3计算方法常微分方程的差分方法
第三章常微分方程的差分方法15
h3 3
y"'( )
yn1 2hf (xn , yn )
h3 y"'( ) 0(h3)
3 故两步欧拉格式是二阶方法。
3、2 改进的欧拉方法
1、梯形格式
为了改进欧拉方法的精度，我们将微分方程（1）两 边从 x0 到x对x积分，于是得到与初值问题（1）、（2） 等价的积分方程
x
y(x) y0 x0 f (t, y(t))dt
因此，求解y(x)就转化为计算上式右端的积分。
令x x1,得
y(x1) y0
又令x x2,得
x1 f (t, y(t))dt
x0
y(x2 ) y0
x2 x0
f
(t,
y(t))dt
y0
x1 f (t, y(t))dt
x0
x2 x1
f (t, y(t))dt
y(x1)
x2 x1
设用 y xn 的近似值 yn 代入上式右端，记所求结果
为 yn1 ，这样导出的计算公式
yn1 yn hf xn, yn , n 0,1, 2, （3）
步 长
已知节 点
已先 期算 出
这就是众所周知的欧拉（Euler）格式，若
初值 y0 是已知的，则依据上式即可逐步算
出数值解
y1 , y2 ,
f
常微分方程差分法
i.常微分方程初值问题差分法
i.1 常微分方程差分法
考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足
(,), 0du f t u t T dt
=<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b)
其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得
121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-∀∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在、唯一，并且连续依赖于初值0u 。
常微分方程初值问题（i.1）的精确解是从给定初始点00(,)t u 出发的一条连续曲线，通常情况下不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是求得若干个离散点来逼近这条解曲线。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法—差分方法。构造差分法有两个基本途径。一个是简单地用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。
先来看最简单的Euler 方法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点n t hn =：
0110N N t t t t T -=<<<<= （i.3） 其中0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商
第三章 微分方程及差分方程方法
两个特解 y1 e x cos x, y2 e x sin x ，如果特征根 r 是 l 重实数根，则原方程对 应 有 l 个 特 解 y1 erx , y2 x erx ,, yl xl1 erx ， 如果 特征 根有 m 重 共 轭复 数 根 i ，则原方程对应有 2m 个特解 y2k1 xk1 e x cos x ， y2k xk1 e x sin x (k 1, 2,, m) 。
解 为 y C1 C2 x er1x ； 如 果 两 个 根 为 共 轭 复 根 r1,2 i ， 则 通 解 为
y e x (C1 cos x C2 sin x) ． 2、 n 阶常系数齐次线性微分方程 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0 ，
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ． 此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的 通解．
求解差分方程的三种基本方法
求解差分方程的三种基本方法
一、引言
差分方程是数学中的一种重要的方程类型，它描述了随时间变化的某一物理量的变化规律。求解差分方程是数学中的一个重要问题，本文将介绍求解差分方程的三种基本方法。
二、递推法
递推法是求解差分方程最常用的方法之一。递推法的基本思想是从已知条件开始，通过不断地递推求出未知条件。具体步骤如下：
1. 将差分方程转化为递推关系式。
2. 根据已知条件确定初始值。
3. 通过递推关系式不断计算出后续值，直到得到所需的未知条件。
4. 验证得到的结果是否符合原来的差分方程。
三、特征根法
特征根法也称为特征值法或本征值法，它是求解线性齐次差分方程最
常用的方法之一。特征根法的基本思想是通过求解差分方程对应齐次
线性常系数微分方程所对应的特征方程来得到其通解。具体步骤如下：
1. 将差分方程转化为对应齐次线性常系数微分方程。
2. 求出该微分方程对应的特征方程。
3. 求解特征方程得到其特征根。
4. 根据特征根求出微分方程的通解。
5. 将通解转化为差分方程的通解。
四、拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是求解非齐次差分方程最常用的方法之一。拉普拉斯
变换法的基本思想是将差分方程转化为对应的积分方程，并通过求解
积分方程来得到其通解。具体步骤如下：
1. 对差分方程进行拉普拉斯变换，将其转化为对应的积分方程。
2. 求解积分方程得到其通解。
3. 对通解进行反变换，得到差分方程的通解。
