2014年高考数学试题分类汇编：立体几何--空间几何体的三视图、表面积和体积

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2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13立体几何)

2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何）一、选择题：1. （2014安徽文）一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是m 7] USA.21 +B.18+ J3C.21D.18解析：有题意知所得几何体是有棱长为 2的长方体截掉两个角得到的。

故S 表=2 2 6 -1 1 1 6 乜 G 2）2 2 = 21、. 32 4A E B考点：多面体的三视图与表面积A .23B.47C.6 D.71. A ［解析］如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，考点：1•多面体的三视图与体积2. (2014安徽理) 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（1其体积V = 8 — 2 X3正 K3 ・：左》MS3. （2014安徽理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有（）A.24 对B.30 对C.48 对D.60 对【答案】C 【解析】试题分析：在正方体ABCD - A'B'C'D'中，与上平面 A'B'C'D'中一条对角线 A'C' 成 60的直线有BC'f B'C, A'D,AD', D'C,写上平而 ABCD ，中另F 对角线鼠F 的直线也有N 对直绻所以一牛平面中尸说对直线，一：乂本&个面共有対X&对直线，去掉重复，则考点：1•直线的位置关系；2•异面直线所成的角4. (2014 北京理)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0) B(2,2,0), C(0,2,0), D(1,1, J2) •若 S,S 2,S 3分别是三棱锥 A . S = S 2 = S 3 C. S3 = Si 且 R £ 【答案】Dyoz 、zox 的正投影分为D 1、D 2、D 3，则「r4AD 1 =BD 1 = 2 , AB =2 , A S^2 2 2 =2 ,2S 2=S"=1x ：2x：＜v'2=J 2 , S 3 = S "=丄沢2沢丿2=灯2.2OCD 22 3OAD325.（2014福建文）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A.2 二B.二C.2D.1【答案】/【解析】由已知得，所得團柱的底面辛径和高均—】所以圆柱的侧面积为2揮，选4D - ABC 在xOy, yOz, zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（B.S 2 = S 且 S 2 — S3 ・ S 3 = S 2 且 S 3 -j S i【解析】设顶点D 在三个坐标面 xoy 、 AB6. （2014福建理）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【答案】A 【解析】试题分析，由于圆柱旳三视图不-十匕丘三朗册所以选L 考点=三观图.8. （2014湖北文、理）在如图1-1所示的空间直角坐标系 O- xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）.给出编号为，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为图1-1& D ［解析］由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线（一锐角顶点与其所对直角边中点的连线），故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②•故选D.则8 -r 6-^ .82 62 r = 2,故选 B.11.（2014江西理）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是理）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我的术“置如其周，令相乘也•又以高乘之， L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ^^L%.363.那么，近似公式V~€L 2h 相当于将圆锥体积公 759. （2014湖北文、国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖” 卜六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 n 近似取为式中的n 近似取为（）157 C. 50 355 D.1139. B ［解析］设圆锥的底面圆半径为1 2 1r ，底面积为S,贝U L = 2 n r.由题意得h ~§Sh ,代入Sn『化简得"3.类比推理，若V -务即时，"鲁.故选B.10 （2014湖南文、理）一块石材表示的几何体的三视图如图2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（A.1B.2C.3答案】BD.4 来源:]【解析】最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径K*— h —H IK (左tC B DB垂直AF形是13 4EE 3不确定，故选n【解析】A(0,0,0),E(4,3,12) 【解析】如下图所示，在正吗妨C ；AE ，将线段【答案】C申，取均L £妫为右・H AL> -qZp EWE 2E 313.（2014江西理）如右图，在长方体 ABC^A 1B 1C 1D 1中，AB =11 , AD =7, AA ,=12, —质点从顶点A 射向点E 4,3,12，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将i -1次到第i 次反射点之 A【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选间的线段记为L j i =2,3,4 ）1242L 2,L 3,L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图11、I ?、I 3、I 4，满足 h_I 2 ， I 2//I 3， I 3 — I4于-5,E 1E 2“儿；取M 為厶，皿为「则石丄d 应血为I 吗2*叩贝％与占异瓯因此从心的位直关系 2 2312 -13日(8,6,0), E 2(28,7,4), E 3(11,25,9), AE3412. （2014广东文、理）若空间中四条两两不同的直线则下列结论一定正确的是（）A. 11 I 14B. h //I 4C. 11、14 既不平行也不【答案】DD.h 、I 4的位置关系不确定52=65E 1E 212工。

