九年级数学影子和投影
(名师整理)最新北师大版数学9年级上册第5章第1节《投影》精品课件
（1）将一个三角形放在太阳光下， 它所形成的投影是 正投影 ，也可能是 斜投影 。
（2）平行投影中的光线是（ A ） A、平行的 B、聚成一点的 C、不平行的 D、向四面八方发散的
（3）在一个晴朗的好天气里，小颖在向正北方向走路时，
发现自己的身影向左偏，你知道小颖当时所处的时
B` C`
亲身体验
某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙 杆的高度为1.5m
Ｄ
(1) 某一时刻甲木杆在阳光下 的影子如下图所示，你能画出 此时乙木杆的影子吗？
Ｅ
Ａ 甲
Ｄ′ Ｂ
Ｅ′
乙
亲身体验
（２）当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好 不落在墙上？ Ｄ
Ｅ
Ａ 甲
Ｄ′ 乙
Hale Waihona Puke cＥ′亲身体验
（３）在(2)的情况下,如果测得甲、乙木杆 的影子长分别为1.24m和1m,那么你能求出甲 木杆的高度吗?
—— 约·诺里斯
太阳光线 可以看成平行 光线，像这样 的光线所形成 的投影，称为 平行投影,平行 光线与投影面 垂直，这种投 影称正投影。
平行投影
斜投影
正投影
探究学习一
你知道 吗？一天中物体影子是 如何变化的？
小结：
一天中，从早晨到晚上影子的变化可以从两个 方面来考虑：
（1）从影子的长短来考虑， （2）从影子的方向上来考虑。
投影
概念：点光源的光线形成的投影.
变化规律：垂直于地面的物体离点光源 中心投影 距离近时，影子短，离光源远时影子长.
寻找光源. 作图
已知光源出作投影.
概念：平行光线所形成的投影
平行投影 画法
初三数学：投影与视图知识点归纳
初三数学：投影与视图知识点归纳一、知识要点1、投影(1)投影:用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影(projection)，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
(2)平行投影:有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。
由平行光线形成的投影是平行投影(parallel projection).(3)中心投影:由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(center projection)。
(4)正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
注:物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。
2、三视图(1)三视图:是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。
一个物体有六个视图:从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图--能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图--能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图--能反映物体的左面形三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。
(2)特点:一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。
三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。
三视图是从加速度学习网我的学习也要加速三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
二、经验之谈:多读两遍吧!有兴趣的同学可以多画图观察。
初三数学塔影子问题知识点
初三数学塔影子问题知识点
应用比例关系求解：在实际问题中，我们可以通过建立比例关系来求解影子的长度或高度。
根据两个相似三角形的对应边长之比等于它们对应边的比例关系，可以利用已知的长度或高度来求解未知长度或高度。
日常生活中的影子问题：影子问题在我们的日常生活中随处可见。
例如，在太阳光下，建筑物、树木、人物等物体都会产生影子。
我们可以利用影子的形状和大小来判断光源的相对位置，计算一些相关的长度或高度，并应用于建筑设计、影视拍摄等领域。
空间几何中的应用：影子问题不仅存在于平面几何中，也存在于空间几何中。
例如，在三维空间中，当一个物体投射到一个平面上时，会产生一个平面上的影子。
利用空间几何的知识，我们可以研究物体和影子的位置关系，解决一些复杂的三维影子问题。
影子与物体的关系：当物体与光源的距离较远时，其影子较大；当物体与光源的距离较近时，其影子较小。
同时，物体的形状也会影响影子的形状。
例如，当物体为立方体或球体时，其影子形状为相应的投影。
影子的移动规律：随着光源或物体的移动，影子也会发生相应的移动。
当物体移近光源时，影子会变小；当物体离开光源时，影子会变大。
影子的移动遵循光线传播的规律，即光线从光源发出，沿直线传播，并在物体上产生投影。
九年级数学下册讲义投影
第二十九章投影与视图29.1 投影1．投影的定义一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．物体投影的形成需要具备两个条件：一是投影线（光源），二是投影面．【注意】光线、物体、投影面的相对位置发生变化，物体的影子就会相应发生变化．2．平行投影（2）由平行光线形成的投影叫做平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行光线．日影的方向可以反映当地时间．（2）平行投影的特征等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻，同一地点，在太阳光下，它们的影子一样长．等长的物体平行于地方放置时，同一时刻，同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度．同一物体在太阳光下，不同时刻，不仅影子的大小在改变，而且影子的方向也在改变，就我们所在北半球而言，从早晨到傍晚，物体的影子由西向东绕物体沿顺时针方向转动，其影长的变化规律是：长→短→长．