用向量方法证明平行与垂直课件

(2012· 湖南理，18)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平 面 ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90° ， E 是 CD 的中点．
Biblioteka Baidu
(1)证明：CD⊥平面 PAE； (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所 成的角相等，求四棱锥 P－ABCD 的体积．
(2011· 北京海淀期末)在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 ACC1A1⊥平面 ABC，∠ACB＝90° .
(1)求证：BC⊥AA1； (2)若 M，N 是棱 BC 上的两个三等分点，求证：A1N∥平 面 AB1M.
证明：(1)因为∠ACB＝90° ，所以 AC⊥CB， 又侧面 ACC1A1⊥平面 ABC， 且平面 ACC1A1∩平面 ABC＝AC， BC⊂平面 ABC，所以 BC⊥平面 ACC1A1， 又 AA1⊂平面 ACC1A1，所以 BC⊥AA1.
→ → → → 所以|cos〈CD，PB〉|＝|cos〈PA，PB〉|， → → → → PB PB CD· PA· 即 ＝ . → → → → |PB |PB |CD|· | |PA|· | → → 由(1)知，CD＝(－4,2,0)，PA＝(0,0，－h)， → 又PB＝(4,0，－h)，
(1)∵∠ABC＝60° ， ∴△ABC 为正三角形． 1 3 1 3 1 ∴C(2， 2 ，0)，E(4， 4 ，2)． 设 D(0，y,0)，由 AC⊥CD， → → 得AC· ＝0， CD 2 3 2 3 ∴y＝ ，即 D(0， ，0)， 3 3 1 3 → ∴CD＝(－2， 6 ，0)．
3 1 → 1 又AE＝(4， 4 ，2)， 1 1 3 3 → → ∴AE· ＝－2×4＋ 6 × 4 ＝0， CD → → ∴AE⊥CD，即 AE⊥CD.
(2)证法一：连接 A1B，交 AB1 于 O 点，连接 MO， 在△A1BN 中，O，M 分别为 A1B，BN 的中点， 所以 OM∥A1N. 又 OM⊂平面 AB1M，A1N⊄平面 AB1M， 所以 A1N∥平面 AB1M.
→ → 证法二：∵M、N 为 BC 的三等分点，∴BM＝MN， → → → → → → → → → A1N＝A1A＋AM＋MN＝B1B＋AM＋BM＝AM＋B1M， ∵A1N⊄平面 AB1M，∴A1N∥平面 AB1M.
用向量方法证明面面垂直与平行
[例 3]
已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2， F、 E、
G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点，求证：
(1)平面 ADE∥平面 B1C1F； (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G； (3)在 AE 上求一点 M，使得 A1M⊥平面 DAE.
②可在平面 α 内取基向量{e1，e2}，证明直线 l 的方向向 量 a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明 l 不在平面 α 内即可； → ③在平面 α 内找两点 A、 证明直线 l 的方向向量 n∥AB. B，
(3)证明平面 α∥平面 β 时， α、 的法向量分别为 a、 设 β b， 则只需证明 a∥b.
疑难误区 点拨警示 1．建立坐标系一定要符合右手系原则． 2．证明线面平行时，一定要说明直线在平面外．
思想方法技巧
一、如何用空间向量解决立体几何问题 1．思考方向： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪 些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件 转化成的向量直接表示？
2 3 3 → → ∵PD＝(0， 3 ，－1)，显然PD＝ 3 n. → → ∵PD∥n，∴PD⊥平面 ABE.即 PD⊥平面 ABE.
点评： (1)证明直线 l1 与 l2 垂直时， l1、2 的方向向量 a、 取 l b，证明 a· b＝0. (2)证明直线 l 与平面 α 垂直时，取 α 的法向量 n，l 的方 向向量 a，证明 a∥n. 或取平面 α 内的两相交直线的方向向量 a、b 与直线 l 的 方向向量 e，证明 a· e＝0，b· e＝0.
第九章
第七节 用向量方法证明平行与垂直
泰安二中数学2013年10月23日星期三
基础梳理导学
重点难点 引领方向
重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系． 难点：将立体几何问题转化为向量问题．
夯实基础 稳固根基 一、用空间向量解决立体几何问题的思路 1．坐标法：如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线 (或平面)，比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标，这种 情况下，一般是建立恰当的空间直角坐标系，用坐标法通过 坐标运算来解决．
∴AB、AP、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图 所示的空间直角坐标系 A－xyz， 则 A(0,0,0)、 B(2,0,0)、 C(2,2,0)、 D(0,2,0)、 P(0,0,2)、 E(0,0,1)、 F(0,1,1)、G(1,2,0)． → → → ∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)， → → → 设PB＝sFE＋tFG， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
n⊥v ， 1 ②α⊥β⇔ n⊥v2. n· ＝0， v1 ⇔ n·2＝0. v
考点典例讲练
用向量证明线面平行
[例 1]
如图所示， 平面 PAD⊥平面 ABCD， 四边形 ABCD
为正方形，△PAD 是直角三角形，且 PA＝AD＝2，E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点．求证：PB∥平面 EFG.
