高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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必修二
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
必修二数学知识点整理
必修二数学知识点整理一、立体几何初步。
（一）空间几何体。
1. 结构特征。
- 棱柱。
- 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
- 棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点等概念。
按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 棱锥。
- 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。
- 棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点等概念。
按底面多边形的边数可分为三棱锥（四面体）、四棱锥等。
- 棱台。
- 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
- 棱台的上底面、下底面、侧面、侧棱、顶点等概念。
- 圆柱。
- 以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
- 圆柱的轴、底面、侧面、母线等概念。
- 圆锥。
- 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体。
- 圆锥的轴、底面、侧面、母线等概念。
- 圆台。
- 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
- 圆台的上底面、下底面、侧面、母线等概念。
- 球。
- 以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
- 球心、半径、直径等概念。
2. 三视图和直观图。
- 三视图。
- 正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图的概念。
- 画三视图的规则：长对正、高平齐、宽相等。
- 通过三视图还原空间几何体的方法：先根据视图的轮廓想象出基本的几何体形状，再根据视图中的线段长度等确定几何体的具体尺寸。
- 直观图。
- 斜二测画法的步骤：- 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。
画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且∠x'O'y' = 45°（或135°）。
- 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段。
- 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。
人教B版高中数学必修二课件1.2.1平面的基本性质
５填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面内
点A在平面外
A
●
l
A●
l
A ●
●A
直线l在平面内
l
直线l在平面外
l
l
Al Al
A A
l
l
6.如图找平面BA1C1与平面B1AC的交线
D A
C B
D1 A1
C1 B1
（×）
练3.直线l与过点P的三条直线a1,a2,a3分别交于A， B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四条直 线共面。
Aa1 B
a2
αP
C a3
例2图
4．根据下列符号表示的语句，说出有 关点、线、面的关系，并画出图形．
(1)A, B
(2)l , m
(3) l
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？
思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三 条都不在同一平面内，有它们中的两条来确定平面， 可以确定多少个平面?
【例4】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交 点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面， 并说明理由.
A BC
共面
证明：
∵A、B、C三点不在一条直线上
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
A
B
平面α 、平面ABCD 、平面AC
符号表示：通常用希腊字母等来表, 示,，如：平 面也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字 母来表示，如：平面AC．
（1）水平放置的平面： （2）垂直放置的平面：
ß a
一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放 置的平面的直观图
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件4：8.6.3 平面与平面垂直(二)
【规律方法】
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种
关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：
判定定理
判定定理
线线垂直 线面垂直定义 线面垂直 性质定理 面面垂直
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，
解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，则能否在棱上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图．
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB⊂平面 PGB，∴AD⊥PB.
(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下： 在△PBC 中，FE∥PB，在菱形 ABCD 中，GB∥DE. 又 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E， PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， ∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
