线性代数模拟试卷一及答案

线性代数模拟试卷一及答案

线性代数模拟试卷一及答案一、填空题 1.行列式D 中第2行元素的代数余子式之和A21+11-11111-11111-10120??3?4??A22+ A23+A24=，其中D=111。

2.设3??2?阶矩阵A??0?0?,则A?1等于。

3.设向量组?1,?2,?3线性相关，而向量组?2,?3,?4线性无关，则向量组?1,?2,?3的最大线性无关组是。阶实对称矩阵A的特征值为2、5、5，A属于特征值2的特征向量是?1?T，则A属于特征值5的两个线性无关的特征向量可以取为__。2x4?3???4??4???2?_；?3?5.已知3则x?5?阶矩阵A??4?6?和3?1?阶矩阵对角矩阵B??0?0?0200??0?相似,3???___ _____。二、单项选择题 1.设向量组?1

A.?C.??0???,1,1?T,?2??1,?,1?T,?3??1,1,??线性相关，则必有T 或??1

B.?

D.???1 或??2 ?1 或??2 ?1 或???2 2.设?是n维列向量，?为实数，则向量λα的长度??= A.?? ( ) nB.??? C.?n?? D.??? 第1页 3.若向量组?1,?2,?,?r可另一向量组?1,?2,?,?s线性表示，则( ) ?s r(?1,?2,?,?s) ?s r(?1,?2,?,?s)(?1,?2,?,?r）?(?1,?2,?,?r）? 4．设n阶矩阵A与B相似，则必有,B 同时可逆或同时不可逆,B均与同一个对角矩阵相似 5. 设A为n阶矩阵，满足A2A. C. AA -A与λ,B有相同的特征向量 D.矩阵λE，且A1B. D. AAE相等=A，则为可逆矩阵为不可逆矩阵为零矩阵为对称矩阵三、计算题1?1302011043426371.计算行列式D?32?1的值骣1??2.设A=??1???0桫0-11骣1÷3?÷?÷?10÷B=，?÷?÷?÷?2÷0桫1÷÷÷0÷，X÷÷÷4÷为未知矩阵，且满

足：AX=B=B。求逆矩阵A-1；解矩阵方程AX 。骣骣骣骣骣112鼢21 珑鼢珑珑鼢珑鼢鼢鼢珑珑-1 鼢鼢0215珑鼢珑鼢珑鼢鼢3.已知一个向量组为α1=珑,α=,α=,α=,α=35珑鼢2珑鼢4 珑珑 3 2鼢03鼢-1鼢鼢珑珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑-1 1124桫桫桫桫桫求该向量组的一个极大线性无关组及该向量组的秩；并把其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。?x1?3x2?x3?2x4?4??2x1?7x2? 4x3?3x4?64. 解线性方程组??x1?4x2?3x3?x4?2?3x2?6x3?3x4??6? 并将全部解用对应的齐次线性方程组的基础解系线性表示。第2页?3?A?5.求矩阵??1?0?0201??1?的全部特征值和特征向量。3?? 6. 已知实二次型f(x1,x2,x3)=x1-2x2+x3+2x1x2-4x1x3+2x 2x3, 222写出其矩阵表达形式;求可逆线性变换X形。=CY，将其化为

标准四、证明题 1.若A是n阶对称的可逆矩阵,证明：A-1也是对称矩阵. 骣2??阶实对称矩阵A=??-1???-3桫-124-3÷÷÷4÷，证明：A÷÷÷9÷2.给定3为正定矩阵。第3页线性代数统考试卷参考答案与评分标准线性代数统考试卷参考答案与评分标准

一、填空题??1/2?；

2.?0?0?0?21??TT3/2；

3.?2,?3；

4.；。，??1/2??0二、单项选择题；；；4．A；。三、计算题1-1302293-19293-22-1-21-1÷÷÷-1÷

÷÷÷1÷04342637=1000-1621043420-191.解：D=32-1 4分1=0001=000-1100-110004-5-504-50骣2??=??2???-1桫7分=110 10分2.解：A-14分X=A骣2珑珑珑2珑珑珑珑-1桫-1B 骣-1鼢3鼢鼢-1鼢1鼢鼢鼢1鼢0桫0111骣5 0= 4 -24桫-2-32-2 -2 3 7分10分-1-213.解：以α1,α2,α3,α4,α5为列向量组

作矩阵A，并施行初等行变换，直至化成行简化阶梯形第1页线性代数统考试卷参考答案与评分标准骣1珑珑珑0珑A=珑珑珑2珑珑珑珑1桫骣1???0?????0????0桫0100120121323/21/20025-1400101鼢鼢鼢-1鼢鼢鼢鼢3鼢鼢鼢鼢-1鼢1÷÷÷2÷÷÷÷-1÷÷÷÷0÷骣1000桫12-2021-1025-521-11-2 4分该向量组的一个极大线性无关组可取为：α1,α2,α4 r(α1,α2,α3,α4,α5)=3 3126分8分10分4-2-2-6且：a3=2骣1珑珑珑2珑珑4.解：A=珑珑1珑珑珑珑0桫α1+α2+0×α4；a5=α1+2α2-α4 374351436231-310÷÷÷-2÷÷÷÷0÷÷÷÷0÷4鼢鼢鼢6鼢鼢鼢鼢2鼢鼢鼢鼢-6鼢骣1000桫311312262-1-1-3 骣1???0?????0????0桫0100-5200-1005分ì?x1=10+5x3-5x4一般解：?，x3,x4为自未知量í?x2=-2-2x3+x4??7分通解为：?x1??x2?x?3?x?4??5???5??10?? ?????????2??1???2?c1,c2为任意常数。

10

分?c?c?1?2??????100???????????????0? ?1??0??λ?30λ?20?1?1λ?3=(λ?2)(λ?3) 25.解：λE?A=103分所以得A的全部特征值为：?1?2,?2??3?3 T5分对?1?2，得特征向量a1=，对应于?1?2的全部特征向量为k1a1,k110；第2页8分线性代数统考试卷参考答案与评分标准对?2??3?3，得特征向量a2=(1,-1,0)，对应λ2=λ3=3的全部特征向量为k2α2,k210 骣1珑珑fx1,x2,x3)=f=x1+2x1(x2-2x3)+(x2-2x3)-2 x2+x3+2x2x3-(x2-2x3)

2=(x2221+x2-2x3)-3x2+6x2x3-3x3

=(x21+x2-2x3)- ì??y1=x 令：?1+x2-2x3?í?y2=x2-x3，????y3=x3ì??x1=y1-y2+y即所做可逆线性变换?3?í?x2=y2+y3 ????x3=y3可将原二次型化成标准型： 1.证明：因为AT=A，A可逆那么：(A-1)T=(AT)-1 =A-1 所以A-1也是对称矩阵。2.