求函数解析式的方法
求函数解析式的五种方法及其例子
求函数解析式的五种方法及其例子在数学领域中，求解函数解析式是一项重要的任务。
本文将介绍五种常用的方法来求解函数解析式，并通过例子来展示其应用。
1. 数列法：该方法适用于已知函数的输出序列，并希望找到一个函数解析式来描述它。
通过观察函数输出值之间的规律，可以尝试找到相应的数学模式。
例如，若某函数的输出序列为1，4，9，16，25，...，我们可以观察到这是个平方数序列，因此函数解析式为f(x) = x^2。
2. 经验法：该方法适用于已知函数的输入和输出值，但不清楚具体的数学关系。
通过绘制出函数的散点图，可以尝试通过经验找到适合的函数类型。
例如，若某函数的输入和输出值如下表所示：| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|| y | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |我们可以观察到y值递增2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x + 1。
3. 代数法：该方法适用于通过已知函数的性质和结构来推导函数解析式。
例如，若需要求解一个线性函数，已知它通过点(1, 3)和(2, 5)，可以使用直线的斜率公式来得到函数解析式。
根据两点之间的斜率公式，我们可以得到函数解析式f(x) = 2x + 1。
4. 差分法：该方法适用于已知函数的差分序列，即函数输出值之间的差异。
通过观察差分序列之间的规律，可以尝试找到函数的解析式。
例如，若某函数的输出值差分序列为1, 3, 5, 7，我们可以观察到差分序列的差值为2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x。
5. 推理法：该方法适用于已知函数的一些特殊性质或限制条件。
通过寻找函数性质和限制条件的推理，可以得到函数解析式。
例如，若某函数是一个偶函数且通过原点(0, 0)，我们知道偶函数具有对称性，并且f(0) = 0。
因此，猜测函数解析式为f(x) = ax^2。
通过以上五种方法中的一种或多种方法，我们可以在求解函数解析式时获得准确的结果。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。
求函数解析式的七种方法
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数的解析式结构时，用待定系数法。
例1 已知)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
函数解析式的七种求法
一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,就是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式就是y ＝f(x),不能把它写成f(x,y)＝0;2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;3、求函数解析式的一般方法有:(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y 。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;(3)换元法:若给出了复合函数f ［g(x)］的表达式,求f(x)的表达式时可以令t ＝g(x),以换元法解之;(4)构造方程组法:若给出f(x)与f(－x),或f(x)与f(1/x)的一个方程,则可以x 代换－x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(－x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域1、函数定义域就是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型就是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;4、对复合函数y ＝f ［g(x)］的定义域的求解,应先由y ＝f(u)求出u 的范围,即g(x)的范围,再从中解出x 的范围I1;再由g(x)求出y ＝g(x)的定义域I2,I1与I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域就是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域与对应法则确定,常用集合或区间来表示;2、在函数f:A→B 中,集合B 未必就就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C 就是B 的子集;若C ＝B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;3、分段函数的值域就是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法函数解析式指的是用代数式或公式来表示函数的方式。
以下是六种常用方法：一、明确函数定义域和值域在确定函数解析式之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
函数的定义域是指函数可以取值的自变量的范围，而值域则是函数的函数值可以取的范围。
明确函数的定义域和值域可以帮助我们确定函数解析式的形式和特点。
二、利用已知条件和性质确定函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知条件和性质来确定函数解析式的形式。
例如，已知函数的导函数，可以通过求导的逆运算确定原函数的解析式。
又如，已知函数的周期性质，可以利用周期性质来确定函数解析式的形式。
三、从实际问题中建立函数关系函数解析式可以从实际问题中建立起来。
在解决实际问题时，可以首先建立自变量和函数值之间的关系，然后根据问题中给出的条件来确定函数解析式。
