三角形的证明训练试题

一、知识总结：

等腰三角形的性质和判定：

1.定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中三边相等的三角形叫做等边三角形.

2.等腰三角形的性质

(1)等边对等角.(2)三线（指的是）合一.

(3)是轴对称图形..

3.等腰三角形的判定

(1)有两边相等的三角形.(2)等角对等边.

4.等边三角形

(1)性质:等边三角形的每个内角都是60°,三条边都相等;是轴对称图形,它有3条对称轴.

(2)判定:①有三个角相等的三角形是等边三角形;

②有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.

直角三角形的性质和判定：

1、直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角.

（2）勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即

（3）直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半.

（4）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称：HL）H是指边

2、直角三角形的判定

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.

（2）有两个角的三角形是直角三角形.

（3）勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,

那么这个三角形是直角三角形.即如果，那么

线段的垂直平分线和角的平分线：

1.线段的垂直平分线性质：

(1) 线段垂直平分线上的点到这条线段的的距离相等;

（2）三角形的三条边的垂直平分线相交于一点,并且这点到的距离相等.

2线段的垂直平分线判定：到的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

3.角的平分线性质：

(1)角平分线上的点到这个角的的距离相等;

（2）三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到的距离相等.

4.角的平分线判定：在一个角的内部,且到距离相等的点,在这个角的平分线上

命题的逆命题及其真假：

一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．

二．综合练习：

1. 下列说法中正确的是（）

A 每个命题都有逆命题

B 每个定理都有逆定理

C 真命题的逆命题是真命题

D 假命题的逆命题是假命题

2．下列命题中正确的是( )

A．有两条边相等的两个等腰三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等

C．两角对应相等的两个等腰三角形全等D．一边对应相等的两个等边三角形全等

3．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是( )

A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，2，3D．2，2，4

4．轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处

B C D

123123112A ．6

8．如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为 ．

9. 如图，在△ABC 中，BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是 cm ．

第8题 第9题 第10题 10.如图，AB=A 1B,A 1C=A 1A,A 2D=A 2A 3,A 3E=A 3A 4,∠B=20O ,则∠A 4=

11．在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1：2：3，BC=4,求△ABC 的面积

12.如图，在△ABD 和△ACE 中，有四个等式：①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE ．以其中．．三个条件为已知，一个为结论，使之组成一个真命题。

(1)写出所有组合；（2）选其中一个组合进行证明。

第4题 第5题 第7题 1234

13. 已知：如图，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的点，DE ∥AB ，DF ∥CA 求证：∠FDE=∠A （证明中每一步的理由都要写在后面的括号内）

14.在如图所示的三角形纸片ABC 中，∠C=90o ，∠B=30o ，按如下步骤操作： ① 折叠三角形纸片ABC ，使点B 与点A 重合；

② 将折叠后的纸片再沿AD 折叠（图中虚线表示折痕）

（1） 由步骤①可以得到哪些等量关系？

（2） 请证明△ACD ≌△AED ≌△BED

（3） 按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？

15. 如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=BC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E 。

（1）若BD=1cm ，求DC 的长.

（2）求证：AC=AB+BD

16．如图，△ABC 的高BD 与CE 相交于点O ，OD=OE ，AO 的延长线交BC 于点M ， 你能从图中找出几对全等的直角三角形？请写出来，并选一对说明理由。 D

A

C