高等几何课件(教材全套同步课件300多页,考研复试特好学习材料)
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大学高等几何课件
空间几何体的分类
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
高等数学Ⅰ第一章课件：空间解析几何
练习题答案
一、1、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),
(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),
(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)；
4、(a, a,a), (a, a, a),(a,a, a),(a,a, a) ；
(2) 空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
1. 在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
1.2 空间直角坐标系
3、点 A ( 4 , 3 , 5 )在xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________，在 zox轴上的射影点为_________，在x 轴上 的射影 点为________，在x 轴上 的射影点为______，在 z 轴上 的射影点为_______ ;
高等几何
第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。
法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。
继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。
出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。
到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。
在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。
如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。
正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。
这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。
更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。
大学课程《高等数学》PPT课件：6-1 空间解析几何简介
例1 求点 M 2,1, 1 到 y轴的距离.
解 :过点 M 做 y 轴的垂线，其垂足点 P 的坐标
为 0,1,0 ，所以
MP 2 02 112 1 02 5
例2 设动点 M 与两定点 P1 1, 2,1，P2 2,1, 2 等距
离，求动点M 的轨迹.
解 :设动点 M x, y, z ，因为 P1M P2M ，所以
（2）已知方程 F x, y, z 0,研究此方程所表
示的曲面形状.
例3 求球心在点 M0 x0, y0, z0 、半径为 R 的球面方程. 解 设 M x, y, z 是球面上任一点（见图），
则有 M0M R，由两点间距离 公式得 :
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
本节先简要介绍空间解析几何的有关内容。
第六章
空间解析几何简介
一、空间直角坐标系 二、空间曲面及其方程 三、空间曲线及其方程
在空间任意选取一定点 O ,过点 O 做三条互相垂直
的以点 O 为原点的数轴，依次记为 x 轴(横轴)、y 轴
(纵轴)、z 轴(竖轴)，统称为坐标轴. 它们的顺序按下
述右手规则确定:以右手握住 z 轴，让右手的四个手
含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第 I 卦限，
其他第 II、第 III 、第 IV 卦限在 xOy 平面的上方,按 逆时针方向确定. 第 I 、II 、III 、IV 卦限下面的空间
部分，分别称为第 V、V、V、V 卦限(见图).
设 M 为空间任意点,过该点分别
做垂直于 三坐标轴的平面, 与坐标轴
二次曲面
我们把三元二次方程 F (x, y, z) 0所表示的曲
面称为二次曲面. 而把平面称为一次曲面.
高等数学-01空间解析几何(课件
向量的数量积
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换
{ a, b, c, d,} a/ //{a//, b//, c//, d//, } 与 //{a//, b//, c//, d//, } a /{a/, b/, c/, d/, }
的乘积．
➢ 注意：定理6的证明表明，虽然射影对应可传递， 但透视一般是不可传递的．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
1 1
u1 u2
t1 t2
v1 v2
1 2
u1 u2
1 2
v1 v2
t1 t2
x vI x/ v/ II
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
令
u1 u2
t1 t2
v1 v2
t1 t2
，则
/1 /2
v21 u21
v12， u12
从而
u21 u12 /2
v21 v12 /1
c
证明：如图，设
p
(ab/)(a/b)，q
(bc/)(b/c)，
b a
s
t
q
r (ca/)(c/a)， s (ac/)(ba/)， p r
t (bc/)(ca/)，d /． d
因 {a/, p, s, b} a {a/, b/, c/, d} c {t, q, c/, b}a，/ b/ / c/
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
的乘积．
➢ 注意：定理6的证明表明，虽然射影对应可传递， 但透视一般是不可传递的．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
1 1
u1 u2
t1 t2
v1 v2
1 2
u1 u2
1 2
v1 v2
t1 t2
x vI x/ v/ II
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
令
u1 u2
t1 t2
v1 v2
t1 t2
，则
/1 /2
v21 u21
v12， u12
从而
u21 u12 /2
v21 v12 /1
c
证明：如图，设
p
(ab/)(a/b)，q
(bc/)(b/c)，
b a
s
t
q
r (ca/)(c/a)， s (ac/)(ba/)， p r
t (bc/)(ca/)，d /． d
因 {a/, p, s, b} a {a/, b/, c/, d} c {t, q, c/, b}a，/ b/ / c/
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
2017年《高等几何》教学课件
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射!
