高等几何课件(教材全套同步课件300多页,考研复试特好学习材料)

f 1 : B A.
注：关于关系的严格和详细论述, 请参阅任一本《集合论》.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义2. 设f 为集合A到B的一个关系. 如果对于集合A中的每一 个元素, f 都惟一地指定集合B中的一个元素与之配对, 则称f 为从 集合A到B的一个对应(或映射, 函数).在f 下A中的元素a对应于B中 的元素b的事实常记为 f : a b 或者 f (a) b,
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
2. 对应的乘积(复合) 定理2. (1). 两个双射的乘积仍然是一个双射, 进而, 任意有限 个双射的乘积仍然是一个双射. (2). 对应的乘法满足结合律, 即h◦g◦f =h◦(g◦f )=(h◦g)◦f. 注：对应的乘法一般不满足交换律, 即一般地, g◦f≠f◦g. 3. 变换 定义7. 集合A到自身的对应f 称为变换, 若f 是双射, 则称f 为集 合A上的一个一一变换. 注. (1). 变换是特殊的对应. (2). 设在A上定义了一个变换f , 则A的任一个元素a都具有双重 身份, 即a既是A中某个元素在f 下的像, 也是A中某个元素在f 下的 原像, 因为f -1也是A上的一个变换. (3). 集合A上的变换f 与自身的乘积f◦f也记作f 2.
仿射几何
平行射影 透视仿射变换 仿射变换
有限次平行射影的结果 仿射几何
仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影 透视变换 射影变换
有限次中心射影的结果
射影几何 射影不变性
研究图形的 射影变换不变性的科学 比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改
鸟瞰下列几何学
欧氏几何

仿射几何

射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
2. 对应的乘积(复合) 定义6. 设f 为集合A到B的一个对应, g 为集合B到C的一个对 应. 则由此可确定集合A到C的一个对应h, 称h 为f 与g的乘积. 记作 g◦f , 即 h g f : A C.
注：设a∈A, b∈B, c∈C, 而且f(a)=b, g(b)=c. 则 h(a) ( g f )(a) g ( f (a)) g (b) c.
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
教师授课助手 学生自修向导——
高等几何多媒体课件
使 用 说 明
1. 请使用MS-Office2003及其以上版本. 2. 课件中的图形 分别是向后和返回链接. 3. 如果您是一位学生, 希望您——利用本课件帮助您预习、 自学、提出问题, 带着问题去听课；帮助您避免在课堂上被动 地抄笔记, 从而可以更主动地聆听老师授课. 4. 如果您是一位教师, 请恕作者班门弄斧, 权当我在抛砖引玉. 希望您——批评本课件, 或利用本课件为素材, 创作您自己的课 件. (作者制作本课件使用的主要软件为：MS-Office, MS-Visio) 5. 恳请读者和老师们批评指正！作者感谢您使用本教材及其 课件, 期待着您的宝贵意见！
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义5. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果f 既是单射又是满射, 则称f 为一个双射(bijection),也称f 为一个一一对应.
注：在几何学中, 我们一般需要使用双射. 在以下的讨论中, 我们约定所论的对应都是双射. 定理1. 一个双射f 的逆对应f -1也是一个双射.
线性代数＋齐次性
• 必须充分预习，带着问题听课；有选择地做笔记。
第一章 射影平面
本章地位 本章内容 附带一个重要定理 学习平面射影几何的基础 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
学习注意
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
本课程 几何角度 代数角度
带有某种商结构的三 维线性空间的几何学
亏格为零不可定向的 闭曲面上的几何学
其他课程无可 替代的数学思 想与方法
四、计划及注意点
• 一个学期，第一～四章；(第五章：自学阅读材料)
• 把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认真体会。
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义3. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果对于集合A中的元素 a≠b, 都有f (a)≠f (b), 则称f 为单射(injection),也称f 为从A到B内的对 应.
定义4. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果集合B中的每一个元 素都是A中某个元素的像, 则称f 为满射(surjection), 也称f 为从A到 B上的对应.
1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义1. 设A, B为两个集合, f 是一种将A中的元素与B中的元素 配对的法则. 则称f 为集合A与B之间的一个关系, 记作 f : A B. 设在f 下A中的元素a配对为B中的元素b. 则 称b为a在f 下的一个像, 称a为b在f 下的一 个原像, 或者说a是b在逆关系f -1 下的像, 即有
课 程 概 论
一、高等几何的内容
高等几何 数学与应用数学专业主干课程之一
数学分析 实变函数
前三高
高等代数
高等几何
后三高
近世代数
点集拓扑
综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期 射影几何 高等几何 几何基础 …… 本课程 主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课 程 概 论
一、高等几何的内容