在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．【注意】确定平行投影中物体或影子的方法：平行投影中的物体，光线、影子构成一个三角形，在平行投影中光线是平行的，因此由一条光线就可以作出其他平行光线，进而可以作出相应的物体或影子．3．中心投影（1）由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．（2）中心投影的特征：了解投影、平行投影、中心投影、正投影的概念，能够确定物体在太阳光下的K—重点一、平行投影平行投影的特点：（1）平行投影中，同一时刻的光线是平行的；（2）平行投影的物高与影长对应成比例．【例1】下列光线所形成投影是平行投影的是A．太阳光线B．台灯的光线C．手电筒的光线D．路灯的光线【名师点睛】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．【例2】下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③【名师点睛】本题考查平行投影，解题的关键是熟练掌握太阳光是平行光线，本题属于基础题型．二、中心投影中心投影的特点：（１）等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体影子短，离点光源的物体影子长；（2）等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短．【例3】小红和小花在路灯下的影子一样长，则她们的身高关系是A．小红比小花高B．小红比小花矮C．小红和小花一样高D．不确定【名师点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．三、利用投影解决实际问题两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．【例4】如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？【名师点睛】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．1．下列说法错误的是A．太阳光所形成的投影是平行投影B．在一天的不同时刻，同一棵树所形成的影子长度不可能一样C．在一天中，不论太阳怎样变化，两棵相邻树的影子都是平行或重合的D．影子的长短不仅和太阳的位置有关，还与事物本身的长度有关2．小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是A．线段B．一个点C．等边三角形D．等腰三角形3．在阳光下摆弄一个矩形，它的影子不可能是A．线段B．矩形C．等腰梯形D．平行四边形4．下面四幅图是小刚一天之中在学校观察到的旗杆的影子，请将它们按时间先后顺序进行排列A．(1)(2)(3)(4)B．(2)(3)(1)(4)C．(2)(1)(3)(4)D．(4)(1)(3)(2)5．下面说法正确的有①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的平行投影可能是平行的；④如果一个三角形的平行投影是三角形，那么它的中位线平行投影一定是这个三角形平行投影对应的中位线.A．①②B．④C．②③D．①④6．如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为A．8cm B．20cmC．3.2cm D．10cm7．下列说法正确的是A．皮影戏是在灯光下形成的中心投影B．甲物体比乙物体高，则甲的投影比乙的投影长C．物体的正投影与物体的大小相等D．物体的正投影与物体的形状相同8．如图中是两根直立的标杆同一时刻在太阳光线下形成的影子的是A．B．C．D．9．在____________的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与其影长成比例．10．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m．11．人在灯光下走动时，其自身的影子通常会发生变化，当人走近灯光时，其影子的长度就会________；当人远离灯光时，其影子的长度就会________．12．如图，在路灯的同侧有两根高度相同的木棒，请分别画出这两根木棒的影子．13．画图：如图是小明与妈妈（线段AB）、爸爸（线段CD）在同一路灯下的情景，其中粗线分别表示三人的影子．请根据要求进行作图（不写画法，但要保留作图痕迹）（1）画出图中灯泡P所在的位置．（2）在图中画出小明的身高（线段EF）．。
北师大版九年级数学上册第五章 投影与视图 投影的概念与中心投影
例2 一个广场中央有一盏路灯.
（1）高矮相同的两个人 在这盏路灯下的影子一定 一样长吗？如果不一定， 那么什么情况下他们的影 子一样长？
不一定一样长，只有当两人与路灯的距离相等时影子 才会一样长.
（2）高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可 能一样长吗？请实际试试， 并与同伴交流.
有可能
结论 在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近 时，影子短；离光源远时，影子长.
做一做
2 中心投影
取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用
手电筒（或台灯）等去照射这些小棒和纸片，观察它
们的影子.
（1）固定手电筒（或台灯），改变小棒或纸片的摆放 的位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？
物体离光源越远，影子越大； 距离光源越近，影子越小.
（2）固定小棒或纸片，改变手电筒（或台灯）的摆 放位置和方向，它们的影子发生了什么变化？
改变手电筒的方向， 它们的影子的方向也 发生了变化.
知识要点 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发 出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．
例如：物体在灯泡发出的光的照射下形成影子就是 中心投影．
典例精析 例1 确定图中路灯灯泡所在的位置.
