第6章基于状态空间模型的极点配置设计方法
状态空间分析_6
引入状态反馈 则
u v kx v kPx v kx
k kP [kn kn 1 k2 k1 ]
闭环系统的系数矩阵为
0 1 0 0 A bk 0 0 ( an kn ) ( an 1 kn 1 ) 1 0 0 1 ( a1 k1 ) 0 0
k1 199, k 2 55, k 3 8
K [199 55 8]
与方法一得到的结果相同
9.6.3 输出反馈与极点配置
u
B
x
1 s
x
y
C
－
A
H
状态空间描述 传递函数矩阵
Ax Bu Hy ( A HC ) x Bu x y Cx
G H ( s ) C ( sI A HC ) 1 B
定理 用输出到状态微分的反馈任意配置闭环极点的充 要条件是：受控系统状态完全可观测。
定理 用输出到状态微分的反馈任意配置闭环极点的充 要条件是：受控系统状态完全可观测。 证明： 以多输入单输出系统为例，利用对偶定理证明。 若（A, B, C）可观测，则对偶系统（AT, CT, BT ）可控， 由状态反馈极点配置定理可知，（ AT － CTHT ）的特征值 可任意配置。 由于（AT－CTHT）特征值与（AT－CTHT)T=A－HC 的 特征值相同，故当且仅当（A, B, C）可观测时，可以任 意配置A－HC 的特征值。 为根据期望的闭环极点位置来设计输出反馈矩阵h的参 数，只需将期望的系统特征多项式与该输出反馈系统特征 多项式 I ( A HC ) 相比较即可。
（此题P为单位阵）
方法二
设期望的状态反馈增益矩阵为
计算机控制8-2状态空间模型设计
7
问题（1）的解决：
1）由s平面给出极点，由
zi e siT (i 1,2,, n)
求出Z平面中的极点。
2）将所有极点放置在原点，即令 3）对于二阶系统，由 再求出
c ( z ) z n ，从而变成最小拍控制。
和无阻尼震荡频率 n ， ，从而得到Z平面极点分布。
% 和 Ts 给出阻尼系数
L2
（2）
13
（1）（2）两式比较，得到：
0.1L2 0.005L1 2 1.6 0.005L1 0.1L2 1 0.7
解方程组，得到 于是得到
L1 10,
L2 3.5
L 10 3.5
14
（四）利用求求解算法直接求解（计算机编程求解）
L 0 1G
观测器
3
设控制规律反馈的是实际对象的全部状态，而不是重构的状态。 控制对象的状态方程为：
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
其中
（1）
x Rn , u Rm
设控制规律为线性状态反馈，即
u (k ) Lx(k )
（2）
问题：设计反馈控制规律 L，以使得闭环系统具有所需得极点配置。
z n 1 z n1 n 0
（5）
5
于是，有
zI F GL c ( z )
（6）
上式展开，通过比较 z 的同次幂的系数，可以得到 n 个代数方程： （1）对于单输入系统，可以得到L的唯一解； （2）对于多输入系统（m>1），反馈系数阵L共有mn个未知数，而总共 只有n个方程，因此需要附加其他限制条件（如输出解耦、干扰解耦等）， 才能完全确定控制规律L。
线性系统理论6极点配置与特征结构配置-文档资料
x Ax Bu
y
Cx
Du
可用状态反馈任意配置极点。
定理6.2.1 定常线性系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
可用状态反馈任意配置极点的充要条件
是该系统完全能控。
定义6.2.2 设 A Rnn，则矩阵 A
称为循环的，当且仅当其特征多项式等 同于其最小多项式，或其Jordan标准型 中相应于每个不同的特征值仅有一个 Jordan块。
第六章 极点配置与特征 结构配置
6.1 线性系统的常规控制律
线性定常系统
x Ax Bu Ed
y
Cx
Du
d Rl 为干扰信号，E Rnl 干扰输入矩阵。
6.1.1 线性定常状态反馈控制律
线性定常状态反馈控制律 ：
u Kx Gv
系统在状态反馈律: u Kx Gv 作用下
的闭环系统为:
第三步：计算 k a0 a0 a1 a1 an1 an1
第四步:计算变换阵
P An1b
1
Ab
b
an1
a1
1
an1 1
第五步:求 Q P1 第六步:所求的增益阵 k kQ
例6.3.1 给定单输入线性定常为
0 0 0 1
x 1 6
0
x
0
u
0 1 12 0
再给定期望的一组闭环特征值为
反馈律保持其输入解耦零点和输出解 耦零点不变，从而保持其能控性和能 观性不变。
6.1.3 线性定常输出动态补偿器
