双曲线及其标准方程练习题答案及详解
双曲线及其标准方程练习题答案及详解
双曲线及其标准方程练习题高二一部数学组刘苏文2017年5月2日一、选择题1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()A．双曲线B．一条直线C．一条线段D．两条射线2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1<k<1 B．k>0C．k≥0 D．k>1或k<－13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线4．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是A.－y2＝1 B．y2－＝1C.－＝1 D.－＝15．“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1 D．x2－＝17．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是() A．±1 B．1C．－1 D．不存在8．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为()A.－＝1B.－＝1(y>0)C.－＝1或－＝1D.－＝1(x>0)9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16 B．18C．21 D．2610．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－a B．m－b C．m2－a2 D.－二、填空题11．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．12．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．13．如果椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，那么a＝________. 14．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．三、解答题15．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．16．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，求点M到x轴的距离．答案及详解1、D2、A由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、A设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、B由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－＝1.5、C ab<0?曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线?ab<0.6、C∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、A验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.8、D由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)9、D|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.10、A设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2.∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.11、－＝112、∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，该弦所在直线方程为x＝，由得y2＝，∴|y|＝，弦长为.13、1由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.14、－＝1(x≤－2)设动圆圆心为P(x，y)，由题意得|PB|－|P A|＝4<|AB|＝8，由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．其方程为：－＝1(x≤－2)．15、椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，又点A(x0,4)在椭圆＋＝1上，∴x＝15，又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，所求的双曲线方程为：－＝1.16、解法一：设M(x M，y M)，F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x M，－y M)，＝(－x M，－y M)∵·＝0，∴(－－x M)·(－x M)＋y＝0，又M(x M，y M)在双曲线x2－＝1上，∴x－＝1，解得y M＝±，∴M到x轴的距离是|y M|＝.解法二：连结OM，设M(x M，y M)，∵·＝0，∴∠F1MF2＝90°，∴|OM|＝|F1F2|＝，∴＝①又x－＝1②由①②解得y M＝±，∴M到x轴的距离是|y M|＝.。
双曲线及其标准方程(含解析)
双曲线及其标准方程班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．已知平面内两定点A (－5，0)，B (5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C ．x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎫52，0 C ．⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)3．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( ) A ．x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C ．x 23－y 24＝1 D ．y 23－x 24＝1 4．已知双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1上有一点M 到Γ的右焦点F 1(34，0)的距离为18，则点M 到Γ的左焦点F 2的距离是( )A ．8B ．28C ．12D ．8或285．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．0B ．1C ．12D ．26．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20 7．如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为点A ，B ，线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题8．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．10．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为____________．三、解答题11．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．12．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝63，试判断△MF1F2的形状．双曲线及其标准方程班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．已知平面内两定点A (－5，0)，B (5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C ．x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：选D ．由|MA |－|MB |＝6，且6＜|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16.故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支．所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 2．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎫52，0 C ．⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)解析：选C ．将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1， 所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 3．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( ) A ．x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C ．x 23－y 24＝1 D ．y 23－x 24＝1 解析：选B ．由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1. 4．已知双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1上有一点M 到Γ的右焦点F 1(34，0)的距离为18，则点M 到Γ的左焦点F 2的距离是( )A ．8B ．28C ．12D ．8或28解析：选D ．因为双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1的右焦点F 1(34，0)，所以λ＝34－9＝25，所以双曲线Γ：x 225－y 29＝1.根据双曲线的定义，可知||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝10，又|MF 1|＝18，则|MF 2|＝8或28.故选D ． 5．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．0B ．1C ．12D ．2解析：选A ．易知F 1(－5，0)，F 2(5，0)．