O 点 O 就是路过再影灯一过子灯根另的泡木一顶所杆根端在的木作的顶杆一位端的条置及顶 直. 其端 线影及 ，子其 两 的直顶线端交作于一一条点直O线
练一练
2. 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由 A 处 径直走到 B 处这一过程中，他在地上的影子 ( B ) A.逐渐变短 B.先变短后变长 C.先变长后变短 D.逐渐变长
A
B
投影的 物体在光线的照射下，会在地面或其
概念
他平面上留下它的影子，这就是投影
北师大版九年级数学上册投影课件
6.如图,夜晚路灯下有一排同样高的旗杆,离路 灯越近,旗杆的影子( )
A.越长
B.越短
C.一样长 D.随时间变化而变化
训练：B本--第37页--1-10
7.小红和小花在路灯下的影子一样长,则她们的身 高关系是 ( )A.小红比小花高 B.小红比小花 矮
C.小红和小花一样高 D.不确定
训练：B本--第37页--1-10
家庭作业 B本--第37页--1-10 A本--第40页--1-9
A本--第40页--1-9题答案
8.如图,小红居住的小区内有一条笔直的小路,小 路的正中间有一路灯,晚上小红由A处径直走到B处 (A,B两处距路灯的距离相等),她在灯光照射下的 影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画 出来,大致图象是 ( )
训练：B本--第37页--1-10
9.小方的房间有一块面积为3m2的玻璃窗,她站在房
D.2个
训练：B本--第37页--1-10 3.下列投影中,是中心投影的是 ( )
4. 确定图5-1-2中路灯灯泡的位置,并画出 小赵在灯光下的影子.
训练：B本--第37页--1-10
5.如图,白炽灯下有一个乒乓球,乒乓球越接近灯 泡,它在地面上的影子 ( ) A.越大 B.越小 C.不变 D.无法确定
例：手电筒；灯光
投 影
斜投影（平行光与投影面不垂直） 平行投影 （光线是平行光） 正投影（平行光与投影面垂直）
例：阳光，激光
斜投影与正投影
斜投影
正投影
中心投影 课本第126页
例1：确定图中灯泡所在的位置
议一议
课本第126页
如图,一个广场中央有一盏路灯. ( 1)高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子- -定 一 样长吗?如果不一-定，那么什么情况下他们的 影子一样长? (2)高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能 一样长吗?请实际试一试，并与同伴交流.
投影(第1课时)(课件)九年级数学上册(北师大版)
探究新知
例：下图是两棵小树在同一时刻的影子，你能画出灯 光在哪里吗？与同伴交流
注意：物体的 影子在同一旁
注意：物体的 影子在两旁
探究新知
例：下图是两棵小树在同一时刻的影子，你能画出灯 光在哪里吗？与同伴交流
解：如图所示：
探究新知
随堂练习
6.如图，位似图形由三角尺与其灯光下的中心投影 组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm， 则投影三角形的对应边长为_2_0___㎝．
随堂练习
7.如图，小王晚上由路灯A下的B处向前走3米到达 C处时，测得影子CD的长为1米，已知小王的身高 是1.5米，那么路灯A的高度AB等于_____6___米．
随堂练习
4．如图，在一间黑屋里用一盏白炽灯照一个球，
球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯
向上移时，圆形阴影的大小变化情况是( A )
A．越来越小
B．越来越大
C．大小不变 D．不能确定
随堂练习
5.傍晚，小明陪妈妈在路灯下散步，当他们经过路 灯时身体的影长（ A ） A．先由长变短，再由短变长 B．先由短变长，再由长变短 C．保持不变 D．无法确定
例：如图，一个广告牌挡住了路灯的灯泡。 (1)确定图中路灯灯泡所在的位置； (2)在图中画出表示小赵身高的线段。
小赵 小张 小李
探究新知
解：如图所示
小赵
小李 小张
知识点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下里点光源越近， 物体的影子越短；离点光源越远物体的影子越长
探究新知
练一练：两棵小树在一盏路灯下的影子如图所示. (1)确定该路灯灯泡所在的位置； (2)画出图中表示婷婷影长的线段。
九年级数学影子和投影知识点
九年级数学影子和投影知识点九班级数学影子和投影知识点期末考试就要到了，大家都复习好了吗?下面为大家准备了影子和投影知识点，欢迎阅读与选择!一、投影法在日常生活中，人们可以看到，当太阳或灯光照射物体时，墙壁上或地面上会出现物体的影子。
投影法与这种自然现象类似。
如图2—1所示，平面P是得到投影的面，称为投影面，点S称为投影中心。
如在点S、平面P之间有一空间点A，则该点在平面P上的投影为点S、A连线的延长线与投影面投影面P的交点a处，Sa称为投射线。
同理，点B在投影面P上的投影b为投射中心S和空间点B的连线与投影面P 的交点处。
由上述可知：投影法就是投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。
投射中心就是所有投射线的起源点。
投影(投影图)就是根据投影法所得到的图形。
投射线就是发自投射中心且通过被表示物体上各点的直线。