空间几何体的三视图、表面积和体积高考数学真题与解析

专题八立体几何8.1空间几何体的三视图、表面积和体积考点一空间几何体的三视图与直观图1.(2016天津文,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案B由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.该几何体的侧视图为选项B中图形.故选B.评析本题主要考查空间几何体的三视图与直观图,考查学生的空间想象能力和识图、画图能力.2.(2014课标Ⅰ,8,5分,0.795)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱答案B 由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选B.3.(2014北京理,7,5分)在空间直角坐标系O-xyz 中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S 1,S 2,S 3分别是三棱锥D-ABC 在xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S 1=S 2=S 3B.S 2=S 1且S 2≠S 3C.S 3=S 1且S 3≠S 2D.S 3=S 2且S 3≠S 1答案D 三棱锥D-ABC 如图所示.S 1=S △ABC =12×2×2=2,S 2=12×2×2=2,S 3=12×2×2=2,∴S 2=S 3且S 1≠S 3,故选D.4.(2014课标Ⅰ理,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.62B.6C.42D.4答案B 由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示.其中面ABC⊥面BCD,△ABC 为等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC 的中点M,连接AM,DM,则DM⊥面ABC,在等腰△BCD 中,BD=DC=25,BC=DM=4,所以在Rt△AMD 中,AD=B 2+D 2=42+22+42=6,又在Rt△ABC 中,AC=42<6,故该多面体的各条棱中,最长棱为AD,长度为6,故选B.评析本题考查空间几何体的三视图与直观图之间的互相转化,考查面面垂直性质定理的应用.同时考查考生的空间想象能力和运算求解能力.正确画出三棱锥的直观图是解决本题的关键.5.(2013课标Ⅱ,理7,文9,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()答案A设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后,由于OA⊥BC,所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.方法归纳由几何体直观图画三视图的要求:①注意三个视图对应的观察方向;②注意视图中虚线与实线的区别;③画出的三视图要符合“长对正,高平齐,宽相等”的基本特征.6.(2013湖南理,7,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B.2C.2-12D.2+12答案C若该正方体的放置方式如图所示,当正视的方向与正方体的任一侧面垂直时,正视图的面积最小,其值为1,当正视的方向与正方体的对角面BDD1B1或ACC1A1垂直时,正视图的面积最大,其值为2,由于正视的方向不同,因此正视图的面积S∈[1,2].故选C.评析本题考查空间几何体的三视图与直观图,考查学生空间想象能力及有关知识的应用能力,解答本题应设法求出正视图的面积的取值范围,而不应该逐项计算.7.(2011课标理,6文,8,5分)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为()答案D 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面垂直于底面的三棱锥组成的组合体,故其侧视图应为D 选项.错因分析将组合体看成半圆柱和三棱锥的组合或不注意C 和D 中中线实虚的含义,易误选A 或C.评析本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的识图能力和空间想象能力.考点二空间几何体的表面积与体积1.(2018课标Ⅰ文,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π答案B 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面.设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=22,∴圆柱的表面积S=2πr 2+2πr·h=4π+8π=12π.故选B.解题关键正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.2.(2016课标Ⅱ文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.323πC.8πD.4π答案A 设正方体的棱长为a,则a 3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=3a,即R=3,所以球的表面积S=4πR 2=12π.故选A.方法点拨对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的直径,即外接球的半径等于体对角线的一半.3.(2016课标Ⅲ,理10,文11,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+365B.54+185C.90D.81答案B由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为35的斜四棱柱.其表面积S=2×32+2×3×35+2×3×6=54+185.故选B.易错警示学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致错.4.(2015课标Ⅰ理,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B由已知条件可知,该几何体由圆柱的一半和半球组成,其表面积为2πr2+πr2+4r2+2πr2=5πr2+4r2.由5πr2+4r2=16+20π得r=2.故选B.5.(2015北京理,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+5B.4+5C.2+25D.5答案C 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示,其中PA=1,BC=2,取BC 的中点M,连接AM,MP,则AM=2,AM⊥BC,故AC=AB=B 2+A 2=1+4=5,由正视图和侧视图可知PA⊥平面ABC,因此可得PC=PB=B 2+A 2=1+5=6,PM=B 2+A 2=1+4=5,所以三棱锥的表面积为S △ABC +S △PAB +S △PAC +S △PBC =12×2×2+12×5×1+12×5×1+12×2×5=2+25,故选C.6.(2015陕西,理5,文5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案D 由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表面积S=2×12×π×12+π×1×2+2×2=3π+4.评析本题考查三视图的概念和性质以及圆柱的表面积,考查运算及推理能力和空间想象能力.由三视图确定几何体的直观图是解题的关键.7.(2015课标Ⅱ,理9,文10,5分,0.685)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.思路分析由△OAB 的面积为定值分析出当OC⊥平面OAB 时,三棱锥O-ABC 的体积最大,从而根据已知条件列出关于R 的方程,进而求出R 值,利用球的表面积公式即可求出球O 的表面积.导师点睛点C 是动点,在三棱锥O-ABC 中,如果以面ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,而S △OAB 为定值,因此转化成以面OAB 为底面,这样高越大,体积越大.8.(2014浙江理,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2答案D由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图),其表面积为S=3×5+2×12×4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm2).9.(2014福建文,5,5分)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.1答案A由题意得圆柱的底面半径r=1,母线l=1.∴圆柱的侧面积S=2πrl=2π.故选A.10.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案C本小题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式.由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为1cm,2cm,高为2 cm,直四棱柱的高为2cm.故直四棱柱的体积V=1+22×2×2=6cm3.思路分析(1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱;(2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长.11.(2016山东理,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.13+23πB.13+C.13+答案C由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径等于正四棱锥底面正方形的对角线的长,所以球的直径2R=2,即所以半球的体积为23πR3又正四棱锥的体积为13×12×1=13,所以该几何体的体积为13+故选C.易错警示不能从俯视图中正确地得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=12.评析本题考查了空间几何体的三视图和体积公式.正确得到几何体的直观图并准确地计算是解题关键.12.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.12D.1答案A由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示,其底面是等腰直角三角形ACB,直角边长为1,三棱锥的高为1,故体积V=13×12×1×1×1=16.故选A.13.(2015课标Ⅰ,理6,文6,5分,0.451)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B设圆锥底面的半径为R尺,由14×2πR=8得R=16π,从而米堆的体积V=14×13πR2×5=16×203π(立方尺),因此堆放的米约有16×203×1.62π≈22(斛).故选B.14.(2015课标Ⅱ,理6,文6,5分,0.426)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15答案D如图,由已知条件可知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去三棱锥A-A1B1D1后剩余的部分即为题中三视图对应的几何体,设该正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a3,剩余部分的体积为a3-16a3=56a3.它们的体积之比为15.故选D.15.(2015重庆理,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.13+2πB.13π6C.7π3D.5π2答案B由三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱和底面半径为1,高为1的半圆锥拼成的组合体.所以该几何体的体积为12×13×π×12×1+π×12×2=13π6,故选B.16.(2015浙江理,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.8cm3B.12cm3C.323cm3D.403cm3答案C由三视图知,该几何体是由棱长为2cm的正方体和底面边长为2cm,高为2cm的正四棱锥组合而成的几何体.所以该几何体的体积V=23+13×22×2=323cm3,故选C.17.(2015山东理,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D.2π答案C如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥,故所求体积V=2π-π3=5π3.评析本题主要考查几何体的体积及空间想象能力.18.(2015湖南文,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积)原工件的体积A.89πB.827πC.24(2-1)3πD.8(2-1)3π答案A由三视图可知,原工件是一个底面半径为1,母线长为3的圆锥,则圆锥的高为22,新工件是该圆锥的内接正方体,如图,此截面中的矩形为正方体的对角面,设正方体的棱长为x,则22x1=22-x22,解得x=223.所以正方体的体积V1223=16227,又圆锥的体积V2=13π×12×22=223π,所以原工件材料的利用率为12=89π,故选A.19.(2014陕西理,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.32π3B.4πC.2πD.4π3答案D 如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC=2,∴对角面ACC 1A 1为正方形,∴外接球直径2R=A 1C=2,∴R=1,∴V 球=4π3,故选D.20.(2014课标Ⅱ,理6,文6,5分,0.506)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727 B.59C.1027D.13答案C 该零件是两个圆柱体构成的组合体,其体积为π×22×4+π×32×2=34πcm 3,圆柱体毛坯的体积为π×32×6=54πcm 3,所以切削掉部分的体积为54π-34π=20πcm 3,所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π=1027,故选C.21.(2014课标Ⅱ文,7,5分,0.495)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为()A.3B.32C.1答案C 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∵AD⊥BC,AD⊥BB 1,BB 1∩BC=B,∴AD⊥平面B 1DC 1,∴t1D1=13△1D1·AD=13×12×2×3×3=1,故选C.22.(2013课标Ⅰ,理8,文11,5分,0.718)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π答案A由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积V=4×2×2+12π×22×4=16+8π.故选A.思路分析由三视图分析该几何体的构成,从而利用三视图中的数据计算几何体的体积.23.(2013浙江文,5,5分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3答案B由三视图可知,该几何体是一个长方体截去了一个三棱锥,结合所给数据,可得其体积为6×6×3-13×12×4×4×3=100(cm3),故选B.24.(2012大纲全国,理7,文7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18答案B由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=13×12×6×3×3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.25.(2011陕西文,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()A.8-2π3B.8-π3C.8-2πD.2π3答案A由给出的三视图可得原几何体为正方体中挖去一圆锥,且此圆锥以正方体的上底面内切圆为底,以正方体的棱长为高.故所求几何体的体积为8-13×π×12×2=8-2π3.评析三视图是考查空间想象能力很好的一个题材,正确解答此类题目的关键是平时空间想象能力的培养,对文科学生来说,本题属中等难度题.26.(2016课标Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π答案A由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR2+34×πR2=17π.故选A.27.(2016课标Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π答案C由三视图可得圆锥的母线长为22+(23)2=4,∴S圆锥侧=π×2×4=8π.又S圆柱侧=2π×2×4=16π,S圆柱底=4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π.故选C.思路分析先求圆锥的母线长,从而可求得圆锥的侧面积,再求圆柱的侧面积与底面积,最后求该几何体的表面积.28.(2017课标Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π解析本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式.由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2=72,所以球O的表面积为4πR2=14π.疑难突破明确长方体的体对角线为球O的直径是求解的关键.易错警示易因用错球的表面积公式而致错.29.(2013课标Ⅱ,15,5分,0.158)已知正四棱锥O-ABCD底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24π解析设底面中心为E,连接OE,AE,则|AE|=12|AC|=∵体积V=13×|AB|2∴|OA|2=|AE|2+|OE|2=6.从而以OA为半径的球的表面积S=4π·|OA|2=24π.思路分析先根据已知条件直接利用锥体的体积公式求得正四棱锥O-ABCD的高,再利用勾股定理求出|OA|,最后根据球的表面积公式计算即可.30.(2013课标Ⅰ,15,5分,0.123)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.答案9π2解析平面α截球O所得截面为圆面,圆心为H,设球O的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得OH=13R,由圆H的面积为π,得圆H的半径为1,+12=R2,得出R2=98,所以球O的表面积S=4πR2=4π·98=92π.31.(2013福建理,12,4分)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.答案12π解析由三视图知:棱长为2的正方体内接于球,故正方体的体对角线长为23,即为球的直径.所以球的表面积为232=12π.32.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则12的值是.答案32解析本题考查空间几何体的体积.设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O 1O 2的底面圆的半径为R,高为2R,∴12=π2·2R 43π3=32.33.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH 的体积为.答案112解析本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积.由题意知四棱锥的底面EFGH 为正方形,其边长为22,即底面面积为12,由正方体的性质知,四棱锥的高为12.故四棱锥M-EFGH 的体积V=13×12×12=112.34.(2016天津理,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案2解析四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其面积为2×1=2m2,四棱锥的高为3m,所以四棱锥的体积V=13×2×3=2m3.易错警示该题有两点容易出错:一是锥体的体积公式中的系数13易漏写;二是底面平行四边形的面积易错误地写成3×1=3m2.评析本题考查了三视图和直观图,考查了锥体的体积.35.(2016四川,13,5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案解析由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为23,三棱锥的高为1,则三棱锥的底面积为12×22-(3)2×23=3,∴该三棱锥的体积为13×3×1=评析正确理解正视图中的数据在直观图中表示的含义很关键.36.(2014山东理,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则12=.答案14解析如图,设S△ABD=S1,S△PAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S 2=2S1,h2=2h1,V1=1S1h1,V2=1S2h2,∴1=1ℎ1=1.评析本题考查三棱锥的体积的求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化,找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系,从而造成题目无法求解或求解错误.37.(2012安徽,12,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于.答案56解析由题意知,该三视图对应的几何体如图,其体积12(2+5)×4×4=56.评析本题主要考查三视图的知识,考查学生的空间想象能力.由三视图得到直观图是解题关键.38.(2011课标理,15,5分)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=23,则棱锥O-ABCD的体积为.答案83解析如图,连接AC,BD,交于O1,则O1为矩形ABCD所在小圆的圆心,连接OO1,则OO1⊥面ABCD,易求得O1C=23,又OC=4,∴OO1=B2-12=2,∴棱锥体积V=13×6×23×2=83.失分警示立体感不强,空间想象能力差,无法正确解出棱锥的高而得出错误结论.评析本题主要考查球中截面圆的性质及空间几何体的体积的计算,通过球这个载体考查学生的空间想象能力及推理运算能力.39.(2011课标文,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.答案13解析如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r,由题意得πr2=316×4πR2.=12R.体积较小的圆锥的高AO1=R-12R=12R,体积较大的圆锥的高BO1=R+12R=32R.1故这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13.评析本题考查球、球内接圆锥的相关问题,考查R,r的关系,由题意得到是解答本题的关键. 40.(2020课标Ⅰ文,19,12分)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P 为DO上一点,∠APC=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3π,求三棱锥P-ABC的体积.解析(1)由题设可知,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB,△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,所以平面PAB⊥平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故所以三棱锥P-ABC的体积为13×12×PA×PB×PC=13×12×第21页共21页。