答案 (1)C (2)5
【题型探究】
题型一 面面垂直性质的应用 例 1 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平 面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.1平面的基本性质课件 苏教版必修2
1.2.1 平 面 的 基 本 性 质
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．空间物体的三视图：_______、_______、 ．空间物体的三视图： 正视图 、 左视图 、 俯视图 _______． _______． 2．斜二测画法： ．斜二测画法： 45°或135°； ° ° (1)斜：∠x′O′y′＝ ____________； 斜 ′ ′ ′ (2)二测：横_____，纵_____． 二测： 不变 ， 折半 ． 二测
3.平面的基本性质 平面的基本性质 (1)公理 ： 公理1： 公理 文字语言： ①文字语言：如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线上_________都在这 平面内，那么这条直线上 所有的点 都在这 个平面内． 个平面内． ⊂ 符号语言： ②符号语言：若A∈α，B∈α，则______. ∈ ， ∈ ， AB⊂α (2)公理 ： 公理2： 公理 文字语言：如果两个平面有一个公共点， ①文字语言：如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，这些公共点的集 那么它们还有其他公共点， 合是_________________________． 合是 经过这个公共点的一条直线 ．
思考感悟 2．“线段AB在平面 内，直线 不全在平面 ． 线段 在平面 在平面α内 直线AB不全在平面 α内”这一说法是否正确，为什么？ 内 这一说法是否正确，为什么？ 提示：不正确． 提示：不正确． 在平面α内 ∵线段AB在平面α内， 线段AB在平面 上的所有点都在平面α内 ∴线段AB上的所有点都在平面 内， 线段 上的所有点都在平面 上的A、 两点一定在平面 两点一定在平面α内 ∴线段AB上的 、B两点一定在平面 内， 线段 上的 在平面α内 公理 公理1) ∴直线AB在平面 内．(公理 直线 在平面
(完整word版)人教A版高中数学必修2知识点
必修2知识点归纳第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''xOy∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R lr S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。
2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。
2023年数学必修二第二章知识点
2023年数学必修二第二章知识点2023年数学必修二第二章知识点1直线与平面有几种位置关系直线与平面的关系有3种：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行。
其中直线与平面相交，又分为直线与平面斜交和直线与平面垂直两个子类。
直线在平面内——有无数个公共点;直线与平面相交——有且只有一个公共点;直线与平面平行——没有公共点。
直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。
直线与平面垂直的判定：如果直线L与平面α内的任意一直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
线面平行：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
直线与平面的夹角范围[0,90°]或者说是[0,π/2]这个范围。
当两条直线非垂直的相交的时候，形成了4个角，这4个角分成两组对顶角。
两个锐角，两个钝角。
按照规定，选择锐角的那一对对顶角作为直线和直线的夹角。
直线的方向向量m=(2,0,1)，平面的法向量为n=(-1,1,2)，m，n夹角为θ，cosθ=(m_n)/|m||n|，结果等于0.也就是说，l和平面法向量垂直，那么l平行于平面。
l和平面夹角就为0°提高数学成绩的技巧是什么课内重视听讲，课后及时复习接受一种新的知识，主要实在课堂上进行的，所以要重视课堂上的学习效率，找到适合自己的学习方法，上课时要跟住老师的思路，积极思考。
下课之后要及时复习，遇到不懂的地方要及时去问，在做作业的时候，先把老师课堂上讲解的内容回想一遍，还要牢牢的掌握公式及推理过程，尽量不要去翻书。
尽量自己思考，不要急于翻看答案。
还要经常性的总结和复习，把知识点结合起来，变成自己的知识体系。
多做题，养成良好的解题习惯要想学好数学，大量做题是必可避免的，熟练地掌握各种题型，这样才能有效的提高数学成绩。
刚开始做题的时候先以书上习题为主，答好基础，然后逐渐增加难度，开拓思路，练习各种类型的解题思路，对于容易出现错误的题型，应该记录下来，反复加以联系。
高一数学必修2直线平面平行的判定及其性质知识点讲解
性质
判定
a′∩b′＝
a，b⊂βa P′a∩b＝P
无公
条件
∩b＝P a∥ a∥a′b∥b′
共点
αb∥α
a′，b′⊂βa，
b⊂α
结论 α∥β α∥β
α∥β
性质
α∥ββ ∩γ＝ α∥β bα∩γ＝ a⊂β
a
a∥b a∥α
[究 疑 点] 1．若一直线平行于平面α，那么平面α内的任一条直线
与它有何位置关系？ 提示：平行或异面． 2．若两平面平行，那么在一个平面内的任一条直线与 另一个平面内的任一条直线有何位置关系？ 提示：平行或异面．
直线、平面平行的判定及其性质 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认 识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质．
[理 要 点] 一、直线与平面平行的判定与性质
判定
图形
性质
条件 a与α无交点 结论 a∥α
b∥α
a∥α
a∥αa⊂βα ∩β＝b
a∩α＝ ∅
a∥b
二、面面平行的判定与性质 判定
图形
()
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
解析：A、C中b都可能在面内故错，B中α与β相交
也可行．
答案：D
AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别 是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.
条件变为E、F、G满足“DF∶D1F＝1∶2，DG∶DA＝1∶3， BE∶BB1＝2∶3”，求证平面AD1E∥平面BGF.
