为整数，所以应舍去)．所以原方程的解为x ＝3.

规律方法 1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m 较小时的含排列数的方程和不等式问题．

2．排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算． 跟踪演练3 (1)解不等式：A x ＋28＜6A x

8；

(2)证明 A n ＋1n ＋1－A n n ＝n A n n ，并用此结论计算A 11＋2A 22＋3A 33＋…＋8A 8

8. (1)解 原不等式等价于

⎩⎪⎨⎪⎧8！[8－（x ＋2）]！＜6×8！（8－x ）！，x ＋2≤8且x ∈N *，

整理得⎩⎪⎨⎪

⎧x 2－15x ＋50＜0，x ≤6且x ∈N *

. 即5＜x ≤6且x ∈N *

，从而解得x ＝6. (2)证明 A n ＋1n ＋1－A n

n ＝(n ＋1)！－n! ＝(n ＋1)n ！－n ！＝n ·n ！＝n A n

n . A 1

1＋2A 2

2＋3A 3

3＋…＋8A 88

＝(A 2

2－A 1

1)＋(A 3

3－A 2

2)＋…＋(A 8

8－A 7

7)＋(A 9

9－A 8

8) ＝A 9

9－A 11＝9！－1＝362 879. 题型四 排列的简单应用

例4 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个科研小课题由高二·三班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？

(2)有5个不同的科研课题，高二·三班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？

解 (1)从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素