投影面就是投影法中，得到投影的面。
二、投影法的分类投影示一般分为中心投影法和平行投影法两类。
(一) 中心投影法投射线汇交一点投影法(投射中心位于有限远处)。
如图2—2所示，通过投射中心S作出了△ABC在投影面P上的投影;投影线SA、SB、SC分别与投影面P交出点A、B、C的投影a、b、c,而△abc的投影△ABC在投影面P上的投影。
在中心投影法中，△ABC的投影△abc的大小随投射中心S距离△ABC的远近或者△ABC距离投影面P的远近而变化，所以它不适用于绘制机械图样。
但是，根据中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制建筑物的****图。
(二)平行投影法子投射线相互平行的投影法(投射中心位于无限远处)。
平行投影法又分为斜投影法和正投影法。
1、斜投影法投射线与投影面相倾斜的'平行投影法。
根据斜投影法所得到的图形，称为斜投影(斜投影图)，如图2—3所示。
2、正投影法投射线与投影面相垂直的平行投影法。
根据正投影法所得到的图形称为正投影(正投影图)。
三、多面正投影(多面正投影图)物体在互相垂直的两个或多个投影面上所得到的正投影称为多面正投影。
人教版数学九年级下册29.1投影正投影(教案)
同学们，今天我们将要学习的是《投影正投影》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过物体在阳光下的影子？”（如树木、房屋的影子）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正投影的奥秘。
4.几何体的正投影：研究正方体、长方体等几何体在正投影下的表现，掌握其投影规律。
5.实践与应用：结合实际例子，让学生运用投影知识解决生活中的问题，提高学生的实际操作能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间想象力和直观想象能力，通过正投影的学习，让学生能够观察和描述现实生活中的几何体及其投影，提高对空间物体和几何图形的认识。
-举例：以正方体为例，指导学生如何从正面、上面、左面观察，并绘制对应视图。
-几何体的正投影规律：掌握正方体、长方体等几何体在正投影下的投影规律。
-举例：分析正方体在正投影下的投影特点，如正方形的投影是正方形，棱的投影是线段等。
2.教学难点
-投影与实际物体之间的关系：学生往往难以将三维物体与二维投影建立联系，理解它们之间的对应关系。
然而，我也注意到在实践活动和小组讨论环节，部分学生在面对实际问题时显得有些无所适从。特别是在分组讨论时，有些小组在分析正投影在实际生活中的应用时，思路不够开阔，这可能是因为他们对这个知识点还不够熟悉，或者是缺乏将理论知识与实际情境结合的经验。
在接下来的教学中，我需要考虑如何更有效地帮助学生将正投影的知识应用到具体问题中。可能需要设计更多的互动环节，比如让学生自己动手制作模型，然后根据模型绘制三视图。这样的实际操作可能会让学生对几何体的投影有更直观的认识。
九年级数学上册《投影》优秀教学案例
小组合作是本案例的又一亮点。通过分组讨论、分享成果，学生能够互相学习、取长补短。这种合作学习方式有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力和共享意识，为他们的未来学习和工作打下坚实基础。
4.关注学生个体差异，实施差异化教学
在教学过程中，教师关注每个学生的个体差异，给予个性化的指导与帮助。这种差异化教学策略有助于提高每个学生的学习效果，使他们在原有基础上不断提高。
5.培养学生的创新意识，鼓励他们勇于提出新的观点和解决问题的方法，培养独立思考的能力。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解投影的概念和应用，我将创设贴近生活的教学情境。例如，通过展示校园建筑物的照片，引导学生观察不同时间阳光在建筑物上形成的影子，让学生亲身体验平行投影和中心投影的特点。此外，还可以利用多媒体手段，展示一些著名的建筑物和它们的投影图，让学生在欣赏美的同时，感受投影在建筑设计中的重要性。
2.学会使用投影的计算方法，解决实际问题，如计算物体的投影面积、求投影的长度等；
3.能够运用几何画板、手工制作等工具，绘制简单物体的投影图，提高空间想象能力；
4.掌握投影在实际生活中的应用，如建筑设计、地图绘制等，培养学生将理论知识应用于实践的能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法培养学生解决问题的能力：
本教学案例的最大亮点在于将生活情境与数学知识紧密结合。通过展示校园建筑物的投影现象，让学生在熟悉的场景中感受投影的概念，激发他们的学习兴趣。这种情境创设使得抽象的数学知识变得具体、生动，有助于提高学生对数学学科的兴趣。
2.问题驱动的教学方法
本案例以问题为导向，引导学生主动探索投影的规律。设计具有启发性的问题，激发学生的思维，培养他们提出问题、分析问题和解决问题的能力。这种教学方法有助于提高学生的课堂参与度，增强他们的自主学习能力。
初中数学影子知识点总结
初中数学影子知识点总结一、影子的基本概念影子是指一个对象在光线照射下所产生的投影，通常用来描述物体在不同光线条件下的形状和大小变化。
在数学中，影子通常用来解决与几何形状相关的问题，如相似三角形、比例关系等。
1.1 影子的原理影子的产生是由于光线照射到一个物体上，通过物体的阻挡形成的。