证明：∵D1F∶DD1＝2∶3 BE∶BB1＝2∶3 DD1＝BB1，∴D1F＝BE 又D1F∥BE，∴四边形D1FBE为平行四边形， ∴D1E∥BF 又DG∶GA＝1∶2 DF∶FD1＝1∶2 ∴GF∥AD1 又AD1∩D1E＝D1，GF∩BF＝F ∴平面AD1E∥平面GFB
高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
高中数学必修2——立体几何平行和垂直(教案)
立体几何平行和垂直知识讲解知识点1 点、线、面一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设ba,是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线bbaa//',//'，把'a与'b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．I,,Pl P l且且三、直线与平面的位置关系llAα//l知识点2 线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：⑴三垂线指AO PO PA ,,都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
知识点3 线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：α⊥l 。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
知识点4 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
必修二数学知识点归纳
必修二数学知识点归纳第一章空间几何1. 直线和平面的方程2. 直线与平面的位置关系3. 直线与平面的交点4. 直线与平面的夹角和距离5. 空间中的平行和垂直关系6. 直线与空间中的曲面的位置关系7. 空间中的投影和距离第二章解析几何1. 平面直角坐标系2. 点、直线和曲线的坐标表示3. 点、直线和曲线的性质4. 直线的斜率和截距5. 直线的倾斜角和斜率的关系6. 直线与圆的位置关系7. 圆的标准方程和一般方程8. 曲线的一般方程和特殊方程第三章函数与导数1. 函数的概念和表示方法2. 函数的性质和分类3. 函数的图像与性质4. 极坐标系和参数方程5. 函数的单调性和极值点6. 幂函数、指数函数与对数函数7. 三角函数及其性质8. 函数的复合与反函数9. 导数的定义和性质10. 导数的计算和应用第四章导数的应用1. 函数的极值与最值2. 函数的单调性与凹凸性3. 高阶导数与函数的泰勒展开式4. 函数的图形与导数5. 函数的极限和连续性6. 驻点和拐点的判断7. 函数的应用问题：最优化问题，曲线的切线与法线，函数的估值与逼近第五章不等式与函数图像1. 代数不等式的基本性质2. 一元二次不等式的解法3. 高次多项式不等式的解法4. 绝对值不等式的解法5. 不等式的证明方法6. 函数图像的性质与变化趋势7. 函数的奇偶性与对称性8. 根据函数的图像作函数不等式的解第六章概率与统计1. 随机事件与样本空间2. 概率的基本概念和性质3. 条件概率与乘法定理4. 全概率公式与贝叶斯公式5. 随机变量的概念和性质6. 随机变量的分布函数与概率密度函数7. 期望值与方差的概念和计算8. 典型离散分布和连续分布9. 抽样分布与统计推断10. 统计图表和统计量的应用。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：平面
考点
学习目标
核心素养
了解平面的概念，会用图形与字母
平面的概念
直观想象
表示平面
点、线、面的 能用符号语言描述空间中的点、直 直观想象
位置关系 线、平面之间的位置关系
能用图形、文字、符号三种语言描 三个基本事实
述三个基本事实， 及推论
理解三个基本事实的地位与作用
直观想象、 逻辑推理
问题导学 预习教材 P124－P127 的内容，思考以下问题： 1．教材中是如何定义平面的？ 2．平面的表示方法有哪些？ 3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？ 4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
■名师点拨 (1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进 行度量． (2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
2．点、线、面之间的关系及符号表示
A 是点，l，m 是直线，α，β 是平面．
文字语言
符号语言
A在l上
A___∈____l
A在l外
A___∉____l
A在α内
A___∈____α
(3)平面的表示方法 我们常用希腊字母 α，β，γ 等表示平面，如平面 α、平面 β、平面 γ 等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代 表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文 字母作为这个平面的名称．如图中的平面 α，也可以表示为平面
_A__B_C_D__、平面__A_C____或者平面__B__D___．
三点共线、三线共点问题 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB、AA1 的中点．求证： CE，D1F，DA 三线交于一点．
【证明】 连接 EF，D1C，A1B， 因为 E 为 AB 的中点， F 为 AA1 的中点，所以 EF═ ∥12A1B.
