高数下册总复习知识点归纳(1)

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大一下高数下册知识点

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高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数(一) 向量线性运算定理1:设向量a ≠0,则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ,使 b =λa1、 线性运算:加减法、数乘;2、 空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;3、 利用坐标做向量的运算:设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b =;则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ;4、 向量的模、方向角、投影:1) 向量的模:222z y x r ++= ;2) 两点间的距离公式:212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3) 方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4) 方向余弦:rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 5) 投影:ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u的夹角;(二) 数量积,向量积1、 数量积:θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b a2、 向量积:b a c⨯=大小:θsin b a ,方向:c b a,,符合右手规则 10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b a运算律:反交换律 b a a b⨯-=⨯(三) 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念:0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面:yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周:0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周:0),(22=+±z y x f3、 柱面:0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、 二次曲面1) 椭圆锥面:22222z b y a x =+ 2) 椭球面:1222222=++cz b y a x旋转椭球面:1222222=++cz a y a x3) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x4) 双叶双曲面:1222222=--czb y a x5) 椭圆抛物面:z by a x =+22226) 双曲抛物面马鞍面:z b y a x =-22227) 椭圆柱面:12222=+b ya x8) 双曲柱面:12222=-b y a x9) 抛物柱面:ay x =2 (四) 空间曲线及其方程1、 一般方程:⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H (五) 平面及其方程1、 点法式方程:0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量:),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程:0=+++D Cz By Ax截距式方程:1=++czb y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n =,4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (六) 空间直线及其方程1、 一般式方程:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程:p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量:),,(p n m s = ,过点),,(000z y x3、 参数式方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角:),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,5、 直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,第九章 多元函数微分法及其应用(一) 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数:1定义:设n 维空间内的点集D 是R 2的一个非空子集,称映射f :D →R 为定义在D 上的n 元函数;当n ≥2时,称为多元函数;记为U=fx 1,x 2,…,x n ,x 1,x 2,…,x n ∈D;3、 二次函数的几何意义:由点集D 所形成的一张曲面;如z=ax+by+c 的图形为一张平面,而z=x 2+y 2的图形是旋转抛物线;4、 极限:1定义:设二元函数fp=fx,y 的定义域D,p0x0,y0是D 的聚点D,如果存在函数A 对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点px,y ∈D ∩∪p0,δ时,都有Ⅰfp-A Ⅰ=Ⅰfx,y-A Ⅰ﹤ε成立,那么就称常数A 为函数fx,y 当x,y →x 0,y 0时的极限,记作多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质:1在有界闭区域D 上的多元连续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值;2在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值; 6、 偏导数:设有二元函数z=fx,y,点x 0,y 0是其定义域D 内一点;把y 固定在y0而让x 在x0有增量△x,相应地函数z=fx,y 有增量称为对x/y 的偏增量如果△z 与△x/△y 之比当△x →0/△y →0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=fx,y 在x0,y0处对x/y 的偏导数记作xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 7、 混合偏导数定理:如果函数的两个二姐混合偏导数f xy x,y 和f yx x,y 在D内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等;8、 方向导数: βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角;9、 全微分:如果函数z=fx, y 在x, y 处的全增量△z=fx △x,y △y-fx,y 可以表示为△z=A △x+B △y+o ρ,其中A 、B 不依赖于△x, △y,仅与x,y 有关, 当Ρ→0,此时称函数z=fx, y 在点x,y 处可微分,A △x+ B △y 称为函数z=fx, y 在点x, y 处的全微分,记为 (二) 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:微分法1) 定义: u x 2) 复合函数求导:链式法则 z若(,),(,),(,)zf u v u u x y v v x y ===,则 v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3) 隐函数求导:两边求偏导,然后解方程组 (三) 应用充分条件1、 极值1) 无条件极值:求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值; ② 若02<-B AC ,函数没有极值; ③ 若02=-B AC ,不定;2) 条件极值:求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令:),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、 几何应用1) 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的 切线方程为:)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为:0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2) 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为:法线方程为:),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分(一) 二重积分1、 定义:∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质:6条3、 几何意义:曲顶柱体的体积;4、 计算: 1) 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,2) 极坐标 (二) 三重积分 1、 定义: ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质:3、 计算:1) 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一” 2) 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3) 球面坐标 (三) 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积:第十二章 无穷级数(一) 常数项级数 1、 定义:1无穷级数:+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和:n n k kn u u u u uS ++++==∑= 3211,正项级数:∑∞=1n n u ,0≥n u交错级数:∑∞=-1)1(n n n u ,0≥n u 2级数收敛:若S S n n =∞→lim 存在,则称级数∑∞=1n n u 收敛,否则称级数∑∞=1n n u 发散 3绝对收敛:∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n u 绝对收敛;条件收敛:∑∞=1n n u 收敛,而∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n u 条件收敛;定理:若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则∑∞=1n n u 必定收敛;2、 性质:1) 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性; 2) 级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 分别收敛于和s 与σ,,则∑∞=±1)(n n nb a收敛且,其和为s+σ3) 在级数中任意加上、去掉或改变有限项,级数仍然收敛;4) 级数收敛,任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变;5) 必要条件:级数∑∞=1n n u 收敛即0lim =∞→n n u . 3、 审敛法正项级数:∑∞=1n n u ,0≥n u1) 定义:S S n n =∞→lim 存在; 2)∑∞=1n nu收敛⇔{}nS 有界;3) 比较审敛法:∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,且),3,2,1( =≤n v u n n若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛;若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散.4) 比较法的推论:∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,若存在正整数m ,当mn>时,n n kv u ≤,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛;若存在正整数m,当mn >时,n n kv u ≥,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散.做题步骤:①找比较级数等比数列,调和数列,p 级数1/n p ;②比较大小;③是否收敛;5) 比较法的极限形式:设∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,1若)0( lim +∞<≤=∞→l l v u n nn ,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛; 2若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→nnn v u lim ,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散. 6) 比值法:∑∞=1n n u 为正项级数,设l u u nn n =+∞→1lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛;则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散;当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.7) 根值法:∑∞=1n n u 为正项级数,设l u n nn =∞→lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛;则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散;当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.8) 极限审敛法:∑∞=1n n u 为正项级数,若0lim >⋅∞→n n u n 或+∞=⋅∞→n n u n lim ,则级数∑∞=1n n u 发散;若存在1>p ,使得)0( lim +∞<≤=⋅∞→l l u n n pn ,则级数∑∞=1n n u 收敛.交错级数:莱布尼茨审敛法:交错级数:∑∞=-1)1(n n nu ,0≥n u 满足:),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ,且0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛;任意项级数:∑∞=1n nu绝对收敛,则∑∞=1n nu收敛;常见典型级数:几何级数:⎪⎩⎪⎨⎧≥<∑∞=1 1 0q q aq n n发散,收敛, p -级数:⎪⎩⎪⎨⎧≤>∑∞=1p 1 11发散,收敛,p n n p(二) 函数项级数1、 定义:函数项级数∑∞=1)(n n x u ,收敛域,收敛半径,和函数;2、 幂级数:∑∞=0n nnx a收敛半径的求法:ρ=+∞→nn n a a 1lim ,则收敛半径 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∞++∞=+∞<<=0 , ,00 ,1ρρρρR。