五、总结
本文介绍了求解差分方程的三种基本方法：递推法、特征根法和拉普拉斯变换法。其中递推法适用于求解线性或非线性齐次或非齐次差分方程；特征根法适用于求解线性齐次差分方程；而拉普拉斯变换法则适用于求解非齐次差分方程。在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
3__计算方法常微分方程的差分方法
y ( xn 1 ) y ( xn ) h f ( xn 1 , y ( xn 1 )) yn 1 yn h f ( xn 1 , yn 1 ) y0已知
10
• 隐式 • 计算比较困难 • 一阶方法
11
• 两步Euler格式——中心差商公式
y ( xn 1 ) y ( xn 1 ) 2h y ( xn 1 ) y ( xn 1 ) 2h f ( xn , y ( xn )) y ' ( xn ) yn 1 yn 1 2h f ( xn , yn )(n 0,1,2) y0已知
而
yn1 y( xn ) hy ( xn ) ph y ( xn ) O(h )
有： λp=1/2。 ——二阶Runge-Kutta格式
2 h y ( xn 1 ) y ( xn ) hy' ( xn ) y '' ( xn ) O(h3 ) 2
23
• λ=1/2，p=1，改进的Euler公式； • λ=1，p=1/2，变形的Euler公式——中点公式；
1 (y 15
h ( ) 2 n 1
(h) yn 1 )
29
• 初步总结 与第2章的继承性。 • Exercises 习题3的第10、12题。
30
3.4 Adams方法
微分方程差分方程
微分方程差分方程
微分方程和差分方程是数学中非常重要的两个分支，它们分别研究连续和离散的变化规律。在物理学、工程学和经济学等领域中，微分方程和差分方程被广泛应用于解决实际问题，为研究和预测系统的行为提供了有效的工具。
首先我们来了解一下什么是微分方程。微分方程是描述变量及其变化率之间关系的数学方程。它可以用来描述自然界中的许多现象，如物体的运动、弹簧的振动、电路中的电流变化等。简单来说，微分方程可以帮助我们理解和预测系统的演变过程。
微分方程的求解通常需要一些基本的数学知识，如微积分、代数等。通过运用这些知识，我们可以用解析方法或数值方法求解微分方程。解析方法是通过数学推导来得到方程的解析解，这种方法常用于求解简单的微分方程。而数值方法通常用于求解复杂的微分方程，它将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算逼近方程的解。
差分方程与微分方程有着密切的关系，它是离散时间下的微分方程。差分方程用来描述离散的变化过程，所以在计算机科学、电子工程和信号处理等领域中得到了广泛的应用。差分方程的求解方法与微分方程类似，同样可以用解析方法或数值方法进行求解。
在实际应用中，我们常常需要根据已知条件建立微分方程或差分方程，然后利用方程求解问题。例如，在物理学中，我们可以根据牛顿第二定律建立物体的微分方程，从而描述物体在力的作用下的运动
规律。在经济学中，我们可以根据供需关系建立市场的差分方程，从而研究市场的波动和价格变动。
微分方程和差分方程在实际问题中的应用非常广泛，它们不仅可以帮助我们理解自然和社会现象，还可以用来解决工程和科学中的实际问题。通过对微分方程和差分方程的研究，我们可以预测和控制系统的行为，优化系统的性能，并取得更好的研究和应用效果。
求解微分方程的常用方法
求解微分方程的常用方法
微分方程是数学的一个重要领域，在各个科学领域中都有着广泛的应用。求解微分方程是解决实际问题的重要方法之一。本文将介绍一些求解微分方程的常用方法。
一、解析解法
解析解法是指用变量分离、母函数法、变量代换等方法，将微分方程转化为一些已知函数的方程，从而求得方程的解。
变量分离法是一种常见的解析解法。对于形如y'=f(x)g(y)的微分方程，可以将其变为dy/g(y)=f(x)dx的形式，进而通过积分得到y的解。母函数法是将微分方程变成一个恒等式的形式，从而求出微分方程的通解。变量代换法则是通过适当的变量代换，使微分方程变为已知形式的微分方程，进而求出其解。
二、初值问题法
初值问题法通常用于求解一阶微分方程的初值问题。该方法的基本思路是先求得微分方程的通解，然后利用给定的初始条件（即初值），确定通解中的任意常数，从而得到特解。
三、数值解法
数值解法是指将微分方程转化为一个差分方程，利用数值方法求得近似解。数值解法的基本思路是将区间分为若干小段，然后在每一小段上通过近似计算求得微分方程的解。常用的数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。这些方法的特点是简单易实现，但对于复杂的微分方程而言，计算量较大，精度也有限。
四、级数解法
级数解法是将微分方程的解表示为幂级数的形式，从而求解微分方程。这种方法的思路是假设微分方程的解为幂级数的形式，然后代入微分方程得到一组关于幂级数系数的递推公式，进而求得幂级数的系数，并由此得出微分方程的解。
五、特殊函数解法
特殊函数解法是指利用已知的特殊函数求解微分方程。一些常
第三章 常微分方程的差分方法
xi x0 ih, i 1,2,, n
数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点 的数值解。
School of Automation Engineering
自 动 化 工 程 学 院
第 三 章
常微分方程的差分方法
对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数