2014年高考数学试题分类汇编立体几何 word版含答案

2014年高考数学试题汇编立体几何一．选择题1. （2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）圆柱圆锥四面体三棱柱A2. (2014新课标I)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为...6 .4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，其中，，故最长的棱的长度为，选C3. (2014新课标II)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】C4（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A. 90B. 129C. 132D. 138D5. (2014江西)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B6(2014重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】7.（2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】8(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.49(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A）（B）（C）21 （D）187 A10. (2014湖北)在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②点评：本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题。

2014年高考立体几何(解析版)

2014年高考真题立体几何汇编解析版16．（2014江苏）(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴13DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17.（2014山东）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60,DAB ∠=22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（I ）求证：111//C M A ADD 平面；B 1C 1D 1A 1DCBMA（II ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD 平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值. 解：（Ⅰ）连接1AD1111D C B A ABCD - 为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =又M 为AB 的中点，1=∴AM AM CD //∴,AM CD =11//D C AM ∴,11D C AM =11D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴又111ADD A M C 平面⊄ 111A D D A AD 平面⊂111//ADD A AD 平面∴（Ⅱ）方法一：11//B A AB 1111//D C B A共面与面1111D ABC M C D ∴作AB CN ⊥,连接N D 1 则NC D 1∠即为所求二面角在ABCD 中， 60,2,1=∠==DAB AB DC 23=∴CN 在CN D Rt 1∆中，31=CD ,23=CN 2151=∴N D 方法二：作AB CP ⊥于p 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴)3,23,21(),0,0,1(111-==∴M D D C设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=∴03232101111z y x x )1,2,0(1=∴n 显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n5551,cos 21==<∴n n 显然二面角为锐角，所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为555515321523cos 11====∠∴N D NC CN D18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。

2014高考数学复习：立体几何——第1节_空间几何体的结构、三视图、表面积、体积(学生版)

第1节空间几何体的结构、三视图、表面积、体积一、复习指导1．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．2．熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．二、知识清单1．多面体的结构特征(1) 棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2) 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3) 棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的结构特征(1) 圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．(2) 圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．(3) 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．(4) 球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1) 画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′ 轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′ = 45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2) 画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积6. (1) 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2) 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．三、方法解读一个规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．两个概念(1) 正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2) 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．两种方法(1) 解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．(2) 等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．四、双基自测1．下列说法正确的是( )．A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D ．棱台各侧棱的延长线交于一点2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )． A ．圆柱 B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )．A ．8－2π3 B ．8－π3C ．8－2π D.2π34．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( )．5．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）则该几何体的体积为________m 3.6．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )． A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS7．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )． A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 28．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 ( )．A ．8B ．6 2C ．10D ．8 29．设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A. 92π＋12B. 92π＋18 C. 9π＋42 D. 36π＋1810．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________．五、考点导析考点一空间几何体的结构特征【例1】以下命题：① 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ② 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③ 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④ 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．考点二空间几何体的三视图【例2】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()．[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【变式1】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．考点三几何体的表面积【例3】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()．A．48 B．32＋817C．48＋817 D．80[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【变式2】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )．A.3B ．2C ．2 3D ．6考点四几何体的体积【例4】如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．A ．18 3B ．12 3C ．9 3D ．6 3[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．【变式3】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．A.283π B.163π C.43π＋8 D ．12 π。

2014年高考试题立体几何及答案

立体几何1、如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC . 同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD . 又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.2、如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ； (2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．20．解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos∠ABM ＝22＋⎝⎛⎭⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214.由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝5 38.所以四棱锥P -ABMO 的体积V四棱锥P -ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×5 38×32＝516.3、[四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．4．如图在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E ABC 的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E - ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.5、如图1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .证明：(1)连接AD 1，由ABCD - A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1.因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图，连接AC ，BD ，A 1C 1，则AC ⊥BD . 由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得CC 1⊥BD .又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1.而AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥AC 1.因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN . 6、如图1-4所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明： (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .7、如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)V ＝13×12×P A ×AB ×AD ＝36AB ，由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ，因为PB ∩BC ＝B ，所以AH ⊥平面PBC .又AH ＝P A ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313.8．如图1-4所示，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点． (1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以O 为AC 的中点．又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知，ED ∥BC ，ED ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD .又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面P AC .9、在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．图1-418．解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内的两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内的两条相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，所以DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC . 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .10．如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD . (ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC所成角的正弦值为21111.11、如图三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD . (2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C - ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A - MBC 的体积V A - MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112. 方法二：由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD .且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A - MBC 的体积V A MBC ＝V A BCD －V M BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD＝112. 12、如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M - CDE 的体积．13、[2014·江苏卷] 如图1-4所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明： (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC＝4.又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .14、[2014·辽宁卷] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D -BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同G 理BG ⊥AD .又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于点O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 的中点，所以G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V 三棱锥D -BCG ＝V 三棱锥G -BCD ＝13·S △DBC ·h ＝13×12·BD ·BC ·sin 120°·32＝12.15．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．19．解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，由于BC 1∩AO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，且AO ∩OD ＝O ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，且AD ∩BC ＝D ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34. 因为AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114.又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高为217.17、[2014·天津卷] 如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.20．、[2014·浙江卷] 如图15，在四棱锥A BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．20．解：(1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .(2)在直角梯形BCDE 中，由BD ＝BC ＝2，DC ＝2，得BD ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，所以BD ⊥平面ABC .作EF ∥BD ，与CB 的延长线交于点F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC . 所以∠EAF 是直线AE 与平面ABC 所成的角．在Rt △BEF 中，由EB ＝1，∠EBF ＝π4，得EF ＝22，BF ＝22；在Rt △ACF 中，由AC ＝2，CF ＝322，得AF ＝262. 在Rt △AEF 中，由EF ＝22，AF ＝262，得tan ∠EAF ＝1313. 所以，直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值是1313.19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ； (2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小． 19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，所以DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14.所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.。