高等数学下知识点总结大一

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高等数学下知识点总结大一高等数学下知识点总结高等数学是大一学生必修的一门课程,内容涵盖了微积分、线性代数和概率统计等方面的知识。

下面将对高等数学下的主要知识点进行总结,以帮助大家复习和加深理解。

1. 微积分微积分是高等数学的基础,包括了导数、积分和微分方程等内容。

1.1 导数导数是描述函数变化率的工具,常用符号表示为f'(x)或dy/dx。

常见的导数计算规则包括:- 基本导数公式:常数规则、幂函数规则、指数函数和对数函数规则、三角函数规则等。

- 高级导数公式:链式法则、隐函数求导、参数方程求导等。

- 导数的应用:切线和法线、单调性和极值、凹凸性和拐点等。

1.2 积分积分是导数的逆运算,表示曲线下的面积。

常用符号表示为∫f(x)dx。

常见的积分计算规则包括:- 不定积分:基本积分法、换元积分法、分部积分法等。

- 定积分:定义与性质、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的应用等。

1.3 微分方程微分方程是描述变化率与函数关系的方程,分为常微分方程和偏微分方程。

常见的微分方程求解方法包括:- 可分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。

- 高阶线性齐次方程和非齐次方程的求解。

2. 线性代数线性代数是数学的一个分支,研究向量、矩阵、线性变换等内容。

2.1 向量向量是有大小和方向的量,常用符号表示为a、b等。

常见的向量运算包括:- 向量的加法、减法和数量乘法。

- 内积和外积的定义和计算。

- 向量的线性相关性和线性无关性。

2.2 矩阵矩阵是一个按照行和列排列的数表,常用符号表示为A、B等。

常见的矩阵运算包括:- 矩阵的加法、减法和数量乘法。

- 矩阵的乘法和转置。

- 矩阵的逆和行列式的求解。

2.3 线性变换线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换,常用符号表示为T。

常见的线性变换包括:- 线性映射的定义和性质。

- 基变换和过渡矩阵的计算。

- 特征值和特征向量的求解。

3. 概率统计概率统计是研究随机事件的概率和统计规律的学科。

大一高数下册知识点汇总

大一高数下册知识点汇总

大一高数下册知识点汇总在大一高等数学下学期的学习中,我们将继续学习和探索更深入的数学知识。

下面是对本学期知识点的汇总和总结。

一、向量代数1. 向量的基本概念和表示法:向量的定义,零向量,单位向量,向量的数量表示法。

2. 向量的加法和减法:向量之间的加法和减法运算,平行四边形法则,共线向量和共面向量。

3. 数乘和数量积:向量与实数的数乘运算,向量的数量积的定义和性质,向量的模长和方向余弦。

4. 向量的叉乘和向量积:向量的叉乘定义和性质,向量积的模长和方向。

二、空间解析几何1. 空间直线及其方程:空间直线的定义,向量方程和参数方程的转换,直线的方向向量和点向式方程。

2. 平面及其方程:平面的定义,平面的一般方程,点法式方程和一般法式方程。

3. 空间曲线及其方程:空间曲线的定义,参数方程,齐次方程和标准方程。

4. 空间曲面及其方程:二次曲面的方程和图像,球面和圆锥曲线的方程。

三、多元函数及其极限1. 多元函数的概念与性质:多元函数的定义,自变量和因变量的关系,函数的定义域和值域。

2. 多元函数的极限:二重极限和多重极限的概念,函数极限的性质与判定方法。

3. 偏导数:多元函数的偏导数定义,偏导数的计算方法,高阶偏导数,混合偏导数。

4. 微分:多元函数的微分及其几何意义,微分的计算方法。

四、多元函数的微分学1. 隐函数及其求导:隐函数的概念和性质,隐函数求导的方法。

2. 方向导数与梯度:方向导数的定义和计算,梯度的概念和性质。

3. 多元函数极值与条件极值:多元函数的极值判定,约束条件下的极值求解。

五、多元函数的积分学1. 重积分:二重积分的概念和性质,二重积分的计算,极坐标下的二重积分。

2. 三重积分:三重积分的概念和性质,三重积分的计算,柱面坐标和球面坐标下的三重积分。

3. 曲线与曲面积分:曲线积分的概念和计算,曲面积分的概念和计算。

六、无穷级数1. 数列极限与无穷级数:数列的极限概念和性质,常见数列的收敛与发散,无穷级数的概念和性质。

大一下册高数复习知识点

大一下册高数复习知识点

大一下册高数复习知识点大一下册高等数学是大一学生在学习数学方面的重要课程之一。

本文将为大家总结大一下册高数的复习知识点,供大家参考和学习。

一、极限与连续1. 函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时,函数的取值接近于一个常数的性质。

