初一行程问题与工程问题

一元一次方程应用题2012-11-18

一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。

事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。

1.行程问题：行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。关系式为：①路程=速度×时间；②速度=路程÷时间；

③时间=路程÷速度。

可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系。在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在航行问题中很多时候还用速度作相等关系。

航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：

①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。

由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。

例1．某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？

讲评：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人，由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有：

例2 汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：若每小时行驶45km，就可以早到半小时。求A、B 两地的距离。

讲评：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问题”。在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系。本题中，设A、B两地的路程为x km，速度为40 km/小时，则时间为小时；速度为45 km/小时，则时间为（x÷45）小时，又早到与晚到之间相隔1小时，故有

例3 一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2 km。求甲、乙两地之间的距离。

讲评：设甲、乙两地之间的距离为x km，则顺流速度为（x+2）km/小时，逆流速度为（x－2）km/小时，由航行问题中的重要等量关系有：

练习题1.甲乙两站间的距离为365千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行驶65千米；慢车行驶了1小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶85千米，快车行驶几小时后与慢车相遇？

2．甲乙两人骑自行车，同时从相距45千米的两地相向而行，2小时相遇，甲比乙每小时多走2.5千米，求每小时各走多少？

3.一艘轮船在A，B两地之间航行，顺水航行用3小时，逆水航行比顺水航行多用30分钟，轮船在静水中的速度是26千米/小时，问水流的速度是多少？

4．甲乙两列火车的车长分别是144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米，两列车相向行驶，从相遇到全部错开需要9秒，问两列车速度各是多少？

2.工程问题

工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：

①工作量=工作效率×工作时间。②工作时间=工作量÷工作效率，③工作效率=工作量÷工作时间。

工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。

常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。

如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。

在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。

例4．加工某种工件，甲单独做要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

讲评：将全部任务的工作量看作整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为1/20，乙的工作效率为1/10，设乙需工作x 天，则甲再继续加工（12－x）天，

例5．4．收割一块麦地，每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割2/3后，改用新式农具，工作效率提高到原来的1.5倍，因此比预计时间提前1小时完成，那么这块地的面积是多少？

讲评：设麦地有x亩，即总工作量为x亩，改用新式工具前工作效率为4亩/小时，割完x亩预计时间为（x÷4）小时，收割2/3工作时间为（2/3x÷4）小时；改用新式工具后，工作效率为1.5×4=6亩/小时，割完剩下麦地时间为（1-2/3）x÷6小时，则实际用的时间为（2/3x÷4+1/3x÷6）小时，依题意“比预计时间提前1小时完工”有

例6. 一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？

练习题5.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，甲单独做5天后，余下的部分由甲乙两人合作，几天可以完成？

6.某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每天多加工20件，结果提前4天完成任务，问这批加工任务共有多少件？

7．某项工程，甲单独做需4小时，乙单独做需6小时，甲先做30分钟，然后两人合作，则还需多少小时才能完成工作？

8．某工程队承包了某段全长1755米的过江隧道施工任务，甲乙两个班组分别从东西两端同时掘进，已知甲组比乙组平均每天多掘进0.5米，经过5天施工，两组共掘进了45米。

（1）甲乙两个组平均每天各掘进多少米？