不妨设P (x 0，y 0)(x 0，y 0>0)，由12×2c ×y 0＝1，得y 0＝55， 所以P ⎝⎛⎭⎫2305，55，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－5－2305，－55，PF 2→＝⎝⎛⎭⎫5－2305，－55，所以PF 1→·PF 2→＝0.6．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20 解析：选B ．由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线的定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.7．如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为点A ，B ，线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A ．连接QF 1，QF 2.因为线段MN 的中点为Q ，点F 2为MB 的中点，所以|QF 2|＝12|BN |，同理可得|QF 1|＝12|AN |.因为点Q 在双曲线C 的右支上，所以|QF 1|－|QF 2|＝2a ，所以12(|AN |－|BN |)＝2a ，所以12×12＝2a ，解得a ＝3.故选A ．二、填空题8．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.答案：19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：双曲线右焦点为(4，0)，将x ＝3代入x 24－y 212＝1，得y ＝±15. 所以点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，所以点M 到双曲线右焦点的距离为（4－3）2＋（±15）2＝4.答案：410．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为____________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.答案：2 3三、解答题11．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b2＝1.① 又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0.解得c 2＝25.②又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 12．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解：(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， 所以∠F 1PF 2＝90°，所以S ＝12×32＝16. 13．(选做题)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设点M 在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，因为|MF 1|＋|MF 2|＝63，所以|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
3.2.1 双曲线及其标准方程(解析版)
3.2.1 双曲线及其标准方程1．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．12【答案】A【解析】延长1F H 交2PF 于点Q ，由角分线性质可知1,PF PQ =根据双曲线的定义，122PF PF -=，从而22QF =，在12FQF ∆中，OH 为其中位线，故1OH =.故选A.2．一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.故选：C3．双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ） A ．1 B ．9C ．1或9D ．7【答案】B【解析】双曲线221412x y -=的2,4a b c ===，点在P 双曲线的右支上，可得16PF a c ≥+=， 点在P 双曲线的左支上，可得12PF c a ≥-=，由15PF =可得P 在双曲线的左支上，可得2124PF PF a -==， 即有2549PF =+=. 故选：B .4．已知双曲线2213y C x -=：的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，则1211PF PF +的取值范围为（ ）A ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】不妨设点P 在右支上.所以21PF ，所以12221111141233PF PF PF PF +=++=+， 故1211PF PF +的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：C5．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1：3)，则APF 的面积为 A ．13 B ．1 2C ．2 3D ．32【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3=±y ，所以||3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．6．已知双曲线()2222:10, 0a y x C a bb =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（ ） A ．22124y x -=B ．22124x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=【答案】A【解析】如图，因为12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F = 所以可得18PF =，26PF= 根据双曲线的定义可得1222a PF PF -==，即1a =所以22225124b c a =-=-=所以C 的方程为22124y x -=.故选：A7．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A【解析】因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线，其方程为：0,3y x =≥，故选A .8．过双曲线C ：22221x y a b-=的左焦点F 222x y a +=相切，C 的右顶点为A ，且2AF =C 的标准方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】设左焦点为(),0F c -，则直线方程)y x c =+，0y -=0y -=恰好与圆222x y a +=相切，所以圆心()0,00y -=的距离等于半径，9．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点由椭圆22184x y +=可得284=4c =-2c ∴=双曲线离心率2ce a==， 2221413a b c a ∴==-=-=，∴双曲线的方程为：2213y x -=.故选：C10．已知双曲线()2222:10,0y x M a b a b-=>>与抛物线218y x =有公共焦点F ，F 到M 的一条渐）A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．22173x y -=D ．22137y x -=【答案】A 【解析】抛物线218y x =，即抛物线28x y =的焦点为()0,2F ，即2c =， 双曲线M 的渐近线方程为ay x b=±，即0ax by ±=，可得点F 到渐近线的距离为d b ===1a ∴==，因此，双曲线M 的方程为2213x y -=.故选：A.11．若k ∈R ，则3k >-是方程22133x y k k +=-+表示双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为方程22133x y k k +=-+表示双曲线，所以()()330k k -+<，解得33k -<<，因为()3,3- ()3,-+∞，所以3k >-是方程22133x y k k +=-+表示双曲线的必要不充分条件，故选：B12．若曲线2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1m <B ．0m <C ．102m -<< D ．112m << 【答案】B【解析】把曲线2211x y m m +=-转化为2211y x m m-=--，因为曲线表示焦点在y 轴上的双曲线，所以10{m m ->->，即1{m m <<，解得0m <.故选：B.13．已知方程221212x y m m -=-+表示双曲线，则m 的取值范围是__________________.【答案】1(,2)(,)2-∞-+∞【解析】由题得(21)(2)0m m -+>，所以12m >或2m <-. 所以m 的取值范围是1(,2)(,)2-∞-+∞. 故答案为：1(,2)(,)2-∞-+∞ 14．在平面直角坐标系xOy 中，“方程22113x y k k +=--表示焦点在x 轴上的双曲线”的充要条件是“实数k ∈______．” 【答案】(1,3)【解析】由题意知，若方程表示焦点在x 轴上的双曲线则1030k k ->⎧⎨-<⎩，解得：13k <<，反之，当13k <<时，01,30k k <--<，此时方程22113x y k k +=--表示焦点在x 上的双曲线，综上，“方程22113x y k k +=--表示焦点在x 轴上的双曲线”的充要条件是实数(1,3)k ∈.故答案为：(1,3)15．已知1(4,0)F -：2(4,0)F 是双曲线22:1(0)4x y C m m -=>的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且1260F MF ∠=︒，则12F MF △的面积为________________：【答案】【解析】∵1(4,0)F -、2(4,0)F 是双曲线22:1(0)4x y C m m -=>的两个焦点，∵416m +=，∵12m =，设1MF m ='，2MF n =，∵点M 是双曲线上一点，且01260F MF ∠=，∵m n '-=，2202cos6064m n m n ''+-=∵，由∵﹣∵2得16m n '=，∵12F MF ∆的面积01cos 602S m n ==' 16．已知双曲线()22210y x b b-=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B两点.