例如，求解经济学中的需求函数、生长模型等。
四、利用已知函数的性质和运算建立函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知函数的性质和运算来建立函数解析式。
例如，可以利用已知函数的线性性质、对称性质、指数性质等来建立函数解析式。
又如，可以利用已知函数的运算性质，如加减乘除、复合等来建立函数解析式。
五、利用恒等式和方程组建立函数解析式在求解一些复杂的函数问题时，可以利用恒等式和方程组来建立函数解析式。
通过列方程并求解，可以得到函数解析式中的一些未知系数。
例如，可以通过建立差分方程求解离散函数的解析式。
六、利用已知函数的级数展开建立函数解析式在求解一些函数的解析式时，可以利用已知函数的级数展开式来建立函数解析式。
通过逐项求和，可以得到函数解析式的形式。
例如，可以利用幂级数展开来确定一些特殊函数的解析式。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （ｘ)]的解析式,求原函数f(ｘ）的解析式, 把g （ｘ)看成一个整体t ，进行换元,从而求出f(x)的方法。
例1 已知ｆ(xx 1+）= x x x 1122++,求ｆ（x)的解析式． 解： 设x x 1+＝ t ,则 x= 11-t (t ≠1), ∴f （ｔ）＝ 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(ｔ-１)＝ t 2－t+１ 故 f （x)=x ２-x ＋1 （x ≠１). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围，即为函数的定义域．二、配凑法例2 已知ｆ(x +1)= x+２x ,求f （x)的解析式．解: f （x +1）= 2)(x +２x +1-1=2)1(+x -1,∴ ｆ（x +1）＝ 2)1(+x -1 (x ＋1≥1)，将x ＋1视为自变量ｘ，则有f(x)= x 2-1 (x ≥１)． 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。
例3 已知二次函数ｆ（x)满足ｆ(0)＝０,ｆ（x+1）＝ f(ｘ）+2x+８,求f （x ）的解析式．解：设二次函数f(x ）＝ ａx ２+bx+c,则 f(０）= c= 0 ①f （x+1)= a 2)1(+x +b （x+1)= ａx 2＋（2a ＋b)ｘ+a+b ② 由ｆ（ｘ+1)= f （x)+2x ＋8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f(x)= x 2+7ｘ.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法(方程组法）例4 设函数f （x ）满足ｆ（x ）+2 f(x 1)= x (x ≠０），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求ｆ（ｘ），必须消去已知中的f(x 1)，若用x 1去代替已知中x,便可得到另一个方程,联立方程组求解即可.解：∵ ｆ(x ）＋2 ｆ(x1）＝ ｘ (x ≠0） ① 由x 1代入得 ２f(ｘ)+ｆ(x 1)=x1（x ≠0) ② 解 ①② 构成的方程组，得 ｆ（x ）=x 32-3x （x ≠０). 评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足,求的解析式。
求函数解析式的方法
求函数解析式的方法要找到一个函数的解析式，通常有以下几种方法：1. 观察法：通过观察数列或数据的规律来推测出函数解析式。
这种方法适用于数列或数据具有明显的规律性，例如等差数列、等比数列等。
例如，观察数列1, 2, 3, 4, 5... 可以发现它是递增的自然数数列，函数解析式可以表示为f(x) = x。
2. 函数关系法：通过已知函数关系来找出函数解析式。
常见的函数关系有函数的和、差、积、商、复合等。
例如，已知函数f(x) 和g(x) 满足f(x) - g(x) = x^2，要求f(x) 的解析式。
可以将f(x) 表示成g(x) + x^2，从而得到f(x) = g(x) + x^2。
3. 线性函数法：对于一些简单的线性关系，可以使用线性函数的形式来表示解析式。
线性函数的表达式为y = ax + b，其中a 和b 是常数。
例如，已知函数f(x) = kx + c 通过点(1, 3) 和(2, 6)，要求f(x) 的解析式。
可以通过代入点的坐标得到方程组，然后求解出a 和b 的值，最后得到f(x) = 3x。
4. 函数图像法：通过观察函数的图像来找到函数的解析式。
对于一些简单的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，它们的图像具有明显的特征，可以通过观察函数的变化趋势来得到函数的解析式。
5. 求导法：对于一些函数，可以通过求导的方法来得到函数的解析式。
通过求导可以找到函数的斜率变化情况，从而得到函数的解析式。
这种方法适用于已知函数的导函数，需要求解原函数的情况。
以上是几种常见的方法，但是对于一些复杂的函数或非线性函数，很难用以上方法直接得到解析式。
此时，可以考虑使用数值逼近方法或数值求解方法来获得函数的解析式。
数值逼近方法是通过计算函数在一组许多点上的数值来逼近函数的解析式，常见的方法有泰勒级数展开、拉格朗日插值等。
数值求解方法则是通过迭代计算来逼近函数的解析式，例如牛顿法、二分法等。
总之，找到函数的解析式需要根据具体情况选取适当的方法，通过观察、计算、推导等方式来得到函数的表达式。
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
函数解析式是用代数表达式来表示函数的定义域、值域和具体的变化规律。
常用的四种方法来得到函数的解析式是：通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
一、通过公式：一些函数的解析式可以通过简单的数学公式来得到。
例如，直线函数y = kx + b、二次函数y = ax^2 + bx + c以及指数函数y = a^x等。