专题15 立体几何多选、填空题(理科)(原卷版)-十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编立体几何填空、多选目录题型一：立体几何结构特征 (1)题型二：立体几何三视图 (2)题型三：立体几何的表面积与体积 (3)题型四：立体几何中的球的问题 (9)题型五：立体几何线面位置关系 (9)题型六：立体几何中的角度与距离 (10)题型一：立体几何结构特征1．(2023年全国甲卷理科·第15题)在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．2．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第15题)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．3．(2019·全国Ⅱ·理·第16长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为(本题第一空2分，第二空3分).4．(2017年高考数学上海（文理科）·第11题)如图,以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若1DB 的坐标为(4,3,2),则1AC 的坐标为________．5．(2015高考数学江苏文理·第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_______．二、多选题1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第12题)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m )的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A ．直径为0.99m 的球体B ．所有棱长均为1.4m 的四面体C ．底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体2．(2021年新高考Ⅰ卷·第12题)在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则()A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 题型二：立体几何三视图1．(2021年高考全国乙卷理科·第16题)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可)．2．(2019·北京·理·第11题)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．3．(2017年高考数学上海（文理科）·第8题)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于________．4．(2017年高考数学山东理科·第13题)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为__________．则该棱台的体积为________．2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第14题)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．3．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第15题)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第13题)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________5．(2020天津高考·第15题)如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅ 的最小值为_________．6．(2020江苏高考·第9题)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0．5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm．7．(2019·天津·理·第11题)个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．8．(2019·全国Ⅲ·理·第16题)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g ．9．(2019·江苏·第9题)如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 是1CC 的中点，则三棱椎-E BCD 的体积是______.10．(2018年高考数学江苏卷·第10题)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．(2018年高考数学天津（理）·第11题)已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为．12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16题)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60，则点1C 到直线AB 的距离为．1A 1B 1C AB C14．(2014高考数学天津理科·第10题)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为_________3m．15．(2014高考数学山东理科·第13题)三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =．16．(2014高考数学江苏·第8题)设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ,2S ，体积分别为1V ,2V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是．17．(2015高考数学天津理科·第10题)一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为3m．18．(2015高考数学上海理科·第4题)若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a =．19．(2017年高考数学江苏文理科·第6题)如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是_______．20．(2016高考数学浙江理科·第14题)如图，在ABC ∆中，2,120AB BC ABC ==∠= ．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足,PD DA PB BA ==，则四面体PBCD 的体积的最大值是．21．(2016高考数学浙江理科·第11题)某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的表面积是2cm ，体积是3cm ．OO 1O 2(第6题)⋅⋅⋅22．(2016高考数学天津理科·第11题)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m )，则该四棱锥的体积为_____________3m ．23．(2016高考数学四川理科·第13题)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则三棱锥的体积为_______．二、多选题1．(2022新高考全国II 卷·第11题)如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则()A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =题型四：立体几何中的球的问题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第16题)已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D BCC 1B 1的交线长为________．2．(2017年高考数学天津理科·第10题)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝2．(2019·北京·理·第12题)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②m ∥α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【3．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题),αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥．(2)如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥．(3)如果//αβ，m α⊂，那么//m β．(4)如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有．(填写所有正确命题的编号)二、多选题1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是()A ．B ．C ．D ．_____________．(结果用反三角函数值表示)2．(2015高考数学浙江理科·第13题)如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．3．(2015高考数学四川理科·第14题)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为AB ,BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________4．(2015高考数学上海理科·第6题)若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．5．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题),a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒；④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是．(填写所有正确结论的编号)6．(2016高考数学上海理科·第6题)如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________．二、多选题1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第9题)已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则()．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C ．AC =D ．PAC △2．(2022新高考全国I 卷·第9题)已知正方体1111ABCD A B C D -，则()A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒。

河南省2014届高三数学一轮复习试题选编7 三视图与空间几何体的表面积及体积理

河南省2014届高三理科数学一轮复习试题选编7：三视图与空间几何体的表面积及体积一、选择题 1 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为【答案】D2 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）平行四边形ABCD 中,AB ·BD =0,沿BD 折成直二面角A 一BD-C,且4AB 2 +2BD 2=1,则三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为（）A ．2π B ．4π C ．48πD ．24【答案】A 3 ．（河南省2013届高三新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题）已知A,B,C,D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6则该球的表面积为（）A ．16πB ．24πC ．πD ．48π【答案】D4 ．（河南省洛阳市2013届高三期上学期末考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如右上图所示,该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 5 ．（河南省六市2013届高中毕业班第一次联合考试数学（理）试题）在三棱锥S-ABC中,AB⊥BC 的中点为M,∠SMB 的余弦值是3,若S 、（） A ． B ．C 都在同一球面上,则该球的表面积是（）A ．32π B ．2πC ．6πD π【答案】C 6 ．（2013课标1卷高考数学（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边放一个长为4宽为2高为2长方体,故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+,故选A . 7 ．（河南省郑州市盛同学校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）若一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为（）A ．12B ．32 C ．1D ．13【答案】A 8 ．（河南省郑州市第四中学2013届高三第十三次调考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）AB ．C ．+1)πD ．+2)π【答案】 B ． 9 ．（河南省新县高级中学2013届高三第三轮适应性考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为则=h （）A B C ．D ．【答案】B．10．（河南省开封市2013届高三第二次质量检测数学（理）试题）已知三棱锥O—ABC, （）A．B．C三点均在球心为0的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O—ABC,则球O的表面积是（）A．64πB．16πC．323πD．544π【答案】A11．（2013课标2卷高考数学（理））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】A 依题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zox平面为投影面,则得到的正视图为（）A．12．（河南省郑州四中2013届高三第六次调考数学（理）试题）已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的高与底面边长均为1,其直观图和正(主)视图如图2所示,则它的左(侧)视图的面积是（）A B．1 C DD13．（河南省2013届高三新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 14．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为（）A ．332 B ．316C ．334 D ．338 【答案】D 15．（2011年高考（新课标理））在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为【答案】【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及空间想象能力,是容易题. 【解析】由几何体得正视图与俯视图知,其对应的几何体如图所示是半个圆锥与棱锥的组合体,故其侧视图选 D ． 16．（河南省焦作市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）一个侧面积为4π的圆柱,其主视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形,则与这个圆柱具有相同的主视图、俯视图的三棱柱的相应的左视图可以为【答案】C 17．（2012年新课标理）(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】【解析】选B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=18．（2012年新课标理）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为()A 6 ()B ()C 3 ()D 2 【答案】选AABC ∆的外接圆的半径r =点O 到面ABC 的距离d ==SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =此棱锥的体积为112336ABC V S d ∆=⨯==另:123ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D19．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A ．282π+B ．382π-C ． 38π-D ．38 【答案】D 20．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为32,它的三视图中的俯视图如图所示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是（）A ．4B ．32C ．2D ．3【答案】B 21．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）从一个正方体中截去部分几何体,得到的几何体三视图如下,则此几何体的体积是（）A ．64B ．1223C ．1883D ．476【答案】C22．（河南省开封市2013届高三第二次质量检测数学（理）试题）若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C23．（河南省郑州市智林学校2013届高三4月模拟考试数学试题（理））已知四棱锥P—ABCD的三视图如右图所示,则四棱锥P—ABCD的体积为（）A．12B．23C．34D．38【答案】B24．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图是一个三棱柱的正视图和侧视图,其俯视图是面积为,则该三棱柱的体积是（）A．8 B．C．16 D．16 3【答案】A25．（河南省焦作市2013届高三第二次模拟考试数学理试题）—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示,其中正(主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表面积是（）A 2B ．23)cmC ．2(3)2cm π＋ D ．23)cm【答案】 D ．26．（河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测数学（理）试题）一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是【答案】C 27．（河南省六市2013届高中毕业班第一次联合考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．πB ．2πC ．πD ．2π【答案】A 28 ．（2010年高考（全国新课标理））设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为（）A ．2a πB ．273a πC ．2113a π D ．25a π【答案】B解析：如图，P 为三棱柱底面中心，O 为球心，易知21,3232AP a a OP a =⨯==，所以球的半径R 满足：222217()()3212R a a a =+=，故22743S R a ππ==球．29 ．（2013课标1卷高考数学（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π【答案】【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R-2,则222(2)4R R =-+,解得R=5,∴球的体积为3453π⨯35003cm π=,故选（） A ．30 ．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）点（）A ．B ．C ．D 在同一个球的球面上,AB=BC =2,AC=2,若四面体ABCD体积的最大值为32,则这个球的表面积为（） A ．6125πB ．8πC ．425πD ．1625π【答案】C 31 ．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）已知四面体ABCD 中,AB=AD=6,AC=4,CD=213,AB⊥平面ACD,则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A ．36πB ．88πC ．92πD ．128π 【答案】B 32 ．（河南省郑州四中2013届高三第六次调考数学（理）试题）已知正方形123APP P 的边长为4,点,B C 位边1223,PP P P 的中点,沿,AB ,BC CA 折叠成一个三棱锥P ABC -(使12,,P P 3P 重合于点P ),则三棱锥PABC -的外接球表面积为（）A ．24πB ．12πC ．8πD ．4π【答案】A 33 ．（河南省新县高级中学2013届高三第三轮适应性考试数学（理）试题）点A B C D 、、、在同一个球的球面,AB BC ==,2AC =,若四面体ABCD 体积的最大值为23,则这个球的表面积为（）A ．1256πB ．8πC ．254π D ．2516π【答案】C ．∵2AB BC AC ===,∴1111222223x y x y x y x y +===-+ABC ∆是直角三角形, ∴ ABC ∆的外接圆的圆心是边AC 的中点O 1,如图所示,若使四面体ABCD 体积的最大值只需使点D 到平面ABC 的距离最大,又1OO ⊥平面ABC,所以点D 是直线1OO 与球的交点设球的半径为R,则由体积公式有:12O D =在1Rt AOO ∆中,221(2)R R =+-, 解得:54R =254O S π=球的表面积,故选C 34 ．（河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题）已知平面α截一球面得圆M,过圆心M 且与α成3π角的平面β截该球面得圆N 若圆M 、圆N 面积分别为4π、13π,则球面面积为（） A ．36π B ．48π C ．64π D ．100π 【答案】C 35 ．（河南省郑州市第四中学2013届高三第十三次调考数学（理）试题）四面体ABCD 中,AD 与BC 互相垂直,AD=2BC=4,且AB+BD=AC +CD=2则四面体ABC D 的体积的最大值是（）A ．4B ．C ．5D 【答案】A ．二、填空题36．（2011年高考（新课标理））已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球面上,且AB =6,BC =,则棱锥O ABCD -的体积为__________. 【答案】【命题意图】本题主要考查球的截面性质、棱锥的体积公式,是中档题.【解析】设矩形的对角线的交点为E,则OE⊥面ABCD,由题知截面圆半径2r =214BD =221()4AB BC +=12,由截面圆性质得=2,∴棱锥O ABCD -的体积为13ABCD S OE ⨯=1623⨯⨯=37．（2010年高考（全国新课标理））正视图为一个三角形的几何体可以是________ .(写出三种)【答案】三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分) 38 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知平面α截一球面得圆M,过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为______________.3940．（河南省洛阳市2013届高三二练考试数学（理）试题）如图,平面四边形 ABCD 中, AB =AD =CD =l ,,BD ⊥ CD ,将其沿对角线 BD 拆成四面体 A ‘一 BCD ,使平面 A ' BD⊥平面 BCD ,若四面体A’一 BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积为_____________.【答案】241．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）已知四面体P ABC -中,4,2PA PB PC AC ====,PB ⊥平面PAC ,则四面体P ABC -外接球的体积为____【答案】36π 42．（河南省焦作市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知正四棱住ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长AB=6,侧棱长AA 1,它的外接球的球心为O,点E 是AB 的中点,点P 是球O 上任意一点,有以下判断:(1)PE的长的最大值是9; (2)三棱锥P-EBC体积的最大值是32 3(3)存在过点E的平面,截球O的截面面积是9 ;(4)三棱锥P-AEC1体积的最大值是20其中判断正确的序号是_______【答案】①③④。