值解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过 程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法， 要求给出用已知信息 yi , yi 1 , yi 2 ,, y0 计算 y i 1 的递推 公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值 积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题
xi 1
xi
y dx
xi 1
xi
f ( x, y)dx
xi 1 xi
y( xi 1 ) y( xi )
xi 1
xi
f ( x, y)dx y( xi )
f x, y( x)dx (3.3)
选择不同的计算方法计算上式的积分项
会得到不同的计算公式。
School of Automation Engineering
xn
相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。 过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为
常微分方程差分解法、入门、多解法
毕业论文
题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院
专业信息与计算科学
班级计算0802
学生王丹丹
学号20080901045
指导教师王宣欣
二〇一二年五月二十五日
摘要
偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。
第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系
数扩散方程：
2
2
,,0 u u
a x R t
t x
∂∂
=∈>∂∂
第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。
第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。
关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例
ABSTRACT
The numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.
微分方程差分方程
微分方程与差分方程
1. 引言
微分方程和差分方程是数学中两个重要的概念，它们在许多领域有着广泛的应用。微分方程主要研究连续变量的变化规律，而差分方程则研究离散变量的变化规律。本文将对微分方程和差分方程进行详细介绍，并比较它们之间的异同。
2. 微分方程
2.1 定义
微分方程是描述函数导数与自变量之间关系的方程。一般形式为：
F(x,y,y′,y″,…,y(n))=0
其中y是未知函数，y′表示y的一阶导数，y″表示y的二阶导数，以此类推，y(n)表示y的 n 阶导数。
2.2 分类
微分方程可以根据未知函数、自变量、导数之间的关系进行分类。常见的分类包括：•常微分方程：只涉及一元函数及其有限个阶导数。
•偏微分方程：涉及多元函数及其偏导数。
•线性微分方程：未知函数及其导数之间的关系是线性的。
•非线性微分方程：未知函数及其导数之间的关系是非线性的。
2.3 解法
求解微分方程是找到满足方程的函数y的过程。常见的解法包括：
•分离变量法：将微分方程转化为两个变量的乘积形式，然后进行积分得到解。•齐次方程法：通过变量代换将非齐次方程转化为齐次方程，再通过求解齐次方程得到解。
•常数变易法：对于一阶线性非齐次微分方程，可以通过假设待定系数为常数来求解。
•变量替换法：通过适当的变量替换将微分方程转化为更简单的形式，然后进行求解。
3. 差分方程
3.1 定义
差分方程是描述离散变量之间关系的方程。一般形式为：
F(n,y(n),y(n+1),…,y(n+k))=0
其中n表示自变量取值的序列，y(n)表示对应自变量取值时的函数值。
计算方法_第3章_常微分方程的差分方法
2
3
4
欧拉公式的几何意义
5
6
7
8
9
10
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14
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Βιβλιοθήκη Baidu
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20
课后作业：习题三，1 (1)、5 上机作业：习题三，13
21
数值分析9-常微分方程的差分方法
7
O(h6 )
n8
O(hn2 )
由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受
解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好 采用低阶算法而将步长h 取小。
亚当姆斯方法-线性多步法
当 10 时，为隐式公
线性多步法
式; 1=0 则为显式公式。
用 y(x若i+1干)。节其点通处式的可y写及为y’：值的f线j 性f 组( x j合, y来j ) 近似
二阶龙格-库塔方法（续）
Step 2: 将 K2 代入第1式，得到
yi1 yi h 1 y( xi ) 2[ y( xi ) phy( xi ) O(h2 )]
yi (1 2 )hy( xi ) 2 ph2 y( xi ) O(h3 )
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较
➢ 基于数值积分的构造法