这些函数可以根据已知的系数和常数来确定解析式。
例如，对于直线函数y = 2x + 3，我们可以知道它的斜率是2，截距是3，因此解析式为y = 2x + 3二、通过图像：函数的解析式可以通过观察图像来确定。
例如，可以根据函数的特点，如对称性、切线的斜率等，来确定解析式。
对于一元函数来说，可以通过绘制函数的图像来判断函数的特点，从而得到函数的解析式。
例如，对于一次函数来说，可以通过观察图像的直线特点来确定解析式；对于二次函数来说，可以根据开口方向、抛物线的顶点位置等来确定解析式。
三、通过数据：有时候可以通过给定的数值表格或函数的值来确定函数的解析式。
通过列举一组合适的输入和输出值，然后观察数值的规律，可以找到函数的解析式。
例如，已知函数的自变量为x，函数的值为y，通过给定一些具体的x和对应的y值，可以通过观察它们之间的关系来确定函数的解析式。
四、通过给定条件：在一些具体的问题中，函数的解析式可以通过给定的条件来确定。
例如，在几何问题中，根据给定的几何条件和函数的特性，可以建立函数的解析式。
例如，根据直线过点的条件和斜率的特性，可以确定直线的解析式。
综上所述，函数解析式的四种常用方法是通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
通过这些方法，可以确定函数的解析式，进而研究函数的性质和变化规律，以及解决一些实际问题。
函数解析式的七种求法
函数解析式的七种求法一、通过给定的输入和输出求解析式。
这是最简单直接的方法，当给定了函数的输入和输出时，可以利用这些已知信息求解析式。
例如，如果一个函数在输入为1时输出为3，在输入为2时输出为5，我们可以直接写出函数解析式为f(x)=2x+1二、基于已知函数的变换求解析式。
对于已知的一些基本函数，例如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等，我们可以通过对它们进行变换得到其他函数的解析式。
例如，如果已知函数f(x)=x^2，我们可以通过对f(x)进行变换得到f(x)=(x-1)^2+1三、利用函数的性质和特点求解析式。
对于一些特殊函数，例如奇函数、偶函数、周期函数等，可以利用它们的性质和特点来求解析式。
例如，如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中只包含奇次幂项，可以利用这个特点来求解析式。
四、利用已知函数的级数展开求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用已知函数的级数展开进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用泰勒级数展开求得函数的解析式，只需要计算到足够高的阶数即可。
五、利用已知函数的导数和积分求解析式。
对于一些函数，可以通过对它们的导数和积分进行运算得到其他函数的解析式。
例如，如果已知一个函数的导数或积分，可以通过对这个导数或积分进行逆运算来求得函数的解析式。
六、基于已知函数的函数逼近求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用一些已知的简单函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用多项式函数对一个非多项式函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
七、利用差分方程或微分方程求解析式。
对于一些具有差分方程或微分方程性质的函数，可以通过求解这些方程来得到函数的解析式。
例如，可以利用差分方程或微分方程求解线性递推函数的解析式。
以上是七种常用的求解函数解析式的方法。
不同方法适用于不同情况，根据具体的问题和已知信息选择合适的方法可以更高效地求解函数的解析式。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法函数解析式是用数学语言描述数学函数的一种方法。
它可以方便地表示函数的定义域、值域、性质等，并且能够通过函数图像和方程表达式等形式直观地展现函数的特征。
下面将介绍六种常用的方法来求函数的解析式。
1.常函数法：常函数法是求解常函数的一种简单方法。
常函数表示所有的输入值都对应着相同的输出值。
常函数的解析式通常形如"f(x)=c"，其中c是常数。
常函数的定义域和值域都是全体实数值。
例如，函数f(x)=3就是一个常函数，它的输出始终为32.幂函数法：幂函数是一种具有形如y=x^a的解析式的函数。
幂函数法是通过给定了函数的一些特定点来推导出整个函数的解析式。
常见的幂函数包括正幂函数、负幂函数和倒数函数。
例如，给定函数f(x)通过点（1,2）和（2,4），我们可以通过观察得出f(x)=2^x。
3.分段函数法：分段函数是一种具有不同解析式在不同区间上的函数。
分段函数法是通过将函数的定义域按照不同的区间划分，然后在每个区间上分别确定函数的解析式来得到函数的解析式。
例如，函数f(x)=，x，在x<0时取值为-x，在x≥0时取值为x，这就是一个分段函数。
4.复合函数法：复合函数是通过使用一个函数的输出结果作为另一个函数的输入来得到的函数。
复合函数法是通过将两个或多个函数的定义域和值域相互组合，然后确定新函数的解析式来求解函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=x+1和g(x)=2x，我们可以求得f(g(x))=2x+15.反函数法：反函数是指一个函数的自变量和因变量对换后得到的新函数。
反函数法是通过将一个函数的自变量和因变量交换位置，然后求解得到函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=2x，我们通过交换x和y的位置，可以求得反函数f^(-1)(x)=x/26.曲线拟合法：曲线拟合法是通过已知函数的一些点来找到一个与这些点最接近的函数的解析式。
它可以应用于实验数据分析和模型建立等领域。
求函数解析式的6种方法