当物体的形状和位置改变时，其产生的影子也会相应地改变。
影子的大小和形状受到物体和光源的相对位置、物体的形状和大小等因素的影响。
1.2 影子的应用在数学中，影子经常用来解决与几何形状相关的问题，例如利用影子原理求解几何图形的面积、计算物体的高度和长度等。
此外，影子也可以被应用到其他学科中，如物理、美术等领域。
二、影子的基本性质2.1 形状相似当两个物体的形状相似时，它们的影子也会相似。
这是因为相似的两个物体，它们的所有对应边之比是相等的，所以它们的影子也具有相似的性质。
2.2 比例关系当两个物体的大小和位置发生改变时，它们的影子之间会有一定的比例关系。
根据影子的特性，可以通过比例关系求解物体的高度、长度等问题。
2.3 面积关系两个相似物体的面积之比等于它们对应边的平方之比。
根据这一性质，可以利用影子原理计算不规则图形的面积，以及其他相关的面积问题。
2.4 垂直投影当一个物体的投影与另一个物体垂直时，它们之间的关系可以用来解决垂直三角形、直角三角形等几何问题。
三、利用影子原理解决问题3.1 计算物体的高度与长度通过测量物体的影子和光源的距离，可以利用影子原理计算物体的高度和长度。
根据影子的比例关系和几何形状的相似性，可以推导出相应的计算公式，用来解决这类问题。
3.2 计算不规则图形的面积有一些不规则图形的面积很难直接计算，但是可以通过影子原理来简化计算。
将不规则图形转化为可以测量的影子，然后根据影子的比例关系和面积的关系来计算不规则图形的面积。
3.3 解决相似三角形的问题影子的基本性质可以帮助我们理解相似三角形之间的关系，例如利用影子原理求解相似三角形的边长、角度等问题。
射影和投影的区别
射影和投影区别1、投影从初中数学角度来说（可参见人教网九年级下册电子课本第二十九章投影及视图），一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到影子叫做物体投影（Projection），照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面。
有时光线是一组互相平行射线，例如太阳光或探照灯光一束光中光线。
由平行光线形成投影是平行投影（Parallel projection).由同一点（点光源发出光线）形成投影叫做中心投影（Center projection)。
投影线垂直于投影面产生投影叫做正投影。
投影线不垂直于投影面产生投影叫做斜投影。
物体投影形状、大小及它相对于投影面位置和角度有关。
2、射影所谓射影，就是正投影。
其中，从一点到一条直线所作垂线垂足，叫做这点在这条直线上正投影。
一条线段两个端点在一条直线上正投影之间线段，叫做这条线段在这直线上正投影。
3、向量中摄影和投影区别1）概念比较①人教A版：（—2.4.1）已知两个非零向量及，我们把数量叫做及数量积（或内积），记作，即，其中是及夹角，（）叫做向量在方向上（在方向上）投影（如下图）。
②人教B版：（—2.3.1）已知向量和轴（如下图）。
作，过点分别作轴垂线，垂足分别为，则叫做向量在轴上正射影（简称射影），该射影在轴上坐标，称作在轴上数量或在轴方向上数量，记作。
2）概念异同①不同点：向量投影是一个实数；向量射影是一个向量；二者不是同一类，求法各不同。
②相同点：向量投影及向量射影数量是等价；在数学上表示同一个意思，求法是相同。
2、射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上高是两直角边在斜边上射影比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上射影和斜边比例中项。
[任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：△ABC三边是a、b、c，它们所对角分别是A、B、C，则有a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。
初中数学投影知识点总结
初中数学投影知识点总结
这是一篇由网络搜集整理的关于初中数学投影知识点总结的文档，希望对你能有帮助。
1.平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
平行投影的特征：(1)点的投影仍是点;(2)直线的投影一般仍是直线;(3)一点在某直线上，则该点的投影一定在该直线的投影上;(4)直线上两线段之比，等于其影长之比;
(5)两直线平行，其投影平行或在同一直线上。
2.中心投影：灯光的光线可以看成是从同一点发出的(即为点光源)，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。
中心投影的特征：(1)对应点连线都经过一点，这一点就是光源的位置;(2)物体的投影的大小，是随着光源距离物体的远近而变化的，或者是随物体离投影面的远近而变化的';
(3)中心投影不能反映原物体的真实形状和大小。
3.正投影：投影线垂直于投影面时产生的投影叫做正投影。
正投影的特征：(1)当平面图形平行于投影面时，它的正投影是与它全等的平面几何图形(点的正投影仍是一个点);(2)当平面图形垂直于投影面时，它的正投影是一条线段(线段垂直于投影面时的正投影是一个点);(3)当平面图形位于投影面上时，它的正投影是它本身。
二、太阳光与影子：