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感成见与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。
教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条直角直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行平行线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把作出以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。
逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。
变式1、如果直线两两交汇，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的二点，过其中任意三点可以三维空间确定一个平面，由这四个一两个点能确知几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面曲面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。
数学高中必修二知识点总结必看
数学高中必修二知识点总结必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，练，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些数学高中必修二知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。
高一年级数学必修二知识点总结【两个平面的位置关系】(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。
a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
【两平面垂直】两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)。
高二数学必修二知识点归纳一、直线与圆：1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。
数学高中必修知识点总结(实用11篇)
数学高中必修知识点总结（实用11篇）数学高中必修知识点总结第1篇一、平面的基本性质与推论1、平面的基本性质：公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内;公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：直线与直线-平行、相交、异面;直线与平面-平行、相交、直线属于该平面(线在面内，最易忽视);平面与平面-平行、相交。
3、异面直线：平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);所成的角范围(0，90】度(平移法，作平行线相交得到夹角或其补角);两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交(反证);异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线所成的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角二、空间中的平行关系1、直线与平面平行(核心)定义：直线和平面没有公共点判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出)性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行2、平面与平面平行定义：两个平面没有公共点判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线三、空间中的垂直关系1、直线与平面垂直定义：直线与平面内任意一条直线都垂直判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质：垂直于同一直线的两平面平行推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度2、平面与平面垂直定义：两个平面所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角)判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直数学高中必修知识点总结第2篇一.随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件;(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A 是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。
【高中数学必修二】2.1.1平面的基本性质
符号语言：
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有 一个平面
判断:1)经过空间任意三点有且只有一个平面( ) 2)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这 两个平面就重合为一个平面( ) 3)两个相交平面有不在同一条在直线上的三个公 共点( )
小结
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面 相交的画法；
王新敞
奎屯 新疆
3.点、直线、平面间基本关系的文字 语言,图形语言和符号语言。
文字语言：
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言：
β
α
P
l
符号语言：
P 且P l且P l
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线。
判断:1)如果平面α 与平面β相交，那 么它们只有有限个 公共点（ ） 2)过一条直线的平 面有无数多个( )
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有 一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有 且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P
墙面β
β
α
P
l
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的 点都在这个平面内）。 这是判断一条直线是否在一个平面内的依据.
高中数学必修2知识点总结02点直线与平面的位置关系
高中数学必修2知识点总结02点、直线、平面的位置关系点、直线、平面是构成空间几何体基本元素，研究它们之间的性质以及相互之间的位置关系，是研究空间几何体性质的一般方法。
教材要求：理解空间中点、直线、平面的位置关系；学会用数学语言表述有关平行、垂直的判定与性质，并对某些结论进行论证；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理等一、直线与平面位置关系高考考试内容及考试要求：考试内容：1、平面及其基本性质；2、平行直线；对应边分别平行的角；异面直线所成的角；异面直线的公垂线；异面直线的距离；3、直线和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定与性质；点到平面的距离；斜线在平面上的射影；直线和平面所成的角；三垂线定理及其逆定理；4、平行平面的判定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的判定与性质；考试要求：1、掌握平面的基本性质；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系。
2、掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离；3、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理；4、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
