高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性有详细答案

§2.3 函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,关于y 轴对称

奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数,关于原点对称 2.周期性

(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．

( × ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． ( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．

( √ ) (4)若函数f (x )＝x

(x －2)(x ＋a )

为奇函数，则a ＝2.

( √ )

(5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0. ( √ )

2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1

x ，则f (－1)等于( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

答案 A

解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.

3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是

( )

A ．－13 B.13 C.12 D ．－12

答案 B

解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，

∴a ＝13，则a ＋b ＝13

.

4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于

( )

A ．－2

B ．2

C ．－98

D ．98

答案 A

解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，

∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 又f (x )为奇函数，

∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 015)＝－2.

5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________． 答案 (－1,0)∪(1，＋∞)

解析 画草图，由f (x )为奇函数知：f (x )>0的x 的取值范围为 (－1,0)∪(1，＋∞).

题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；

(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x

1＋x ；

(3)f (x )＝4－x 2

|x ＋3|－3

.

思维启迪 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．

解 (1)由⎩

⎪⎨⎪

⎧

9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3.

∴f (x )的定义域为{－3,3}，关于原点对称． 又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．

∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧

1－x 1＋x ≥01＋x ≠0，得－1

(3)由⎩

⎪⎨⎪⎧

4－x 2≥0

|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.

∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．

∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2

x .

∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数．

思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝lg (1－x 2)

|x －2|－2；

(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2＋2(x >0)0(x ＝0)－x 2－2(x <0)

.

解 (1)由⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x 2>0

|x －2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，

f (x )＝l

g (1－x 2)－(x －2)－2

＝－lg (1－x 2)

x .

∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2]－x ＝－lg (1－x 2)

－x ＝－f (x )．

∴f (x )为奇函数．

(2)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，

当x >0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )； 当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )． 故该函数为奇函数． 题型二 函数周期性的应用