三角形三条中线、高、角平分线相交于一点的证明

过点O 做ΔABC 三边的垂线OM 、OR 、ON
∵BN 、CM 是ΔABC 的角平分线
∴OM=OR=ON
∴点O 在∠BAC 的角平分线上
∴三角形的三条角平分线相交于一点
证明三条高线重合
求证：P 、Q 、O 三点重合
证明：如图，∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB
∴∠AEB = ∠AFC = 90°
又∵∠BAE = ∠CAF
∴△ABE ∽ △ACF
∴AF
AE AC AB = 即AB ·AF = AC ·AE
又∵AD ⊥BC
∴△AEQ ∽ △ADC ，△AFP ∽ △ADB
∴AC AQ AD AE =，AB
AP AD AF = 即AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP
∵AB ·AF = AC ·AE ，AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP
∴AD ·AQ = AD ·AP
∴AQ = AP
∵点Q 、P 都在线段AD 上
∴点Q 、P 重合
∴AD 与BE 、AD 与CF 交于同一点
∵两条不平行的直线只有一个交点
∴BE 与CF 也交于此点
∴点Q 、P 、O 重合。

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE .
证明：如图，延长OE到点G，使OG=OB。

∵OG=OB
∴点O是BG的中点
又∵点D是BC的中点
∴OD是△BGC的一条中位线
∴AD‖CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点
∴OF是△BGA的一条中位线
∴CF‖AG ∵AD‖CG，CF‖AG
∴四边形AOCG是平行四边形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE 命题得证。