二、空间中的平行关系课标要求：1．平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系
分类的依据是什么？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
两个平面平行或相交的画法及表示
m
//
=m
2.1
直线、平面平行的 判定及其性质
主要内容
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直
线 a // a, •b // b ，把 与a 所b 成的锐角（或直角）叫
做异面直线a与b所成的角．
b
a
b
b
O
a
O aa
异面直线所成的角
探究
我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系：
共面直线
相交直线: 同一平面内，有且只有一 个公共点；
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
空间中的平行线具有传递性
定理的应用
A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
C
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，
即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已
知的条件怎样找这条直线？
定理的应用
A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
人教A版高中数学必修二讲义第八章 8.4 8.4.1
8.4.1平面知识点一平面的概念平面的概念及表示( 1)概念:几何里所说的“平面”是从生活中的物体中□01抽象出来的,是□02向四周无限延展的．( 2)平面的画法:①常用□03矩形的直观图,即平行四边形表示平面．当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成□04横向;当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成□05竖向．如图a.②在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常□06把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些．如图b.( 3)表示法:可以用□07希腊字母α,β,γ等来表示;用□08两个大写的英文字母( 表示平面的平行四边形的相对的两个顶点)来表示;用□09四个大写的英文字母( 表示平面的平行四边形的□10四个顶点)来表示．知识点二点、线、面之间的关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达知识点三平面的基本性质1．解决立体几何问题首先应过好文字语言、符号语言和图形语言三大语言关,即实现这三种语言的相互转换,正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义,恰当地用符号语言描述图形语言,将图形语言用文字语言描述出来,再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候,要注意符号语言所代表的含义,作直观图时,要注意线的实虚．2．对于证明几点( 或几条直线)共面的问题,先由其中几个点( 或几条直线)确定一个平面后,再证明其他点( 或直线)也在该平面内即可．3．证明三点共线通常采用以下方法:( 1)首先找出两个平面,然后证明这三个点都是这两个平面的公共点,由基本事实3可知这些点都在交线上;( 2)先由其中任意两点确定一条直线,再证明另一点也在这条直线上．4．证明三线共点,可先由两条直线交于一点,而这个点分别在两个平面内,这两个平面的交线就是第三条直线,由基本事实3可知该点在第三条直线上,即三线共点．1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)平行四边形是一个平面．( )( 2)若A∈a,a⊂α,则A∈α.( )( 3)两个平面的交线可能是一条线段．( )( 4)经过一条直线和一个点,有且只有一个平面．( )答案( 1)×( 2)√( 3)×( 4)×2．做一做( 1)如图所示,用符号语言表示以下各概念:①点A,B在直线a上:________;②直线a在平面α内:________;③点D在直线b上,点C在平面α内:________.( 2)若平面α与平面β相交于直线l,点A∈α,A∈β,则点A________l;其理由是__________________________．( 3) 根据图,填入相应的符号:A________平面ABC,A________平面BCD,BD________平面ABC,平面ABC∩平面ACD＝________.答案( 1)①A∈a,B∈a②a⊂α③D∈b,C∈α( 2)∈同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上( 3)∈∉⊄AC题型一平面概念的理解例1( 1)下列命题:①书桌面是平面;②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;③有一个平面的长是50 m,宽为20 m;④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________;( 2)下图中的两个相交平面,其中画法正确的是________．[详细解析]( 1)由平面的概念,知它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确．( 2)对于①,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画,因此①的画法不正确．同样的道理,也可知②、③图形的画法不正确,④中图形的画法正确．[答案]( 1)1( 2)④平面概念的理解及特点( 1)平面是一个只描述而不定义的原始概念,它是由平时生活中常见的平面抽象出来的,是理想的,是无限延展的,是无厚薄、大小的．( 2)要注意平面具有如下特点:①平面是平的;②平面是没有厚度的;③平面是无限延展而没有边界的;④平面是由空间的点、线组成的无限集合;⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．下列四种说法正确的是________．①平面的形状是平行四边形;②任何一个平面图形都可以表示平面;③平面ABCD的面积为100 cm2;④空间图形中,后作的辅助线都是虚线．答案②详细解析①错误,通常用平行四边形表示平面,但平面的形状不一定是平行四边形;③错误,平面不能度量;④错误,看不到的线画成虚线.题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例2根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．( 1)点P与直线AB;( 2)点C与直线AB;( 3)点M与平面AC;( 4)点A1与平面AC;( 5)直线AB与直线BC;( 6)直线AB与平面AC;( 7)平面A1B与平面AC.[详解]( 1)P∈AB.( 2)C∉AB.( 3)M∈平面AC.( 4)A1∉平面AC.( 5)AB∩BC＝B.( 6)AB⊂平面AC.( 7)平面A1B∩平面AC＝AB.三种语言的转换方法( 1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着先用文字语言表示,再用符号语言表示．( 2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别．( 1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．①A∉α,a⊂α:________;②α∩β＝a,P∉α且P∉β:________;③a⊄α,a∩α＝A:________;④α∩β＝a,α∩γ＝c,β∩γ＝b,a∩b∩c＝O:________.( 2)根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形．①A∈α,B∉α;②l⊂α,m∩α＝A,A∉l;③P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.答案( 1)①C②D③A④B( 2)见详细解析详细解析( 2)①点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①.②直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图②.