输出反馈律不含动态环节为静态输出 反馈,动态补偿器含有动态环节,称为动 态输出反馈。其一般形式为：
z
Fz
Hy
Lv,
z0
z0
实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计
实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计一、实验目的1. 加深对状态反馈作用的理解。
2. 学习和掌握状态观测器的设计方法。
二、实验原理在MATLAB 中，可以使用acker 和place 函数来进行极点配置，函数的使用方法如下：K = acker(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
K = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
[K,PREC,MESSAGE] = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵，PREC 为特征值，MESSAGE 为配置中的出错信息。
三、实验内容1.已知系统（1）判断系统稳定性，说明原因。
（2）若不稳定，进行极点配置，期望极点：-1，-2，-3，求出状态反馈矩阵k。
（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系，说明状态反馈为何能进行极点配置？（4）使用状态反馈进行零极点配置的前提条件是什么？1.（1）（2）代码：a=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1];b=[1,1,1]';p=[-1,-2,-3]';K=acker(a,b,p)K =-1 2 4（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系, 说明状态反馈为何能进行极点配置?在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。
在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状态变量来构成反馈律，即状态反馈。
从状态空间模型输出方程可以看出，输出反馈可视为状态反馈的一个特例。
状态反馈可以提供更多的补偿信息，只要状态进行简单的计算再反馈，就可以获得优良的控制性能。
(4)使用状态反馈配置极点的前提是系统的状态是完全可控的。
2.已知系统设计全维状态观测器，使观测器的极点配置在12+j，12-j 。
（1）给出原系统的状态曲线。
（2）给出观测器的状态曲线并加以对比。
（观测器的初始状态可以任意选取）观察实验结果，思考以下问题：（1）说明反馈控制闭环期望极点和观测器极点的选取原则。
线性控制理论
研究
6．1 引言
综合问题的提法
系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。
对象
Ax Bu x(0) x0 t 0 0 : x y Cx
目标
手段 状态反馈输入：u (t) =－Kx(t)+(t) 输出反馈输入：u (t) =－Fy(t)+(t)
所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制u(t) ，使 所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 。 系统综合 系统设计 工程设计－考虑各种实际问题
期望闭环极点为 1* 2 2* 1 j 3* 1 j 解：容易判断 系统能控
计算状态反馈阵K
0 0 0 s 3 18s 2 72s det(sI A) 1 s 6 0 1 s 12 0
0= 0，1= 72，2=18 计算由期望闭环极点组决定的特征多项式
3 2 (s) ( s * i ) ( s 2)(s 1 j )(s 1 j ) s 4s 6s 4 * i 1 3
0*= 4，1*= 6，2*=4
* * * k [ 0 0 ,1 1 , 2 2 ] [4,66,14]
理论“设计”－确定u(t)的形式和 构成
性能指标的类型 性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为上的一种规定。 （1）镇定问题 非优化型性能指标 (不等式型) （2）极点配置 （3）解耦控制 （4）跟踪问题
优化性型能指标 (极值型) 研究综合问题的思路 建立