将 y f ( x, y) 在 [ xi , xi1] 上积分，得到
y( xi1) y( xi )
xi1 f ( x, y( x))dx
xi
只过要yi近1 似y地i 算Ik出近右似边y(x的i+1积) 。分而I选k 用不xxii1同f (近x,似y(式x))Idkx，，可则得可到通不
欧拉公式
向前差商近似导数
y( x0 )
常微分方程的差分方法
y ' f x, y
y
x0
y0
且满足Lipshitz条件 :| f (x, y) f (x, y* ) | L | y y* |
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存在唯一。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归
结出来的微分方程要靠数值解法。
，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为 灰烬了．
•
沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．欧拉完
全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着
记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久
数值分析简明教程
4.11
安工大2004
数值分析简明教程
hy'(xn1 ),
y(xn1 )
yn1
1 2
h2 y"( )
数值分析简明教程
4.14
安工大2004
两步欧拉格式1
设改用中心差商
1 2h
y
xn1
y
xn1
y 'xn f xn, yxn
中的导数项 ，再离散化，即可导出下列格式
替代方程
yn1 yn1 2hf xn, yn
常微分方程的差分方法
L1 K 1 zn , K 2 z n h L1 , L2 2 K z h L , L n 2 3 3 2 K z hL , L n 3 4 4
f ( x n , yn , z n ), f ( xn 1 , yn h h K 1 , z n L1 ) 2 2 2 h h f ( x n 1 , yn K 2 , z n L2 ) 2 2 2 f ( x n 1 , yn hK 3 , z n hL3 )
5
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
n Ch2 (1 hL) n1
Ch2 (1 hL)[Ch2 (1 hL) n 2 ] Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 n 2 Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 Ch2 (1 hL)3 n 3 1 n 2 Ch (1 hL)i (1 hL)n 0
11
十．方程组与高阶方程的情形
1．一阶方程组
y f ( x , y , z ), z g ( x , y , z ), y ( x 0 ) y0 z ( x0 ) z0
h yn1 yn ( K 1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 z z h ( L 2L 2L L ) n 1 2 3 4 n1 6
第3章 常微分方程的差分方法
(2.6)称为向后欧拉格式，又称为隐式欧拉格式。因 为在此式的右边也包含未知的yi+1，所以是yi+1的一个 函数方程，故称它为隐式格式。（2.2）的右边则没有 未知的yi+1，因此是一种显式格式。隐式格式的计算 当然比显式格式要困难得多，一般情况下，只能用迭 代法求解，计算量比较大。
19
再如，用中心差商表示的三点数值微分公式
2 1 h (3 ) y ( x ) [ y ( x ) y ( x )] y ( ) i i 1 i 1 i 2 h 6 ( i 0 , 1 , 2 ,..., n 1 )
代入
y ( x ) f ( x , y ( x )) ( i 0 , 1 , 2 ,..., n ) i i i
由于误差的积累，折线P0 P1P2…Pi…Pn可能会越来 越偏离真解 P'0 P'1P'2…P'i…P'n 曲线。
差分是微分的近似计算，所以欧拉格式也可用
差商近似代替导数的离散方法得到。在节点xi 处有
y ( x ) f ( x , y ( x ))( i 0 , 1 , 2 ,..., n ) （2.4） i i i
或
x x h , ( i 0 , 1 , 2 ,... n 1 )
i 1 i
7
( a )y 为已知，即 因为初值问题中的初始条件 y 0
微分方程差分方程
微分方程和差分方程是两种不同的数学模型，分别用于描述连续和离散的动力学系统。
微分方程是描述一个连续变量（通常是时间t）的变化的方程，其中包含该变量的导数（或其他更高阶导数）。例如，一个简单的常微分方程可能是 y' = f(t, y)，其中y是t的函数，f是关于t和y 的函数。
差分方程则是描述离散变量（通常是时间步n）的变化的方程，其中包含该变量的差分（或其他更高阶差分）。例如，一个简单的差分方程可能是 y(n+1) = f(n, y(n)), 其中y是时间步n的函数，f 是关于n和y的函数。
这两者在许多领域都有应用，包括物理学、工程学、经济学、生物学等。
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• 改进的思路： 先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 y n 1 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。 • 改进的Euler公式