高考数学二轮复习第1部分专题五立体几何1-5-1空间几何体的三视图表面积及体积文

解题必备解题方略走进高考限时规范训练
考点一空间几何体的三视图、表面积及体积
1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左) 视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．(1)设长方体的相邻的三条棱长为 a、b、c 则体对角线长为 a2＋b2＋c2
通过对近 5 年全国高考试题分析，可以预测： “立体几何”在高考中仍会以“两小一大”或 “一小一大”的命题形式出现．这“两小”或“一小” 主要考查三视图，表面积与体积，位置关系的判断(特别是平行与垂直)．解答题多出现在第 18 或 19 题的位置，其基本模式是“一证明二计算” 即第(1)问考查平行与垂直关系的证明，第(2)问多考查表面积与体积的计算.
T18(面面垂直、棱锥体积)
(Ⅱ卷)
T6(三视图) T15(球表面积) T18(线面关系、棱锥体积)
(Ⅲ卷) T9(圆柱体积) T10(线线垂直) T19(线面垂直、四面体体积)
分值：17～ 22 分．题型：选择、填空、解答题．题量：两小一大．难度：中档题为主．考点：三视图，几何体的表面积与体积，空间平行与垂直关系的判定与证明.
关系)
(Ⅰ卷)
T7(三视图) T11(异面直线所成角)
T18(线面关系、体积)
(Ⅱ卷)
T4(表面积) T7(三视图) T19(线面关系、体积)
(Ⅲ卷) T10(三视图) T11(球体积) T19(空间直线关系、体积)
2017
考情
预测 2018
(Ⅰ卷)
T6(线面关系) T16(棱锥体积、表面积)

立体几何表面积、体积、三视图

表面积、体积、三视图1．[2014·山东卷] 三棱锥P - ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D - ABE 的体积为V 1，P - ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．.14 [解析] 如图所示，由于D ，E 分别是边PB 与PC 的中点，所以S △BDE ＝14S △PBC .又因为三棱锥A BDE 与三棱锥A - PBC 的高长度相等，所以V 1V 2＝14.2.某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A ．180B ．200C ．220D ．240【答案】D 【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。

由三视图可知该几何体是个四棱柱。

棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。

所以梯形的面积为284202+⨯=，梯形的周长为282520++⨯=。

所以四棱柱的表面积为2022010240⨯+⨯=，选D.3．某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。

上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为212482ππ⨯⨯⨯=，正方体的体积为22416⨯⨯=，所以该几何体的体积为168π+，选A.4. 三个球的半径123,,R R R ，满足12323R R R +=，则它们的表面积123,,S S S ，满足的关系是 . 结果：12323S S S +=.5．[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2 D ．8－π4图1-1B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分⎝⎛⎭⎫占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.6.如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .解：补形（如图），结果：2()2ra b π+. rb ara b - b7.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。