J (u()) ( x T Qx uT Ru)dt
Step6：计算 Q = P
-1
P An 1b, , Ab, b
线性系统的极点配置设计研究
线性系统的极点配置设计研究【引言】线性系统是现代控制工程学中的基础，系统的稳定性是控制系统设计的一个核心问题。
对于一个线性系统而言，其极点配置设计是控制系统设计中非常重要的一环。
本文将对线性系统的极点配置设计进行研究，并分别从理论和实践两个方面进行分析。
【理论分析】（一）极点概念的介绍在控制系统设计中，极点是非常重要的概念。
在数学上，一个线性系统的极点是其传递函数分母的根，通常将其表示为 s1, s2, ..., sn。
一个线性系统的稳定性与其极点有着密切的关系，当且仅当极点全部位于左半s平面才能保证系统的稳定性。
（二）极点配置设计的方法对于一个控制系统而言，其极点配置设计是控制系统设计的重点之一。
一般分为基于传递函数的极点配置设计和基于状态空间的极点配置设计两种。
1. 基于传递函数的极点配置设计传递函数的极点决定了一个系统的动态响应，因此，极点配置设计是控制系统设计中最重要的一步。
其中，将极点移动到左半s平面可以提高系统的稳定性，将极点分配到希望响应的位置可以改善系统的动态特性。
2. 基于状态空间的极点配置设计状态空间模型是控制系统设计中最常用的一种模型。
通过控制系统的状态变量的配置，可以决定其动态性能。
状态空间模型的主要优点是可以更好地对系统动态性能进行描述，因此，它是现代控制系统设计中非常重要的分析工具。
【实践分析】（一）极点配置设计的应用在实际的控制系统设计中，极点配置设计是不可或缺的环节。
针对不同的控制对象，合理地配置其极点可以有效地改善系统的动态性能。
下面列举几种常用的应用场景。
1. 直流电机系统对于直流电机系统而言，合理地配置极点可以显著提高系统的过渡过程与稳定性能。
通过使用极点配置工具，可以将系统的极点分布在希望的位置上，使得电机系统具有更好的响应速度和精度。
2. 液压伺服系统在液压伺服系统中，通过配置极点使得系统具有更好的质量指标和响应性能。
通过使用控制系统设计软件，可以更加精细地进行控制器的设计，从而提高系统的控制性能和稳定性。
6.5 状态不可测时控制器的设计
0.5 j 3
z1,2 e
2
从而得到观测器的特征方程为：
e (z) (z 0.08)2 z2 0.16z 0.0064
从而得到：
K
e
(
F
)
CF CF 2
1
0 1
0.993 0.790
仿真结果如下：
图2
输出振荡较大（引入观测器造成的结果）
y(k)
控制器
xˆ (k)
控制规律
观测器
参考输入 r(k )
r(k)
u(k)
y(k)
图 2 随动系统结构
控制对象模型仍为：xy((kk
1) Fx(k ) Cx(k)
)
Gu(k )
（1）
调节系统控制器：
预报观测器： xˆ(k 1) Fxˆ (k) Gu(k) K[y(k) Cxˆ (k)] (F GL KC)xˆ(k) Ky(k)
教学模块6 基于状态空间模型的极点配置设计方法
教学单元5 状态不可测 时控制器的设计
5.1 状态不可测时调节系统控制器的设计
问题：设计控制规律时： u(k) Lx(k)
实际应用时：
u(k) Lxˆ(k)
则实际闭环系统是否具有按极点配置设计控制规律时所要求的性能？
控制对象：
x(k 1) Fx(k) Gu(k) y(k) Cx(k)
其中
F
e AT
1 0
0.9516 0.9048
G
T 0
e
At
dtB
0.04837 0.09516
（3）控制规律L： u(k) Lxˆ (k)
线性系统极点配置和状态观测器基于设计(matlab) - 最新版本
一. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：这时，闭环系统的状态空间模型为：()x A BK x Bv y Cx =-+⎧⎨=⎩二. 状态观测器设计原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可观的，则可引入全维状态观测器，且：ˆˆ(y y)ˆˆx Ax Bu G y Cx ⎧=++-⎪⎨=⎪⎩设ˆx x x=-，闭环系统的状态空间模型为： ()x A GC x =-解得：(A GC)t(0),t 0x ex -=≥由上式可以看出，在t 0≥所有时间内，如果(0)x =0，即状态估计值x 与x 相等。
如果(0)0x ≠，两者初值不相等，但是()A GC -的所有特征值具有负实部，这样x 就能渐进衰减至零，观测器的状态向量ˆx就能够渐进地逼近实际状态向量x 。