若1ABF ∆为等边三角形，则b 的值为______.【解析】原题中未明确说明过2F 直线与哪支交于两点，分两种情况讨论，如图:图1中，AB 为通径，则22b AF a =，1230AF F ∠=︒，则212b AF a=，则2221222b b b AF AF a a a a -=-==，则b =图2中，11AF BF AB ==，则2122AF AF BF a -==，则114BF AF AB a ===，160BAF ∠=︒，122F F c =，对12AF F ∆使用余弦定理得，22212121212cos 2AF AF F F F AF AF AF +-=⨯，则2277c a ==，26b =，b =17．已知1F ，2F 分别是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线上一点，2F 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，()1求双曲线的渐近线方程； ()2当1260F PF ∠=时，12PF F的面积为【答案】（1）430x y ±=（2）2212748x y-=【解析】∵1∵由2F 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，根据点到直线距离公式可得43b a =，从而可得双曲线的渐近线方程∵∵2∵由余弦定理，结合双曲线的定义可得2124PF PF b ⋅=∵再根据12PF F ∆的面积为可得221213sin60424S PF PF b =⋅=⋅==得248b =∵从而可得结果.试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，则点2F b =（其中c 是双曲线的半焦距），所以由题意知2c a b +=，又因为222a b c +=，解得43b a =，故所求双曲线的渐近线方程是430x y ±=.（2）因为1260F PF ∠=，由余弦定理得222121212||2cos60||PF PF PF PF F F +-⋅=，即2221212||4PF PF PF PF c +-⋅=．又由双曲线的定义得122PF PF a -=，平方得2221212||24PF PF PF PF a +-⋅=，相减得22212444PF PF c a b ⋅=-=．根据三角形的面积公式得221213sin60424S PF PF b =⋅===得248b =．再由上小题结论得2292716a b ==，故所求双曲线方程是2212748x y -=.18．设动点P 到点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离分别为1212,,2θ∠=d d F PF ，且存在常数(01)λλ<<，使得212sind d θλ=.证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程.【答案】证明见解析；2211x y λλ-=-【解析】如图，在12PF F △中，122FF =，则()22221212121242cos 24sin d d d d d d d d θθ=-+-=+.()21244d d λ-=-，12d d -=2的常数）故动点P 的轨迹C 是以12,F F 为焦点，实轴长2a =的双曲线，方程为2211x y λλ-=-。
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
双曲线双曲线及其标准方程练习题(带答案)
双曲线双曲线及其标准方程练习题（带答案）双曲线及其标准方程练习一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）A． B． C．或 D． 2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（） A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 4．P为双曲线上的一点，F 为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（） A．内切 B．内切或外切 C．外切 D．相离或相交 5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（）A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞） C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，-1）∪（1，+∞） 6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（） A．m -a B． C． D．二、填空题 7．双曲线的一个焦点是，则m的值是________ _。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题 9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km， A若炮击P地，求炮击的方位角。
答案与提示一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A 二、7．-2 8．三、9．提示：易知由双曲线定义知即① 即此时点的轨迹为线段AB 的中垂线，其方程为x=1(y≠0) ② 即此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为（y≠0） 10．不存在 11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4 ∴ P 点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上联立解得∴ 又∴α=60° ∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2．又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选A．2.若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D【解析】，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.3.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.4.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A．B．C．D．3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点】1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.5.已知A1，A2双曲线的顶点，B为双曲线C的虚轴一个端点.若△A1BA2是等边三角形，则双曲线的离心率e等于．【答案】2【解析】由题意可知，解得，即，所以.则.【考点】双曲线的简单几何性质.6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以，解得，故双曲线的渐近线的方程为，即，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离7.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==168.设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点为，不妨设点在第一象限，则有，代入双曲线渐近线方程，得，则，所以双曲线离率为.故正确答案为.【考点】1.抛物线；2.双曲线.9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，∴a＝．10.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。
双曲线练习题及答案
运用双曲线的定义
例 1．若方程 x2 sin y 2 cos 1表示焦点在 y 轴上的双曲线，则角 所在象限是（ ）
A、第一象限
B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
练习 1．设双曲线 x2 y 2 1 上的点 P 到点 (5,0) 的距离为 15，则 P 点到 (5,0) 的距离是（ ） 16 9
双曲线相关知识
双曲线的焦半径公式： 1：定义：双曲线上任意一点 P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1 点 P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点 P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
A．7
B.23
C.5 或 23
D.7 或 23奎奎 奎奎奎 奎奎
例 2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆 x 2 ＋ 5y2 =1 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个
10 32
焦点，则此双曲线的方程是（ ）。
（A） x 2 － y2 =1 （B） x 2 － y2 =1 （C） x 2 － y2 =1 （D） x 2 － y2 =1
课 1、[解析]设双曲线方程为 x2 4 y2 ，
当
0 时，化为
x2
y2
1， 2
5 10 20 ， 4
4
当
0
时，化为
y2
y2
1 ， 2
5 10 20 ， 4
4
综上，双曲线方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1
ππ 3 3
π
双曲线及其标准方程练习
∵0<a<c,∴令c2-a2=b2(b>0)
x 2 y2 2 1 (a 0,b 0, 2 a b a不一定大于b) y2 x 2 2 1 2 a b
【典例训练】
1.双曲线2x2-y2=k的焦距为6，则k的值为___________.
x2 y2 1 表示双曲线，则m的取值范围为_____. 2.方程 2m m 3 2 2 3.讨论方程 x y 1 表示何种圆锥曲线？它们有何共同特 25 k 9 k
（2）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”：若x2项的系数为正，
则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
（3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，ຫໍສະໝຸດ 双曲线的方程才具有标准形式.