其中包括左极限、右极限和无穷极限。

2. 连续与间断函数在某一点上连续是指函数在该点的极限与函数在该点的值相等,否则函数在该点上间断。

根据间断的性质,可以将间断分为可去间断、跳跃间断和无穷间断。

3. 介值定理与零点存在定理介值定理表明,若函数在区间[a, b]上连续,则函数在该区间上可以取到任意两个介于f(a)和f(b)之间的值。

零点存在定理指出,若函数在区间[a, b]上连续,并且f(a)和f(b)异号,则在该区间上至少存在一个零点。

二、导数与微分1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率,可以用极限的概念进行定义。

对于函数f(x),在点x处的导数定义为f'(x) = lim(△x→0)[f(x+△x) - f(x)]/△x。

2. 基本导数公式常见的基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等,应熟练掌握它们的导数表达式和求导法则。

3. 导数的几何意义导数可以表示函数在某一点处的切线斜率,通过导数可以分析函数的单调性、极值和拐点等性质。

三、积分与不定积分1. 定积分的概念定积分表示函数在一个闭区间上的面积值,可以看作是函数在该区间上的累积效应。

2. 不定积分的概念不定积分表示函数在某一点的原函数,也可称为反导函数。

3. 基本积分公式常见的基本积分公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等的积分表达式和求积法则。

四、微分方程1. 微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程,描述了函数与其导数之间的关系。

2. 常微分方程的解法常微分方程包括一阶和二阶微分方程,可以使用分离变量法、齐次方程法、二阶线性常系数齐次方程法等方法求解。

大一下高数下册知识点总结

大一下高数下册知识点总结

大一下高数下册知识点总结第一章:数列与极限1.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的数字序列,常用递推公式或通项公式表示。

1.2 数列的极限数列的极限表示数列在n趋于无穷大时的稳定值,可以用极限符号进行表示。

1.3 极限的性质极限具有唯一性、有界性、保号性和四则运算性质。

1.4 常见数列的极限常见数列的极限有等差数列、等比数列和阶乘等。

第二章:函数与连续2.1 函数的概念函数是一种特殊的关系,每个自变量只对应一个因变量。

2.2 函数的性质函数具有定义域、值域和奇偶性等性质。

2.3 基本初等函数基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

2.4 连续的概念函数在某一点连续表示函数在该点存在极限且与函数值相等。

第三章:导数与微分3.1 导数的概念导数表示函数在某一点的变化率,可以用极限形式进行定义。

3.2 导数的计算法则导数的计算法则包括常数法则、幂函数法则、和差法则和乘积法则等。

3.3 高阶导数高阶导数表示对函数进行多次求导得到的导数。

3.4 微分的概念微分表示函数在某一点的局部线性逼近,可以用导数表示。

第四章:微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。

4.2 函数的单调性与极值函数的单调性用导数的正负表示,函数的极值出现在导数为零的点上。

4.3 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性用导数的增减性表示,函数的拐点出现在导数的变号点上。

4.4 特殊函数的导数与应用特殊函数包括反函数、参数方程函数和隐函数等,它们的导数计算与应用有特殊方法。

第五章:定积分5.1 定积分的概念定积分表示函数在一定区间上的面积或曲线长度,可以用极限的方法进行定义。

5.2 定积分的性质定积分具有线性性、可加性和区间可加性等性质。

5.3 定积分的计算方法定积分的计算方法包括换元法、分部积分法和变限积分法等。

5.4 应用问题定积分有许多应用,如求曲线长度、曲线面积、物体质量和统计学中的概率等。

高数下知识点复习

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高数下知识点复习一、导数与微分1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念,表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的定义为:$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$2.导数的性质导数具有如下的性质:(1) 导函数存在的充要条件是函数在该点可导。

(2) 导函数的值表示函数的斜率。

(3) 导函数具有线性性质,即对于常数a和b,有$(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$。

(4) 导函数的导数为二阶导数,记作$f''(x)$。

3.微分的定义与性质微分是导数的一种几何解释,表示函数在某一点附近的变化量。

微分的定义为:$$df(x) = f'(x)dx$$微分满足的性质包括:(1) $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$(2) 微分的四则运算:若函数f(x)和g(x)可导,则$$d(f\pm g) = df \pm dg$$$$d(f \cdot g) = g(df) + f(dg)$$$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(df) - f(dg)}{g^2}$$二、极限与连续1.数列极限数列极限是描述数列趋向某一值的概念。

数列的极限定义为:对于任意给定的正数$\varepsilon$,存在正整数N,使得当$n>N$时,有$|a_n-L|<\varepsilon$。

2.函数极限函数极限是描述函数趋向某一值的概念。

函数的极限定义为:对于任意给定的正数$\varepsilon$,存在正数$\delta$,使得当$0<|x-a|<\delta$时,有$|f(x)-L|<\varepsilon$。