状态逼近的速度取决于G 的选择和A GC -的特征配置。
三. 状态观测的实现为什么要输出y 和输入u 对系统状态x 进行重构。
u Kx v =-+证明 输出方程对t 逐次求导，并将状态方程x Ax Bu =+代入整理，得2(n 1)(n 2)(n 3)21n n y Cxy CBu CAx y CBu CABu CA x y CBu CABu CA Bu CA x-----=⎧⎪-=⎪⎪--=⎨⎪⎪⎪----=⎩将等号左边分别用z 的各分量12,,,n z z z 表示，有121(n 1)(n 2)(n 3)2n n n y C z y CBu CA z z y CBu CABu x Qx z CA y CBu CABu CA Bu -----⎡⎤⎧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--==⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪----⎩⎣⎦如果系统完全能观，则rankQ n =即1ˆ(Q Q)T Tx Q z -= （类似于最小二乘参数估计） 综上所述，构造一个新系统z ，它是以原系统的输出y 和输入u ，其输出经过变换1(Q Q)T T Q -后得到状态向量ˆx。
能控性能观性与极点配置设计
注意：
•时间函数行向量线性无关的定义，在前述列向量线性无关 基础上稍加改动即可 •上述定义中，令m=1,即为过去所学的时间函数（标量）线 性无关定义
7
•时间函数向量线性无关性条件 •格兰姆矩阵及其行列式 设f1(t),f2(t),…,fn(t)为m维列向量，则矩阵
G f i , f j nn
分析： •哪些状态变量与输 入信号有关？哪些 无关？ •哪些状态变量与输 出信号有关？哪些 无关？ •传递函数与哪些系 统特征值有关？与 哪些特征值无关？ •发现什么规律？
2
0
0 0
2
0 0
3
0
0 x1 0 0 x2 1 u 0 x3 0 4 x4 1
能控性与能观性的概念
5
第六章 能控性能观性与极点配置设计
•时间函数向量无关性
•时间函数向量线性无关性定义
设以定义在时间区间[t0,t1]上连续函数fij(t)为元素的矩阵
f11 t f12 t f1n t f t f t f t 22 2n 21 F t fij t nm f1 t f 2 t f n t f m1 t f m 2 t f mn t
x1 x y 0 1 1 0 2 x3 x4
Y s 试求：该系统的传递函数 G s U s
解： 因 Gs CsI A1 B
0 0 0 s 1 0 s 2 0 0 而 sI A 0 s 3 0 0 0 0 0 s 4
根据对角矩阵的逆矩阵性质，有
s 1 1 0 0 0 1 s 2 0 0 0 1 sI A 0 s 3 1 0 0 1 s 4 0 0 0
chapter6极点配置与状态观测器
K
6.3 状态观测器
用 ~x 代替 x
自然要求：
x~ x
渐近意义下： lim~x x 0 t
6.3 状态观测器
uB B
x ∫
+
A
E + x~ ∫
+
A
x
y
C
+
x~ C ~y 观测器
x~
6.3 状态观测器
u
y
+
E
B
+
x~
∫
x~
~y -
C
+
A
观测器
观测器状态方程
x~ A EC x~ Bu Ey
是否可以利用状态反馈，达到极点的 任意配置？
Im
s平面
0
Re
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
6.2 极点配置
Re
响应快 响应慢
6.2 极点配置 在看一例：
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 3阶系统
1阶系统
6.2 极点配置
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 1阶系统
3阶系统
6.2 极点配置
状态反馈后系统极点
v
uB
-
x
∫
x
y
C
+
A
K
6.1 基于状态空间模型的极点配置设计方法导学