求双曲线的标准方程 【技法点拨】 1.求双曲线标准方程的三个关注点
x 2 y2 2.若方程 1 表示焦点在x轴上的双曲线，那么m,n的符 m n
号怎样？ 提示：m>0,n<0.
3.对双曲线标准方程的三点说明
x 2 y2 y2 x 2 双曲线的标准方程有两种不同类型： 2 2 1, 2 2(a>0,b>0)， 1 a b a b
分别表示焦点在x轴上和焦点在y轴上的双曲线. （1）标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2(a>b>0) 相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a、b大小不确定.
②
③
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利 解决.
焦点三角形SPF1F2 b cot 2
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册2.2.1双曲线及其标准方程(带答案)
§2 双曲线2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练知识点一 双曲线的定义1.动点P 到点M (1，0)及点N (5，0)的距离之差为2a ，则当a ＝1和a ＝2时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线 2．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 知识点二 双曲线的标准方程3.“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m －y 2m －1＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)； (2)焦点在y 轴上，且经过点(2，－5)，a ＝25 ；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1的长轴端点为焦点，且经过点(3，10 )；(4)经过点A (2，233)，B (3，－22 )；(5)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且经过点(32 ，2).知识点三 双曲线的定义及方程的应用5.若双曲线E ：x 29 －y 2160＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝15，则|PF 2|＝( )A ．9B ．21C ．9或21D ．186．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．207．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.关键能力综合练一、选择题1．已知M (－2，0)，N (2，0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．双曲线x 225 －y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．23．已知双曲线的一个焦点为F 1(－5 ，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是( )A ．x 24 －y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x22－y23＝1 D ．x23－y 22＝1 4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5 ，0)和(－5 ，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1 B ．x 23－y 22＝1C ．x24 －y 2＝1 D ．x 2－y24＝15．[易错题]已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12二、填空题6．[双空题]若方程y 24 －x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是____________；若表示椭圆，则m 的取值范围是____________．7．已知双曲线与椭圆x 227 ＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________.8．[探究题]已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的左焦点为F 1，点Q (0，23 )，P 是双曲线C右支上的动点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为________.三、解答题9．在①m >0，且C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ；②C 的焦距为43 ；③C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知双曲线C ：x 23m －y 2m＝1，________，求C 的方程．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．学科素养升级练1.[多选题]已知点P 在双曲线C ：x 216 －y 29＝1上，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A ．点P 到x 轴的距离为203B ．|PF 1|＋|PF 2|＝503C ．△PF 1F 2为钝角三角形D ．∠F 1PF 2＝π32.[情境命题——生活情境]某地发生地震，为了援救灾民，救援员在如图所示的P 处收到一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA ，PB 运送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练1．解析：由题意，知|MN |＝4，当a ＝1时，|PM |－|PN |＝2a ＝2<4，此时点P 的轨迹是双曲线的一支；当a ＝2时，|PM |－|PN |＝2a ＝4＝|MN |，点P 的轨迹为以N 为端点沿x 轴向右的一条射线．答案：C2．解析：由题意两定圆的圆心坐标分别为O 1(0，0)，O 2(4，0)，半径分别为1，2.设动圆圆心为C ，动圆半径为r ，则|CO 1|＝r ＋1，|CO 2|＝r ＋2，∴|CO 2|－|CO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．答案：C3．解析：若方程x 22－m －y 2m －1 ＝1表示双曲线，则(2－m )·(m －1)>0，解得1<m <2.当1<m <2时，可推出“方程x 22－m－y 2m －1 ＝1表示双曲线”，故“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m－y 2m －1＝1表示双曲线”的必要不充分条件．答案：B4．解析：(1)∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0).由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4 ①.又∵点(2，3)在双曲线上， ∴22a 2 －32b2 ＝1 ②. 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2 －x 2b2 ＝1(a >0，b >0).由a ＝25 ，点(2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1， 解得b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220 －x 216＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝22 .设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)，由点(3，10 )在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝5， 故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(4)可设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0).因为点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，233 ，B (3，－22 )在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－14，故所求双曲线的标准方程为x 23－y 24＝1.