图灵和图灵机模型

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图灵简介
• 1935年，图灵开始对数理逻辑发生兴趣。
– 数理逻辑用数学方法，也就是用符号和公式、公理的方法去研究人的 思维过程、思维规律。
– 其起源可追溯到17世纪德国的大数学家莱布尼茨(1646—1716)，其 建立目的是一种精确的、普遍的符号语言，并寻求一种推理演算，以 便用演算去解决人如何推理的问题。
以此为对象的元理论即元数学中，证明每一个形式系统的相容性，从 而导出全部数学的相容性
• 希尔伯特纲领的目标，其实质就是要寻找通用的形式逻辑系统，该系统 应当是完备的，即在该系统中可以机械地判定任何给定命题的真伪
• 其目的是为了消除罗素悖论：S={x∣x∉S}
– 1931年，哥德尔提出的关于形式系统的“不完备性定理”中指出， 这种形式系统是不存在的，从而宣告希尔伯特纲领失败
（1912—1954）
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图灵简介
• 图灵1912年6月23日生于伦敦近郊，因父母 一度在国外，童年时缺乏父爱和母爱，自幼 起性格和行为很怪癖。
• 13岁入中学，学习成绩不是很好，只有数学 例外，演算能力特别强。此外，擅长赛跑。
• 1931年中学毕业后考入剑桥大学攻读数学， 其学位论文课题是关于概率论的中心极限定 理的，由于对前人工作一无所知，他又重新 发现了该定理。
– 但是，“计算机”到底是怎样一种机器，应该由哪些部分组成，如何 进行计算和工作，在图灵之前没有任何人清楚地说明过。
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图灵简介
• 1936年，发表了“论可计算数及其在判定问题中的应用”论 文，提出了著名的理论计算机模型——图灵机。利用这种计 算机，可以把推理化做一些简单的机械动作。
• 说来有趣，具有重大科学价值和历史意义的计算模型，并非 图灵那篇论文的主题。
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图灵机的工作原理
• 机器从给定带子上的某起始点出发，根据其初始状 态及机内五元组决定其动作，经过有限步骤机器停 止时，带子上的信息即为机器计算的结果。
• 可能产生的问题：
– 无休止工作
• 如：q1S2S2Rq3指令和q3S3S3Lq1指令同时出现在机器中时
– 产生二义性
• 如：q3S2S2Rq4和q3S2S4Lq6指令同时出现在机器中时
• 一个给定机器的程序认为是机器内的五元组 （集qiSjSkRql 或qiSjSkLql或qiSjSkNql ）形式的指令
– qi表示机器目前所处的状态 – Sj表示机器从方格中读入的符号 – Sk表示机器用来代替Sj写入方格中的符号 – R、L、N分别表示向右移一格、向左移一格、不移动 – ql表示下一步机器的状态
– 图灵机 – 几何定理的机器证明
• 对计算本质的真正认识取决于形式化研究的进程
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形式化研究进程
• 1275年，思维机器“旋转玩具” 是一种形式化的产物，标 志着形式化思想革命的开始
• 形式化方法和理论的研究起源于对数学的基础研究。
– 康托尔的集合论，成为数学的重要基础 – 希尔伯特纲领：将每一门数学的分支构成形式系统或形式理论，并在
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图灵机对例子的计算过程
S(x) = x +图灵机思想提出不到10年，世界上第一 台电子计算机诞生了
– 图灵机反映的是一种计算模型，而现代计算机正 是这种模型的具体实现
– 反映了计算学科的抽象、理论和设计3个过程
• 抽象和理论两个过程关心的是解决具有能行性和有效 性的模型问题
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实例
• 设b表示空格，q1表示机器的初始状态，q4表示机器的结束 状态，如果带子上的输入信息是10100010，读入头对准最 右边第一个为0的方格，状态为初始状态q1。按照以下规则 执行之后，输出正确的计算结果。
q1 0 1 L q2 q1 1 0 L q3 q1 b b N q4 q2 0 0 L q2 q2 1 1 L q2 q2 b b N q4 q3 0 1 L q2 q3 1 0 L q3 q3 b b N q4
• “不完备性定理”说明，有些数学问题是不能用任何机械过程来解决的， 我们应把精力集中于解决具有能行性的问题
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图灵对计算本质的揭示
• 在哥德尔研究成果的影响下，20世纪30年代后期， 图灵从计算一个数的一般过程入手对计算的本质进 行了研究，从而实现了对计算本质的真正认识
• 所谓计算，就是计算者（人或机器）对一条两端可 无限延长的纸带上的一串0和1执行指令，一步一步 地改变纸带上的0或1，经过有限步骤，最后得到一 个满足预先规定的符号串的变换过程
– 图灵那篇论文主要是回答德国大数学家戴维·希尔伯特(1862—1943) 在1900年举行的世界数学家大会上提出的著名的“23个数学难题” 中的一个问题的，这个问题涉及逻辑的完备性，即是否所有的数学问 题在原则上都是可解的。图灵的论文回答了这个问题：有些数学问题 是不可解的。
2.1 计算本质的认识历史
• 在20世纪30年代以前，人们并没有真正认识计算的 本质
– 很早以前，我国的学者认为，对于一个数学问题，只有当 确定了其可用算盘解算它的规则时，这个问题才算可解。 这就是古代中国的“算法化”思想。
• 蕴涵了计算的根本问题，即“能行性”问题 • 这对现代计算学科的研究具有重要的意义：
• 图灵的研究成果是：可计算性 = 图灵可计算性
– 任一过程是能行的（理论上的能行，能够具体表现在一个 算法中），当且仅当它能够被一台图灵机实现
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2.2 图灵机计算模型
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图灵机的特征
• 图灵机由一条两端可无限延长的带子、一个读写头 以及一组控制读写头工作的命令组成
• 写在带子上的符号为一个有穷字母表：{S0，S1，S2， Sp}
– 在莱布尼茨的思想中，数理逻辑、数学和计算机三者均出于一个统一 目的，即人的思维过程的演算化、计算机化，以至在计算机上实现。
– 但莱布尼茨的这些思想和概念还比较模糊。两个多世纪来，许多数学 家和逻辑学家沿着莱布尼茨的思路进行了大量实质性的工作，使数理 逻辑逐步完善和发展起来，许多概念开始明朗起来；
• 设计过程关心的是模型的具体实现问题
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从计算角度认知思维、视觉和生命过程
• 符号主义者认为：认知是一种符号处理过程， 因此思维就是计算（认知就是计算）
• 有关视觉认知理论的学者也把视觉看作是一 种计算
• 此外，DNA（脱氧核糖核酸）计算技术的可 行性，从一个侧面说明了生命过程也是一种 计算
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2.3 图灵简介