计算机控制系统教学模块6 基于状态空间模型的极点配置设计方法本教学模块内容:●教学单元1-模块导学●教学单元2-离散系统状态空间模型的建立●教学单元3-状态可测时按极点配置设计控制规律●教学单元4-按极点配置设计观测器●教学单元5-状态不可测时控制器的设计教学模块6 基于状态空间模型的极点配置设计方法教学单元1 模块导学东北大学·关守平guanshouping@熟悉1、s平面与z平面的映射关系2、性能指标与闭环系统零极点之间的关系掌握1、连续系统状态空间模型的基本概念2、连续系统的能控性、能观性、稳定性等基本特性1.1 学习本教学模块所需掌握的基础知识1.2 本教学模块解决的问题被控对象—离散状态空间模型性能指标—闭环系统z 平面的极点控制器设计：包括调节系统控制器和随动系统控制器设计•系统的稳定性•系统的稳态指标•系统的暂态指标1.3 极点配置设计方法原理与基本概念系统的动态行为主要是由闭环系统的极点决定的。
极点配置设计方法的基本原理：按照控制系统性能要求和被控对象的某些特征，先确定控制系统的期望闭环极点，再设计出控制器，使得控制系统的闭环极点与期望的闭环极点相同。
基于状态空间模型进行控制器的设计：可以采用状态反馈和输出反馈两种形式，其含义是分别将观测到的状态量或输出量取作反馈量以构成反馈控制律，构成闭环控制，以达到期望的闭环系统的性能指标。
采用状态反馈与采用输出反馈相比较，闭环系统能够达到更好的性能:（1）状态反馈能够实现闭环极点的任意配置；（2）输出反馈是状态反馈的特例。
状态反馈控制的前提条件：通过状态行为来实现控制目标，但是这样的反馈控制策略有一个前提，即系统状态的行为应能受控制作用的任意控制，否则不能达到设计目标。
一个系统的状态行为是否受控制作用的任意控制？这就涉及系统的能控性问题。
由于系统的状态不能全部测量，反馈的状态量需要用可直接测量的输出量进行估算，系统的状态量是否可以由输出量来完全确定？这就涉及到系统的能观性问题。
状态空间设计法
BK X(k) X(k 1) A BK ~ ~ X(k 1) 0 X(k) A LC
BK A BK de tz I 0 A LC 0
de t(z I A BK)(z I A LC) A LC 0
若期望的极点为βi (i 1,2,, n)，期望观测器特征多项式：
η(z ) (z β i ) z I A LC 0
i 1
n
对于高阶系统，也有Ackerman公式：
K η(A)Q e
1 T n o
n n 1 en 0 0 1 η(z) z α1z αn
闭环特征方程
zI A BK 0
设计反馈控制规律L，使得闭环系统具有所需要的极点配置。
闭环控制极点：
βi (i 0,1,2, , n)
求得闭环特征方程为：
βc (z) (z β1 )(z β2 )(z βn ) zn α1zn1 αn 0
反馈控制矩阵K应满足方程：
2
0.24 1 λ(A) A A 0.24I 0 0.24
2
1 1 0.24 1 K enQ λ(A) 0 1 0 0.24 1 0.24 1 0
1 c
第二节
状态观测器设计法
观测器的设计思想：根据能够测量的系统输出量和输入量，重 构出全部状态。
相应的离散状态方程
x(k 1) Ax(k) Bu(k) y(k) Cx(k)
A e A 1T T A1 τ B e dτ 0
假设控制规律是线性状态反馈
u(k) kX(k)
计算机控制技术第五章 基于状态空间模型的极点配置设计方法
∫
kT
由于被控对象输入为ZOH的输出信号，在每个kT上不变 由于被控对象输入为ZOH的输出信号，在每个kT上不变， 上不变， 的输出信号 U(kT)=常值 U(kT)=常值，k=1,2,… kT≤t≤(k+1)T，U(kT)可以作 常值， kT≤ (k+1)T，U(kT)可以作 为常值提到积分外面 k+1)Tdλ kT→ 令（k+1)T-τ=λ, dλ=-dτ,即τ由kT→(k+1)T, λ由T →0 写为； 写为；
状态方程的 矩阵形式： 矩阵形式：
x1 (k + 1) −1.3 −0.4 x1 (k ) 1 + u (k ) x (k + 1) = 1 0 x2 (k ) 0 2
x (k ) y (k ) = [ −0.5 − 0.28] 1 + u (k ) x2 (k )
U ( z)
−0.5 z − 0.28 −0.1 −0.4 = 1+ + z + 0.5 z + 0.8 ( z + 0.5)( z + 0.8)
−0.1 −0.4 U ( z) + U ( z) z + 0.5 z + 0.8
Y ( z) = U ( z) +
状态方程： 状态方程：
x1 (k + 1) = −0.5 x1 (k ) − 0.1u (k ) x2 (k + 1) = −0.8 x2 (k ) − 0.4u (k )
• 与SISO系统相同，不同的实现方式产生不同的 SISO系统相同 系统相同， ABCD阵 ABCD阵 • 阶数不变，输入输出关系不变，特征多项式不变 阶数不变，输入输出关系不变，
9第九章_基于状态空间模型的极点配置设计方法