求函数解析式的6种方法一、待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数，指数函数，对数函数、幂函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1 （1）已知二次函数()f x 满足(1)1f =，(1)5f -=，图象过原点，求()f x ；（2）已知二次函数()f x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()f x ．(3)已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式 (4)已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：（1）由题意设 2()f x ax bx c =++， ∵(1)1f =，(1)5f -=，且图象过原点，∴150a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩ ∴320a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴2()32f x x x =-．（2）由题意设 2()(1)2f x a x =++，又∵图象经过原点，∴(0)0f =，∴20a += 得2a =-， ∴2()24f x x x =--．(3)解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0由(1)()1f x f x x +=++ 得22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得 ax 2+(2a+b)x+a+b+c=ax 2+(b+1)x+c+1得 212211120011()22a ab b a bc c b c c f x x x⎧=⎪+=+⎧⎪⎪⎪++=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩∴=+(4)解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ②由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 例2 (1)已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法函数的解析式是指能够描述函数关系的数学表达式。
常见的函数解析式有多种求法，下面介绍几种常用的方法。
一、通过已知的函数图像求函数的解析式：1.方程法：已知函数的图像，可以通过观察图像上的点与坐标轴的交点，列方程来求解。
例如，已知函数图像上点(1,3)和(2,5)，可以列出方程f(1)=3和f(2)=5，然后通过解方程组的方法求得函数解析式。
2.函数平移法：已知函数图像上的一些平移属性，可以通过对已知函数进行平移操作得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)在原坐标系上的图像向左平移2个单位，可以得到函数f(x+2)。
3.倒推法：已知函数的图像为已知函数的变换之一，可以从已知函数推导出所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的图像是函数g(x)的图像上关于y轴对称得到的，可以通过对函数f(x)进行关于y轴对称操作得到函数g(x)的解析式。
二、通过已知函数求函数的解析式：1.基本函数的组合：常见的基本函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
可以通过将基本函数进行合理的组合和变换，来构建所求函数的解析式。
2.反函数法：已知函数的反函数，可以通过对已知函数的自变量和因变量进行互换得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的反函数是g(x)，则所求函数的解析式为f(y)=x。
3.极限法：当函数的极限存在时，可以通过极限的概念推导所求函数的解析式。
例如，已知函数的极限为一些常数，可以通过求出极限值来得到所求函数的解析式。
三、通过函数的性质求函数的解析式：1.函数的奇偶性：如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中不含有$x^2$的项；如果一个函数是偶函数，那么它的解析式中不含有$x$的项。
2.函数的周期性：如果一个函数是周期函数，那么它的解析式中必定含有正弦或余弦等与周期函数相关的函数。
3.函数的导数与微分：通过求函数的导数和微分，可以得到函数所满足的微分方程，然后进一步求解微分方程从而得到函数的解析式。
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法求函数解析式的四种常用方法： 1、设法化成一元一次方程，再通过检验判断一元一次方程的解的存在性;2、利用函数图像和单调性求函数解析式; 3、利用函数奇偶性来求解;4、利用“韦达定理”来求解。
2、根据图像的变化，利用“特殊值”求解。
例题：求抛物线的方程。
(1)已知抛物线y=mx+c的图象过点(-5， 5)，且过原点(0， 0)。
(2)求y的最大值和最小值(3)若将抛物线y=mx+c上的点代入y=mx+c=x+m中，可得y的值为7，求x的取值范围。
例题：求圆的方程(1)已知直线y=4/x+6/y的图象与直线y=-3/2在坐标平面内的截距相等，且图象过点(0， 3)。
(2)求y的最大值。
(3)若将y=4/x+6/y上的点代入y=-3/2-x-8/3中，可得y的值为9，求x的取值范围。
3、利用奇偶性求解。
例题：已知函数y=5/6+12/13，当x=1时， y=-2/13;当x=5/6时， y=-7/23;当x=9时， y=-11/22。
试求y的解析式，并说明奇偶性。
4、利用“韦达定理”来求解。
例题：已知f(x) = x**2-12x+30.(1)若f(x) =0，求x的值; (2)已知f(x)的图象与y=8/5有两个不同的交点，且图象在y轴的第一、二象限，试求x的取值范围。
解析：(1)由f(x) =x**2-12x+30，即f(x)的图象为双曲线。
