二、全微分在数值计算中的应用

则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By称为函数z f ( x, y)在点( x, y)的 全微分，记为dz或 df (x, y)
即 dz= Ax By
说明 10：如果函数若在某区域 D 内各点处处可 微分，则称这函数在 D 内可微分.
说明 20: 如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微
解 z 2xy, z x2 2 y
x
y
所求全微分 dz 2xydx (x2 2 y)dy.
例 2 计算函数z e xy在点(2,1)处的全微分.
解 z ye xy , z xe xy ,
x
y
z e2 , z 2e2 ,
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x (2,1)
z dz fx ( x, y)x fy ( x, y)y. 也可写成
f ( x x, y y) f ( x, y) fx ( x, y)x fy ( x, y)y.
三、小结
１、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系．
dz ( ,) 4

z x
dx
( ,) 4

z dy y ( ,)
4

2 (4 7). 8
例 4 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
x y
可微分．
习惯上，记全微分为 dz z dx z dy. x y
例 1 求函数 z x2 y y2 的全微分.
P( x x, y y) P 的某个邻域
z Ax By o( ) 总成立, 当y 0时，上式仍成立，此时 | x |,
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
lim f ( x x, y) f ( x, y) A z ,
第四节 全微分
一、全微分的定义 *二、全微分在数值计算中的应用 三、小结
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) fx(x, y)x
f ( x, y y) f ( x, y) f y(x, y)y
二元函数
对x 和对y 的偏增量
二元函数
对x 和对y 的偏微分
１、定义
全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的某邻域内
有定义，并设 P(x x, y y) 为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y的全增 量，记为z， 即 z= f ( x x, y y) f ( x, y)
分, 则函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0, 0
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
x0
0
y0
f (x, y)
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
x0
x
x
同理可得 B z . y
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
例如，
xy
f
(
x,
y)


x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点(0,0)处有：fx(0,0) f y(0,0) 0
在点(0,0)是不连续 所以：函数在原点(0,0)不可微
y (2,1)
所求全微分 dz e2dx 2e2dy.
例 3 求函数z y cos( x 2 y)，当 x ， y ，
4
dx ，dy 时的全微分.
4
解 z y sin( x 2 y), x z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y), y
（注意：与一元函数有很大区别）
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２、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分，则该函数在点( x, y)的偏导数 z 、
x z 必存在，且函数z f ( x, y)在点( x, y)的全微分 y
为
dz z x z y． x y
证 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于 x, y而仅与 x, y有关， (x)2 (y)2 ，
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
二、全微分在近似计算中的应用
当二元函数z f (x, y) 在点 P(x, y)的两 个偏导数 fx ( x, y), fy ( x, y) 连续，且 x , y 都较小时，有近似等式