(5)易知双曲线x 216 －y 24＝1的焦点在x 轴上，且c 21 ＝16＋4＝20，则待求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 22＝c 21＝20.设其标准方程为x 2a 22 －y 220－a 22＝1(a 22 <20) ①，因为点(32 ，2)在双曲线上，所以将(32 ，2)代入①中，得18a 22 －420－a 22＝1，得a 2＝12或a 2＝30(舍去)，故所求双曲线的标准方程为x 212 －y 28＝1.5．解析：由于|PF 1|＝15<c ＋a ＝13＋3＝16，所以点P 在双曲线E 的左支上，所以由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，即|PF 2|－15＝6，故|PF 2|＝21.答案：B6．解析：由已知，得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.因为|AB |＝4，所以|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线的定义，知2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.答案：B 7．解析：由双曲线定义，知|PF 1|－|PF 2|＝22 ，a ＝b ＝2 .∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22 ，|PF 1|＝42 ，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝32＋8－162×42×22＝34 .答案：34关键能力综合练1．解析：因为|PM |－|PN |＝4＝|MN |，所以动点P 的轨迹是一条射线．故选C. 答案：C2．解析：因为a 2＝25，所以a ＝5.设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上一点为P . 由双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10， 不妨设|PF 1|＝12，所以|PF 1|－|PF 2|＝±10， 所以|PF 2|＝22或2.故选A. 答案：A3．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，因为c ＝5 ，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2 －y 25－a2 ＝1，因为线段PF 1的中点坐标为(0，2)，所以点P 的坐标为(5 ，4)，将P (5 ，4)代入双曲线方程，得5a 2 －165－a2 ＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1.故选B.答案：B4．解析：由题可得⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，得(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又因为c ＝5 ，所以b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选C.答案：C5．解析：不妨在双曲线右支上取点P ，延长PF 2，F 1H ，交于点Q ，由角平分线性质可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH |＝1.故选A.答案：A6．解析：若表示双曲线，则应有m ＋1>0，即m >－1；若表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，m ＋1≠－4，解得m <－1且m ≠－5.答案：(－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)7．解析：椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线方程为y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，其中a 2＋b 2＝9，因为双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，所以该点的坐标为(15 ，4)或(－15 ，4)，故16a 2 －15b2 ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.答案：y 24－x 25＝18．解析：设双曲线的右焦点为F 2，如图，连接PF 2，QF 2.根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，所以|PF 1|＝|PF 2|＋2，所以|PF 1|＋|PQ |＝|PF 2|＋|PQ |＋2≥|QF 2|＋2，而Q (0，23 )，F 2(2，0)，所以|QF 2|＝22＋（23）2 ＝4，所以|PF 1|＋|PQ |的最小值为6.9．解析：选①：因为m >0，所以a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ， 则a ＝3m ，c ＝2m ，因为C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ，所以3m ＋2m ＝(3 ＋2)m ＝3＋23 ，解得m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1.选②：若m >0，则a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ，c ＝2m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4m ＝43 ，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，b 2＝－3m ，c 2＝a 2＋b 2＝－4m ，c ＝2－m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4－m ＝43 ，m ＝－3，C 的方程为y 23－x 29＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 23－x 29＝1.选③：若m >0，则a 2＝3m ，a ＝3m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝23m ＝6，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，a ＝－m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝2－m ＝6，m ＝－9，C 的方程为y 29－x 227＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 29－x 227＝1.学科素养升级练1．解析：因为在双曲线x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，所以c ＝16＋9 ＝5，因为S △PF 1F 2＝12·2c ·|y P |＝5|y P |＝20，所以|y P |＝4，所以P 到x 轴的距离为4，故A 错误；不妨取P (203 ，4)，又因为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则|PF 1|＝（203＋5）2＋16 ＝373，|PF 2|＝ （203－5）2＋16 ＝133 ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝503 ，故B 正确；因为kPF 2＝4－0203－5 ＝125>0，所以∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，故C 正确；因为S △SS 1S 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2，即12 ×133 ×373 sin ∠F 1PF 2＝20，则sin ∠F 1PF 2＝360481 ，所以∠F 1PF 2≠π3，故D 错误．2．解析：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近．依题意，知界线是第三类点的轨迹．设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，因为|AB|＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507>50，所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，易知a＝25，c＝257，所以b2＝c2－a2＝3 750.故双曲线的标准方程为x2625－y23 750＝1.