高考数学真题专题八立体几何第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积答案

A5 2D 22+ 42专题八立体几何初步第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积答案部分1. C 【解析】解法一将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，PDBC易知， BC ∥ AD ， BC = 1 ， AD = AB = PA = 2 ， AB ⊥ AD ， PA ⊥ 平面 ABCD ，故 ∆PAD ， ∆PAB 为直角三角形， ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， BC ⊂ 平面 ABCD ，PA ⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ，且 PA AB = A ，∴ BC ⊥ 平面 PAB ，又 PB ⊂ 平面PAB ．BC ⊥ PB ，∴ ∆PBC 为直角三角形，容易求得 PC = 3 ，CD = ，PD = 2 ，故∆PCD 不是直角三角形，故选C ．解法二在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P - ABCD ，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 3，故选C ．PCAB2. B 【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底面周长16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接 MN ，则 MS = 2 ，SN = 4 ，则从 M到 N 的路径中，最短路径的长度为 = = 2 ．故选 B ．MMNSN图① 图②MS 2 + SN 2542 - (2 3)211 B3.A【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A．4.B【解析】设等边三角形ABC 的边长为x ，则1x2 sin 602，得x = 6 ．设∆ABC 的外接圆半径为r ，则2r =6sin 60，解得r = 2，所以球心到∆ABC 所在平面的距离d == 2 ，则点D 到平面ABC 的最大距离d1 =d + 4 = 6 ，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值V max=1S3∆ABC⨯6=1⨯9 3 ⨯6=183．故选B．5.D【解析】如图以AA1 为底面矩形一边的四边形有AA1C1C 、AA1B1B 、AA1D1D 、AA1E1E 4个，每一个面都有 4 个顶点，所以阳马的个数为16 个．故选D．E1D11 C1 A1DE BC A6.C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V =⨯(1+ 2) ⨯2⨯2 = 6 ．故选C．27.B【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形1之和为2⨯ (2 + 4) ⨯ 2 = 12 ．选B．28.B【解析】解法一由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4 的圆柱，其体积V =π⨯32 ⨯4 = 36π，上半部分是一个底面半径为3，高为6 的圆柱的一半，其体积V =1⨯(π⨯ 32 ⨯ 6) = 27π，2 2= 9 3333故该组合体的体积V =V 1 +V 2 = 36π+ 27π = 63π ．故选B ．解法二该几何体可以看作是高为 14，底面半径为 3 的圆柱的一半，所以体积为1(π ⨯32 ) ⨯14 = 63π ．选B ． 29. B 【解析】圆柱的轴截面如图，AC = 1 ， AB = 1 ，所以圆柱底面半径r = BC =3 ，22那么圆柱的体积是V = π r 2h = π ⨯( 3)2⨯1 = 3 π ，故选B ． 2 410. A 【解析】该几何体是由一个高为 3 的圆锥的一半，和高为 3 的三棱锥组成（如图），其体积为： 1 (1 ⨯π ⨯12⨯3) + 1 (1 π⨯ 2⨯1⨯3) = +1 ．选 A ．3 2 3 2211. B 【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，2= 2 ．选B ．12. C 【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，高为 1，其体积V = 1 ⨯12⨯1 = 1 ．设半球的半径为 R ，则2R = 2 ，即R = 2 ，13 321 4π23 2所以半球的体积V 2 = 2 ⨯⨯( ) = π ． 3 2 6故该几何体的体积V = V + V = 1+2π ．故选C ． 1236222 + 22 + 2222 + (2 3)25 3 13. A 【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉 1后剩下的几何体，8设球的半径为r ，故 7 ⨯ 4 π r 3 = 28π ，所以r = 2 ，8 3 3表面积 S = 7 ⨯ 4π r 2 + 3 π r 2= 17π ，选 A ．8 414. C 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得r = 2 ， c = 2πr = 4π ，由勾股定理得： l = = 4 ，S = πr 2 + ch + 1cl = 4π + 16π + 8π = 28π ，故选 C ．表215. B 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为 3 的正方形，故面积都是 9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为 3、该边上的高为 6，故面积都为 18，左右两个侧面是矩形，边长为3 5 和 3，故面积都为9 ，则该几何体的表面积为 2(9+18+ 9 5 )=54 +18 ．16. C 【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积V = 23+ 1⨯ 22⨯ 2 =32 ，故选C ．3317. D 【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1 ，母线长为2 ，1所以该几何体的表面积是 ⨯ 2π ⨯1⨯(1+ 2) + 2⨯ 2 = 3π + 4 ，故选 D ．2 18. A 【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V = 1 π ⨯12 ⨯ 2 + 1 ⨯(1 ⨯⨯1⨯ 2)⨯1 = π + 1，选A ．2 3 2 319. D 【解析】如图，设正方形的棱长为 1，则截取部分为三棱锥 A -A B D ，其体积为 1，又正方体的体积为 1，则剩余部分的体积为 5 6 11，故所求比值为 5C 1 1 1 1 6．AC20．B 【解析】在长、宽、高分别为 2、1、1 的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P - ABC ，表面积为 1 ⨯1⨯ 2⨯ 2 + 3⨯( 2)2 ⨯ 2 = 2 + ．2 45 B 1D(4 2)2 + 22181 P 11BA21.A【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2 x ，高为h ，则由三角形相似可得，x=2 -h，所以h = 2 - 2x ，1 2x ∈(0,1) ，长方体体积V长方体= ( 2x)2 h = 2x2 (2 - 2x) ≤2(x +x + 2 - 2x)3 =16，3 27当且仅当x = 2 - 2x ，即x =2时取等号，V =1π⨯12 ⨯ 2 =2π，16故材料利用率为272π3=9π3，选A．圆锥 3 322.B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr2 + 2πr2 + 4r2 + 2πr2 = 20π+16 ，所以r = 2 ．23.B【解析】如图，CB设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A - BCD，最长的棱为AD == 6 ，选B．24.C【解析】原毛坯的体积V = (π⨯32 )⨯6 =54π，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积V '=V1+V2= (π⨯22 )⨯4 +(π⨯32 )⨯2= 34π ，故所求比值为V '101-=．V 2725.A【解析】如图，将边长为2 的正方体截去两个角，∴S = 2⨯2⨯6 -⨯1⨯1+ 2⨯3⨯( 2)2 =21+表 2 4C1DA33 1 1 1 126. A 【解析】圆柱的正视图是矩形，∴选A ．27. D 【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S = S 1 - S 正方形 + S 2 + 2S 3 + S 斜面，其中 S 1 是长方体的表面积，S 2 是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积， S 3 是三棱柱的一个底面的面积，可求得 S =138(cm 2 ) ，选 D ．28. C 【解析】由题意可知 AD ⊥ BC ，由面面垂直的性质定理可得 AD ⊥ 平面 DB 1C 1 ，1 1 1又 AD = 2⋅sin 60 ，所以V A -B DC= 3 AD ⋅ S ∆B DC = 3 ⨯ 3 ⨯ ⨯ 2⨯ = 1，2故选C ．29. A 【解析】圆柱的底面半径为 1，母线长为 1， S 侧 = 2π ⨯1⨯1 = 2π ．30. B 【解析】直观图为棱长为 2 的正方体割去两个底面半径为 l 的 1圆柱，所以该几何体4的体积为23 - 2⨯π ⨯12⨯ 2⨯ 1= 8 - π ．431. C 【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为 1，高为 1，其侧面积 S = 2π rh = 2π ．32. B 【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．33. A 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为1π ⨯ 22 ⨯ 4 + 4⨯ 2⨯ 2 2=16 + 8π ，故选A ．34. A 【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为 10，6 ，5 的长方体上面是半径为 3 高为 2 的半个圆柱．35. C 【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为= 317 V = π ⨯32 ⨯5 + 1π ⨯ 32 3= 57π36．B 【解析】由三视图可知该几何体的体积：V = π ⨯12⨯ 2 + 1⨯π ⨯12⨯ 2 = 3π ．237. D 【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图可以为D ．38. C 【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积S = 2⨯ 1⨯(2 + 4) ⨯ 4 + 4⨯ 4 + 2⨯ 4 +2 ⨯ 21+16 ⨯ 4 = 48 + 8 ．39.D 【解析】选项 A 正确，∵ SD ⊥ 平面 ABCD ，而 AC 在平面 ABCD 内，所以AC ⊥ SD ．因为 ABCD 为正方形，所以 AC ⊥ BD ，而 BD 与 SD 相交，所以 AC ⊥ 平面 SBD ，所以 AC ⊥ SB ；选项 B 正确，因为 ABCD ，而CD 在平面SCD 内，AB不在平面 SCD 内，所以 AB 平面 SCD ；选项 C 正确，设 AC 与 BD 的交点为O ，连结 SO ，则 SA 与平面 SBD 所成的角∠ASO ，SC 与平面 SBD 所成的角∠CSO ，易知这两个角相等；选项 D 错误， AB 与 SC 所成的角等于∠SCD ，而 DC 与 SA 所成的角等于∠SAB ，易知这两个角不相等．