§1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
§1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
《高数空间解析几何》课件
《高数空间解析几何》 PPT课件
在本次课程中，我们将深入探讨高等数学中的空间解析几何知识，并通过精 美的PPT课件来呈现内容，帮助大家更好地学习与理解。
空间直角坐标系与向量
直角坐标系特点
定义直角坐标系、特点及应用 场景。
向量的概念与表示
介绍空间向量的概念、表示方 法以及向量的几何意义。
向量的加减与数量积
平面方程与性质
讨论空间平面的方程表达式和具体特性。
平面之间的位置关系
讲解空间中平面之间的相交、平行和垂直关系。
空间曲线与曲面
1
曲线的参数方程与极坐标方程
介绍空间曲线的参数方程和极坐标方程的表示方法。
2ห้องสมุดไป่ตู้
曲面的参数方程与二次曲面方程
讨论空间曲面的参数方程和二次曲面方程的特点和应用。
3
曲线与曲面的位置关系
结束语
通过本次课程的学习，相信大家已经对高数空间解析几何有了更深入的理解。 感谢大家的参与与支持！希望你们可以将所学知识应用到更广阔的领域中。
讲解向量的加减法和数量积的 性质与计算方法。
向量的线性相关与线性无关
介绍向量的线性相关与线性无关的概念以及相关的 定理。
向量的基底与坐标
讲解空间向量的基底与坐标系的概念及相关计算方 法。
空间直线与平面
直线方程与性质
解释空间直线的方程表达式和相关性质。
直线之间的位置关系
介绍空间中直线之间的相交、平行和垂直关系。
讲解空间曲线与曲面之间的相交、相切和位置关系。
三维几何应用
球面坐标与柱面坐标
探讨球面坐标系和柱面坐标系的定义和转换。
直线与平面的最小距离
介绍计算空间中直线与平面之间最小距离的公式和 应用。
在本次课程中，我们将深入探讨高等数学中的空间解析几何知识，并通过精 美的PPT课件来呈现内容，帮助大家更好地学习与理解。
空间直角坐标系与向量
直角坐标系特点
定义直角坐标系、特点及应用 场景。
向量的概念与表示
介绍空间向量的概念、表示方 法以及向量的几何意义。
向量的加减与数量积
平面方程与性质
讨论空间平面的方程表达式和具体特性。
平面之间的位置关系
讲解空间中平面之间的相交、平行和垂直关系。
空间曲线与曲面
1
曲线的参数方程与极坐标方程
介绍空间曲线的参数方程和极坐标方程的表示方法。
2ห้องสมุดไป่ตู้
曲面的参数方程与二次曲面方程
讨论空间曲面的参数方程和二次曲面方程的特点和应用。
3
曲线与曲面的位置关系
结束语
通过本次课程的学习，相信大家已经对高数空间解析几何有了更深入的理解。 感谢大家的参与与支持！希望你们可以将所学知识应用到更广阔的领域中。
讲解向量的加减法和数量积的 性质与计算方法。
向量的线性相关与线性无关
介绍向量的线性相关与线性无关的概念以及相关的 定理。
向量的基底与坐标
讲解空间向量的基底与坐标系的概念及相关计算方 法。
空间直线与平面
直线方程与性质
解释空间直线的方程表达式和相关性质。
直线之间的位置关系
介绍空间中直线之间的相交、平行和垂直关系。
讲解空间曲线与曲面之间的相交、相切和位置关系。
三维几何应用
球面坐标与柱面坐标
探讨球面坐标系和柱面坐标系的定义和转换。
直线与平面的最小距离
介绍计算空间中直线与平面之间最小距离的公式和 应用。
高数课件30空间几何
空间中距离与角度度量方法
距离度量方法
在空间中，两点之间的距离可以 通过勾股定理、向量模长等方法 来计算。
角度度量方法
空间中两相交线间的夹角可以通 过余弦定理、向量夹角公式等方 法来计算。
平行与垂直关系判定
平行关系判定
两直线平行当且仅当它们的方向向量 平行；两平面平行当且仅当它们的法 向量平行。
垂直关系判定
高数课件30空间几何
目录
• 空间几何基本概念与性质 • 平面及其方程表示方法 • 空间直线及其方程表示方法 • 常见曲面类型及其性质分析 • 空间几何在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 空间几何基本概念与性质
空间几何定义及研究对象
01
空间几何是研究三维空间中点、 线、面以及它们之间关系的一门 学科。
03 空间直线及其方程表示方 法
空间直线一般方程和标准形式
一般方程
$Ax + By + Cz + D = 0$ 和 $Ex + Fy + Gz + H = 0$ 表示 空间直线。
标准形式
将一般方程转化为标准形式 $frac{x-x_0}{a} = frac{y-y_0}{b} = frac{z-z_0}{c}$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上一点，$a, b, c$ 是方向数。
两直线间位置关系判断
平行
01
两直线的方向向量平行（即对应分量成比例）且两直线不重合。
相交
02
两直线有且仅有一个公共点。
异面
03
两直线既不平行也不相交，即它们没有公共点且方向向量不平
行。
点到直线距离公式应用
点到直线距离公式
高等几何课件
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
高等几何讲义(第2章)
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1. 扩大仿射平面 一般地，记 a、b所连直线为 a b，其坐标方程为 x1 x2 x3 a1 a2 a3 0． b1 b2 b3 其参数方程为：
x1 a1 b1 x2 a2 b2，、 R 且 2 2 0． x3 a3 b3
