第三章晶格振动和晶体的热学性质
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1 2
—最简单的一维双原子链的色散关系
1)色散曲线
1 2 mM 4mM 2 2 1 (q ) 1 1 sin qa o， 光 学 支 格 波 （ 光 学 波 ） ； 2 m M (m M ) 2 1 2 mM 4mM 2 2 1 (q ) sin qa A， 声 学 支 格 波 ， 声 学 波 1 1 2 m M (m M ) 2 （acoustics）
A B ) m M
(
;
MA mB 0
长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说， 长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
光学波
声学波
光学支格波，相邻原 子振动方向是相反的。
声学支格波，相邻原子振 动方向是相同的。
模型
一维问题的处理步骤:
运动方程
M u n ,1 u n , 2 u n 1, 2 2 u n ,1
Rn rs
。
表示平衡时顶点位矢为 R n 的原胞内第s个原子的位矢； 表示顶点位矢为
Rn
第s个原子离开平衡位置在方向的位移。 (=x, y, z)
n u s
的原胞内
Rn
rs
qa 2
) A (2 M ) B 0
上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程.
以A、B为未知数的线性齐次方程有非零解的条件为系数 行列式为零：
2 m 2 cos
2
2 cos 2 M
2
qa 2
2
qa 2
0
1 M m 2 ( M m ) 4 sin q a 0 2
(3)相邻原子的振幅之比
( 2 m ) A ( 2 cos
2
qa 2
)B 0
A
2
2 cos
qa 2
2
( 2 cos
qa 2
) A (2 M ) B 0
B
1
2 m
对 于 q 0时 :将 (
2
1
)2 和 a(
4 2 2
1 M m 2 ( M m ) 4 sin q a 0 2
4 2 2 2
解关于 的一元二次方程得：
2
mM 2 (q ) 1 mM
4mM 2 1 sin q a 1 2 (m M ) 2
类似于前面的讨论，可取解的形式为： 代入运动方程得：
( 2 m ) A ( 2 cos
2
qa 2
)B 0
2
( 2 cos
qa 2
) A (2 M ) B 0
( 2 m ) A ( 2 cos
2
qa 2
)B 0
2
( 2 cos
把U(r)在平衡位置r0附近作泰勒展开：
当δ很小时，作二级近似
恢复力 ------简谐近似
----胡克定律 ( 为倔强系数)
研究一维单原子链的振动 模型：设一维单原子链中，原子间距(晶格常量)为a， 总长为 L = Na , N为原子总数（晶胞数 ） ，原子质量为m。
第n个粒子的受力情况：
运动方程：
原胞内原子的自由度数=1
晶体的自由度数=N
1支格波
频率数为N
一维双原子链，设晶体有N个原胞。 原胞内原子的自由度数=2 2支格波
晶体的自由度数=2N
频率数为2N
第一布里渊区
点阵常数为 a 的一维点阵 第一BZ就是 点阵常数为
a ~
a
的区域
a 的二维正方点阵
第一 BZ就是 ： a a （横轴）、
2
m a / 2 q
与 速度 之间是线性关系
v ma / 2
（弹性波的特点）
声学支格波（声学波）: 长声学波为弹性波；频率较低
q 0, 0
(2)q空间的周期对称性
色散关系
2
qa sin m 2
具有周期对称性，周期为 2 / a
试探解
m u n , 2 u n 1,1 u n ,1 2 u n , 2
m M 2 (q ) 1 mM 4mM 2 1 1 s in q a 2 (m M ) 2
( l 只能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格 振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
二、一维双原子链的振动
（揭示复式格子振动的基本特点）
模型:一维无限长双原子链，原子质量为m和M，且m<M。 原胞长仍为a，两原子之间的距离为 a / 2 ,恢复力系数为。 总长为 L = Na , N为原胞总数。
得：qNa 2 l
l =0，±1，±2……等整数
(
在第一布里渊区，q取值在区间
, a a
)
对应于
N / 2l N / 2
( l 只能取N个值)
与单原子链比较可知，对应于每个波矢q，一维双原子链出现 了两个频率不同的振动模式。由于不等价的q的数目与原胞数 目相等，因此，双原子链共有2N个不同的振动模式。（N个波 矢数，2N个频率数）
1 2
色散关系
波矢q范围 B--K条件
π a
q
π a
u n ,1 u ( n N ),1
q 2 a l N
( N / 2l N / 2)
波矢q取值
格波的支数=原胞内原子的自由度数， 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数。 一维单原子链，设晶体有N个原胞。
i ( qna t )
,即
第一布里渊区
在晶格中具有物理意义的波矢仅存在于 / a q / a 的区间 举例说明 u n Ae
(1) (2)
对格点振动有贡献的是原 子，两原子之间的振动在 物理上没有意义。
/a q /a
第一布里渊区（倒格子空间）
倒格子空间-波矢空间
O
2
2 m 2 M
A
π a
o
π a
q
2)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
mM 2 (q ) 1 mM 4mM 2 1 sin q a 1 2 (m M ) 2
1 2
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
2 mM
)2 q 分别代入原方程 ：
得两原子的振幅之比为：
2
(
A B
Βιβλιοθήκη Baidu
)
m M
;
(
A B
) 1.
