与圆有关的轨迹问题

课下探索： 课下探索： 与两个定圆都相切的动圆的圆心的轨迹
（1）与两圆均外切 ）
y A B x
（2）与两圆均内切 ） y
A B x
内切、 外切、 （3）与圆 内切、与圆 外切 4）与圆 外切、与圆 内切 ）与圆A内切 与圆B外切 ）与圆A外切 与圆B内切 （
y y A B x A B x
方法小结 ：与定圆相切的动圆圆心的轨迹情 况复杂， 况复杂， 1.抓牢两个圆心，一个切点，三点一定共线。 1.抓牢两个圆心，一个切点，三点一定共线。 抓牢两个圆心 一定共线 2.抓牢定圆的半径，设出动圆半径作辅助。 2.抓牢 圆的半径 设出动圆半径作辅助。 抓牢定 半径， 动圆半径作辅助 3.抓牢动点到两定点的距离的和与差不放。 3.抓牢动点到两定点的距离的和 不放。 抓牢动点到两定点的距离的
C
Ａ
探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的距离的和与差不放 不放。 圆圆心到两定点的距离的和与差不放。
S A B
C A S S B A B
定点A，同时与定圆 定圆⊙ 结论 ：过定点 ，同时与定圆⊙ B 相 的动圆圆心 的轨迹可能是椭圆 圆心S的轨迹可能是椭圆或 切 的动圆圆心 的轨迹可能是椭圆或双 曲线或直线的一部分。 曲线或直线的一部分。
x
x y 变题 2 :已知双曲线的方程为 2 − 2 = 1( a > 0, a b b > 0 ), F1 , F2 分别为左右焦点 , Q 是双曲线上任意 一点 , 从左焦点 F1 作 ∠ F1QF 2 平分线的垂线 , 垂足 为 P , 求点 P 的轨迹方程
F1
O
F2
x
P
M
经过点 A(5,0)且 与 且 例3： C ( x + 5) 2 + y 2 = 49 ：圆 的轨迹方 外 切的圆的圆心 P 的轨迹方程
B M A
是定圆A: x2＋y2＝4 ① C(1,0)是定圆 是定圆 例2： 内的一个定点，D是圆上的动点， ： 内的一个定点， 是圆上的动点 是圆上的动点， 求线段CD的中点 的中点E轨迹 求线段 的中点 轨迹
D O
•
•
E C
圆
如果点C在圆外呢？ 如果点 在圆外呢？ 在圆外呢
如果点C在圆外(3,1), 如果点C在圆外(3,1),
轴上， 轴上， 在 轴上 例1： ②已知点 在x轴上，点B在y轴上， ： 已知点A在 轴上 且|AB|＝2， ＝ ， |AM| =2 |MB| ，求点 的轨迹。 求点M的轨迹 的轨迹。
B M
A
直译
轴上， 轴上， 在 轴上 例1： ③已知点 在x轴上，点B在y轴上， ： 已知点A在 轴上 且|AB|＝2， ＝ ， 2|AM| =|MB| ，求点 的轨迹。 求点M的轨迹 的轨迹。
学 习 苦 苦 在 繁 琐 苦 在 单 调 苦 须 苦 中 作 乐
理化生更美
数 学 美 美 的 简 洁 美 的 逍 遥 美 要 美 不 胜 收
下课了! 下课了
D
一切照旧
E O
•
C
圆
是定圆A内的一个定点 ②如图，C是定圆 内的一个定点， 如图， 是定圆 内的一个定点， 例2： D是圆上动点求线段 的垂直平 ： 是圆上动点求线段 是圆上动点求线段CD的垂直平 分线与半径AD的交点 的交点F轨迹 分线与半径 的交点 轨迹
D E F A•
•C
椭圆
a
是定圆A外的一个定点 ③如图，C是定圆 外的一个定点， 如图， 是定圆 外的一个定点， 例2： D是圆上动点求线段 的垂直平 ： 是圆上动点求线段 是圆上动点求线段CD的垂直平 分线与半径AD的交点 的交点F轨迹 分线与半径 的交点 轨迹
D
A • F
•
C
双曲 线
x2 y2 变题 1 :已知椭圆的方程为 + 2 = 1( a > b > 0 ), 2 a b F1 , F 2分别为左右焦点 , Q 是椭圆上任意一点 , 从 右焦点 F 2作 ∠ F1 QF 2外角平分线的垂线 P ,求点 P 的轨迹方程 .
y
, 垂足为
M
Q
P
F1
O
F2
y B O M A x
直译 法 定义 法
x2 ＋y2 ＝1
圆的三种经典生成 生成1 生成 ：平面内与定点的距离等于定长 的点的轨迹是圆。 的点的轨迹是圆。 生成2 ：平面内到两个定点的距离之比 生成 是一个不为1的常数的点的轨迹是圆 的常数的点的轨迹是圆。 是一个不为 的常数的点的轨迹是圆。 生成3 生成 ：平面内定长的线段的两个端点 分别在两条互相垂直的线上滑动， 分别在两条互相垂直的线上滑动，线段 中点的轨迹是圆。 中点的轨迹是圆。
C
7
Ｍ r P Ａr
解：圆Ｃ的圆心Ｃ(-5,0)， 的圆心Ｃ ， 设动圆Ｐ的半径为 设动圆Ｐ的半径为r ｜ＰＡ｜＝r 即｜ＰＡ｜＝ 因为动圆与定圆Ｃ 因为动圆与定圆Ｃ相外切 故可得： 故可得： ｜ＰＣ｜＝ 7+r 因此，｜ＰＣ｜－｜ＰＡ｜＝ 因此，｜ＰＣ｜－｜ＰＡ｜＝7 ，｜ＰＣ｜－｜ＰＡ｜＝ 所以， 所以，点Ｐ的轨迹为： 的轨迹为： Ａ、Ｃ为焦点的双曲线 为焦点的双曲线的右支 以Ａ、Ｃ为焦点的双曲线的右支
椭圆 直线
双曲线
2定义法 定义法 1直译法 直译法 求轨迹的基本 方法 3相关点法 相关点法 4消参法 消参法
圆
抛物线
建系
设点
求轨迹的步骤
l
列式
代入
化简
长为2的线段 的线段AB的两端点分别 例1： ①长为 的线段 的两端点分别 ： 在两条互相垂直的直线上滑动， 在两条互相垂直的直线上滑动， 求线段AB的中点 的轨迹方程. 的中点M的轨迹方程 求线段 的中点 的轨迹方程
x2 y2 故轨迹方程为 : − = 1 (x>o) 9 12.75
y
P C
o
A
x
由定义可得： 由定义可得：a=3.5,c=5。 。 5
先由 定义 再根据 判断 条件 动点 求出 的 轨迹方程 轨迹
变式1： 变式3： 例 ：
经过点 A(5,0)且与 且
2 2
圆 C ( x + 5) + y = 49 相 切的圆的圆心 P 的轨迹方程 。 的轨迹方程。 外
M Cr r- 7 P r Ａ
经过点 A(5,0)且 与 且 变式2： 变式3： 例 ：圆 C ( x + 5) 2 + y 2 = 49 169
相 切的圆的圆心 P 的轨迹方程 外
M P 13-r C r r Ａ
变式3： 变式3： 例 ：
经过点 A(5,0)且与 且
2 2
圆 C ( x + 5) + y = 49 100 相 切的圆的圆心 P 的轨迹方程 外