3.极限的性质极限具有如下的性质:(1) 唯一性:如果极限存在,则极限是唯一的。

高数(下册)复习资料完整

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高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量:向量表示((a^b));向量运算(向量积);向量的方向和投影空间方程:曲面方程(旋转曲面和垂直柱面);直线方程(参数方程和投影方程)平面方程:点法式(法向量)、一般式、截距式;平面夹角和距离直线方程:一般式、对称式(方向向量)、参数式;直线夹角;平面交线(法向量积)切平面和切线:切线与法平面;切平面与法线多元函数微分学多元函数极限:趋近方式,等阶代换偏微分和全微分:高阶微分(连续则可等);复合函数求导(Jacobi行列式);多元函数极值:偏导数判定;拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分:直角坐标和极坐标;对称性;换元法三重积分:直角坐标、柱坐标和球坐标;对称性重积分的应用:曲面面积;质心;转动惯量;引力曲线与曲面积分曲线积分:弧长积分;坐标曲线积分(参数方程);格林公式面积积分:对面积积分;坐标面积积分;高斯公式无穷级数级数收敛:通项极限正项级数:调和级数;比较法和比较极限法;根值法;极限法;绝对收敛和条件收敛幂级数:收敛半径和收敛域;和函数;麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数:傅里叶系数(高次三角函数积分);奇偶延拓;正弦和余弦级数;一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数:向量参数式;偏导数;方向余弦梯度(grad):方向导数的最值;梯度方向;物理意义(热导方向与电场方向)格林公式:曲线积分—>二重积分;曲线方向与曲面方向全微分原函数:场的还原;折线积分通量与散度高斯公式:闭合曲面—>三重积分;曲面外侧定向;曲面补齐;向量表达(通量)散度(div):通量的体积元微分;物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式:闭合曲线—>曲面积分;向量积定向;行列式表达;向量表达;物理意义(环通量)旋度(rot):行列式斯托克斯公式;物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =-=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠,则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ,,,则方向余弦分别为cos αβγ,cos ,coscos y x z a a a aaaαβγ===,cos ,coscos a e αβγ=(,cos ,cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘(数量积) θcos b a b a =⋅,θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘(向量积)b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ,b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑:0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程:000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程:),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程:0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程:1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积(1) 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3(2)利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 ); (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时,(关于x 轴对称时,有类似结论)P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分:○1定义:四步法——分割、代替、求和、取极限;○2性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性;○3对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性。

大一高数知识点总结下册

大一高数知识点总结下册

大一高数知识点总结下册在大一学习高等数学过程中,我们接触到了许多重要的知识点,这些知识点对于我们的数学基础和后续学习都非常重要。

下面将对大一高数下册的知识点进行总结和梳理。

1. 多元函数及其极限- 多元函数的概念和表示方法- 极限的定义和性质- 多元函数的连续性与间断点- 偏导数与全微分- 多元函数的极值与最值2. 重积分- 二重积分的概念和性质- 二重积分的计算方法(直角坐标系和极坐标系)- 三重积分的概念和性质- 三重积分的计算方法(直角坐标系和柱面坐标系)3. 曲线与曲面积分- 曲线积分的定义和性质- 曲面积分的定义和性质- 参数方程下曲线积分的计算- 参数化曲面下曲面积分的计算4. 傅里叶级数- 傅里叶级数的基本概念和性质 - 傅里叶级数的收敛性- 傅里叶级数展开和求和的方法 - 傅里叶级数在实际问题中的应用5. 偏微分方程- 偏微分方程的基本概念和分类 - 线性偏微分方程的一般解法- 热传导方程和波动方程的解法 - 边值问题和特征线法以上五个部分是大一下学期高等数学的重点内容,通过对这些知识点的学习,我们可以建立起良好的数学思维和方法论。

同时,我们也可以将这些知识应用到其他学科中,例如物理、工程等领域。

在学习这些知识点的过程中,我们需要掌握基本的概念和定义,理解其背后的思想和原理,并学会运用相应的公式和方法进行计算和推导。

同时,我们还需要通过大量的习题和练习来加深对这些知识点的理解和掌握。

为了更好地学习高等数学,我们可以采取以下几点策略:1. 注重基础知识的理解。

高等数学是建立在基础数学知识之上的,因此我们要确保自己对基础知识的理解扎实。

2. 多做习题,提高解题能力。

通过大量的练习可以巩固知识,提高解题的速度和准确度。

3. 学会思考与总结。

高等数学不仅仅是机械的计算,更需要我们发散思维,运用所学知识解决实际问题。

4. 多与同学交流与合作。

相互讨论、互相帮助是提高数学能力的重要途径。

总之,大一高数下册的知识点是我们数学学习中的关键内容,掌握这些知识点对于我们的数学基础与日后的学习发展至关重要。

高数下册总复习知识点.pptx

高数下册总复习知识点.pptx

F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
(取 x为参数)
i jk
取T Fx Fy Fz
切线方程为
Gx Gy Gz M
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
M
(x
x0 )
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
函数连续
函数可导
有极限
函数可微 偏导数连续
4、多元复合函数求导法则
中间变量均为一元函数的情形
定理1 若函数
在点t处可导,z f (u, v)
在点 处偏导连续, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
z
u v
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
(1)球面 (2)圆锥面 (3)旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2

大一高数下册总结知识点

大一高数下册总结知识点

大一高数下册总结知识点高等数学是大学数学教学中的一门重要课程,为了帮助大家更好地掌握高数下册的知识,以下是对该学期知识点进行的全面总结。

一、导数与微分1. 导数的定义和基本性质:导数的定义、导数的几何意义、导数的四则运算、导数的代数运算法则等。

2. 常用函数的导数:多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数。

3. 高阶导数与高阶微分:高阶导数的定义、高阶导数与高阶微分的关系、高阶导数的几何意义等。

二、常微分方程1. 常微分方程的基本概念:微分方程的定义、常微分方程和常微分方程解的关系。

2. 一阶常微分方程:可分离变量的一阶微分方程、首次线性微分方程、恰当方程等。

3. 高阶常微分方程:二阶线性常微分方程、齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。

三、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续性:多元函数极限的定义和性质、多元函数连续性的定义和性质。