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§2. 射影平面
故又可写成分解式： (x1, x2, x3) (x1/1)(1, 0, 0) (x2/2)(0, 2, 0) (x3/3)(0, 0, 3)， (2.2) 代数形式上，(x1/1, x2/2, x3/3) 与 (x1, x2, x3) 应 表示同一点的坐标．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1. 扩大仿射平面
2. 点的齐次仿射坐标
定义 设 = [O; e1, e2 ]是平面仿射坐标系．在 之下，满足下述条件的有序实数组 (x1, x2, x3) (0, 0, 0) 称为平面上点的齐次仿射坐标： 1．若 0，则 ( x1, x2, x3) 与 (x1, x2, x3)为同 一点的齐次仿射坐标； 2．若 x3 0，则 (x1, x2, x3)是(非齐次)仿射坐标为 x = x1/x3 , y = x2/x3 的普通点的齐次仿射坐标； 3．齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点． 注意：条件 2 给出了普通点的(非齐次)仿射坐标 与齐次仿射坐标之间互化的方法．
3. 点 c 与直线 ab 的结合对应于由 (c) 生成的一
维子空间包含在由 (a) 和 (b) 生成的二维子空间．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高等几何第一章PPT课件
教材分析
本章地位
从透视仿射（平行射影）引入仿 射不变性与仿射不变量，为拓广 欧氏平面作准备。
本章内容
定义透视仿射，学习仿射不变性与 仿射不变量，证明平面仿射几何基 本定理，引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上，学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。
3
学习注意
高等几何──朱维宗
y
OPPP2 OPPP2. 1 1
P( x, y)
P2பைடு நூலகம்
B T 3 ( B) B T ( B )
19
高等几何──朱维宗
1.4平面内的一般仿射
1.本节主目的
在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
7
高等几何──朱维宗
1.2仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲
(1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11)
A [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点， 、B、C 、D 是其仿射象，则
AB AB BD AB BD CD BD CD DB CD 简比是仿射量 AB BD AB . DB C D C D
T 1 T2 Tn1
T Tn1 T2T1 , k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
13
高等几何──朱维宗
推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积 之比是常量。
本章地位
从透视仿射（平行射影）引入仿 射不变性与仿射不变量，为拓广 欧氏平面作准备。
本章内容
定义透视仿射，学习仿射不变性与 仿射不变量，证明平面仿射几何基 本定理，引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上，学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。
3
学习注意
高等几何──朱维宗
y
OPPP2 OPPP2. 1 1
P( x, y)
P2பைடு நூலகம்
B T 3 ( B) B T ( B )
19
高等几何──朱维宗
1.4平面内的一般仿射
1.本节主目的
在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
7
高等几何──朱维宗
1.2仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲
(1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11)
A [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点， 、B、C 、D 是其仿射象，则
AB AB BD AB BD CD BD CD DB CD 简比是仿射量 AB BD AB . DB C D C D
T 1 T2 Tn1
T Tn1 T2T1 , k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
13
高等几何──朱维宗
推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积 之比是常量。
大学高等几何课件第四讲
由 可 , 用 量 示 则 线 ,即 ⋅ x = 0和 线 ,即 ⋅ x = 0 此 见 矢 表 , 直 a a 直 b b 的 点 标 交 坐 为 x = a×b. 以 讲 是 上 的 点坐标 面 绍 点坐标下 介 线坐标 , .