③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图③.题型三线共面问题例3已知直线b∥c,且直线a与b,c都相交,求证:直线a,b,c共面．[证明]∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α,设a∩b＝A,a∩c＝B,∴A∈a,B∈a,A ∈b,B∈c,又b⊂α,∴A∈α,同理B∈α,即a⊂α,∴三线共面．[条件探究]在本例中,若直线a∥b∥c,直线l∩a＝A,l∩b＝B,l∩c＝C,又该如何证明直线a,b,c,l共面?证明如图所示．∵a∥b,∴a,b可确定一个平面α.又l∩a＝A,l∩b＝B,∴A∈a,B∈b,A∈α,B∈α.∴AB⊂α.又A∈l,B∈l,∴l⊂α.又b∥c,∴b,c可确定一个平面β.同理l⊂β.∵平面α,β均经过直线b,l,且b和l是两条相交直线,∴l与b确定的平面是唯一的．∴a,b,c,l四线共面．证明多线共面的两种方法( 1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内．( 2)重合法:即先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内．下列说法中正确的是( )A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内答案 D详细解析经过同一条直线上的三点有无数个平面,故A不正确;当两两相交的三条直线相交于一点时,可能确定三个平面,故B不正确;有三个角为直角的四边形不一定是平面图形,如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,四边形ACC1D1满足∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°,但四边形ACC1D1不是平面图形,故C不正确;和同一条直线相交的三条平行直线一定共面,故选D.题型四点共线问题例4如图,已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB,BC,AC延长后分别交平面α于点P,Q,R.求证:P,Q,R三点在同一条直线上．[证明]证法一:由已知AB的延长线交平面α于点P,根据基本事实3,平面ABC与平面α必相交于一条直线,设为l.∵P∈直线AB,∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P,∴P∈平面α,∴P是平面ABC与平面α的公共点．∵平面ABC∩α＝l,∴P∈l.同理,Q∈l,R∈l.∴P,Q,R三点在同一条直线l上．证法二:∵AP∩AR＝A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α＝P,AC∩α＝R,∴平面APR∩α＝PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR,又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线．点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法:( 1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上;( 2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线．证明∵MN∩EF＝Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF,又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD.∴M,N∈平面ABCD,∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.题型五线共点问题例5如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,B1P＝2P A1,C1Q＝2QA1.求证:直线AA1,BP,CQ相交于一点．[证明]如图,连接PQ.由B1P＝2P A1,C1Q＝2QA1,得PQ∥B1C1,且PQ＝13B1C1.又BC綊B1C1,∴PQ∥BC,且PQ＝13BC,∴四边形BCQP为梯形,∴直线BP,CQ相交,设交点为R,则R∈BP,R∈CQ.又BP⊂平面AA1B1B,CQ⊂平面AA1C1C,∴R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C,∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上,即R∈AA1,∴直线AA1,BP,CQ相交于一点．证明线共点问题的步骤证明三线共点的思路是:先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这个点,把问题归结为证明点在直线上的问题．在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC ＝DH ∶HA ＝1∶3.求证:EF ,GH ,BD 交于一点．证明 如图所示,连接GE ,HF . ∵E ,G 分别为BC ,AB 的中点,∴GE ∥AC .又DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝1∶3, ∴HF ∥AC ,∴GE ∥HF , ∴G ,E ,F ,H 四点共面． 又GE ＝12AC , HF AC ＝DF DC ＝14,∴EF 与GH 不平行,∴EF 与GH 相交．延长EF ,GH ,设交点为O ,则O ∈平面ABD ,O ∈平面BCD ,而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ,∴O ∈BD .即EF ,GH ,BD 交于一点O .1．在空间中,下列结论正确的是( ) A ．三角形确定一个平面 B ．四边形确定一个平面C ．一个点和一条直线确定一个平面D ．两条直线确定一个平面 答案 A详细解析空间四边形不能确定一个平面,因此B错误;若点在直线上,则有无数个平面,因此C错误;若两条直线重合,则有无数个平面,因此D错误．2．两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对答案 C详细解析若三个点在同一直线上,则两平面可能相交;若这三个点不在同一直线上,则这两个平面重合．3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )A．0 B．1 C．0或1 D．1或3答案 D详细解析当三条互相平行的直线共面时,可确定1个平面;当三条互相平行的直线不共面时,可确定3个平面．4．如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1.( 1)AC∩BD＝________;( 2)平面AB1∩平面A1C1＝________;( 3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.答案( 1)O( 2)A1B1( 3)B1详细解析( 1)AC,BD同在平面ABCD中,交于点O.( 2)平面AB1与平面A1C1相交,交线为A1B1.( 3)A1B1,B1B,B1C1三条直线交于一点B1.5．如图,△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求证:AA1,BB1,CC1交于一点．证明如图所示,∵B1C1∥BC,∴B1C1与BC确定一个平面,记为平面β.同理,将C1A1与CA所确定的平面记为平面γ. 易知β∩γ＝C1C.∵△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,∴AA1与BB1相交,设交点为P,P∈AA1,P∈BB1.而AA1⊂γ,BB1⊂β,∴P∈γ,P∈β,∴P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C,∴P∈C1C,∴AA1,BB1,CC1交于一点．。
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高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点
平面的基本性质
教学目标
1、知识与水平：
(1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论.