2. 偏导数和全微分:偏导数的定义和性质、全微分的定义和性质。

3. 隐函数与参数方程:隐函数的存在定理、参数方程及其求导法则。

四、多元函数的积分学1. 重积分:二重积分的概念、性质和计算方法,三重积分的概念、性质和计算方法。

2. 曲线积分与曲面积分:第一类曲线积分、第二类曲线积分及其计算方法,曲面积分及其计算方法。

3. 广义积分:广义积分的定义和性质、收敛性判定、常用的广义积分计算方法等。

五、无穷级数1. 数项级数:正项级数、任意项级数、级数的收敛、发散和条件收敛等概念。

2. 幂级数:幂级数的收敛半径、收敛域、幂函数展开、函数的幂级数展开等内容。

3. Taylor级数和Maclaurin级数:函数的Taylor展开、Maclaurin级数的计算等。

六、空间解析几何1. 点、直线、平面的位置关系:平面的点法式与一般式、直线的点向式与一般式等内容。

2. 空间曲线与曲面:空间曲线的参数方程与一般方程、曲面的参数方程与一般方程等。

七、数列与数列极限1. 数列极限:数列收敛与发散的定义和判定、无穷极限的性质等。

高数下知识点总结

高数下知识点总结

高数下知识点总结一、微积分1. 函数和极限函数是自然界和社会现象中的一般规律性联系的数学抽象。

以实数域为定义域和值域的实函数是微积分的主要研究对象。

极限是微积分的基本概念,它是描述函数在某点附近的性质的数学工具。

在微积分中,我们讨论函数在某一点的极限,以及函数在无穷远处的极限和无穷大的极限等各种情况。

2. 导数和微分导数是函数在某一点的变化率的极限,用来描述函数的局部性质。

微分是导数的几何意义,它是关于函数的线性逼近的一种数学方法。

在微积分中,我们讨论导数的定义、求导法则、高阶导数、微分和微分中值定理等内容。

3. 积分和微积分基本定理积分是导数的逆运算,它描述了函数在一定区间内的总体变化量。

微积分基本定理是微积分中的核心定理,它建立了积分和导数之间的联系。

在微积分中,我们讨论不定积分、定积分、变限积分、积分中值定理等内容。

4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域,它是描述自然和社会现象中变化规律的数学模型。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类,涵盖了许多重要的理论和方法。

在微积分中,我们讨论微分方程的基本概念、解的存在唯一性、解的性质、微分方程的分类和常见的解法等内容。

二、矩阵论1. 矩阵和行列式矩阵是线性代数的基本工具,它是一个按照矩形排列的数的集合。

行列式是矩阵的一个重要性质,它是由矩阵的元素按照一定规则组合而成的一个数。

在矩阵论中,我们讨论矩阵的基本操作、矩阵的性质、矩阵的代数运算、矩阵的逆、行列式的性质和展开等内容。

2. 线性方程组线性方程组是矩阵论的一个重要应用领域,它是由线性方程组成的一种数学模型。

线性方程组的解是矩阵的一个重要性质,它描述了线性方程组的解空间和解的个数。

在矩阵论中,我们讨论线性方程组的标准形、增广矩阵、线性方程组的解的性质、线性方程组的解的分类和解的存在唯一性等内容。

3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的一个重要性质,它描述了矩阵的变换规律和对称性质。

大一高数下册知识点归纳

大一高数下册知识点归纳

大一高数下册知识点归纳在大学的数学课程中,高等数学是基础学科之一,它为其他学科的学习提供了坚实的数学基础。

大一下学期的高等数学课程内容较为深入,包括了多个重要的知识点。

本文将对大一高数下册的知识点进行归纳总结,以帮助同学们更好地复习和掌握这些内容。

1. 导数与微分1.1 导数的定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率,可以通过极限的概念求得。

常见的函数导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

1.2 导数的性质与运算法则导数具有一些重要的性质,如常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等,这些法则可以简化求导的过程。

1.3 高阶导数与隐函数求导高阶导数描述了函数变化的更高级别的特征,而隐函数求导则是通过求导求得隐含函数的导数。

2. 积分与不定积分2.1 不定积分的定义与基本性质不定积分是求解导函数的逆运算,通过积分可以还原出原函数。

不定积分具有线性性质以及和差法则等运算法则。

2.2 基本初等函数的积分公式基本初等函数的积分公式是常用的积分公式,包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分公式等。

2.3 定积分的定义与计算方法定积分是对函数在一定区间上的取值进行求和的运算,可以通过求极限或者利用牛顿—莱布尼茨公式进行计算。

3. 无穷级数与函数项级数3.1 数项级数的概念与性质数项级数是无限项相加的序列,具有求和的性质。

常见的数项级数包括等比级数、调和级数等。

3.2 收敛级数与发散级数的判别法判定级数的收敛性是数学中的一个重要问题,有多种方法可以判断级数的收敛性,如比较判别法、比值判别法、积分判别法等。

3.3 函数项级数的概念与性质函数项级数是序列项为函数的级数,可以通过逐项求导或逐项积分来求解函数项级数。

4. 一元函数的Taylor级数与Maclaurin级数4.1 Taylor公式的定义与性质Taylor公式是用多项式逼近函数的方法,利用函数在某一点的导数来构造多项式,可以将函数转化为无穷级数的形式。

高等数学下知识点总结

高等数学下知识点总结

高等数学下知识点总结一、极限与连续1. 极限的概念极限是描述函数趋于某个特定值的概念。

对于实数函数f(x),当自变量x无限接近某个实数a时,如果函数值f(x)无限接近某个实数L,则称L为函数f(x)在x趋于a时的极限,记作$\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L$。