2 m 2 M
O
A
长光学波
长声学波
π a
o
π a
q
长声学波
长声学支格波相邻原子都是沿着同一方向振动的。
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子 以相同的振幅和位相作整体运动。因此，长声学波代表了 原胞质心的运动。 长光学波:
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
晶格振动：组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以 格点为平衡位置作热振动
晶格振动的强弱依赖于温度，对晶体热学性质起重要作用 （热容、热膨胀和热传导等）。另外，对晶体的光学性质
和电学性质等也有重要影响。
点阵动力学的建立
1907年，Albert Einstein发表了题为“Planck辐射理论与比热 的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典 力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。 1912年，Peter Joseph William Debye认识到，Einstein提出 的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体 中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近 似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，Max Born和Theodore von Karman发表了题为“论空间 点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形 式存在，是点阵动力学的奠基之作。 1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、 电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在 Max Born和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。 1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。
(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件 （周期性边界条件）
a
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u 1 u N 1
即： N为晶格中的原子个数（晶胞数 ）
Ae
i ( qa t )
Ae
i [ q ( N 1) a t ]
u n Ae
（折合质量）
O
2
2 m 2 M
A
/a q /a
第一布里渊区
π a
o
π a
q
在q
0时长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的
情况类似。
光学支名字的由来，是由于在离子晶体中，可用远红外
光波的电磁场激发此格波。
光学支频率的变化不大；在声学支的频率极大值和光
学支的频率极小值之间，存在一个频率空隙。
a
a
（纵轴）的正方形
2 a
2
面积为：
第一BZ为一个原胞的大小
§3.2
模型:
三维晶格的振动
设三维无限大的晶体,每个原胞中有p个原子，相当于每个 基元有p个原子，各原子的质量分别为
m 1 , m 2 , , m p ;
原胞中
这p个原子平衡时的相对位矢分别为 r1 , r2 , , r p
质量为M的原子编号为:· · ·n-1,1、 n,1、n+1,1、· · · 质量为m的原子编号为:· · ·n-1,2、 n,2、n+1,2、· · ·
2 设 1u n ,, 、 u n 是相应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
M u n ,1 2 u n ,1 u n , 2 u n 1, 2 m u n , 2 2 u n , 2 u n 1,1 u n ,1
i ( qna t )
u 1 u N 1
Ae
i ( qa t )
Ae
i [ q ( N 1) a t ]
e
iqNa
1
l =0，±1，±2……等整数
得： qNa 2 l
q 2 l Na
在第一布里渊区，q取值为 对应于
N / 2l N / 2
/a q /a
色散概念来自于光学，不同频率的光在同一介质中的传播速
度不同，于是产生色散，频率与波矢之间的关系叫色散关系
讨论：
（1）长波极限 由于周期性，考虑 0 q / a 的区间 当
q 2 / 0
qa qa sin m sin m 2 2
假设晶格足够长，可忽略边界。以行波作试探解，即
u n Ae
代入运动方程得： 利用 得：
i ( qna t )
，和
即： 2
qa qa sin m sin m 2 2
其中
m 2
m
一维Bravais格子的色散关系
（频率与波矢之间的关系）
本章主要内容：
先讨论简谐晶体的经典运动，建立原子的运动方程，
得到 晶格振动的能量和频率并讨论其色散关系。 对简谐晶体进行量子力学处理，将多体问题化为单体 问题，并建立声子的概念（晶格振动波的能量量子） 晶格振动谱的实验测定原理和方法。
对晶体的热学性质，即比热、热膨胀和热导率等进行讨论
§3.1 一维晶格的振动
一、一维单原子链的振动
（简单格子，揭示晶格振动的基本特点）
研究固体中原子振动时的两个假设:
每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格点上. 原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可用谐振近似
. 二原子间的相互作用能 两原子之间的相互作用能为U(r)，r为两原子间的距离；
—最简单的一维双原子链的色散关系
1)色散曲线
1 2 mM 4mM 2 2 1 (q ) 1 1 sin qa o， 光 学 支 格 波 （ 光 学 波 ） ； 2 m M (m M ) 2 1 2 mM 4mM 2 2 1 (q ) sin qa A， 声 学 支 格 波 ， 声 学 波 1 1 2 m M (m M ) 2 （acoustics）
A B ) m M
(
;
MA mB 0
长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说， 长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
光学波
声学波
光学支格波，相邻原 子振动方向是相反的。
声学支格波，相邻原子振 动方向是相同的。
模型
一维问题的处理步骤:
运动方程
M u n ,1 u n , 2 u n 1, 2 2 u n ,1
Rn rs
。
表示平衡时顶点位矢为 R n 的原胞内第s个原子的位矢； 表示顶点位矢为
Rn
第s个原子离开平衡位置在方向的位移。 (=x, y, z)
n u s
的原胞内
Rn
rs
qa 2
) A (2 M ) B 0
上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程.