h f (x n n, y n) 1 y yn h , yn y n 1 y n [ f (x n, y n) f (x n 1 1)] 2 h y ,y h f (x n 1 y n [ f (x n, y n) f (x n 1 n n, y n))] 2
Baidu Nhomakorabea
4
• 差分方法是一类重要的数值解法 寻求一系列离散节点 x1< x2<…< xn<…上的近似解y1， y2，…，yn，…。 h=xn+1-xn称为步长。 • 初值问题差分方法的特点： 步进式——求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前 推进。 描述这种算法，只要给出从已知信息yn，yn-1， yn-2 ，…计 算yn+1的递推公式 ——差分格式。 • 求解的核心——消除导数，离散化方法
离散化
y y h f ( x , y ) n 1 n n n
• 梯形格式
h y ( x ) y ( x ) [ f ( x , y ) f ( x , y ( x ))] n 1 n n n n 1 n 1 2 离散化 h y y [ f ( x , y ) f ( x , y )] n 1 n n n n 1 n 1 2 ——两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。
9
• 隐式Euler方法 向后差商公式。
y(xn1) y(xn) y(xn1) y(xn) y (xn1) xn1 xn h
'
y(xn1) y(xn) h f (xn1, y(xn1)) yn1 yn h f (xn1, yn1) y0 已知
16
或如下平均化形式
y p yn h f ( xn , yn ) y c y n h f ( x n 1 , y p ) y n 1 1 ( y p y c ) 2
17
• 例题
2x y y (0 x 1) y y(0) 1
计算方法
1
3 常微分方程的差分方法
• 问题的提出 • 一阶方程的典型解 法
2
3.0 问题的提出
• 数值微分 微分的定义
• 差商公式 ——三种典型的差商公式
3
• 典型的微分方程(一阶方程的初值问题)
y ' f ( x, y ) y ( x0 ) y 0 • 理论解(解析方法)的局限性 • 数值解法的重要性 ——无理论解、仅有离散点。
10
• 隐式 • 计算比较困难 • 一阶方法
11
• 两步Euler格式——中心差商公式
y(xn1) y(xn1) 2h y(xn1) y(xn1) 2h f (xn, y(xn)) y' (xn) yn1 yn1 2h f (xn, yn)(n 0,1 ,2 ) y0 已知
5
3.1
• Euler格式
Euler方法
微分的离散化——差商代替导数 在点xn列出一阶方程
y' (xn) f (xn, y(xn)) y0 已知
6
y(xn1) y(xn) y(xn1) y(xn) y (xn) xn1 xn h
'
y(xn1) y(xn) h f (xn, y(xn)) yn1 yn h f (xn, yn)(n 0,1 ,2 ) y0 已知
'
18
• 精度分析 • 思考题 ——数值积分公式其他形式(思想)的适用性
19
3.3 Runge-Kutta方法
• 高精度(构造！) y(xn1) y(xn) • 思想 y' ()
h y(xn1) y(xn) h f (, y()) yn1 yn h f (, y())
f (x ,y )d x
x n 1 x n
y (x (x n 1) y n)
f (x ,y )d x
• 选取不同的数值积分公式 ——不同的离散方法(差分格式)
14
• 矩形格式
y ( x ) y ( x ) h f ( x , y ( x )) n 1 n n n
• 显式 • 图形
7
• 例题
y' y y(0) 1
2x (0 x 1) y
取h=0.1
8
欧拉方法的误差分析
•
局部截断误差：在yn=y(xn)为准确的前提下，
yn+1-yn的误差。 如果其局部截断误差为O(hp+1)，称该数值方 法的精度是p阶的。
•
Euler格式的精度：一阶方法。
21
• 二阶Runge-Kutta方法 取xn和xn+p= xn+ph，0<p≤1。
yn1 yn h [( 1)K K 1 2] K 1 f (x n, y n) K f (x , y phK np n 1) 2
合理的确定λ、p，以提高精度。
22
•
假定yn=f(xn) ' K f ( x , y ) y ( x ) 1 n n n K f( x ,y phK ) 2 n p n 1 2 f ( x , y ) ph [ f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y )] O ( h ) n n x n n n n y n n ' '' 2 y ( x ) phy ( x ) O ( h ) n n 从而有 ' 2 ' ' 3
, y ( )) 核心是如何确定 f ( 。 • 改进的Euler公式 h y n 1 y n 2 ( K 1 K 2 ) K1 f ( xn , yn ) K f (x , y h K ) n 1 n 1 2
20
, y ( ))的构造 • f(
12
• 两步 • 二阶方法
h3 ''' y(xn1) y(xn1) 2h y (xn) y () 3 h3 ''' y(xn1) yn1 y () 3
'
13
3.2 改进的Euler方法
• 微分方程转化为积分方程
x n 1
x n
yd x
'
x n 1
x n