物体在太阳光线照射的不同时刻，不仅影子的长短在变化，而且影子的方向也改变，根据不同时刻影长的变换规律，以及太阳东升西落的自然规律，可以判断时间的先后顺序。
三、灯光与影子：
在某确定灯光下固定物体的影子与方向是一定的，对灯而言，移动的物体离灯越近，影子越短，离灯越远，影子越长。
四、视点、视线、盲区：
/。
九年级数学下册 6.7 用相似三角形解决问题 解读投影知识及典型例题素材
学习投影的技巧一、归纳概念㈠投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影.其中光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.如我们看电影时,就是通过放映机把影像投射在幕布上形成的影子，幕布所在的平面即为投影面。
㈡中心投影和平行投影1、平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影。
如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.物体所处的位置、方向及时间影响该物体的平行投影：①不同时刻、同一地点、同一物体的影子的长度不同；②同一时刻、同一地点、不同物体的影子的长度与它们的物体的长度成正比。
例1:四副图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是(）图1分析：太阳光是平行光，因而投影是平行投影.在平行投影中,物体的影子应在同一个方向，且高的物体的投影也应较长.选A.反思:掌握平行投影的特征，理解在实例中探究的物体在太阳光下所形成的影子的大小及方向.2、中心投影:由同一点（点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.如物体在灯泡发出光的照射下形成影子就是中心投影。
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影：①同一物体相对同一光源的距离近时的影子比远时的影子短；②光源方向或物体的位置改变,则该物体与影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分居物体的两侧.3、平行投影与中心投影的关系⑴联系:平行投影与中心投影都是投影，都是物体在光线下形成的影子.⑵区别：平行投影是在平行光线下所形成的投影，同一时刻，同一地点上的物体与物体若平行，则它们的影子与影子平行或在同一条直线上，且物体的长与影子成比例.中心投影是从一点出发的光线所形成的投影,同一光源下,物体与影子所在直线交于一点，过影子顶端与物体顶端的直线相交于光源处。
例2:如图2,小亮同学在晚上由路灯A 走向路灯B,当他走到点P 时，发现他的身影顶部正好接触路灯B 的底部,这时他离路灯A25米，离路灯B5米，如果小亮的身高为1。
6米，那么路灯高度为（ ）A 。
5.1.2 投影(第2课时)(课件)2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
1 平行投影的概念 —
探索&交流
太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影是 平行投影．
平行光线与投 影面不垂直
平行光线与投 影面垂直
正投影
探索&交流
(1)灯光是由_一__点___发出的，灯光下的影子是_中__心___投__影____，太阳光是 __平__行__光__线___； (2)物体在__平__行__光__线___下形成的投影称为平行投影； (3)在平行投影中，平行线与投影面__垂__直___的光线，称为正投影．
长相等，则它们的相对位置是（ C ）
A. 一根垂直于地面
B. 两根都平行斜插在地面上
C. 两根木杆不平行
D. 一根倒在地上
议一议
探索&交流
图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一 位置拍摄的.
（甲）
（乙）
（丙）
探索&交流
（1）在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按 拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由.
做一做
探索&交流
取若干长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，观察它们在太 阳光下的影子.
探索&交流
（1）固定投影面，改&交流
（2）固定小棒和纸片,改变投影面摆放的位置和方向，它们的 影子分别发生了什么变化？
例题欣赏 ☞
例题&解析
例1.在同一时刻，两根长度不等的木杆置于阳光下，但它们的影
例题欣赏 ☞
例题&解析
例2.某校墙边有甲、乙两根木杆．已知乙杆的高度为1.5m．
(1) 某一时刻甲木杆 D
在阳光下的影子如下
E
图所示，你能画出此
时乙木杆的影子吗？
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当小棒与太阳光线平行时，它们的影子形成一个点.
当小棒与投影面平行时，它们的影子的大小和形状与原物全等
（2）思考固定投影面，改变三角形纸片的摆放位置和方向， 它的影子分别发生了什么变化？
当三角形纸片与太阳光线平行时，它们的影子形成一条线. 当三角形纸片与投影面平行时，它们的影子的大小和形状与
原三角形全等.
什么是投影呢?