= y ( k ) Cx ( k ) + Du ( k )
u ( k ) ：输入向量， m ×1
y ( k ) ：输出向量， p ×1
x ( k ) ：状态向量，
F ：系统矩阵， n × n G ：输入矩阵， n × m C ：输出矩阵， p × n D ：传输矩阵， p × m
D
u (k )
G
+ +
（a）
若将上式左边的行列式展开，并比较两边 z 的同次幂的系数，则一共可得到 n 个 代数方程。对于多输入的情况（ m > 1 ），反馈系数阵 K 共有 m × n 个未知元素， 而总共只有 n 个方程，因此仅仅根据上式并不能完全确定 K ，这时需同时附加其 它的限制条件（如状态解耦、干扰解耦）才能完全确定 K 。对于单输入的情况 （ m = 1） ， K 中未知元素的个数与方程的个数相等， 因此一般情况下可获得 K 的 唯一解。下面讨论单输入的情况（ m = 1 ）。 可以证明， 对于任意的极点配置， K 具有唯一解的充分必要条件是控制对象 完全能控，即： n −1 rank G FG F G =n 这个结论的物理意义也是很明显的：只有当系统的所有状态都是能控的，才 能通过适当的状态反馈使得系统的极点放置到任意指定的位置上。 按极点配置设计控制规律的关键在于如何根据对系统性能的要求来合适地给 定闭环系统的极点，以及如何根据式（a）方便地计算出 K 。 可以在 S 平面确定极点，然后再映射到 Z 平面，也可以直接在 Z 平面确定极 点。需要注意的是，极点的确定主要靠设计者的经验以及反复地试凑，设计方法 只能保证将极点设置在所要求的位置。 上述直接求解 K 的方法原理上比较简单，但只适用于低阶系统，对于高阶系 统的计算是十分困难的。因此，需要推导出适于计算机求解的算法。 对离散状态方程进行非奇异变换，可以得到求解的 K 算式： n −1 K = [ 0 0 1] G FG F G βc ( F )
状态空间极点配置控制实验课件
选择控制信号为：
u = −KX
图 1 状态反馈闭环控制原理图
求解上式，得到 x(t) = (A − BK)x(t)
方程的解为： x(t) = e( A−BK )t x(0)
可以看出，如果系统状态完全可控，K 选适当，对于任意的初 始状态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。
极点配置的设计步骤： 1) 检验系统的可控性条件。
把计算得到的 K 值输入上面的窗口。 运行仿真，得到以下结果：
图 4 直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB Simulink 仿真结果
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可以看出，在存在干扰的情况下，系统在3 秒内基本上 可以恢复到新的平衡位置，
读者可以修改期望的性能指标，进行新的极点配置， 在“Controller2”模块中设置新的控制参数，并点击 “Manual Switch”把控制信号切换到“Controller2”
3、 极点配置控制实验
❖ 实验步骤如下
1) 进 入 MATLAB Simulink 中“ \\matlab6p5\toolbox\GoogolTech\
InvertedPendulum \ Linear Inverted Pendulum, ”目录，打 开直线一级倒立摆状态空间极点配置控制程序如下：
Googol Linear 1 stage Inverted Pendulum Poles Placement Method1 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear; A=[ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0]; B=[ 0 1 0 3]'; C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[ 0 0 ]'; J=[ -10 0 0 0; 0 -10 0 0; 0 0 -2-2*sqrt(3)*i 0;
状态空间-极点配置
因为，方程式（ 因为，方程式（5.85）可以写成 ） [Gf 1L Gf qGV q + 1L GV n ]
u ( k ) = −Kx ( k )
其中K是状态反馈增益矩阵 1xn（矩阵） 其中 是状态反馈增益矩阵 1xn（矩阵）
于是系统成为图5.19（b）所示的闭环控制系统 （ ） 于是系统成为图