40. C 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和． S = 2(10⨯8 +10⨯ 2 + 8⨯ 2) + 2(6⨯8 + 8⨯ 2) = 360 .41. B 【解析】该几何体上半部是底面边长为 4cm ，高为 2cm ，的正四棱柱，其体积为4⨯4⨯2 = 32(cm 3 )；下半部分是上、下底面边长分别为 4cm ，8cm ，高为 2cm 的正四1 224 224 320棱台，其体积为 ⨯ (16 + 4⨯8 + 64) ⨯ 2 =，故其总体积为32 + = ． 3 3 3 342.1【解析】连接 AD ， CD ， B A ， BC ， AC ，因为 E ， H 分别为 AD ， CD 的12 11 1 1 1 1中点，所以 EH ∥ AC ， EH = 1AC ，因为 F ， G 分别为 B A ， BC 的中点，2 1 1所以 FG ∥ AC ，FG = 1AC ，所以 EH ∥ FG ，EH = FG ，所以四边形 EHGF 为2平行四边形，又 EG = HF ， EH = HG ，所以四边形 EHGF 为正方形，又点 M 到平52 - 32GE 2- OG2(5 -3x )2 - ( 3 x )2 6 6 25 - 5 3 3 x 15 12 5x 4 - 3 x 5 3 3 h (4 3)面 EHGF 的距离为 1 ，所以四棱锥 M - EFGH 的体积为 1 ⨯ ( 2)2⨯ 1 =1．43． 4 32【解析】正方体的棱长为 3 2 2 122，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为 1⨯( 2)2⨯ 2 = 4．3 344. 4 15 【解析】如图连接OE 交 AC 于G ，由题意OE ⊥ AC ，设等边三角形 ABC 的边长为 x （ 0 < x < 5 ），则OG =3 x ， GE = 5 -3x ． 66F由题意可知三棱锥的高h = = =底面 S∆ABC =3 x 2 ，4三棱锥的体积为V = 1⨯3x 2 ⨯ = ，34设 h (x ) = 5x 4-3 x 5 ，则h '(x ) = 20x 3 - 5 3 x 4（ 0 < x < 5 ），3 3令 h '(x ) = 0 ，解得 x = 4 ，当 x ∈(0, 4 3) 时， h '(x ) > 0 ， h (x ) 单调递增；当 x ∈(4 3,5) 时， h '(x ) < 0 ， h (x ) 单调递减，所以 x = 4 3 是 h (x ) 取得最大值h (4 3) = (4 3)4所以V=15 ⨯ = 15 ⨯(4 3)2 = 4 15 ．max12 122 EA GO CBD25 - 533 x3 PA 2 + AB 2 6 PA 2 + AC 2 2 1 = 45.9π 【解析】设正方体边长为a ，由6a 2 = 18 ，得a 2= 3，2外接球直径为2R =π3a = 3，V = 4 πR 3 = 4 π⨯ 27 = 9 π ． 3 3 8 246. 2 +【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为 2,1,1,圆柱的高为 1,底面圆半2π⨯12π径为 1，所以V = 2 ⨯1⨯1 + 2 ⨯⨯1 = 2 + ． 4 247． 3 2 【解析】设球的半径为r ，则V 1 = V 2π r 2 ⨯ 2r ．4 π r 3 2 348．2【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为 2m ，高为 1m 的平行四边形，四棱锥的高为 3m ，故其体积为 1⨯ 2 ⨯1⨯ 3 = 2 ( m 3)． 349．8π 【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1 ，高为2 的圆柱，两3端是底面半径为1 ，高为1 的圆锥，所以该几何体的体积V = 12 ⨯π ⨯ 2 + 2 ⨯ 1 ⨯12 ⨯π ⨯1 = 8π ．3 350．12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则⨯ 6⨯ 3 ⨯ 22⨯ h = 2 ，解得h = 1 ，底面正六边形的中心到其边的距离为 3 ，3 4= 2 ，该六棱锥的侧面积为 1⨯12⨯ 2 = 12 ．2 51． 2 2 【解析】由题意可知直观图如图所示，结合三视图有 PA ⊥ 平面 ABC ， PA = 2 ，AB = BC = 2 ， CA = 2 ，所以 PB = = ，PC = = 2 2 ，∴三棱锥最长棱的棱长为2 ．PA52.3【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r , r ，母线长分别是l , l ．21 21 23 +1 39 2 3则由S 1= 9 ，可得 r 1 = 3．又两个圆柱的侧面积相等，即2π rl = 2π r l ，S 2 4 r 2 2 1 1 2 2则 l 1=r 1 = 2 ，所以 V 1 = S 1l 1 = ⨯ = ． l 2 r 2 3 V 2 S 2l 2 4 3 2 53.3 【解析】设正方体的棱长为 a ，则正方体的体对角线为直径，即 3a = 2r ，即球半径r =3 a ．若球的体积为9π，即 4 π ( 3 a )3 = 9π，解得a = 3 ． 22 3 2 254．1：24【解析】三棱锥 F - ADE 与三棱锥 A 1 - ABC 的相似比为 1：2，故体积之比为 1：8．又因三棱锥 A 1 - ABC 与三棱柱 A 1 B 1C 1 - ABC 的体积之比为 1：3．所以，三棱锥 F - ADE 与三棱柱 A 1 B 1C 1 - ABC 的体积之比为 1：24． 1 1 1 111另：V 1 = 3S ADE h 1 = ⨯ S ABC ⨯ h 2 =V 2 ，所以V 1 :V 2 = 24 ．3 4 22455．38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为 4，宽为 3，高为 1 的长方体中心，去除一个半径为 1 的圆柱，所以表面积为2⨯(4⨯3+4⨯1+3⨯1)+2π -2π =38 ． 56. 92 【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4 的直四棱柱几何体的表面积是S = 2⨯ 1⨯(2 + 5) ⨯ 4 + (2 + 5 + 4 + 242 + (5 - 2)2 ) ⨯ 4 = 92 ．57. 3 【解析】V = 1PA ⋅ S 3 ∆ABC= 1 ⋅3⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅sin 60 = 3 23 ，答案应填 3 ． 13 π r 2 =3r= 358.3【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的16，得4π R2，所以，则16 R 2R 小圆锥的高为 23R ，大圆锥的高为21 ，所以比值为．359. 【解析】（Ⅰ）证明： PD ⊥ 平面 ABCD , PD ⊂ PCD , ∴平面 PCD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PCD 平面 ABCD = CD ， MD ⊂ 平面ABCD ， MD ⊥ CD ， ∴ MD ⊥ 平面 PCD ，CF ⊂ 平面PCD ,∴CF ⊥ MD , 又CF ⊥ MF , MD , MF ⊂ 平面MDF ,MD MF = M ，∴ CF ⊥ 平面MDF ．（Ⅱ） CF ⊥ 平面MDF ,∴CF ⊥ DF ,又易知∠PCD = 600 ,∴∠CDF = 300 ,ME 2- DE 22 6 1 从而CF = 1 1 CD = , 2 21EF ∥DC ,∴ DE = CF ,即DE = 2 ,∴ DE = 3 ,∴ PE = 3 3,DP CP1 324 4 S ∆CDE = 2 CD ⋅ DE = 8，MD = == (3 3)2 - ( 3 )2 = 6 ,∴V = 1 S 4 4 2⋅ MD = 1 ⋅ 3 ⋅ 6 = 2. M -CDE 3 ∆CDE3 8 2 1660. 【解析】（Ⅰ）由已知得∆ABC ≅ ∆DBC ，因此 AC = DC ，又G 为 AD 的中点，CG ⊥ AD ；同理 BG ⊥ AD ；因此 AD ⊥ 平面 BCG ,又 EF ∥ AD ,∴ EF ⊥ 平面BCG ．AD（Ⅱ）在平面 ABC 内，做 AO ⊥ CB ，交CB 的延长线于O ，由平面 ABC ⊥ 平面 BCD ，知 AO ⊥ 平面 BCD ，又G 为 AD 的中点，因此G 到平面 BCD 的距离h 是 AO 的一半，在∆AOB 中， AO = AB ⋅sin 60，所以V= V= 1⨯ S ⨯ h = ． D -BCGG -BCD3 ∆DBG 261. 【解析】（Ⅰ）连结 AC 1 ，交 A 1C 于点 O ，连结 DO ，则 O 为 AC 1 的中点，因为 D 为 AB的中点，所以 OD ∥ BC 1 ，又因为 OD ⊂ 平面 A 1CD ， BC 1 ⊄ 平面 A 1CD ，所以 BC 1 //平面 A 1CD ；（Ⅱ）由题意知 CD ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ．再由 AA 1 = AC = CB = 2，AB = 2 得 ∠ACB = 90， CD = 2 ， A 1D = ， DE = 3 ， A 1E = 3 ．故 AD 2+ DE 2= AE 2，即 DE ⊥ AD1113 PE 2- DE 2EG O B CF= 321 1 11 2 3 2所以V C - A DE = ⨯ ⨯ 6 ⨯ 3 ⨯ = 1 ．13 262. 【解析】（Ⅰ）证明：连接 AC ，交于 BD 于O 点，连接 PO ．因为底面 ABCD 是菱形，所以AC ⊥ BD , BO = DO ，由 PB = PD 知， PO ⊥ BD ．再由 PO ⋂ AC = O 知， BD ⊥ 面 APC ，因此 BD ⊥ PC ．（Ⅱ）解：因为 E 是 PA 的中点，所以V P -BCE = V C -PEB = 2 V C -PAB = 2V B - APC 由 PB = PD = AB = AD = 2 知，因为∠BAD = 60 ,所以 PO = AO = 3, AC = 2 3, B O =1.又 PA = 6, PO 2 + AO 2 = PA 2,即PO ⊥ AC .1故 S APC = 2PO • AC = 3 .1 1 1 1由（1）知， BO ⊥ 面APC ,因此V P -BCE = 2 V B - APC = • • BO • S APC = ．63. 【解析】（1）由已知可得 AE =3，BF =4，则折叠完后 EG =3，GF =4，又因为 EF =5，所以可得 EG ⊥ GF ，又因为CF ⊥ 底面EGF ,可得CF ⊥ EG ，即 EG ⊥ 面CFG 所以平面 DEG ⊥ 平面 CFG .（2）过 G 作 GO 垂直于 EF ，GO 即为四棱锥 G -EFCD 的高，1 1 12所以所求体积为 3 S CDEF ⋅GO = 3 ⨯ 4⨯ 5⨯ 5= 16 ．64. 【解析】（I ）由条件知 PDAQ 为直角梯形因为 QA ⊥ 平面 ABCD ，所以平面 PDAQ ⊥平面 ABCD ，交线为 AD ．又四边形 ABCD 为正方形，DC ⊥ AD ，所以 DC ⊥ 平面 PDAQ ，可得 PQ ⊥ DC ．ABD ≅ PBD在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=2PD，则PQ ⊥QD 2所以PQ ⊥平面DCQ. （II）设AB=a.由题设知AQ 为棱锥Q—ABCD 的高，所以棱锥Q—ABCD 的体积V1=1a3 . 3由（I）知PQ 为棱锥P—DCQ 的高，而PQ= 2a ，△ DCQ 的面积为2a2 ，2所以棱锥P—DCQ 的体积为V2=1a3 . 3故棱锥Q—ABCD 的体积与棱锥P—DCQ 的体积的比值为1．。