2. 极限的性质•唯一性:一个函数在某一点的极限唯一。

•有界性:函数在某一点的极限存在,则函数在该点的附近有界。

•局部有界性:函数在无穷远处的极限存在,则函数在某一点的局部有界。

•夹逼定理:若函数在某一点的两边夹逼住一个数,则该数为函数在该点的极限。

3. 连续的概念若函数f(x)在某一点a的极限存在且等于f(a),则称函数f(x)在点a处连续。

4. 连续函数的性质•若两个函数均在某一点连续,则它们的和、差、积、商(除分母为0外)也在该点连续。

•若两个函数均在某一点连续,则它们的复合函数也在该点连续。

•若函数在闭区间[a,b]上连续,则它在该闭区间上有界。

二、导数与微分1. 导数的概念函数f(x)在点x=a处的导数,表示函数曲线在该点处的切线的斜率,记作f′(a)或$\\frac{{dy}}{{dx}}|_{x=a}$。

2. 导数的性质•可导性:若函数在某一点导数存在,则该点可导。

•右导数和左导数:对于单侧不连续点,可以讨论右导数和左导数。

•导函数:若函数在某一区间上处处可导,则该区间上存在一函数,称为原函数的导函数,记作f′(x)。

3. 常见函数的导数公式•常数函数导数为0:$f(x) = c, \\quad f'(x) = 0$。

•幂函数导数:1.$f(x) = x^n, \\quad f'(x) = nx^{n-1}, (n \ eq 0)$。

2.$f(x) = \\frac{1}{x^n}, \\quad f'(x) = -\\frac{n}{x^{n+1}}, (n \eq 0)$。

高数下知识点总结大全(通用8篇)

高数下知识点总结大全(通用8篇)

高数下知识点总结大全(通用8篇)高数下知识点总结大全篇11.邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

2.对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。

3.垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。

4.平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。

5.同位角、内错角、同旁内角:同位角:∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角:∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角:∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

6.命题:判断一件事情的语句叫命题。

7.平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移平移变换,简称平移。

8.对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。

9.定理与性质对顶角的性质:对顶角相等。

10垂线的性质:性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

11.平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

12.平行线的性质:性质1:两直线平行,同位角相等。

性质2:两直线平行,内错角相等。

性质3:两直线平行,同旁内角互补。

13.平行线的判定:判定1:同位角相等,两直线平行。

判定2:内错角相等,两直线平行。

判定3:同旁内角相等,两直线平行。

本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的`特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。

大一下高数知识点归纳

大一下高数知识点归纳

大一下高数知识点归纳高等数学是大学学习的一门基础课程,对于理工科学生来说尤为重要。

在大一下学期,我们学习了许多高数的知识点,下面我将对这些知识点进行归纳总结。

一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义:函数将一个自变量映射到一个因变量上,表示为f(x)。

- 函数的性质:连续性、单调性、奇偶性等。

2. 极限的概念与性质- 极限的定义:当自变量无限接近某个值时,函数的值也无限接近某个限制值。

- 极限的性质:四则运算法则、复合函数极限、无穷大与无穷小等。

3. 函数的导数与微分- 导数的定义:表示函数在某一点的变化率,定义为极限。

- 导数的性质:导数的运算法则、高阶导数等。

- 微分的定义:表示函数在某一点的线性逼近。

- 微分的应用:切线与法线、极值与最值、函数图像的形状等。

二、微分学1. 高阶导数与导数应用- 高阶导数的定义:导数的导数称为高阶导数。

- 泰勒公式:函数在某点附近可以用多项式近似表示。

- 导数应用: 函数的增减性、凹凸性等。

2. 不定积分- 不定积分的概念:求解给定函数的原函数。

- 不定积分的基本性质:线性性、换元法、分部积分法等。

- 常见函数的不定积分:幂函数、指数函数、三角函数等。

3. 定积分- 定积分的概念:表示曲线与坐标轴之间的面积或有向长度。

- 定积分的基本性质:线性性、区间可加性等。

- 牛顿-莱布尼茨公式:定积分与不定积分的关系。

三、级数1. 数列与级数- 数列的概念与性质:项数、公式、递推关系等。

- 无穷级数的收敛与发散:收敛条件、判别法等。

2. 幂级数- 幂级数的概念与性质。

- 幂级数的收敛半径与收敛域。

3. 泰勒级数- 函数的泰勒展开:用幂级数逼近函数。

- 常见函数的泰勒展开。

四、微分方程1. 常微分方程- 一阶常微分方程的概念与解法:分离变量法、齐次方程、一阶线性方程等。

- 二阶常微分方程的概念与解法:特征方程法、常系数齐次方程、非齐次方程等。

2. 高阶导数与微分方程- 高阶导数的概念与解法:高阶导数与常微分方程的关系。

高等数学下知识点总结6篇

高等数学下知识点总结6篇

高等数学下知识点总结6篇高等数学下知识点总结6篇借鉴经验和教训,对自己的工作和生活进行反思和总结,从而不断进步。

深入学习,专攻某一领域有利于个人成长和职业发展。

下面就让小编给大家带来高等数学下知识点总结,希望大家喜欢!高等数学下知识点总结1第一,函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二,平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。

第三,数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点,主要出一些综合题。

第四,不等式。

主要考查不等式的求解和证明,而且很少单独考查,主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五,概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。

第六,空间位置关系的定性与定量分析,主要是证明平行或垂直,求角和距离。

第七,解析几何。

是高考的难点,运算量大,一般含参数。

高考对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识,正确理解基本概念,正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆,形成技能。

以不变应万变。

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,考查时与数学知识相结合。

对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,所有数学考试最终落在解题上。

考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求,而解题训练是提高能力的必要途径,所以高考复习必须把解题训练落到实处。