－16＋0＋0 0＋0＋h2 故 2＝ 2. 2 5· 16＋h h· 16＋h
8 5 解得 h＝ 5 .
1 又梯形 ABCD 的面积为 S＝ ×(5＋3)×4＝16， 2 所以四棱锥 P－ABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5 V＝ ×S×PA＝ ×16× ＝ . 3 3 5 15
三、平面的法向量 1．如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α， 则称这个向量垂直于平面 α，记作 a⊥α，如果 a⊥α，那么向 量 a 叫做平面 α 的法向量．
2．求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量，AB、CD 是 M 内的两条相 → → 交直线， n· ＝0， CD＝0.由此可求出一个法向量 n(向量 则 AB n· → → AB及CD已知)．
2．基向量法 如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直的三 条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共面的三条 直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和待解决的结论， 用基底及其线性表示来表达，通过向量运算来解决．
二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般 步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标； ③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证；⑤转化为 几何结论．
解析：如图，以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 所在直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设 PA＝h，则 相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)， E(2,4,0)，P(0,0，h)．
→ → → (1)易知CD＝(－4,2,0)，AE＝(2,4,0)，AP＝(0,0，h)． → → → → 因为CD· ＝－8＋8＋0＝0，CD· ＝0，所以 CD⊥AE， AE AP CD⊥AP.而 AP、AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD ⊥平面 PAE. → → (2)由题设和(1)知，CD、PA分别是平面 PAE、平面 ABCD 的法向量． 而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角 相等，
分析：欲证线面平行，可考虑找出平面 EFG 的一个法向 → → 量 n，证明PB· n＝0，也可以考虑将PB用平面 EFG 内两不共 线向量线性表示，由于四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥ 平面 ABCD，PA⊥AD，故可建立空间直角坐标系，用向量的 坐标运算证明．
证明：
∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形，△PAD 为 直角三角形，PA⊥AD，
用向量证明线面垂直
[例 2]
如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60° ，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．证明：
(1)AE⊥CD； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：∵AB、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的空间 直角坐标系， 设 PA＝AB＝BC＝1，则 P(0,0,1)．
(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 3 1 → → 1 ∵AB＝(1,0,0)，AE＝(4， 4 ，2)， → n· ＝0， AB ∴ → n· ＝0， AE x＝0， 即1 3 1 4x＋ 4 y＋2z＝0.
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
(3)证明平面 α 与 β 垂直时，取 α、β 的法向量 n1、n2，证 明 n1·2＝0.或取一个平面 α 的法向量 n， n 在另一个平面 β 内取 基向量{e1，e2}，证明 n＝λe1＋μe2. (4)证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方向向 量和平面的法向量表示出来(用已知向量表示或用坐标表示)．
(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表 示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与 由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到 需要的结论？
2．空间问题如何转化为向量问题 (1)平行问题⇒向量共线，注意重合； (2)垂直问题⇒向量的数量积为零，注意零向量； (3)距离问题⇒向量的模； (4)求角问题⇒向量的夹角，注意角范围的统一． 3．向量的分解与合成是用向量法解决立体几何问题中经 常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐 标系是关键．
t＝2， ∴t－s＝0， －t＝－2，
解得 s＝t＝2.
→ → → ∴PB＝2FE＋2FG， → → → → → 又∵FE与FG不共线，∴PB、FE与FG共面． ∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG. → 自己再用平面 EFG 的法向量与PB垂直的方法证明之．
点评：(1)证明直线 l1∥l2 时，分别取 l1、l2 的一个方向向 a1 a2 量 a、b，则 a∥b⇔存在实数 k，使 a＝kb 或利用其坐标b ＝b 1 2 a3 ＝ (其中 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))． b3 (2)证明直线 l∥平面 α 时， ①可取直线 l 的方向向量 a 与平面 α 的法向量 n， 证明 a· n ＝0；
a⊥v ， 1 l⊥α⇔ a⊥v2. a· ＝0， v1 ⇔ a· 2＝0. v
3．用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面 α、β 的法向量分别为 n1、n2. (1)α∥β 或 α 与 β 重合⇔n1∥n2⇔存在实数 t，使 n1＝tn2.
(2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·2＝0. n 若 v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量，n 是平面 β 的 法向量． 则①α∥β 或 α 与 β 重合⇔v1∥β 且 v2∥β⇔存在实数 λ、 μ， 对 β 内任一向量 a，有 a＝λv1＋μv2.
二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1．用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b⇔存在实数 t，使 a＝tb. (2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a· b＝0.
2．用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量． (1)l∥α 或 l⊂α⇔存在两个实数 λ、 使 a＝λv1＋μv2⇔a· μ， n ＝0. (2)l⊥α⇔a∥n⇔存在实数 t，使 a＝tn.