五年级奥数(下册) 第六讲 不定方程
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因为x、y是整数，所以y≤6, x ≤6
31 5 y 3
即 y=6、5、4、3、2、1、0
经过试验可以知道，y=2时，x=7;
y=5时，x=2
但是，因为3米的钢管只有6根，所以用3米长的 2根，5米长的5根。
同余试验法
• • • • • • •
x=
31 5 y 3
因为x、y是整数，且x≤6、y≤6 所以3∣(31－5y) 即 5y≡31≡2y≡1(mod3) 经试验可知，y=2或y=5 当y=2时，x=7不合题意 当y=5时，x=2符合题意 答，用3米长的2根，5米长的5根。
x=7
34 x= 6 x= 26 6
• 当y=3时6x+8×3=50
• 当y=4时6x+8×4=50 • 当y=5时6x+8×5=50 • 当y=6时6x+8×6=50
x=3
10 x= 6 x= 2 6
• 所以，有两种拿法：每盒6个的拿3盒，每 盒8个的拿4盒或每盒6个的拿7盒，每盒8个 的拿1盒都能拿够50个兵乓球。
• 我们再来看一个问题： • 小明为校兵乓球队买50个兵乓球，超市里 的兵乓球有两种包装，甲种每盒6个，乙种 每盒8个，请你帮小明出个主意，怎样拿才 能不拆毁包装又恰好拿够50个兵乓球？ • 解：设每盒6个兵乓球的拿x和盒，每盒8个 兵乓球的拿y盒， • 根据题意得 6x+8y=50 • 你认为方程中的x、y应满足什么条件？
• 即3x≡25≡1(mod4) • 经试验可知 • x=3或x=7
所以有两种取法：
25 3 x 4
1、甲种3盒，乙种4盒；2、甲种7盒，乙种1盒。
解题思路
• 在方程的两个未知数中，给出一个就可以 求出另一个。 • 一般步骤是：1、列出方程后根据题意确定 未知数的取值范围， • 2、在确定的范围内给出一个未知数的值， 在代入求另一个。 • 常用解法有两种：穷举试验法； • 同余试验法；
应用举例
• 例3 、现有3米长和5米长的钢管各6根，安 装31米长的管道，问怎样接最节省材料？ • 我们想，每一种钢管都用整数根时最省。 • 解：设3米长的钢管用x根，5米长的钢管 用y根，根据题意得 3x+5y=31 • 变形得 3x=31－5y • 31 5 y • x=
3
穷举试验法x=
课堂小结
• 1、在一个问题中，如果未知数的个数多于 题目中所给出的条件，就会列出未知数比 方程的个数多的方程，这样的方程就叫做 不定方程。 • 2、不定方程的解题思路是：给出一个未知 数的值，代入求另一个。 • 3、一般步骤是：先根据题目中的条件缩小 未知数的范围，在逐个去试验。 • 4、试验方法：穷举试验法 同余试验法
确定x、y的范围
• 在 6x+8y=50中 • 你认为方程中的x、y应满足什么条件？
1、 x、y是整数；
2、 x≤8
y≤6
• 你认为怎样才能找到符合条件的x、y的值？ • 用符合条件的整数去试验
• 穷举法：由6x+8y=50可知：x≤8、y≤6
• 当y=1时6x+8×1=50
• 当y=2时6x+8×2=50
同类巩固
• 课本183例4、 • 185页习题六1、2、3、5 • 练习册 第93页，2、3、4、5、6
第六讲
不定方程解应用题
如果方程中未知数的个数多于方程 的个数，这个方程就叫做不定方程
（一）不定方程的概念
• 你能列方程解决下面两个问题吗？ • 1、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明花完5元钱买了5本甲种本子和一些乙 种本子，如果张明买了几本乙种本子？ • 2、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明准备恰好花完5元钱买两种本子。有几 种购买方案？
由6x+8y=50可知：x≤8、y≤6
• 同余法：我们利用等 式的性质把方程变形
• 得 y= 同余法：我们利用等式 的性质把方程变形 得 x= 25 4 y 3 因为x、y都是整数，所 以3︱(25-4y) 即4y≡y≡25≡1(mod3) 经试验可知 y=1或y=4
• 因为x、y都是整数， 所以4︱(25-3x)
我们比较两个题目
• 1、设乙种本子买了x本 • 根据题意得 7×5+5x=50 一个未知数，一个方程 有唯一解 • 2、设买甲种本子x本，乙种本子y本， • 根据题意得 7x+5y=50 两个未知数，一个方程 解不唯一 • 像7x+5y=50这样，未知数的个数多于方程 个数的方程就叫做不定方程。
Fra Baidu bibliotek
不定方程的解题思路和方法
• 1、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明花完5元钱买了5本甲种本子和一些乙 种本子，那么张明买了几本乙种本子？ • 数量关系是： • 甲种本子的钱+乙种本子的钱=50 （角） • 设乙种本子买了x本 • 根据题意得 7×5+5x=50
• 2、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明恰好花完5元钱买两种本子 • 数量关系是： • 甲种本子的钱+乙种本子的钱=50（角） • 设买甲种本子x本，乙种本子y本， • 根据题意得 7x+5y=50