可设y=8/5;解得-6/5<y<-3/5,即-4/5≤y≤-3/5,由题意得-6/5≤y≤-3/5;解得-6/5≤y≤-3/5,则0<y≤-3/5;(2)将f(x)的图象移到(0， -1)之间，得到双曲线y=-1/4-4/3;在(-1， 1)内画出y=-1/4-4/3的图象，从而得到函数y=-1/4+4/3的图象;解得x≤1/3。
高中数学：求函数解析式的10种常见方法
高中数学：求函数解析式的10种常见方法一、配凑法：给定$f(x+1)=x-3x+2$，求$f(x)$。
练1：设函数$f(x)=2x+3$，$g(x+2)=f(x)$，求$g(x)$。
练2：设$f(f(x))=x^2+2$，求$f(x)$。
练3：设$f(x+2)+f(x)=x^3+x$，求$f(x)$。
二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图像经过点$(1,-2)$，那么这个反比例函数的解析式为$\frac{-2}{x-1}$，求$f(x)$。
练1：在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上有一点P，它的横坐标$m$与纵坐标$n$是方程$t^2-4t-2=0$的两个根，求$k$。
练2：已知二次函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x)+2x+8$，求$f(x)$的解析式。
练3：已知$f(x-2)=2x-9x+13$，求$f(x)$。
三、换元（或代换）法：例1：已知函数$f(\frac{1-x}{1+x})=\frac{1+x}{1-x}$，求：（1）$f(2)$的值；（2）$f(x)$的表达式。
练1：已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$及$f(x^2)$；练2：已知$f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}$，求$f(x+1)$．四、消去法：例1：设函数$f(x)$满足$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求$f(x)$．练1：已知$f(x)-2f(-x)=3x+2$，求$f(x)$．练2：已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(-x)+2f(x)=x+1$，求$f(x)$．练3：已知$f(x)+3f(-x)=2x+1$，求$f(x)$.练4：设函数$f(x)$满足$af(x)+bf(\frac{1}{x})=cx$（其中$a,b,c$均不为$0$，且$a\neq\pm b$），求$f(x)$．五、反函数法：例1：已知$f(a^2-x^2)=x$，求$f(x)$。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
高中数学-求函数解析式的六种常用方法求函数解析式是高中数学中的重要内容之一，常用的方法有六种。
下面分别介绍这六种方法。
一、换元法如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式，要求原函数$f(x)$的解析式，可以令$g(x)=t$，求$f(t)$的解析式，再把$t$换为$x$即可。
例如，已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$，要求$f(x)$的解析式。
设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{g(x)}$，代入$f(x)$得$f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$，再令$t=g(x)$，则$f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$，最后把$t$换为$x$，得到$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。
二、配凑法如果已知$f(x+1)=x+2x^2$，要求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
首先，把$x+1$视为自变量$x$，则有$f(x)=x^2-1$，但要注意函数的定义域的变化，即$x+1\geq 1$，即$x\geq 0$。
三、待定系数法如果已知函数类型，可以使用待定系数法求函数的解析式。
例如，已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+2x+8$，要求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到$c=0$，$a+b=8$，$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=7$，$c=0$，所以$f(x)=x^2+7x$。
四、消去法如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，要求$f(x)$的解析式，可以使用消去法。
把已知中的$f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来，得到$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，再把$x$换成$\frac{1}{x}$，得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$，解得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。
求函数解析式的6种方法
求函数解析式的6种方法函数解析式是描述函数行为的一种数学表示方法，可以通过不同的方法得到。
以下是六种常见的方法：1.点斜式：如果已知函数通过一点（x1,y1）且斜率为m，则可以使用点斜式来表示函数解析式。