直 线 a : a1x1 + a2 x2 + a3x3 = 0 由 的 数 a1, a2 , a3 ]决 (线 标 方 号 ]表 ), 并 [λa1, λa2 , λa3 ] 它 系 [ 定 坐 用 括 [ 示 且 (λ ≠ 0)和 a1, a2 , a3 ]代 同 直 . [ 表 一 线 我 把 全 零 三 数 们 不 为 的 个 u1, u2 , u3称 直 为 线 u ⋅ x = u1x1 + u2 x2 + u3x3 = 0 的 坐 , 矢 λu(λ ≠ 0)和 量 代 同 条 线 而 论 子 (≠ 0)为 线 标 量 矢 u 表 一 直 , 不 因 λ 何 , 线 标1 0,0],[0,1 0],[0,0,1]分 表 y轴 x轴 无 远 线 值 坐 [, , 别 示 , 和 穷 直 . 两 a(a1, a2 , a3 ), b(b , b2 , b3 )联 的 程 写 点 线 方 可 为 1 x1 x2 a1 a2 x3 a3 = 0,即 a2b3 − a3b2 )x1 + (a3b − a1b3 )x2 + (a1b2 − a2b )x3 = 0, ( 1 1
2 a11x1 + 2a12x1x2 + a22x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2 x3 + a33x3 = 0. 2 2
它 x1, x2 , x3的 次 次 . 是 二 齐 式 斜 为 的 线 = kx + b的 次 程 x2 = kx + bx3, 和 穷 率 k 直 y 齐 方 为 无 1 远 线 3 = 0联 求 得 点 标 x1 : x2 : x3 =1: k : 0.故 直 x 立 解 交 坐 为 斜 率 k的 线 的 穷 点 (1 k,0). 为 直 上 无 远 是 ,
高等几何讲义
xu
又 (x)(aij)(x/)T
[(u) + (v)](aij)[(u) + (v)]T
x/ v
§1. 配极与二次曲线
(u)(aij)(u)T + [ + ](u)(aij)(v)T + (v)(aij)(v)T．
因 u、v 为 上二点，故 (u)(aij)(v)T 0 且
(x)(aij)(x/)T [ + ](u)(aij)(v)T．
推论1 直线 关于二阶曲 推论1/ 点 y 关于二级曲线
线 (2) 的极点坐标为
(2)/ 的极线坐标为
(x1,x2,x3) (1,2,3)(Aij)． (1,2,3) (y1, y2, y3)(aij)．
推论2 在二阶曲线(2)上的 推论2/ 属于二级曲线(2)/ 的
任意点 y 的切线方程为 任意直线的切点方程为
➢ 方程 (2) 和 (2)/ 分别是二次曲线的点坐标方程和 线坐标方程．
➢ 由此可知：二级曲线是配极变换的自共轭直线的 集合，它与二阶曲线是对偶的．
➢ 定理3 不在二次曲线上的
点为二切线点 其极线是
y
二切点线，且极线与曲线
的两交点与此二切线点所
连直线是切线．
x
z
§1. 配极与二次曲线
➢ 证明：设过二切线点 x 的
0
x2
0．
(*)
2 0 1 x3
由此可得 a 关于 的极线 : x1 x2 x3 0，
解得 x3 x1 x2，代入 方程得
§1. 配极与二次曲线
3x12 2x1x2 2x22 0．
因 22 432 20 < 0，故 为 的无切点线，
从而 a 是 的无切线点． 解法2：由(*)式可得， 与 a 的线坐标方程分别为：
高等代数与解析几何课件PPT文档320页
向量的加法
一
三角形和平行四边形法 则
章
b
向
a
cab
b a
量
代
b cab a
数
第
向量加法的性质
一 章 向
（ （(对AAA132） ）,： b量 b,(cb有bc： )a; (ab)c;
(A4) a(a) 0.
量
A
B
B
C
代
O
数
CO
A
第 问题 ：1（ ）给出一A1个 A满 4性足 质的
量 问题：1（ ）这种对应关系的？ 意义
（2）任意两个位置向线 量性 都无关？
代
例2.证 1 明M 点在直A线B上的充分必要条在件
数 实数 k1,k2使得O： Mk1OAk2OB,且k1 k2 1. 而且 M位于线A段 B上的充分必要k条 1,k2件 0是 .
第
A
M
B
一
章
问题：（1）O包含 A，B两点的最凸小集？
一
（ 2）向量加法满 的足 意结 义合 ？律
n个向量相 多加 边的 形： 法则
章
a1a2 an
向
量 问题：“红向量”点 的重 端合的意义 代 向量的减法：
数
第
例1.1设a,b,c是互不共 3个线向的量。试证
一
将它们的终点连与接始成点一相个三分角必形 要条件a是 b ： c0.
章
C
向
A
B
量
例1.2用向量方法证 线明 互： 相对 平角 分的
数
kamb0
问题：两个向量不的共充线分必要条件？
第
定义2.1 设 a1 , a 2 , , a n 是一组向量， k1 , k 2 , , k n
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f 1 : B A.