注意到点C的坐标为(257，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，故界线的曲线方程为x2625－y23 750＝1(25≤x≤35，0≤y≤60).。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】关于t的方程的不同的两根为0，，不妨取=0，=，直线AB 过原点，斜率为==，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选D.【考点】直线的方程，双曲线的渐近线，2.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足，且，则该双曲线离心率为．【答案】.【解析】，在中，设，则，.【考点】双曲线的离心率.3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.5.已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若, 则此双曲线的离心率等于( )．A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵抛物线的焦点F（，0），∴由题意知双曲线的一个焦点为F（c，0），>a,（1）即p>2a．∴双曲线方程为，∵点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若,∴p点横坐标x=，代入抛物线y2=8x得P，把P代入双曲线P，得，解得或因为p>2a．所以舍去，故（2）联立（1）（2）两式得c=2a,即e=2．故选A．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的离心率的求法．6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率的值是．【答案】【解析】根据渐近线方程有,可知其渐近线的斜率的绝对值小于1,所以两条渐近线的倾斜角分别是与,则根据,得,根据双曲线中有则离心率为.【考点】双曲线渐近线,离心率.7.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可得，所以，所以该双曲线的离心率，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其几何性质.8.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以三角形为等腰三角形，因此到直线的距离等于底边上的高线长，从而因此又所以该双曲线的渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线11.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，，因为，所以，故选C．【考点】双曲线的离心率．12.若双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为．【答案】.【解析】由双曲线的渐近线方程为及性质可知，两边平方得，即.【考点】双曲线的几何性质.13.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 .【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为，∴；双曲线的焦点到其渐近线的距离.【考点】双曲线的定义、抛物线的定义.14.已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题中唯一的条件是，为了充分利用此条件，我们设，且不妨设，则根据双曲线定义有，对利用余弦定理有，即，因此可求得，下面最简单的方法是利用面积法求得到轴的距离，，可得。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。
2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。
3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。
4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。
5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。
6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。
双曲线及其标准方程练习题.doc
课时作业（十）［学业水平层次］1表示双曲线，则加的取值范围（D. |m|^2【解析】 T 已知方程表示双曲线，（2+加）（2—加）>0. /. —2<m<2.【答案】A2. 设动点P 到A （—5,0）的距离与它到B （5,0）距离的差等于6,则 戶点的轨迹方程是（）2 2 2 2 A 」丄=1=1 宀9 16-116_i 2 2 22 C.g —話=l （xW —3） D.g —牯=1（x23）【解析】 由题意知，轨迹应为以A （-5,0）, B （5,0）为焦点的双 曲线的右支.由c=5, a=3,知b 2= 16,2 2:.P 点的轨迹方程为寺一話=1（心3）.【答案】D3. （2014-福州高级中学期末考试）已知双曲线的中心在原点，两 个焦点円，兄分别为（书，0）和（一书，0）,点P 在双曲线上，且PF1 丄戶尸2，AP^F O 的面积为1,则双曲线的方程为（） 一、选择题A. —2＜加＜2B. m ＞0A •厂c.j-y 2=i【解析】由S 〔|PF1F+|PF2|2 = （2书）2,即2a=4,解得a=2,又c=\[5,所以b=l,故选C.【答案】C2 24. 已知椭圆方程予+牙=1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点 是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为()A.^2B.^3C. 2D. 3【解析】 椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中a=l,c 2 c=2,所以双曲线的离心率为e=~=^=2.【答案】C二、填空题2 25. 设点P 是双曲线牙一話=1上任意一点，F”巧分别是其左、 右焦点，若|戶刊=10,则戶刊= ___________ .【解析】 由双曲线的标准方程得a=3, b=4. 于是 c=-\/a 2+b 2=5.(1) 若点P 在双曲线的左支上，则\PF2\-\PFr | = 2a=6, \PF 2\ = 6+|戶円| = 16;(2) 若点P 在双曲线的右支上，贝川阳一|阳 =6,•••1戶尸21 = 1戶尸11一6= 10—6=4.在△4BP中，利用正弦定理和双曲线的定义知, |sin A—sin B\sin P综上，IPF2| = 16 或4.【答案】16或46.(2014-河南省洛阳高一月考)已知Fi(—3,0), F2(3,0),满足条件|MiM“2l = 2加一1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的______________ •(填序号)①2；②一1；③4；④一3.2 2【解析】设双曲线的方程为孑一右=1,则c=3, V2a<2c=6,5 7 1|2m—1|<6,且|2加一1|工0, •••—㊁SV刁且加工刁.••①②满足条件.【答案】①②7・(2014-哈尔滨高二检测)已知的顶点4、B分别为双曲线c：看—的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则回書严 1 的值等于.2 2 ________________________________________________________【解析】由方程話—卷=1知cr=l6,kr=9,即a=4, c=#16+9||PB|-|B4||_2a_2X4_4\AB\=2c=2X5 = 5-4【答案】|三、解答题8.求与双曲线予一号=1有相同焦点且过点戶(2,1)的双曲线的方程.【解】*.*双曲线予一号=1的焦点在兀轴上.2 2依题意，设所求双曲线为寺一缶=l(a>0, Z?>0).又两曲线有相同的焦点，•I /+F=4+2 = 6.①2 2又点P(2,l)在双曲线歩一*=1上，4 1••厂产②由①、②联立，得a2=b2=3,2 2故所求双曲线方程为专一'=】•9.已知方程2+y2=4,其中R为实数，对于不同范围的E值分别指出方程所表示的曲线类型.【解】(1)当k=0时，y=±2,表示两条与x轴平行的直线；(2)当k=l时，方程为H+y2=4,表示圆心在原点，半径为2的圆；V2%2(3)当kVO时，方程为；一~^=1,表示焦点在y轴上的双曲线；k2 2(4)当OVkVl时，方程为才+才=1,表示焦点在兀轴上的椭圆；k2 2(5)当E>1时，方程为才+眷=1,表示焦点在y轴上的椭圆.k［能力提升层次］2 2 2 21.椭圆牙+^2=1与双曲线乡一牙=1有相同的焦点，则a的值为（）A. 1B.^2C. 2D. 3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在兀轴上，且a>0.4—a?