点斜式的一般形式为y-y1=m(x-x1)。
例如，如果已知函数通过点(2,3)且斜率为4，则函数解析式可以表示为y-3=4(x-2)。
2.两点式：如果已知函数通过两个点（x1,y1）和（x2,y2），则可以使用两点式来表示函数解析式。
两点式的一般形式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
例如，如果已知函数通过点(1,2)和(3,4)，则函数解析式可以表示为(y-2)/(4-2)=(x-1)/(3-1)。
3. 斜截式：如果已知函数通过y轴截距b且斜率为m，则可以使用斜截式来表示函数解析式。
斜截式的一般形式为y = mx + b。
例如，如果已知函数通过y轴截距为2且斜率为3，则函数解析式可以表示为y =3x + 24.一般式：一般式是一种通用的函数解析式表示方法，用Ax+By+C=0的形式表示。
其中A、B、C为常数。
一般式的选择通常取决于特定问题或需要。
例如，已知函数为3x+2y-6=0，则可以将其表示为一般式。
5.法线式：如果已知函数通过一点（x1,y1），则可以使用法线式来表示函数解析式。
法线式与点斜式类似，但斜率的倒数与点斜式斜率相反。
法线式的一般形式为y-y1=(-1/m)(x-x1)，其中m为函数的斜率。
例如，如果已知函数通过点(2,3)且斜率为4，则函数解析式可以表示为y-3=(-1/4)(x-2)。
6.函数图形：通过观察函数的图形，可以得到函数的一些特征和规律，从而推断出函数解析式。
例如，通过观察函数图形的对称性、零点、极值点等，可以得到函数解析式的一些重要信息。
这种方法通常适用于简单的函数图形，对于复杂的函数图形可能需要借助计算机软件进行分析。
这些方法不是互斥的，可以根据具体问题和已知条件选择合适的方法来得到函数解析式。
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。
求函数解析式的5方法
求函数解析式的5种方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.（5）赋值法在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法例1．已知()f x 是一次函数，且3(1)2(1)211f x f x x +--=+，求()f x 的解析式.【详解】设()()0f x kx b k =+≠，因为3(1)2(1)211f x f x x +--=+，所以()()313212211k x b k x b x ++--+=+⎡⎤⎣⎦，整理得：5211kx k b x ++=+， 所以2511k k b =⎧⎨+=⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，所以()f x 的解析式为()21f x x =+. 例2．（1）一次函数()f x 满足[()]94f f x x =-，求函数()f x 的解析式；（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x 的解析式.【详解】（1）根据题意，设()(0),f x kx b k =+≠[()]94,()94,f f x x k kx b b x =-∴++=-294k kb b ⎧=∴⎨+=-⎩，解得：31k b =⎧⎨=-⎩，或3,2k b =-⎧⎨=⎩所以()31f x x =-或()32f x x =-+； （2）解法一：令1t x =+，则1x t =-，22()(1)2(1)43,f t t t t t ∴=---=-+所以2()4 3.f x x x =-+解法二：2(1)(1)4(1)3,f x x x +=+-++2()4 3.f x x x ∴=-+例3．已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)4f =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]0,3上的值域.【详解】（1）根据题意，二次函数()f x 满足(0)4f =，设其解析式为2()4f x ax bx =++又由(1)()21f x f x x +-=-∴2[(1)(1)4]a x b x ++++2[4]ax bx -++22ax a b =++21x =-∴2221a ab =⎧⎨+=-⎩，解得1a =，2b =-，则2()24f x x x =-+； （2）由（1）的结论，22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又[0,3]x ∈当1x =时，()f x 取得最小值，且其最小值()13f =当3x =时，()f x 取得最大值，且其最大值()37f =；故()f x 在[]0,3上的值域为[]3,7例4．（1）若二次函数()f x 满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x .（2）若对任意实数x ，均有()2()92f x f x x --=+，求()f x .【详解】（1）因为二次函数()f x 满足(0)1f =；所以设2()1f x ax bx =++，则：22(1)(1)(1)112f x a x b x ax bx ax a b +=++++=+++++；因为(1)()2f x f x x +-=，所以221212ax bx ax a b ax bx x +++++---=；∴22ax a b x ++=；∴220a ab =⎧⎨+=⎩；∴1a =，1b =-；∴2()1f x x x =-+. （2）∵()2()92f x f x x --=+（1）∴()()()292f x f x x --=-+（2）由(1)2(2)+⨯得3()96f x x -=-+∴()32()f x x x R =-∈.例5．根据下列条件，求()f x 的解析式.（1）()()43f f x x =-，其中()f x 为一次函数；（2）12(),(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠⎪⎝⎭. 