以A、B为未知数的线性齐次方程有非零解的条件为系数 行列式为零：
2 m 2 cos
2
2 cos 2 M
2
qa 2
2
qa 2
0
1 M m 2 ( M m ) 4 sin q a 0 2
(3)相邻原子的振幅之比
( 2 m ) A ( 2 cos
2
qa 2
)B 0
A
2
2 cos
qa 2
2
( 2 cos
qa 2
) A (2 M ) B 0
B
1
2 m
对 于 q 0时 :将 (
2
1
)2 和 a(
4 2 2
1 M m 2 ( M m ) 4 sin q a 0 2
4 2 2 2
解关于 的一元二次方程得：
2
mM 2 (q ) 1 mM
4mM 2 1 sin q a 1 2 (m M ) 2
类似于前面的讨论，可取解的形式为： 代入运动方程得：
( 2 m ) A ( 2 cos
2
qa 2
)B 0
2
( 2 cos
qa 2
) A (2 M ) B 0
( 2 m ) A ( 2 cos
2
qa 2
)B 0
2
( 2 cos
把U(r)在平衡位置r0附近作泰勒展开：
当δ很小时，作二级近似
恢复力 ------简谐近似
----胡克定律 ( 为倔强系数)
研究一维单原子链的振动 模型：设一维单原子链中，原子间距(晶格常量)为a， 总长为 L = Na , N为原子总数（晶胞数 ） ，原子质量为m。
第n个粒子的受力情况：
运动方程：
原胞内原子的自由度数=1
晶体的自由度数=N
1支格波
频率数为N
一维双原子链，设晶体有N个原胞。 原胞内原子的自由度数=2 2支格波
晶体的自由度数=2N
频率数为2N
第一布里渊区
点阵常数为 a 的一维点阵 第一BZ就是 点阵常数为
a ~
a
的区域
a 的二维正方点阵
第一 BZ就是 ： a a （横轴）、
2
m a / 2 q
与 速度 之间是线性关系
v ma / 2
（弹性波的特点）
声学支格波（声学波）: 长声学波为弹性波；频率较低
q 0, 0
(2)q空间的周期对称性
色散关系
2
qa sin m 2
具有周期对称性，周期为 2 / a
试探解
m u n , 2 u n 1,1 u n ,1 2 u n , 2
m M 2 (q ) 1 mM 4mM 2 1 1 s in q a 2 (m M ) 2
( l 只能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格 振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
二、一维双原子链的振动
（揭示复式格子振动的基本特点）
模型:一维无限长双原子链，原子质量为m和M，且m<M。 原胞长仍为a，两原子之间的距离为 a / 2 ,恢复力系数为。 总长为 L = Na , N为原胞总数。
得：qNa 2 l
l =0，±1，±2……等整数
(
在第一布里渊区，q取值在区间
, a a
)
对应于
N / 2l N / 2
( l 只能取N个值)
与单原子链比较可知，对应于每个波矢q，一维双原子链出现 了两个频率不同的振动模式。由于不等价的q的数目与原胞数 目相等，因此，双原子链共有2N个不同的振动模式。（N个波 矢数，2N个频率数）
1 2
色散关系
波矢q范围 B--K条件
π a
q
π a
u n ,1 u ( n N ),1
q 2 a l N
( N / 2l N / 2)
波矢q取值
格波的支数=原胞内原子的自由度数， 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数。 一维单原子链，设晶体有N个原胞。
i ( qna t )
,即
第一布里渊区
在晶格中具有物理意义的波矢仅存在于 / a q / a 的区间 举例说明 u n Ae
(1) (2)
对格点振动有贡献的是原 子，两原子之间的振动在 物理上没有意义。
/a q /a
第一布里渊区（倒格子空间）
倒格子空间-波矢空间
O
2
2 m 2 M
A
π a
o
π a
q
2)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
mM 2 (q ) 1 mM 4mM 2 1 sin q a 1 2 (m M ) 2
1 2
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
2 mM
)2 q 分别代入原方程 ：
得两原子的振幅之比为：
2
(
A B
Βιβλιοθήκη Baidu
)
m M
;
(
A B
) 1.