=a+2, a2a—2=0,.'.a= 1或a=—2（舍去）.故选A.【答案】A2.（201牛桂林高二期末）已知Fi、局为双曲线C：x~y2=l的左、右焦点，点P 在C 上，ZF i PF2=6Q°,则PF I|-|PF2|^于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x~y= 1 中，a=l, b=l, c=y[2,则|PK| —|戶尸21 = 2°=2, |尸1局1 = 2返，\F}F^= \PF X |2+|PF2|2 - 2|PF! | • |PF2| • cos Z F!PF2,8 = |PF1|2+|PF2|2-2|PF]|-|PF2|-|,••.8=4+|"i||PF2l, A |PF I||PF2|=4.故选B.【答案】B2 23.（2014•福建省厦门一中期末考试）已知双曲线話一去=1的左焦点为尸，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆X2+/=16相切于点N, M 为线段PF的中点，0为坐标原点，则|MN —|M0| =【解析】设F是双曲线的右焦点，连PF'（图略），因为M,0分别是FP, FF'的中点，所^\MO\=^\PF' I,又0州=yJ\OFf~\ONf = 5,且由双曲线的定义知\PF\~\PF' \ = &故\MN\-\MO\ = \MF\-\FN\~^\PF' \=^(\PF\~\PF' |)-|FN|=|x8 —5 = —1.【答案】一12 24.已知双曲线話一才=1的两焦点为尸1、尸2.—►—►(1)若点M在双曲线上，且MF l MF2=0,求点M到x轴的距离;(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3迈，2),求双曲线C的方程.【解】(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h,—►―►MF2=0,MFV则MF］丄M”2,设\MF^\=m, \MF2\ = n,由双曲线定义知，m—n=2a=&又m+ “2 = (2c)2 = 80,②由①②得加•“ = &1 1 =4=刁円尸2|•力，⑵设所求双曲线C的方程为由于双曲线C 过点（3返，2）, 所以 16_久—4+1=1,解得久=4或久=—14（舍去）.2 2所求双曲线C 的方程为診一竟=1. 16——A 4+久 =1(—4<2<16),。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．【答案】2【解析】由题意得m>0，∴a＝，b＝．∴c＝，由e＝＝，得＝5，解得m＝2．2.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且<α<，则双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】(，2)【解析】由题意得tanα＝，∴1<<，∴e＝＝∈(，2)．3. [2013·四川高考]抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是() A．B．C．1D．【答案】B【解析】焦点(1,0)到渐近线y＝x的距离为，选B项．4. [2014·北京模拟]△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．【答案】－＝1(x>3)【解析】如图所示，设△ABC内切圆分别在AB，BC，AC上的切点为G，F，E，由切线长定理知，|AG|＝|AE|，|CE|＝|CF|，|BG|＝|BF|，∴|AC|－|BC|＝|AG|－|BG|＝6<|AB|，可知，点C是以A，B为焦点的双曲线右支，由双曲线的定义可得所求轨迹方程为－＝1(x>3)．5.若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为【答案】或【解析】由题意的：或，所以或，因此双曲线的离心率为或【考点】双曲线的渐近线6.在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在圆外)．在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD，设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为( )A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线【答案】A【解析】由OP交⊙O于M可知|PO|－|PF|＝|PO|－|PM|＝|OM|<|OF|(F在圆外)，∴P点的轨迹为双曲线，故选A.7.已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】双曲线一条渐近线方程为，所以【考点】点到直线距离公式，双曲线渐近线8.已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，弦所对圆心角为所以圆心到弦即渐近线的距离为因此有【考点】点到直线距离，双曲线的渐近线9.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．【答案】＝1【解析】设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是＝1.10.拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为，求拋物线与双曲线方程．【答案】y2＝4x 4x2－＝1【解析】由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c，设拋物线方程为y2＝4c·x.∵拋物线过点，∴6＝4c·.∴c＝1，故拋物线方程为y2＝4x.又双曲线＝1过点，∴＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴＝1.∴a2＝或a2＝9(舍)．∴b2＝，故双曲线方程为4x2－＝111.圆的圆心到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的圆心为，双曲线的渐近线为，所以所求距离为.【考点】1、圆与双曲线；2、点到直线的距离.12.分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点。
《双曲线》典型例题12例(含标准答案)
《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A（2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y（3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)． 说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ． (2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--a y a x ．(3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹． 说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．∴所求双曲线方程为13232422=--x y ．说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．。
双曲线标准方程及其简单性质(人教A版)(含答案)
双曲线标准方程及其简单性质（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.方程化简的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的定义2.双曲线上的点到点的距离是6，则点P的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的定义3.虚轴长为2，离心率的双曲线两焦点为，过作直线交双曲线的同一支于两点，且，则△的周长为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的定义4.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的标准方程5.双曲线的渐近线方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的简单性质6.双曲线的一个顶点为，一条渐近线方程为，则该双曲线的方程是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的简单性质7.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在上，则双曲线的方程为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的简单性质8.已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的简单性质9.一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为( )A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的定义10.点在曲线上，点在曲线上，点在曲线，则的最大值是( ) A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：双曲线的简单性质。