(2)能使用公理和推论实行解题.
2、过程与方法：
(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;
(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感态度与价值观：
培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提升学生的审美水平和空间想象的水平。
教学重点
平面的三条基本性质即三条推论.
教学难点
准确使用三条公理和推论解题.
教学过程
一、问题情境
问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面?空间互相平行的三条直线呢?
问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内?
二、温故知新
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
把以上各公理及推论实行对比：
三、数学使用
基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.
证明：——公理3推论1
——公理1
同理可证，,直线AD、BD、CD共面
【解题反思1】1。
逻辑要严谨
2.书写要规范
3.证明共面的步骤：
(1)确定平面——公理3及其3个推论
(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1
(3)作出结论。
变式1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面?(口答)
变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点能够确定一个平面，由这四个点能确定几个平面?
变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形
吗?(口答)
(2)已知直线满足：;求证：直线
证明：——公理3推论3
——公理1
直线共面
提升训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.
思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。
因而能够开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。
证明：
——公理3推论3
——公理3推论3
——公理1
所以，平面同时经过两条相交直线所以平面重合。
——公理3推论
2
直线共面
上面方法称为同一法
拓展训练：如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF：FC=DH：HA=2：3;求证：EF、GH、BD交于一点.[渗透空间问题平面化思想]
思路分析：思路1：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线
在一个面内，并且相交，然后证明交点在两个平面上，据公理2知它
在两面的交线——第三条直线上，所以证得三线共点。
证法1：连接，
因E、G分别是BC、AB的中点，故因DF：FC=DH：HA=2：3,故——
公理4
共面，由上知，相交，设交点为O,则平面,平面,
所以直线所以EF、GH、BD交于一点。
思路2：首先证明直线GH、BD交于一点P,直线EF、BD交于一点Q，然后证明两点P、Q重合，进而得出EF、GH、BD交于一点。
证法法2：提示：过点H作HO,使得,交点为O，连接OF，证明,
延长GH,EF,使它们与直线BD分别交于点P、Q，由三角形相似能够
得出OP=OQ.所以点P、Q重合。
链接生活：在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P、Q、R
的平面截得木头的截面形状.
【解题反思2】1。
逻辑要严谨
2.书写要规范
3.方法要掌握
(1)证明共面的步骤：
1)确定平面——公理3及其3个推论——公理3及3个推论
2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1
3)作出结论。
(2)证明共线的步骤：
①证所有点在第一个面内(如平面)——公理1
②证所有点在第二个面内(如平面)——公理1
③结论1：所有点在两个平面的交线上
④结论2：所有点共线——公理2
(3)证明共点的步骤：
1)证交于一个点——公理3及3个推论
2)证此点在二个面内(如平面)——公理1
3)结论1：此点在两个平面的交线上——————公理2
4)结论2：三条线共点
四、回顾小结
本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题.
五、课外作业(见所发的前置作业)
反馈练习
[1.2.1平面的基本性质(2)]
1、经过同一直线上的3个点的平面()
A、有且只有1个
B、有且只有3个
C、有无数个
D、有0个
2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是()
A、1或2
B、2或3
C、1或3
D、1或2或3
3、与空间四点距离相等的平面共有()
A、3个或7个
B、4个或10个
C、4个或无数个
D、7个或无数个
4、四条平行直线最多能够确定()
A、三个平面
B、四个平面
C、五个平面
D、六个平面
5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有个.
6、给出以下四个命题：
①若空间四点不共面，则其中无三点共线;
②若直线l上有一点在平面外，则l在外;
③若直线、、中，与共面且与共面，则与共面;
④两两相交的三条直线共面.
其中所有准确的命题的序号是.
7.点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为()
A.B.C.D.8.下列推理，错误的是()
A.B.C.D.9.下面是四个命题的叙述语(其中A、B表示点，表示直线，表示平面)
①②③④其中叙述方法和推理过程都准确的命题的序号是
_______________.
10、已知A、B、C不在同一条直线上，求证：直线AB、BC、CA共面.
11、求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内.
已知：直线、、且，，;
求证：直线、、共面.
12、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
①AA1与CC1能否确定一个平面?为什么?
②点B、C1、D能否确定一个平面?为什么?
③画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线.
13、两两相交且不共点的四条直线共面.(注：有两种情形，见图，试分别证之)。