第三章《数系的扩充与复数的引入 复数》学案(新人教A版选修1-2)

复数复习学案

一．知识结构

由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。 三．技巧方法

1、 设z ＝a ＋bi(a,b R ∈),利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法，同时要

学会以整体的角度出发去分析和求解，如果遇到复数就设z ＝a ＋bi(a,b R ∈),有时带来不

必要的运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍。

2、 在简化运算中，如能合理运用i 和复数的模等有关的性质，常能出奇制胜，事半功倍，

所以在学习中注意积累并灵活运用。 3、 性质：22||||z z z z ==是复数运算与实数运算相互转化的重要依据，也是把复数看作整

体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。

4、 学习本章时，应注意联系全面学过的实数的性质，实数的运算内容，以便对复数的知识

有较完整的认识。

四、注意点析 1、 要注意实数、虚数。纯虚数、复数之间的联系与区别，实数集和虚数集都是复数集的真

子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集，纯虚数集是虚数集的真子集， 2、 当概念扩展到复数后，实数集R 中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不

等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。 3、 熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。

五、思想方法 1、 数形结合这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等。图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。 2、 方程的思想，主要体现在复数相等的充要条件和复数方程。

3、转化思想，转化思想是复数的重要思想方法，既然在实数的基础上扩展到复数，自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决，如求模运算，复数相等的充要条件及

2

2

||||z z z z ==等，进行复数与实数间的转化。

4、分类讨论思想：它是一种比较重要的解题策略和方法，在复数中它能够使复杂问题简单

化，从而化整为零，各个击破。

5、主要方法有：待定系数法、整体法；待定系数法是利用复数的代数形式，设复数z ＝a ＋bi 的形式代入，再利用复数相等或其它途径，转化为与a ，b 相关的等式，求出a ，b 即可得到复数z 。在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点，通过研究问题的整体形式、整体结构或作某些整体处理，这样往往可以避繁就简，化难为易，顺速解决问题。

六、典例分析 1、基本概念计算类

例1．若,43,221i z i a z -=+=且

2

1z z 为纯虚数，则实数a 的值为_________

解：因为，2

1z z ＝

25

)46(8325

8

463)

43)(43()43)(2(432i

a a ia i a i i i i a i

i a ++-=

-++=

+-++=

-+，

又

2

1z z 为纯虚数，所以，3a －8＝0，且6＋4a ≠0。3

8=∴a

2、复数方程问题

例2．证明：在复数范围内，方程i

i z i z +-=

-+255)1(||2

（i 为虚数单位）无解。

证明：原方程化简为,31)1()1(||i z i z i z -=+--+设z ＝x ＋yi(x 、y R ∈)，代入上述方程得⎩⎨⎧=+=+-=--+3

221

.3122222

2

y x y x i yi xi y x 整理得051282=+-x x

∴<-=∆.016 方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。

点评：本题主要考查复数方程等知识，一般是设Z 的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程。

3、综合类 例3．设z 是虚数，z

z 1+

=ω是实数，且－1<ω<2

（1） 求|z|的值及z 的实部的取值范围； （2） 设z

z M +-=

11，求证：M 为纯虚数；

（3） 求2

M -ω的最小值。

分析：本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算及不等式的知识，以及运算能力和推理能力。

解：（1）设z ＝a ＋bi （a ，b 0,≠∈b R ） ,)()(12

2

2

2

i b

a b b b

a a a bi

a bi a +-

+++

=++

+=ω 因为，ω是实数，0≠b

所以，12

2

=+b a ，即|z|＝1， 因为ω＝2a ，－1<ω<2，12

1<<-

a

所以，z 的实部的取值范围（－

1,2

1）

。 （2）z

z M +-=11＝

1

)1(21)

1)(1()1)(1(112

2

2

2

+-

=++---=-+++-+--=

++--a bi b

a bi

b a bi a bi a bi a bi a bi

a bi a （这

里利用了（1）中122=+b a ）。 因为a ∈（－

1,2

1）

，0≠b ，所以M 为纯虚数。 （3）2

M -ω1

12)

1(12)

1(22

22

2

+--=+-+=++

=a a a a a

a a b

a

3]1

1)1[(21

212-+++=++

-=a a a a

因为，a ∈（－1,2

1），所以，a ＋1>0， 所以2

M -ω≥2×2－3＝1，

当a ＋1＝

1

1+a ，即a ＝0时上式取等号， 所以，2M -ω的最小值是1。

点评：本题以复数的有关概念为载体，考查学生的化归能力，考查了均值不等式的应用，综

合考查学生运用所学知识解决问题的能力。正是高考的重点。 4、创新类

例4．对于任意两个复数R y y x x i y x z i y x z ∈+=+=2121222111,,,(,)定义运算“⊙”为 1z ⊙2z ＝2121y y x x +，

设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为_________. 分析：本题立意新颖，解题入口宽，是一道不可多得的好题。

解法一：（解析法）设)0,(,21222111≠+=+=a a i b a i b a ωω，故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即

12

21

1-=⋅a b a b

从而有212

1

OP OP k k ⋅＝

12

21

1-=⋅

a b a b 故21OP OP ⊥,也即0

2190=∠OP P

解法二：（用复数的模）同法一的假设，知

2

12

12

12

1||||b a OP +==ω 2

22

22

22

2||||b a OP +==ω

2

21212

212

21|)()(|||||i b b a a P P -+-=-=ωω

＝2121b a +＋2222b a +－2（2121b b a a +）＝2121b a +＋2

222b a +－2×0 ＝2

12

1b a +＋2

22

2b a +＝2

1||OP ＋2

2||OP