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双曲线及其标准方程练习题
高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日
一、选择题
1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．两条射线
2．已知方程x 21＋k －y 2
1－k
＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )
A ．－1<k <1
B ．k >0
C ．k ≥0
D ．k >1或k <－1
3．动圆与圆x 2
＋y 2
＝1和x 2
＋y 2
－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A ．双曲线的一支
B ．圆
C ．抛物线
D ．双曲线
4．以椭圆x 23＋y 2
4
＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是
－y 2
＝1 B ．y 2
－x 23＝1 －y 2
4
＝1
－x 2
4
＝1
5．“ab <0”是“曲线ax 2
＋by 2
＝1为双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|
＝2，则该双曲线的方程是( ) －y 2
3
＝1
－y 2
2＝1 －y 2＝1 D ．x 2
－y 2
4
＝1 7．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 2
2
＝1有相同的焦点，则m 的值是( )
A ．±1
B ．1
C ．－1
D ．不存在
8．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )
－y 27＝1 －y 2
7＝1(y >0) －y 2
7＝1或x 27－y 29＝1 －y 2
7
＝1(x >0) 9．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2
的周长是( ) A ．16
B ．18
C ．21
D ．26
10．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，
则|PF 1|·|PF 2|的值为( )
A ．m －a
B ．m －b
C ．m 2－a 2
－b
二、填空题
11．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．
12．过双曲线x 23－y 2
4＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．
13．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2
＝1的焦点相同，那么a ＝________.
14．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2
＋y 2
＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
三、解答题
15．设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36
＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，
求此双曲线的方程．
16．已知双曲线x 2
－y 2
2
＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→
＝0，求点M 到x 轴的距离．
答案及详解
1、D
2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.
3、A 设动圆半径为r ，圆心为O ，x 2
＋y 2
＝1的圆心为O 1，圆x 2
＋y 2
－8x ＋12＝0的圆心为O 2，
由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．
4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2
＝3，双曲线方程为y 2
－x 2
3＝1.
5、C ab <0⇒曲线ax 2
＋by 2
＝1是双曲线，曲线ax 2
＋by 2
＝1是双曲线⇒ab <0.
6、C ∵c ＝5，|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝4c 2
，∴(|PF 1|－|PF 2|)2
＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2
，
∴4a 2
＝4c 2
－4＝16，∴a 2
＝4，b 2
＝1.
7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2
＝1，对椭圆来说，a 2
＝4，b 2
＝1，c 2
＝3.
对双曲线来说，a 2
＝1，b 2
＝2，c 2
＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2
＝m 2
＋2.∴m 2
＝1，即m ＝±1.
8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：
x 2
9
－y 2
7
＝1(x >0) 9、D |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，
∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，
由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|PF 2|＝m －
a .
11、x 273－y 2
75
＝1
12、833
∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2
＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝7x 23－y 2
4
＝1得y 2
＝163，∴|y |＝433，弦长为833
.
13、1 由题意得a >0，且4－a 2
＝a ＋2，∴a ＝1.
14、 x 24－y 2
12
＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|PA |＝4<|AB |＝8，
由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支． 其方程为：x 24－y 2
12
＝1(x ≤－2)．
15、椭圆x 227＋y 2
36＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
又点A (x 0,4)在椭圆x 227＋y 2
36＝1上，∴x 2
＝15，又点A 在双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上，∴16a 2－15
b
2＝1，
又a 2＋b 2＝c 2＝9，∴a 2＝4，b 2
＝5，所求的双曲线方程为：y 24－x 2
5＝1.
16、解法一：
设M (x M ，y M )，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，MF 1→＝(－3－x M ，－y M )，MF 2→
＝(3－x M ，－y M ) ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴(－3－x M )·(3－x M )＋y 2
M ＝0， 又M (x M ，y M )在双曲线x 2
－y 2
2＝1上，∴x 2
M －y 2M
2
＝1，
解⎩
⎪⎨⎪
⎧
(－3－x M )(3－x M )＋y 2
M ＝1x 2M －y 2M
2＝1得y M ＝±23
3
，
∴M 到x 轴的距离是|y M |＝23
3
.
解法二：连结OM ，设M (x M ，y M )，∵MF 1→·MF 2→
＝0， ∴∠F 1MF 2＝90°，∴|OM |＝1
2|F 1F 2|＝3，
∴x 2
M ＋y 2
M ＝3① 又x 2
M －y 2M
2
＝1②
由①②解得y M ＝±233， ∴M 到x 轴的距离是|y M |＝23
3.。