x ( k + 1) = (G − HK ) x ( k )
u
x(k+1) +
x
（5.83） ）
u
x(k +1)
（5.89） ）
其中
h 11 h 21 = hq1
H11
现在考虑方程式（ 现在考虑方程式 （ 5.82）所示的闭环系统 ， 它 ） 所示的闭环系统， 们特征方程式为
| z I − G + HK |= 0
令 或
~ K = KP
~ K = [ K11 K12 ]
x
图5.19 （a）开环控制系统； ）开环控制系统； （b） u ( k ) = − kx ( k ) 的闭环控制系统 ）
而 G-HK的特征值是闭环极点的期望值 µ1 , µ 2 , ⋅⋅⋅, µ n 。 的特征值是闭环极点的期望值 现在证明系统的状态完全可控是闭环系统极点任意配置的 必要与充足条件。首先推导必要条件 必要条件。 必要与充足条件。首先推导必要条件。 假定方程式（ 假定方程式 （ 5.82） 所示系统的状态不是完全 ） 可控的， 可控的， 于是可控性矩阵的秩一定小于 n ，即 （ ） rank[ H GH ⋅⋅⋅ G n −1 H ] = q < n 5.84） 这意味着可控性矩阵中有q列线性独立的向量， 这意味着可控性矩阵中有 列线性独立的向量，定义 列线性独立的向量 f 1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , f q 为q列线性独立向量，并选择 列线性独立向量， 列线性独立向量 v q + 1 , v q + 2 , v n 为 n − q 个附加向量，于是得到一个满 个附加向量， 秩的变换矩阵 变换矩阵： 秩的变换矩阵： P = [f1 f 2 ⋅⋅⋅ f q vq +1 vq + 2 ⋅⋅⋅ vn ]
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进而得到:
x n 1 ( k ) x n ( k 1) hn u ( k )
即:
（3）
x n 1 ( k ) a1 y ( k n 1) a n y ( k ) b0 u ( k n ) b1u ( k n 1) b n u ( k ) a n x1 ( x ) a n 1 x 2 ( x ) a 2 x n 1 ( k ) a1 x n ( k ) h n u ( k )
Bu ( )d
x( )
t t0
其中
t
d d
[e
A
t0
x( )]d d [e
t0
t
x( )] e
At0
A
e
At
x(t ) e
x(t0 )
因此，有：
e
At
x(t ) e
At0
x(t0 ) e
t0
t
A
Bu ( )d
两边同乘 e At
由（4）式得到：
h1 b1 a1 h0 0 h 2 b 2 a1 h1 a 2 h0 9 h3 b3 a1 h 2 a 2 h1 a 3 h0 21
于是最终得到状态空间模型为：
x1 ( k 1) 0 x 2 ( k 1) 0 x 3 ( k 1) 7 1 0 8 0 x1 ( k ) 0 1 x2 ( k ) 9 u ( k ) 3 x 3 ( k ) 21
计算机控制系统
第6章 基于状态空间模 型的极点配置设计方法
信息学院·尤富强
youfuqiang@
二○○九年五月
控制器设计：
1、连续s传递函数：根轨迹，频率法
传递函数模型
2、离散z传递函数： 模拟化设计方法：根轨迹，频率法 离散化设计方法：极点配置
状态空间模型
1、连续空间模型：极点配置，最优等 2、离散空间模型：极点配置，最优等
本章内容:
状态空间描述的基本概念
离散系统的状态空间模型 系统的能控性与能观性 状态可测时按极点配置设计控制规律 按极点配置设计观测器 状态不可测时控制器的设计 随动系统的设计
6.2 状态空间描述的基本概念
1、系统动态过程的两类描述：
（1）外部描述：传递函数模型 反映反映外部变量即输入输出变量间的因果 关系，不表征系统内部结构和内部变量。 （2）内部描述：状态空间模型 表示了系统输入输出与内部状态之间的关系 包括：状态方程和输出方程
例题讲解
例6.2 线性定常离散系统的差分方程式为
y ( k 3) 3 y ( k 2) 8 y ( k 1) 7 y ( k ) 9 u ( k 1) 6 u ( k )
试求该系统的离散状态空间模型。 解：已知
a1 3, a 2 8, a 3 7, b0 b1 0, b2 9, b3 6
e
的幂指数形式为
e
At
I At
A t
2 2
A t
3 3
2!
3!
令
H e
0
T
At
dt IT
AT 2!
2
A T 3!