注：关于关系的严格和详细论述, 请参阅任一本《集合论》.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义2. 设f 为集合A到B的一个关系. 如果对于集合A中的每一 个元素, f 都惟一地指定集合B中的一个元素与之配对, 则称f 为从 集合A到B的一个对应(或映射, 函数).在f 下A中的元素a对应于B中 的元素b的事实常记为 f : a b 或者 f (a) b,
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
2. 对应的乘积(复合) 定理2. (1). 两个双射的乘积仍然是一个双射, 进而, 任意有限 个双射的乘积仍然是一个双射. (2). 对应的乘法满足结合律, 即h◦g◦f =h◦(g◦f )=(h◦g)◦f. 注：对应的乘法一般不满足交换律, 即一般地, g◦f≠f◦g. 3. 变换 定义7. 集合A到自身的对应f 称为变换, 若f 是双射, 则称f 为集 合A上的一个一一变换. 注. (1). 变换是特殊的对应. (2). 设在A上定义了一个变换f , 则A的任一个元素a都具有双重 身份, 即a既是A中某个元素在f 下的像, 也是A中某个元素在f 下的 原像, 因为f -1也是A上的一个变换. (3). 集合A上的变换f 与自身的乘积f◦f也记作f 2.
仿射几何
平行射影 透视仿射变换 仿射变换
有限次平行射影的结果 仿射几何
仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影 透视变换 射影变换
有限次中心射影的结果
射影几何 射影不变性
研究图形的 射影变换不变性的科学 比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
2. 对应的乘积(复合) 定义6. 设f 为集合A到B的一个对应, g 为集合B到C的一个对 应. 则由此可确定集合A到C的一个对应h, 称h 为f 与g的乘积. 记作 g◦f , 即 h g f : A C.
注：设a∈A, b∈B, c∈C, 而且f(a)=b, g(b)=c. 则 h(a) ( g f )(a) g ( f (a)) g (b) c.
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
教师授课助手 学生自修向导——
高等几何多媒体课件
使 用 说 明
1. 请使用MS-Office2003及其以上版本. 2. 课件中的图形 分别是向后和返回链接. 3. 如果您是一位学生, 希望您——利用本课件帮助您预习、 自学、提出问题, 带着问题去听课；帮助您避免在课堂上被动 地抄笔记, 从而可以更主动地聆听老师授课. 4. 如果您是一位教师, 请恕作者班门弄斧, 权当我在抛砖引玉. 希望您——批评本课件, 或利用本课件为素材, 创作您自己的课 件. (作者制作本课件使用的主要软件为：MS-Office, MS-Visio) 5. 恳请读者和老师们批评指正！作者感谢您使用本教材及其 课件, 期待着您的宝贵意见！
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义5. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果f 既是单射又是满射, 则称f 为一个双射(bijection),也称f 为一个一一对应.
注：在几何学中, 我们一般需要使用双射. 在以下的讨论中, 我们约定所论的对应都是双射. 定理1. 一个双射f 的逆对应f -1也是一个双射.
线性代数＋齐次性
• 必须充分预习，带着问题听课；有选择地做笔记。
第一章 射影平面
本章地位 本章内容 附带一个重要定理 学习平面射影几何的基础 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
学习注意
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
本课程 几何角度 代数角度
带有某种商结构的三 维线性空间的几何学
亏格为零不可定向的 闭曲面上的几何学
其他课程无可 替代的数学思 想与方法
四、计划及注意点
• 一个学期，第一～四章；(第五章：自学阅读材料)
• 把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认真体会。
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义3. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果对于集合A中的元素 a≠b, 都有f (a)≠f (b), 则称f 为单射(injection),也称f 为从A到B内的对 应.
定义4. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果集合B中的每一个元 素都是A中某个元素的像, 则称f 为满射(surjection), 也称f 为从A到 B上的对应.
1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义1. 设A, B为两个集合, f 是一种将A中的元素与B中的元素 配对的法则. 则称f 为集合A与B之间的一个关系, 记作 f : A B. 设在f 下A中的元素a配对为B中的元素b. 则 称b为a在f 下的一个像, 称a为b在f 下的一 个原像, 或者说a是b在逆关系f -1 下的像, 即有
课 程 概 论
一、高等几何的内容
高等几何 数学与应用数学专业主干课程之一
数学分析 实变函数
前三高
高等代数
高等几何
后三高
近世代数
点集拓扑
综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期 射影几何 高等几何 几何基础 …… 本课程 主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课 程 概 论
一、高等几何的内容