31 5 y 3
即 y=6、5、4、3、2、1、0
经过试验可以知道，y=2时，x=7;
y=5时，x=2
但是，因为3米的钢管只有6根，所以用3米长的 2根，5米长的5根。
同余试验法
• • • • • • •
x=
31 5 y 3
因为x、y是整数，且x≤6、y≤6 所以3∣(31－5y) 即 5y≡31≡2y≡1(mod3) 经试验可知，y=2或y=5 当y=2时，x=7不合题意 当y=5时，x=2符合题意 答，用3米长的2根，5米长的5根。
x=7
34 x= 6 x= 26 6
• 当y=3时6x+8×3=50
• 当y=4时6x+8×4=50 • 当y=5时6x+8×5=50 • 当y=6时6x+8×6=50
x=3
10 x= 6 x= 2 6
• 所以，有两种拿法：每盒6个的拿3盒，每 盒8个的拿4盒或每盒6个的拿7盒，每盒8个 的拿1盒都能拿够50个兵乓球。
• 我们再来看一个问题： • 小明为校兵乓球队买50个兵乓球，超市里 的兵乓球有两种包装，甲种每盒6个，乙种 每盒8个，请你帮小明出个主意，怎样拿才 能不拆毁包装又恰好拿够50个兵乓球？ • 解：设每盒6个兵乓球的拿x和盒，每盒8个 兵乓球的拿y盒， • 根据题意得 6x+8y=50 • 你认为方程中的x、y应满足什么条件？
• 即3x≡25≡1(mod4) • 经试验可知 • x=3或x=7
所以有两种取法：
25 3 x 4
1、甲种3盒，乙种4盒；2、甲种7盒，乙种1盒。
解题思路
• 在方程的两个未知数中，给出一个就可以 求出另一个。 • 一般步骤是：1、列出方程后根据题意确定 未知数的取值范围， • 2、在确定的范围内给出一个未知数的值， 在代入求另一个。 • 常用解法有两种：穷举试验法； • 同余试验法；
应用举例
• 例3 、现有3米长和5米长的钢管各6根，安 装31米长的管道，问怎样接最节省材料？ • 我们想，每一种钢管都用整数根时最省。 • 解：设3米长的钢管用x根，5米长的钢管 用y根，根据题意得 3x+5y=31 • 变形得 3x=31－5y • 31 5 y • x=
3
穷举试验法x=
课堂小结
• 1、在一个问题中，如果未知数的个数多于 题目中所给出的条件，就会列出未知数比 方程的个数多的方程，这样的方程就叫做 不定方程。 • 2、不定方程的解题思路是：给出一个未知 数的值，代入求另一个。 • 3、一般步骤是：先根据题目中的条件缩小 未知数的范围，在逐个去试验。 • 4、试验方法：穷举试验法 同余试验法
确定x、y的范围
• 在 6x+8y=50中 • 你认为方程中的x、y应满足什么条件？
1、 x、y是整数；
2、 x≤8
y≤6
• 你认为怎样才能找到符合条件的x、y的值？ • 用符合条件的整数去试验
• 穷举法：由6x+8y=50可知：x≤8、y≤6
• 当y=1时6x+8×1=50
• 当y=2时6x+8×2=50
同类巩固
• 课本183例4、 • 185页习题六1、2、3、5 • 练习册 第93页，2、3、4、5、6
第六讲
不定方程解应用题
如果方程中未知数的个数多于方程 的个数，这个方程就叫做不定方程
（一）不定方程的概念
• 你能列方程解决下面两个问题吗？ • 1、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明花完5元钱买了5本甲种本子和一些乙 种本子，如果张明买了几本乙种本子？ • 2、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明准备恰好花完5元钱买两种本子。有几 种购买方案？
由6x+8y=50可知：x≤8、y≤6
• 同余法：我们利用等 式的性质把方程变形
• 得 y= 同余法：我们利用等式 的性质把方程变形 得 x= 25 4 y 3 因为x、y都是整数，所 以3︱(25-4y) 即4y≡y≡25≡1(mod3) 经试验可知 y=1或y=4
• 因为x、y都是整数， 所以4︱(25-3x)
我们比较两个题目
• 1、设乙种本子买了x本 • 根据题意得 7×5+5x=50 一个未知数，一个方程 有唯一解 • 2、设买甲种本子x本，乙种本子y本， • 根据题意得 7x+5y=50 两个未知数，一个方程 解不唯一 • 像7x+5y=50这样，未知数的个数多于方程 个数的方程就叫做不定方程。
Fra Baidu bibliotek
不定方程的解题思路和方法
• 1、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明花完5元钱买了5本甲种本子和一些乙 种本子，那么张明买了几本乙种本子？ • 数量关系是： • 甲种本子的钱+乙种本子的钱=50 （角） • 设乙种本子买了x本 • 根据题意得 7×5+5x=50
• 2、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明恰好花完5元钱买两种本子 • 数量关系是： • 甲种本子的钱+乙种本子的钱=50（角） • 设买甲种本子x本，乙种本子y本， • 根据题意得 7x+5y=50