训练的内容必须根据考纲的要求精心选题,始终紧扣基础知识,多进行解题的回顾、总结,概括提炼基本思想、基本方法,形成对通性通法的认识,真正做到解一题,会一类。

高数大一知识点总结下册

高数大一知识点总结下册

高数大一知识点总结下册在大一的高等数学课程中,我们学习了许多重要的数学知识和概念。

下面是下册的知识点总结,希望对同学们复习和回顾有所帮助。

1. 函数与极限1.1 函数的定义和性质:函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念:数列的极限、函数的极限。

极限的运算法则和性质。

1.3 无穷大与无穷小:无穷大与无穷小的定义、性质以及极限运算。

1.4 函数的连续性:连续函数的定义、间断点的分类和判定。

2. 导数与微分2.1 导数的定义:导数的几何意义、导数的运算法则。

2.2 高阶导数:高阶导数的定义以及求法。

2.3 求导公式:常见函数的导数公式以及使用。

2.4 微分的概念:微分的定义、微分计算及近似计算。

2.5 泰勒公式:泰勒公式的表述与运用。

3. 积分与应用3.1 积分的概念:不定积分与定积分的定义、性质以及运算法则。

3.2 定积分的计算方法:几何意义、定积分的计算公式。

3.3 牛顿-莱布尼茨公式:该公式的表述、运用以及证明。

3.4 曲线的长度与曲面的面积:弧长的计算、平面曲线的面积计算。

3.5 应用问题:面积、体积、平均值等实际问题的求解。

4. 常微分方程4.1 常微分方程的概念:常微分方程的分类及常见类型。

4.2 一阶常微分方程:可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程等。

4.3 高阶常微分方程:二阶常系数线性齐次方程与非齐次方程。

4.4 常微分方程的应用:生物、经济、物理等领域的实际应用。

5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念:多元函数的定义域、取值域以及图像。

5.2 偏导数的定义:偏导数的计算、偏导数的几何意义。

5.3 高阶偏导数:二阶偏导数的计算与应用。

5.4 隐函数与参数方程:隐函数的求导、参数方程的曲线求导。

6. 重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念:二重积分的计算、二重积分的性质与应用。

6.2 三重积分:三重积分的计算、三重积分的应用。

6.3 曲线积分的概念:第一类曲线积分和第二类曲线积分的计算。

高等数学下册总复习

高等数学下册总复习

与 y0确. 定
3.设 f(x,y)连,改 续变 二 1d次 yy23y2积 f(x,y分 )dx 0 2
的 积.分 次 序
4.设 由 平x面 yz1,xy1,x0,y0,z1
围 成 的 闭三 区重 域积 , f(分 x 将 ,y,z)dxd化 yd为 z
先z对 ,再 y, 对最x后 的对 三次 . 积分
n1
若 un
收敛n 1

,
u
n
称 u n

对n收 1敛
称 u n

发n散 1 ,
件n收 1敛
Leibniz判别法:

unun10,
且 limun
n
0,
则交错级数 (1) nun 收敛
n 1
1.设
级a数 n 2收
n1


证 an明 收(级 敛 7分 )数 n1 n
2.判别交错 (级 1)nn数 的敛散性
(2)点M0(x0,y0,z0) 到平面 :A x+B y+C z+D = 0
的距离:
M0
d
M1M0 n n
Ax0By0Cz0D A2B2C2
d
n
M1
1.求 过 (2, 1 点 , 3)且 平 行 2 xxy直 yz2 z2 线 10 0的 直 对 称 式 及 方 参 程 数 方 程
n1 3n1
3求 . 幂级 n 1n数 22n1xn的收敛(要 区讨 间论端点处 )
4、判别 n 1(n(1n010)13n0)0是否收敛?若(9'收 ) 敛
5、求
xn的 收 敛 域 及 和 函求数级,数并
n1 n
1 13

大一高数下册知识点归纳总结

大一高数下册知识点归纳总结

大一高数下册知识点归纳总结高等数学是大学理工科专业中的一门基础课程,也是学习数学的重要一环。

下面将对大一高数下册的知识点进行归纳总结,以便帮助同学们更好地掌握和复习这些内容。

一、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念与运算:- 向量的定义与表示方法- 向量的模、方向及单位向量- 向量的加法、减法和数量乘法- 向量的数量积和向量积运算2. 空间直线与平面:- 点、直线、平面的基本概念- 直线的方程与相关性质- 平面的方程与相关性质二、多元函数与极限1. 多元函数的定义和性质:- 多元函数的定义与表示- 多元函数的极限和连续性2. 偏导数与全微分:- 偏导数的概念与计算方法 - 高阶偏导数与混合偏导数 - 全微分的定义与计算3. 多元函数的导数与微分:- 方向导数与梯度- 多元复合函数的导数与微分4. 隐函数与参数方程的微分: - 隐函数的导数计算- 参数方程的微分计算三、微分学应用1. 函数的极值与最值问题:- 极值的判定条件与计算方法 - 条件极值问题2. 函数的曲率与凹凸性:- 曲率的概念与计算方法- 凹凸性的判定条件与计算方法3. 泰勒展开与函数的近似计算: - 泰勒展开的定义与计算- 数值微分与数值积分的应用四、重积分与曲线积分1. 重积分的概念与计算:- 二重积分的定义与计算方法 - 三重积分的定义与计算方法2. 重积分的应用:- 质量、质心与转动惯量的计算 - 重心与形心的计算3. 曲线积分的概念与计算:- 第一类曲线积分的定义与计算 - 第二类曲线积分的定义与计算4. 曲线积分的应用:- 曲线长度与质量的计算- 流量与环量的计算五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念:- 常微分方程的定义与分类- 初值问题与解的存在唯一性2. 一阶常微分方程的解法:- 可分离变量的方程- 齐次方程与恰当方程- 线性方程3. 高阶常微分方程的解法:- 齐次线性方程与常系数线性方程- 非齐次线性方程4. 常微分方程的应用:- 弹簧振动与电路分析- 生物学问题与经济学模型通过以上对大一高数下册知识点的归纳总结,我们可以更好地理解和回顾这些内容,为今后的学习打下坚实的基础。