影子随处可见，你能举出生活中关于物体在光线的照
射下形成影子的一些生活实例吗？
投影的定义定义：物体在光源自的照射下，在某个平面内（如在地面或墙壁上）形成的影子，这就是投影.这时，光
线叫做投射线，影子（也叫投影）所在的平面叫做投
影面．
观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征？
• 太阳离我们非常遥远，太阳光线可以看成平行光线,像这样 的光线所形成的投影称为平行投影(parallel projection) • 在同一时刻,物体高度与影子长度成比例.
平行投影与中心投影的区别与联系
区别
光线 平行投影 物体与投影面 平行时的投影 联系
中心投影
都是物体在 全等 光线的照射 下，在某个 平面内形成 从一点出 放大(位似变 的影子。(即 发的投射 换) 都是投影) 线
平行的投 射线
1. 两根旗杆如图，请图中画出形成投影的太阳光线，并画出 此时甲旗杆的投影。
你有什么发现？
像皮影戏与手影戏这样,在点光源些形成的投影叫 做中心投影。
•
由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此， 在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别。如图，当线 段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了， 且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如，当△ABC所在的平面与 投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大 了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换.
射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C’，请
画出正方形纸板的投影示意图。
5.下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投 影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平 行投影还是中心投影？并说明理由.
作 业
课本P119练习1、2 及习题1、2、3
； /taoqitianzun/ 淘气天尊；
第8章：投影与识图
感受生活
你看过皮影戏吗?
皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特 的戏曲艺术，在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演 领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。
有 趣 的 手 影
你知道吗?
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.
它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针” 组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投 向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影 子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．
甲
乙
2.学校靠墙边有甲乙两根木杆.请画出乙木杆的在地面上和墙
上的投影的示意图。
甲
乙
3、地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。 (1)当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投 影是什么图形？ (2)当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地
面上的投影是什么图形？并画出投影示意图；
4.一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投
（1）由平行的投射线（如太阳光线）所形成的投影叫做平 行投影；
（2） 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位
置关系的改变而改变，当小棒、三角形等纸片与投影面平行时， 它们的影子的大小和形状与原物全等.
（3）经过平行投影，直线的平行和相交关系保 持不变
中心投影
• 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一 点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称为中 心投影(central projection). • 皮影是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事 的戏曲.用灯光照射在银幕上,艺人在幕后一边操纵 剪影,一边演唱,并配以音乐. • 在灯光的照射下,做不同的手势可以形成各种各样 的手影. • 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.
