第十章 球函数

一、连带勒让德函数：
证 明：
二、连带勒让德函数的正交性：
二、连带勒让德函数的正交性：
二、连带勒让德函数的正交性：
二、连带勒让德函数的正交性：
二、连带勒让德函数的正交性：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题： 注： （1）球谐函数的正交归一性：
第十章 球函数
§10.1 轴对称问题 一、勒让德多项式的常用性质： 1、特殊值、奇偶性
（1）特殊值：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
（2）奇偶性：
一、勒让德多项式的常用性质：
2、生成函数： 在半径为1的球面上，有一电量为q=4πε0的点电荷，它在P 点产生的电势为：
一、勒让德多项式的常用性质：
证明：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
（2）Ylm（，）的特殊值：
三、非轴对称问题：
证明：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问Байду номын сангаас：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
一、勒让德多项式的常用性质：
figure meshc(Z,X,Uin) hold on meshc(Z,X,Uout) xlabel('\fontsize{20}z') ylabel('\fontsize{20}x') title('\fontname{宋体}\fontsize{20}级数式的图形')
一、连带勒让德函数： 也可以在极坐标系下绘制连带勒让德函数的图形：
一、连带勒让德函数：
theta=0:0.1:2*pi; rho1=legendre(1,cos(theta)); rho2=legendre(2,cos(theta)); rho3=legendre(3,cos(theta)); subplot(341) polar(theta,rho1(1,:)) title('P_1^0(cos\theta)') subplot(342) polar(theta,rho1(2,:)) title('P_1^0(cos\theta)') subplot(345) polar(theta,rho2(1,:)) title('P_2^0(cos\theta)') subplot(346) polar(theta,rho2(2,:))
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
例题：以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把f(x)=|x| 展开为广义傅里叶级数。 解：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、连带勒让德函数：
title('P_2^1(cos\theta)') subplot(347) polar(theta,rho2(3,:)) title('P_2^2(cos\theta)') subplot(349) polar(theta,rho3(1,:)) title('P_3^0(cos\theta)') subplot(3,4,10) polar(theta,rho3(2,:)) title('P_3^1(cos\theta)') subplot(3,4,11) polar(theta,rho3(3,:)) title('P_3^2(cos\theta)') subplot(3,4,12) polar(theta,rho3(4,:)) title('P_3^3(cos\theta)')
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
对r求导：
一、勒让德多项式的常用性质：
4、正交性：
一、勒让德多项式的常用性质：
证明：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
5、广义傅里叶级数： 在-1 ≤x ≤1区间上满足与Pl(x)相同边界条件的相当光 滑函数f(x)可作如下展开：
一、勒让德多项式的常用性质：
Rin(find(Rin>1))=NaN; Rout=R; Rout(find(Rout<1))=NaN; Uin=1; Uout=1./Rout; for k=1:20 Leg=legendre(k,cos(Q)); %产生k阶连带勒让德多项式 Legk=squeeze(Leg(1,:,:)); %提取k阶勒让德多项式，移去 单一维数，使其成为矩阵 uin=Rin.^k.*Legk; uout=1./Rout.^(k+1).*Legk; Uin=Uin+uin; Uout=Uout+uout; end
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
均匀带电球产 生的电势
匀强电场产生 感应电荷产生 的电势 的电势
§12.3 非轴对称问题
一、连带勒让德函数： l 阶连带勒 让德方程
l 阶勒让 德方程
一、连带勒让德函数：
例题：画出所有3阶的连带勒让德函数的图形。
解：% Fig1d17.m x=0:0.01:1; y=legendre(3,x); plot(x,y(1,:),'-',x,y(2,:),'-.',x,y(3,:),':',x,y(4,:),'--') xlabel('x') ylabel('y')
一、连带勒让德函数：
title('\fontsize{20}勒让德多项式') legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3')
∵ q在z轴上，产生的电势呈轴对称分布
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
% Fig2d7.m close all clear all [X,Z]=meshgrid([0:0.1:2],[0:0.1:3]); [Q,R]=cart2pol(Z,X); R(find(R==1))=NaN; u=1./sqrt(1-2*R.*cos(Q)+R.^2); meshc(Z,X,u) xlabel('\fontsize{20}z') ylabel('\fontsize{20}x') title('\fontname{宋体}\fontsize{20}母函数的图形') Rin=R;
例题：以勒让德多项式为基函数，在[-1,1]区间上把 f(x)=2x3+3x+4展开为广义傅里叶级数。 解：
一、勒让德多项式的常用性质：
例题：以勒让德多项式为基函数，在[-1,1]区间上把 f(x)=x2展开为广义傅里叶级数。 解：
一、勒让德多项式的常用性质：
例题：导体球半径为a，电量为Q，置于匀强电场中。 求：球体外的电场分布。 解：