高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点

高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点

平面的基本性质

教学目标

1、知识与水平：

(1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论.

(2)能使用公理和推论实行解题.

2、过程与方法：

(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;

(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感态度与价值观：

培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提升学生的审美水平和空间想象的水平。

教学重点

平面的三条基本性质即三条推论.

教学难点

准确使用三条公理和推论解题.

教学过程

一、问题情境

问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面?空间互相平行的三条直线呢?

问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内?

二、温故知新

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.

公理3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.

把以上各公理及推论实行对比：

三、数学使用

基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.

证明：——公理3推论1

——公理1

同理可证，,直线AD、BD、CD共面

【解题反思1】1。逻辑要严谨

2.书写要规范

3.证明共面的步骤：

(1)确定平面——公理3及其3个推论

(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1

(3)作出结论。

变式1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面?(口答)

变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点能够确定一个平面，由这四个点能确定几个平面?

变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形

吗?(口答)

(2)已知直线满足：;求证：直线

证明：——公理3推论3

——公理1

直线共面

提升训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.

思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。因而能够开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。

证明：

——公理3推论3

——公理3推论3

——公理1

所以，平面同时经过两条相交直线所以平面重合。——公理3推论

2

直线共面

上面方法称为同一法

拓展训练：如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF：FC=DH：HA=2：3;求证：EF、GH、BD交于一点.[渗透空间问题平面化思想]

思路分析：思路1：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线

在一个面内，并且相交，然后证明交点在两个平面上，据公理2知它

在两面的交线——第三条直线上，所以证得三线共点。

证法1：连接，

因E、G分别是BC、AB的中点，故因DF：FC=DH：HA=2：3,故——

公理4

共面，由上知，相交，设交点为O,则平面,平面,

所以直线所以EF、GH、BD交于一点。

思路2：首先证明直线GH、BD交于一点P,直线EF、BD交于一点Q，然后证明两点P、Q重合，进而得出EF、GH、BD交于一点。

证法法2：提示：过点H作HO,使得,交点为O，连接OF，证明,

延长GH,EF,使它们与直线BD分别交于点P、Q，由三角形相似能够

得出OP=OQ.所以点P、Q重合。

链接生活：在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P、Q、R

的平面截得木头的截面形状.

【解题反思2】1。逻辑要严谨

2.书写要规范

3.方法要掌握

(1)证明共面的步骤：

1)确定平面——公理3及其3个推论——公理3及3个推论

2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1

3)作出结论。

(2)证明共线的步骤：

①证所有点在第一个面内(如平面)——公理1

②证所有点在第二个面内(如平面)——公理1

③结论1：所有点在两个平面的交线上

④结论2：所有点共线——公理2

(3)证明共点的步骤：

1)证交于一个点——公理3及3个推论

2)证此点在二个面内(如平面)——公理1

3)结论1：此点在两个平面的交线上——————公理2

4)结论2：三条线共点

四、回顾小结

本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题.

五、课外作业(见所发的前置作业)

反馈练习

[1.2.1平面的基本性质(2)]

1、经过同一直线上的3个点的平面()

A、有且只有1个

B、有且只有3个

C、有无数个

D、有0个

2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是()

A、1或2

B、2或3

C、1或3

D、1或2或3

3、与空间四点距离相等的平面共有()

A、3个或7个

B、4个或10个

C、4个或无数个

D、7个或无数个

4、四条平行直线最多能够确定()

A、三个平面

B、四个平面

C、五个平面

D、六个平面

5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有个.

6、给出以下四个命题：

①若空间四点不共面，则其中无三点共线;

②若直线l上有一点在平面外，则l在外;

③若直线、、中，与共面且与共面，则与共面;

④两两相交的三条直线共面.

其中所有准确的命题的序号是.

7.点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为()

A.B.C.D.8.下列推理，错误的是()

A.B.C.D.9.下面是四个命题的叙述语(其中A、B表示点，表示直线，表示平面)