高考数学立体几何专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积试题(含答案)

本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．解：由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 1 = t 1 t 1 = ，圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的体积 = 1 t t 1 t 1 = ，
则该几何体的体积 = 1 + 1 = + ，故答案为： + ．
A. 1 B. 16 C.
D.
. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A. t
B. 6
C.
D. 6
第题
第题
第题
3. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
A. +6 B. 6 +6 C. +1 D.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12
4. 如图正方形 OABC 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形
的面积为 A.
B. 1 C.
D. 1 +
5. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
第题
第6题
第题
A. t
B.
C.
D.
6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若
知 = ，所以由斜二测画法知，对应原图形，即平行四边形的高为，所以原图形的面积为：1 t = ．故选 A．
5.【答案】C
【分析】本题考查由三视图求表面积，空间立体几何三视图，属于基础题．
空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理求出，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底

2014年高中数学题型分析(三视图)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编：三视图（教师）1、（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A2、（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C3、（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（）A ．1B C ．2D ．2【答案】C4 、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A ．4B ．143C ．163D ．6【答案】B5、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（）A ．5603B ．5803C ．200D ．240【答案】C6、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（）A．B ．C ．D ．【答案】A正视图俯视图侧视图第5题图7、（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是【答案】D8、（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3π_____.【答案】3π 9、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .【答案】2410、（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积为2. 【答案】①②③⑤11、（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-12、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________【答案】12π2014年全国高考理科数学试题分类汇编：三视图（学生）1、（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 2、（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<3、（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（）A ．1B C D 4 、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A ．4B ．143C ．163D ．65、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（）A ．5603B ．5803C ．200D ．2406、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（）A．B ．C ．D ． 7、（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是正视图俯视图侧视图8、（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为________.9、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .10、（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积11、（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.12、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________。

数学高考二轮专题12 空间几何体的三视图﹑表面积及体积(解析版)

专题12 空间几何体的三视图﹑表面积及体积【命题热点突破一】三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1、下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C【变式探究】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()【答案】 (1)D (2)D【命题热点突破二】几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2、如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【变式探究】在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥PA 1MN 的体积是________．【答案】 124【解析】由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵11P A MN A PMN V V --＝，又∵AA 1∥平面PMN ，∴1A PMN V -＝V A-PMN ，∴V A-PMN ＝13×12×1×12×12＝124，故1P A MN V -＝124. 【命题热点突破三】多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．例3、如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【变式探究】在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为22，32，62，则三棱锥A －BCD 的外接球体积为________.【答案】 6π【高考题型解读】1、如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和 2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ． 2.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π【答案】C3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1 【答案】A4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）185+ （B ）545+ （C ）90 （D ）81【答案】B5.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A ）1233+π （B ）123+π （C ）123+π （D ）21+π 【答案】C6.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n【答案】C【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂I ，,n n l β⊥∴⊥Q ．故选C ．7.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .正视图3313 8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯=9.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3【答案】 C【解析】当n ＝3时显然成立，故排除A ，B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立，故选C.10某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 3 【答案】 C11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】 B【解析】由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2. 12.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.【答案】 83π 13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4【答案】 D14.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2【答案】 B【解析】由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.15.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】 C【解析】如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C.16.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ． 2π【答案】 C【解析】如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.17.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B .23＋π C.13＋2π D.23＋2π 【答案】 A18.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15【答案】 D19.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4（2－1）3π D.12（2－1）3π【答案】 A【解析】易知原工件为一圆锥，V 1＝13πr 2h ＝23π，设内接长方体长、宽、高为a 、b 、c ，欲令体积最大，则a ＝b .由截面图的相似关系知，c ＋a 2＋b 2＝2，即c ＋2a ＝2，∴V 长方体＝abc ＝a 2c ＝a 2(2－2a )，设g (a )＝2a 2－2a 3，则g ′(a )＝4a －32a ＝0，令g ′(a )＝0，解得a ＝432，所以令a ＝432时，V 长方体最大为1627，∴V 长方体V 1＝16272π3＝89π.故选A.空间几何体的三视图、表面积和体积【考点训练】考点一三视图与直观图1.已知棱长都为2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的直观图如图,若正三棱柱ABC-A 1B 1C 1绕着它的一条侧棱所在直线旋转,则它的侧视图可以为( )答案B2.将一长为4,宽为2的矩形ABCD沿AB、DC的中点E、F连线折成如图所示的几何体,若折叠后AE=AB,则该几何体的正视图面积为()A.4B.2C.2D.答案B3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.2B.3C.D.答案B4．中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,第二空3分)图1图2答案26;-1考点二空间几何体的表面积和体积1.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为()A.6+2B.6+C.6+4D.10答案A2.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()A. B. C. D.答案A3.榫卯(sǔn mǎo)是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图,则其体积与表面积分别为()A.24+52π,34+52πB.24+52π,36+54πC.24+54π,36+54πD.24+54π,34+52π答案C4．某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+3答案A5．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A. B. C. D.1答案A方法1 空间几何体表面积和体积的求解方法1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.210B.208C.206D.204答案D2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.(6+)π+B.(6+)π+1C.π+D.π+1答案D3.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,且PA=PB=PC=PD,已知四棱锥的表面积是12,则它的体积为.答案4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中2a+b=2(a>0,b>0),则此三棱锥体积的最大值为.答案方法2 与球有关的切、接问题的求解方法1.已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()A.32πB.48πC.24πD.16π答案A2.已知正三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,棱锥的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为2,则球O的表面积为.答案25π【提升训练】1.已知三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠ABC=,SB=4,SC=2,AB=2,BC=6,则三棱锥S-ABC的体积是()A.4B.6C.4D.6答案C2.一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A.8B.4C.4D.4答案D3.已知一个机械工件的正(主)视图与侧(左)视图如图所示,俯视图与正(主)视图完全一样.若图中小网格都是边长为1的正方形,则该工件的表面积为()A.24πB.26πC.28πD.30π答案C4.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体,其中有三个面是梯形,另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图中粗线所示,其中小正方形网格的边长为1,则该羡除的体积为()A.20B.24C.28D.32答案B5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为()A.++5B.++9C.++10D.2+2+10答案A6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的外接球的体积为()A. B.C.180πD.95π答案A7.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A. B. C. D.答案A8.某四面体的三视图如图所示.该四面体的外接球的表面积为()A.8πB.C.D.12π答案C9.若矩形ABCD的对角线交点为O',周长为4,四个顶点都在球O的表面上,且OO'=,则球O的表面积的最小值为()A. B. C.32π D.48π答案C10.已知四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的球面上,AB=AD=CD,BC∥AD,∠ABC=60°,△PAB是等边三角形,若四棱锥P-ABCD体积的最大值为9,则此时球O的表面积为()A.56πB.54πC.52πD.50π答案C11.已知A,B,C,D是球O表面上四点,点E为BC的中点,若AE⊥BC,DE⊥BC,∠AED=120°,AE=DE=,BC=2,则球O的表面积为()A.πB.C.4πD.16π答案B12.在四面体ABCD中,若AB=CD=,AC=BD=,AD=BC=3,则四面体ABCD的外接球的表面积为.答案10π13.半径为2的球面上有A,B,C,D四点,且AB,AC,AD两两垂直,则△ABC,△ACD与△ADB面积之和的最大值为.答案8。