【详解】（1）由题意，设()(0)f x ax b a =+≠，则()2()()()43f x af x b a ax b b a x ab b x =+=++=++=-，由恒等式性质，得243a ab b ⎧=⎨+=-⎩，21a b =⎧⎨=-⎩或23a b =-⎧⎨=⎩. ∴所求函数解析式()21f x x =-或()23f x x =-+.（2）解：因为1()2f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将原式中的x 与1x 互换，得112()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 于是得关于()f x 的方程组1()2112()f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩.解得2()(0)33x f x x x =-≠. 例6．（1）已知()2f x ax bx c =++，若()02f =且()()122f x f x x +=++，求()f x 的表达式；（2）已知f x =+()f x 的表达式．【详解】（1）由()02f =，可得2c =，所以()22f x ax bx =++，因为()()122f x f x x +=++，所以有22(1)(1)2222a x b x ax bx x ++++=++++，化简得：22122221a a ax ab x a b b ==⎧⎧++=+⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩，所以()22f x x x =++； （2(0)t t =≥，所以2x t =，于是有()22f t t t =+，因此()22(0)f x x x x =+≥. 例7．已知()f x 是二次函数，且满足2(2)(31)1361f x f x x x ++=+-，求()f x 的解析式．【详解】设2()f x ax bx c =++ 2(2)(31)1361f x f x x x ++=+-222(2)2(31)(31)1361a x bx c a x b x c x x ∴+++++++=+-2213(65)21361ax a b x c a b x x ∴+++++=+-1313a ∴=，656a b +=，21c a b ++=-，1a ，0b =，1c =-2()1f x x ∴=- 例8．已知函数()(0)f x ax b a =->，(())43f f x x =-，则(2)f =_______．【详解】由题意，得2(())()()()43f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-， 即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此(2)3f =，故答案为3.。
求函数解析式的常用四法
求函数解析式的常用四法一、方程组法型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。
。
即函数的解析式为得：替换为解析：把。
联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。
，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==⇒⎩⎨⎧=-=----=--。
即函数的解析式为得：替换为解析：把。
联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。
，求满足函数例)2(31)()2(31)(1)(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f xx x f x xf x f x f +--=+--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=----=--点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。
)()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+，).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把⎩⎨⎧=+=+=+二、构造法的解析式。
，求函数例)(1)1(.32x f x x x f -= 分析：构造法求函数解析式，主要是要抓住给出的表达式的特征。
此题要把x 1看着一个整体，把所给表达式中的x 都改成x 1的形式。
且函数的解析式为解析：01,1)(1)1(11)1(222≠±≠-=∴-=-=x x x x x f x xx x x f点评： 解析式。
(完整版)函数解析式的七种求法
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x Q x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， Θ点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
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求函数的解析式的方法
求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.
一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，
具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。
换元后要确定新元t 的取值范围。
例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 令t=3x+1， x=
3
1-t 3
54)(33
14)(-=
⇒+-⨯
=⇒t t f t t f
354)(-=
⇒x x f
练习1．若x
x x
f -=
1)1
(,求)(x f .