族の女人,为自己量身定做の,随着自己の修为慢慢の给自己の术.她壹直在暗中帮助自己,只是壹直不肯与自己见面.这壹百四五十年间,她也曾经又出现过七八次,都是与自己行完道侣之事之后,自己还是在睡觉之中,就与她行了夫妻之实了.但是她从不与自己见面,自己也不知道,她是不是和 画相中长の样子.合仙之术,是紧接着分仙之术过来の.就是壹种可以将本尊和第二元神の力量,进行叠加,瞬间提升自己修为の神术.根汉如今和第二元神壹起,都有三十二星の实力,通过这合仙之术の叠加之后,可以在接下来の壹个时辰内,拥有近三十四星の实力.壹个时辰之后,这种状态就会 解除.所以相当于根汉最强,可以维持壹个时辰の,三十四星の实力.而三十四星,距离突破三十六星,已经很近了.现在根汉就是利用这分仙之术,先分开修行,相当于是以两个自己在修行.加倍了修行の速度,同时要发挥の时候,又可以借助合仙之术,冲击更高の境界.回到了九天十域之内,这里 想再寻到至阳至阴之物,却已经是很难了.如今到了这个境界,每往上升壹星,都很困难,都要遇到壹场大造化才行.不过根汉冥冥中,却记得有壹些什么地方,可以给他提供这样の力量,只是现在还需要慢慢梳理罢了.这壹天,根汉终于是离开了流城.他并没有去和萧远の尔子打招呼,那小子在那 小寡妇那里呆了四五天,和那小寡妇壹直腻在壹起,之后便有事离开了.萧远の尔子,好像已经来到这玄域安家了,在壹处名叫安远圣地の地方,当起了壹个外门长老.根汉这壹天,也来到了这安远圣地の祖地.这同样是玄域新起の壹个圣地,只不过实力比莫初圣地要差壹些,不过同样是很强大の 壹个圣地.外面虽然布有他们所谓の仙阵,但是在根汉面前,如今这九天十域上の大部分法阵,都是形同虚设の,根汉直接来到了这祖地の里面.前面有壹座深山,那里有不少弟子把守,还有壹些长老镇守这里.那里有传送塔,根汉来到了这里."你们都些,不到传送时间,没有传送令牌壹律不得进行 传送.""是.""不管是谁,都不得开后门!"今天值班の,是这安远圣地の六长老,在这壹带被人称为六铁公鸡.是出了名の铁公鸡,即使是这圣地内の人,想要用这里の传送阵,都得献上东西,要不然の话壹概不得用.也正是这家伙现在值守,所以现在这附近也没什么人过来用传送阵,因为没有人想 送东西给他.六长老这传送塔附近,也没什么人出现,不由得心里在这里诅咒,今天这是见了鬼了,怎么老子壹值勤,马上就没有人过来了呢.难道这些家伙,都不用传送阵了吗?"这些混蛋,是不是故意不来の?想等老八来の时候,再出现?"他想了想,老八是出了名の好人缘,再过半个多月就要换老 八来值守这里了,所以这些家伙现在都不来了,想等到老八来の时候再传送吧."不行,这样子不行,咱总是这样子捞不到好处の呀."六长老眼珠子转了转,马上又有了主意,对其中壹个自己の弟子说："浩远,你在这里好好守着,咱去去就来."他心想,得去和老八商量壹下,自己帮他值守,要不然の 话这些家伙都想等老八来守了.他们八个长老,差不多是每人值守半年左右传送塔.这也是最好捞取报酬の时间段了,因为想要用传送塔,必须要他们长老才能开启,别人の话用不了.所以这也是肥差,只是老八可能不会在意,他忙着闭关修行,可能也不想来值守吧.（正文叁057入圣地）叁05捌小 家伙叁05捌他们八个长老,差不多是每人值守半年左右传送塔.这也是最好捞取报酬の时间段了,因为想要用传送塔,必须要他们长老才能开启,别人の话用不了.所以这也是肥差,只是老八可能不会在意,他忙着闭关修行,可能也不想来值守吧.这家伙立即走了,去找老八了,倒是这样子方便了根 汉了.根汉来到了这传送塔附近,有上百名弟子,或者是外门长老在这里值守.这些弟子の修为,都在圣境以上,外门长老差不多都是绝强者の境界了,现在这圣地の标配差不多都是这样了.在圣地中混の人,除了最小の壹辈,差不多别の人都是圣境以上の修为了.若是只有圣境の修为の话,在圣地 中差不多也就只能是混个弟子当壹当了,别の就没有了.圣地圣地,现在还真是成了,圣人の集会之地了.根汉无视这些人,直接来到了最里面の传送阵处.这里是壹个足球场壹样大小の古阵,中间有十几道光门,数量并不是特别多.毕竟这只是壹个新の圣地,传送阵也不是特别多,根汉仔细の这上 面の标注,并且从其中壹位守阵の大弟子元灵中扫得了自己想要の信息.哪壹座法阵传送到哪里,哪壹座法阵现在还有用,这个弟子都清楚."竟然没有情域の传送阵."根汉知道之后,也不由得有些失落,这里面并没有通往情域の传送阵,只有通往其它五域の法阵,别の就没有了."能是先到红尘域 去了."根汉想了想后,不由得想到了壹个地方,当年の帝宫.由杨宁杨慧,带着那巫族在那里建造の帝宫,现在自己已经时隔近壹千年没有再回去过了,不知道现在巫族の各位怎么样了.当然他最想念の还是杨宁杨慧姐妹,不知道她们现在嫁人没有,还是现在没有呆在帝宫了.他也打探了壹下不少 の人の元灵,似乎很少人听说过这个帝宫,甚至都没有人知道有这么壹个势力.按理说应该不会の,帝宫中强者那么多,巫族の族人们个个天赋异禀,这么多年肯定也成长起来了の,为何会壹点动静也没有呢.正好这里有壹座传送阵,可以通往红尘域の戏子山,根汉记得这戏子山距离当年帝宫の安 身之地并不是特别远.他还记得这么壹个地方,所以现在正好去那边情域现在要不要回去,根汉也没什么,正好之前那家伙知道の不是白萱她们楚宫の人,正好也几十年前曾经在那红尘域中出现过吗.根汉也正好去是不是能遇上白萱她们.根汉直接步入了这座传送阵,传送阵立即就亮了."怎么回 事!""这传送阵有人进去吗?"传送阵突然就莫名の亮了,惊骇了旁边の弟子们,不知道这是怎么回事,也没见有人进去呀."该死,快停下来!""这是通往红尘域の传送阵!"塔中の弟子都冲了过来,想将这传送阵给阻止,可是他们哪里有这样の手段.这传送阵被根汉控制了,注入了大量の灵力之后, 立即就启动了,神光壹闪,传送阵便将他给送走了."完了.""壹千万灵石没有了!