2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解

3 3 2 3


∴ x y 1 3xy x y 1 ，∴ x y 1 x y x y 1 3xy x y 1 ，
3
2


∴ x y 1 x y x y 1 3xy 0 ，
8sin
C 2

3 sin
A 2

3 sin
B 2

3
∴
C sin 2

3 sin
A 2

3 sin
B 2
．

3 0 ，故角 A, B, C 中必有一个角为 ， 3
又 A B C ，因此 B 10．已知集合 M 1, 2, 最小数为 ，则 E

3
故 M 1 N 1 0 ，∴ M N 2 ． 4．如图， O 是半径为 1 的球的球心， 点 A, B, C 在球面上， OA, OB, OC 两两垂直，
E , F 分别是 AOB, AOC 对应的 AB, AC 的中点，
则点 E , F 在该球面上球面距离是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析：由已知得：面 OAB⊥面 OAC， 作 EM⊥OA 于 M，连接 MF，则 EM⊥MF 且 MF⊥OA， 由已知得：∠EOM=∠FOM=
25i 25i 3 4i 4 3i ，因此 z 4 3i ． 3 4i 3 4i 3 4i
2．方程 sin 4 x cos4 x 1 的解为 _________________________________________________ ． 解析：由于 sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos 2 x ，
,99 ，现随机选取集合 M 中 9 个元素做成子集，记该子集中的
_________________________________________________ ．
8 解析：集合 M 中以正整数 k 1 k 99 为最小数的 9 元子集有 C99 k 个，
故 E 1
8 8 8 8 C98 C97 C96 C95 2 3 9 4 9 9 9 C99 C99 C99 C99
解析：假设存在这样的函数 f : z 1, 2,3 ， 则对任意正整数 n ， f n 与 f n 2 , f n 3 , f n 5 均不相同，…………（*） 由于函数值域中只有三个值，且 f n 占用了一个值， 因此 f n 2 , f n 3 , f n 5 中至少有两个是相同的， 若 f n 2 f n 3 ，则 f n 为常数函数，函数值只有一个，与（*）式矛盾； 若 f n 2 f n 5 ，则 f n f n 3 ，与（*）式矛盾； 若 f n 3 f n 5 ，则 f n f n 2 ，与（*）式矛盾； 因此假设不成立，即不存在这样的函数 f ． 法二：假设存在这样的函数 f : z 1, 2,3 ， 则对任意正整数 n ， f n 与 f n 2 , f n 3 , f n 5 均不相同，…………（*） 由于函数值域中只有三个值， 因此 f n , f n 2 , f n 3 , f n 5 中至少有两个是相同的， ∵ f n f n 2 ∴ f n 3 f n 5 ， ∵ f n f n 3 ∴ f n 2 f n 5 ， 又 f n f n 5 ，故必有 f n 2 f n 3 ，由此得： f n 3 f n 4 ， ∴ f n 2 f
sin A sin B sin C 3， cos A cos B cos C
则 B _________________________________________________ ．（培优教程一试三角函数最后一节的习题 8） 解析：原式可化为： sin A 3 cos A sin B 3 cos B sin C 3 cos C 0 ， ∵ sin A
2 ，∴ME=MF= ，EF=1， 4 2
故 EOF 是等边三角形，因此∠EOF=
，从而点 E , F 在该球面上球面距离是 ． 3 3
5．已知 x, y 0, 且满足 x3 y 3 xy 1，则 x 2 y 的最大值是 _________________________________________________ ． 解析：∵ x y xy x y x y 3xy xy x y 3xy x y ，
2015 年全国高中数学联赛 山东赛区预赛试题详解
2015 年 9 月 6 日 一、填空题（本题共 10 小题，每小题 8 分，共 80 分） 1．复数 z 满足 z 5 ，且 3 4i z 是纯虚数，则 z _________________________________________________ ． 解析：由已知得： 3 4i z 3 4i z 25 ，故 3 4i z 25i ， 于是 z
2


∵ x y x y 1 3xy 4 xy x y 1 3xy xy x y 1 1 0 ，
2
∴ x y 1 0 ，∴ y 1 x ，
x x 2 2 1 x x x 4 2 于是 x y 4 ， 1 x 4 2 2 3 27
x
设 f x a x ，则 f ' x a ln a 1 ，
x x
由 f ' x 0 得： x log a ln a ，由 f ' x 0 得： x log a ln a ， 于是 f x 在 , log a ln a 上递减，在 log a ln a, 上递增， ∴ f x 在 x log a ln a 处取得最小值 f log a ln a
A B A B A B A B 3 3 3 3 3 3 3 3 4sin cos 4sin cos 2 2 2 2 A B A B A B 3 3 3 3 3 3 cos 4sin cos 2 2 2
当且仅当
3
x 2 1 4 1 x 即 x , y 时等号成立，因此 x 2 y 的最大值是 ． 2 3 3 27
6．将正整数列 1, 2,3,
中的所有完全平方数去掉后仍按原顺序构成数列 an ，
则 a2015 _________________________________________________ ． 解析：依题意知：若 k an k 1
9 C9
10 C100 10 ． 9 C99
二、解答题（本大题共 4 个小题，共 70 分，需写出详细的解答过程） 11．（本小题满分 15 分）求证：不存在这样的函数 f : z 1, 2,3 满足对任意的整数
x, y ，若 x y 2,3,5 ，则 f x f y ．
2 2
k N * ，则 an n k ，
由 k 2015 k k 1
2
2
k N * 解得： k 45 ，因此 a2015 2060 ．
7．把 1，2，3，4，5，6 这六个数随机排成一列组成一外数列，要求该数列恰好先增后减， 这样的数列共有 _________________________________________________ 个． 解析：按此数列中在数字 6 两边的个数可分为： 6 右边 1 个数时符合条件的数列有 C5 个，6 右边 2 个数时符合条件的数列有 C5 个， 6 右边 3 个数时符合条件的数列有 C5 个，6 右边 4 个数时符合条件的数列有 C5 个， 因此符合条件的数列共有 C5 C5 C5 C5 30 个．
8 8 8 C8 C96 C97
8 C8 91 9 C99
8 C8 8 C8

1 8 8 C 8 C97 C96 9 98 C99
8 8 C8 C96

1 9 9 C 9 C98 C97 9 99 C99

2
k Z ．
x 1
sin x 的最大值是 M ，最小值是 N ，则 M N _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． x 1
2
2
解析：由已知得： f x 1
2 x sin x 是奇函数，最大值与最小值是相反数， x2 1
1 log a ln a loga e ln a ， ln a
1 1 ，∴ e ． a e e
因此只须 f min x 0 ，即 log a e ln a 0 ，∴ e ln a 1 ，∴ ln a 9．在 ABC 中，角 A, B, C 满足 A B C 且
4 4 2 2 2 2 2 2
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故 cos 2 x 1，∴ 2 x 2k k Z ，因此 x k

2
k Z ．
法二：由己知得： sin 4 x 1 cos4 x 1，又 sin 4 x 1 ，∴ sin 4 x 1,cos 4 x 0 ， ∴ sin x 1,cos x 0 ，因此 x k 3．设函数 f x
1 2 3 4
1
2
3
4
8．设 a 1 ，若关于 x 的方程 a x x 无实根，则实数 a 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
x 解析：由 y a 和 y x 的图象可知：若 a x a 1 无实根，则 a x x 0 恒成立，

3 cos A sin B
3 cos B sin C
3 cos C

2sin A 2sin B 2sin C 3 3 3 2sin A 2sin B 2sin A B 3 3 3 3