二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整
理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。
一般的利用完全平方公式
例题2．已知2
21)1(x
x x
x f +
=-, 求)(x f 的解析式.
2)(2)1()1(2
2
+=⇒+-
=-
⇒x x f x
x x x f
练习2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .
三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数
等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数
例题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++,
求)(x f 与)(x g . 解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2+bx+c)
练习3．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.
四．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方
程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式
例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式
x x f x f 4)1
(2)(3=+,求)(x f 的解析式.
解;令x x 1=，x
x f x f 1
4)(2)1(3⨯=+ 联立方程，得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 ， 解得x
x x f 585
12)(-
=
练习4．若x x
x f x f +=-+1)1(
)(,求)(x f .
五．利用给定的特性求解析式;一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求
x<0时，f(x)的解析式。
首先求出f(-x)的解析式，根据f （x ）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)
例题5设)(x f 是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +⋅=2)(,求当x ＜0时，)(x f 的表
达式.
由x>0时，x e x e x f +⋅=2)(，则x x e ex e x e x f --+=+-⋅=-22)()( 由f(x)为偶函数，得f(x)=f(-x). 当x<0时，x e ex x f -+=2)(
故： f(x)=⎪⎩
⎪
⎨⎧<+>+-0,0,2
2x e
ex
x e ex x
x
练习6．对x ∈R, )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时,
x
x x f 2)(2
+=求当x ∈[9,10]时)(x f 的表达式.
六．归纳递推法：利用已知的递推公式，写出若干几项，利用数列的思
想从中找出规律，得到f(x)的解析式。
（通项公式）
例题6．设)(x f 是定义在*N 上的函数,且2)1(=f ,2
1)()1(+=
+x f x f ，求)(x f 的
解析式.
解：1
1
2
1
2
2
1
)1()(```````````16
1721)4()5(8921)3()4(4521)2()3(2321)1()2(2)1(--+=+-=
=
+==+=
=+=
=+==x x x f x f f f f f f f f f f 显然，
有时证明需要用数学归纳发去证明结论。
练习5．若)()()(y f x f y x f ⋅=+,且2)1(=f ， 求值)
2004()2005()
3()4()
2()3()
1()2(f f f f f f f f +
++
+
.
题7．设1
1)(+-=x x x f ,记{})]([)(x f f f x f n =,求)(2004x f .
七．相关点法;一般的，设出两个点，一点已知，一点未知，根据已知
找到两点之间的联系，把已知点用未知点表示，最后代入已知点的解析式整理出即可。
（轨迹法）
例题7：已知函数y=f(x)的图像与y=x 2+x 的图像关于点（-2，3）对称，求f(x)的解析式。
解：设（x,y ）为f(x)上与y=x 2+x 关于（-2，3）的对称点，（a,b ）为y=x 2+x 上的点
故，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+32
22b y a
x ，⎩⎨⎧-=--=⇒y b x
a 64，代入y=x 2+x ，得
)4()4(62x x y --+--=- 672---=⇒x x y
练习8．已知函数12)(+=x x f ,当点P(x,y)在y=)(x f 的图象上运动时,点Q(3
,2x
y -
)
在y=g(x)的图象上,求函数g(x).
八．特殊值法;一般的，已知一个关于x,y 的抽象函数，利用特殊值去
掉一个未知数y ，得出关于x 的解析式。
例题8：函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且
f(1)=0.求f(x)的解析式。
解;令x=1,y=0代入得，
f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)×1,整理得f(0)=-2 故，令y=0,得
f(x+0)-f(0)=(x+0+1)x 所以： 2)(2-+=x x x f
九．图像法;观察图像的特点和特殊点，可用代入法，或根据函数图像的性质进行解题。
注意定义域的变化。
例题9（安徽07）．
图中的图象所表示的函数的解析式为（B）
Ａ．
3
1
2
y x
=-(02)
x
≤≤
Ｂ．
33
1
22
y x
=--(02)
x
≤≤
Ｃ．
3
1
2
y x
=--(02)
x
≤≤
Ｄ．11
y x
=--(02)
x
≤≤
总结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围的变化，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。
求出的函数的解析式最后要写上函数的定义域，这是容易遗漏和疏忽的地方。
第7题图。