2
3
AT 4!
3
4
于是
F e
AT
I AT
AT 2!
2
2
AT 3!
3
3
2 2 3 AT AT I A IT 2! 3!
（8）
矩阵指数及其积分的计算
F e
AT
,
G e dtB
At 0
T
拉氏变换法
e L ( sI A) 因此，求F、G的步骤如下：
At
可以证明：
1
1
（1）求得
( sI A) 的逆矩阵( sI A) 1
e
At
（2）取其拉氏反变换，获得 （3）求 F 和 G
幂级数计算法
At
2、由差分方程建立离散状态空间模型
对于单输入单输出线性离散系统，可用 n 阶差分方程描述：
y ( k n ) a1 y ( k n 1) a n y ( k ) b 0 u ( k n ) b1u ( k n 1) b n u ( k )
F e
AT
e T 1 e T
0 1
0 1 dt 1 0
G
Hale Waihona Puke T 0e dtB
At
T 0
et t 1 e
1 e T T T 1 e
T 0 1 1 e T T 0 T 1 e
kT
令 t kT T
，（4）式化为： （5） （6）
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
其中 F e
AT
,
G e dtB
At 0
T
式（1）中，输出方程的离散形式为：
y (k ) Cx(k )
（7）
故连续模型等效离散状态方程是：
x(k 1) Fx( x) Gu(k ) y (k ) Cx(k )
x Ax Bu
e
[e
At
( x Ax) e
At
Bu
由于
于是
e
At
( x Ax)
At
d dt
At
x(t )]
d dt
[e
x(t )] e
t
At
Bu
A t A
两边积分，有：
d d
[e
t0
x( )]d e
t0
A
式中:
h0 b0 h1 b1 a1 h0 h 2 b 2 a1 h1 a 2 h0 h n b n a1 h n 1 a 2 h n 2 a n h 0
(4)
于是得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x 2 ( k ) h1u ( k ) x ( k 1) x 3 ( k ) h 2 u ( k ) (5) 2 x n 1 ( k 1) x n ( k ) h n 1u ( k ) x ( k 1) x ( k ) h u ( k ) n n 1 n a n x1 ( k ) a n 1 x 2 ( k ) a 2 x n 1 ( k ) a 1 x n ( k ) h n u ( k )
0 0 1 a1
h1 h2 G h n 1 h n
(6)
C 1
D h0 b0
y (k n) a1 y (k n 1) an y (k ) b0u ( k n) b1u ( k n 1) bnu ( k )
T
则向量x(t)称为n维状态向量。
（3）状态空间
以n个状态变量作为基底所组成的n维空间称为状态空间。
（4）状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组
或一阶差分方程组称为系统的状态方程。状态方程表征了
系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为
x ( t ) f [ x ( t ), u ( t )] x ( k 1) f [ x ( k ), u ( k )]
I A e dt I AH
At 0
T
G
T
e dt B HB
At
0
例题讲解
例6.1 设连续系统的状态空间模型为
1 x (t ) 1 0 x (t ) 0 1 u (t ) 0
y (t ) 0
1 x ( t )
（1）
其中设 x 为 n 维状态向量，u 为 m 维控制向量，y 为 r 维输出向量。 设在连续的对象前面有零阶保持器，即
u (t ) u (k ) kT t (k 1)T
（2）
将控制对象与保持器一起进行离散化处理，得到离散系统模型。
对式（1）求解： 两边同乘 e At ，得到
从而得到状态空间模型为：
x ( k 1) F x ( k ) G u ( k ) y (k ) C x(k ) D u (k )
0
0 0 F 0 a n
1 0 0 a n 1
0 0
0 1 0 an2
态空间模型），也可称为动态方程，其一般形式为：
x ( t ) f [ x ( t ), u ( t )] y ( t ) g [ x ( t ), u ( t )] x ( k 1) f [ x ( k ), u ( k )] y ( k ) g [ x ( k ), u ( k )]
T
( sI A )
1
s 1 1
0 s
1
s s ( s 1) 1 1
0 s 1
0 1
e
At
( s 1) 1 1 L s ( s 1) 1
0 et t 1 s 1 e
x(t ) e
，有：
A ( t t 0 )
x(t0 ) e