2 m 2 M
O
A
长光学波
长声学波
π a
o
π a
q
长声学波
长声学支格波相邻原子都是沿着同一方向振动的。
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子 以相同的振幅和位相作整体运动。因此，长声学波代表了 原胞质心的运动。 长光学波:
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
晶格振动：组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以 格点为平衡位置作热振动
晶格振动的强弱依赖于温度，对晶体热学性质起重要作用 （热容、热膨胀和热传导等）。另外，对晶体的光学性质
和电学性质等也有重要影响。
点阵动力学的建立
1907年，Albert Einstein发表了题为“Planck辐射理论与比热 的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典 力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。 1912年，Peter Joseph William Debye认识到，Einstein提出 的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体 中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近 似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，Max Born和Theodore von Karman发表了题为“论空间 点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形 式存在，是点阵动力学的奠基之作。 1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、 电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在 Max Born和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。 1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。
(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件 （周期性边界条件）
a
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u 1 u N 1
即： N为晶格中的原子个数（晶胞数 ）
Ae
i ( qa t )
Ae
i [ q ( N 1) a t ]
u n Ae
（折合质量）
O
2
2 m 2 M
A
/a q /a
第一布里渊区
π a
o
π a
q
在q
0时长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的
情况类似。
光学支名字的由来，是由于在离子晶体中，可用远红外
光波的电磁场激发此格波。
光学支频率的变化不大；在声学支的频率极大值和光
学支的频率极小值之间，存在一个频率空隙。
a
a
（纵轴）的正方形
2 a
2
面积为：
第一BZ为一个原胞的大小
§3.2
模型:
三维晶格的振动
设三维无限大的晶体,每个原胞中有p个原子，相当于每个 基元有p个原子，各原子的质量分别为
m 1 , m 2 , , m p ;
原胞中
这p个原子平衡时的相对位矢分别为 r1 , r2 , , r p
质量为M的原子编号为:· · ·n-1,1、 n,1、n+1,1、· · · 质量为m的原子编号为:· · ·n-1,2、 n,2、n+1,2、· · ·
2 设 1u n ,, 、 u n 是相应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
M u n ,1 2 u n ,1 u n , 2 u n 1, 2 m u n , 2 2 u n , 2 u n 1,1 u n ,1
i ( qna t )
u 1 u N 1
Ae
i ( qa t )
Ae
i [ q ( N 1) a t ]
e
iqNa
1
l =0，±1，±2……等整数
得： qNa 2 l
q 2 l Na
在第一布里渊区，q取值为 对应于
N / 2l N / 2
/a q /a
色散概念来自于光学，不同频率的光在同一介质中的传播速
度不同，于是产生色散，频率与波矢之间的关系叫色散关系
讨论：
（1）长波极限 由于周期性，考虑 0 q / a 的区间 当
q 2 / 0
qa qa sin m sin m 2 2
假设晶格足够长，可忽略边界。以行波作试探解，即
u n Ae
代入运动方程得： 利用 得：
i ( qna t )
，和
即： 2
qa qa sin m sin m 2 2
其中
m 2
m
一维Bravais格子的色散关系
（频率与波矢之间的关系）
本章主要内容：
先讨论简谐晶体的经典运动，建立原子的运动方程，
得到 晶格振动的能量和频率并讨论其色散关系。 对简谐晶体进行量子力学处理，将多体问题化为单体 问题，并建立声子的概念（晶格振动波的能量量子） 晶格振动谱的实验测定原理和方法。
对晶体的热学性质，即比热、热膨胀和热导率等进行讨论
§3.1 一维晶格的振动
一、一维单原子链的振动
（简单格子，揭示晶格振动的基本特点）
研究固体中原子振动时的两个假设:
每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格点上. 原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可用谐振近似
. 二原子间的相互作用能 两原子之间的相互作用能为U(r)，r为两原子间的距离；