大一高数下知识点笔记

大一高数下知识点笔记

大一高数下知识点笔记(一)导数与微分1. 定义:导数表示函数在某一点的变化率,用于描述函数的局部性质。

2. 导数的计算方法:常用的方法有极限定义法、基本初等函数的导数法则、导数的四则运算法则等。

3. 微分的概念:微分是导数的一种应用形式,它表示函数值的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。

(二)函数的极限1. 极限的定义:函数的极限表示自变量无限接近某一点时,函数值的变化趋势。

2. 极限的性质:极限存在唯一性、局部有界性、保号性等。

3. 常见的极限计算方法:夹逼定理、无穷小代换法、洛必达法则等。

(三)连续与间断1. 连续函数的定义:函数在某一点连续,表示函数在该点的极限存在且等于函数值。

2. 连续函数的性质:连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。

3. 间断点的分类:可去间断、跳跃间断、无穷间断等。

(四)微分中值定理1. 雅可比定理:若函数在闭区间上连续,且在开区间内可导,则在闭区间上至少存在一个点,使得导数在该点处等于函数的平均变化率。

2. 拉格朗日中值定理:若函数在闭区间上连续,且在开区间内可导,则在闭区间上至少存在一个点,使得导数在该点处等于函数在区间两端点连线上的斜率。

3. 柯西中值定理:若两个函数在闭区间上连续且可导,其中一个函数在开区间内不恒为零,则在闭区间上至少存在一个点,使得两个函数的导数之比等于两个函数在区间两端点连线上的斜率。

(五)不定积分1. 不定积分的定义:不定积分是函数的反导数,即求导的逆运算。

2. 基本积分公式:常见的基本积分公式包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等。

3. 替换法则与分部积分法:替换法则用于处理复合函数的积分,分部积分法用于处理乘积的积分。

(六)定积分与定积分的应用1. 定积分的定义:定积分是对函数在一定区间上的区域面积的近似求和。

2. 定积分的计算方法:分割求和法、换元法、分部积分法等。

3. 定积分的应用:用定积分求曲线下的面积、求物体的体积、计算平均值等。

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第八、九章 向量代数与空间解析几何总结
向量代数
定义 定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=
,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===

向量a 的模记作a
a 222x y z a a a =++
和差
c a b =+ c a b =-
=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b
单位向量
0a ≠,则a a
e a
=
a e 2
2
2
(,,)=
++x y z x y z a a a a a a
方向余弦
设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ,,,则方向余弦分别为cos αβγ,cos ,cos
cos y x z a a a a
a
a
αβγ==
=
,cos ,cos
cos a e αβγ=(,cos ,cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘(数量积)
θcos b a b a =⋅, θ为向量a 与b 的夹

z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a
叉乘(向量积)
b a
c ⨯=
θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ,b 都垂直
z
y x
z y x
b b b a a a k j i
b a =⨯ 定理与公式
垂直 0a b a b ⊥⇔⋅=
0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=
平行
//0a b a b ⇔⨯=
//y z
x x y z
a a a a
b b b b ⇔
== 交角余弦
两向量夹角余弦b
a b
a ⋅=θcos
2
2
2
2
2
2
cos x x y y z z
x y z x y z
a b a b a b a a a b b b θ++=
++⋅++
投影
向量a 在非零向量b 上的投影
cos()b a b
prj a a a b b
∧⋅==
2
2
2
x x y y z z
b x y z
a b a b a b prj a b b b ++=
++
平面
直线
法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M
方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M
方程名称 方程形式及特征
方程名称 方程形式及特征
一般式 0=+++D Cz By Ax 一般式 ⎩⎨
⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A 点法式
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
点向式
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-
法向量
000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--或
00(((,x y n f x f x =
第十章 总结
重积分 积分类型
计算方法
典型例题
二重积分
()σ
d ,⎰⎰=D
y x f I
平面薄片的质量
质量=面密度
⨯面积
(1) 利用直角坐标系
X —型 ⎰⎰⎰⎰=D
b
a
x x dy y x f dx dxdy y x f )
()
(21),(),(φφ
Y —型


⎰⎰=d
c
y y D
dx y x f dy dxdy y x f )
()
(21),(),(ϕϕ
P141—例1、例3
(2)利用极坐标系 使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 );
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α
+, α为实数 )
21()()
(cos ,sin )(cos ,sin )D
f d d d f d β
ϕθα
ϕθρθρθρρθ
θρθρθρρ
=⎰⎰⎰⎰
02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤
P147—例5
(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时,(关于x 轴对称时,有类似结论)
110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy
f x y x f x y f x y D D ⎧
⎪⎪-=-⎪⎪
=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩
⎰⎰对于是奇函数,即对于是偶函数,即是的右半部分
P141—例2
应用该性质更方便
计算步骤及注意事项
1. 画出积分区域
2. 选择坐标系 标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数
关于坐标变量易分离
3. 确定积分次序 原则:积分区域分块少,累次积分好算为妙 4. 确定积分限 方法:图示法 先积一条线,后扫积分域 5. 计算要简便 注意:充分利用对称性,奇偶性
第十一章总结
所有类型的积分:
○1定义:四步法——分割、代替、求和、取极限;
○2性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性;
○3对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章总结。

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