与圆有关的轨迹问题

C
7
Ｍ r P Ａr
解：圆Ｃ的圆心Ｃ(-5,0)， 的圆心Ｃ ， 设动圆Ｐ的半径为 设动圆Ｐ的半径为r ｜ＰＡ｜＝r 即｜ＰＡ｜＝ 因为动圆与定圆Ｃ 因为动圆与定圆Ｃ相外切 故可得： 故可得： ｜ＰＣ｜＝ 7+r 因此，｜ＰＣ｜－｜ＰＡ｜＝ 因此，｜ＰＣ｜－｜ＰＡ｜＝7 ，｜ＰＣ｜－｜ＰＡ｜＝ 所以， 所以，点Ｐ的轨迹为： 的轨迹为： Ａ、Ｃ为焦点的双曲线 为焦点的双曲线的右支 以Ａ、Ｃ为焦点的双曲线的右支
轴上， 轴上， 在 轴上 例1： ②已知点 在x轴上，点B在y轴上， ： 已知点A在 轴上 且|AB|＝2， ＝ ， |AM| =2 |MB| ，求点 的轨迹。 求点M的轨迹 的轨迹。
B M
A
直译
轴上， 轴上， 在 轴上 例1： ③已知点 在x轴上，点B在y轴上， ： 已知点A在 轴上 且|AB|＝2， ＝ ， 2|AM| =|MB| ，求点 的轨迹。 求点M的轨迹 的轨迹。
学 习 苦 苦 在 繁 琐 苦 在 单 调 苦 须 苦 中 作 乐
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数 学 美 美 的 简 洁 美 的 逍 遥 美 要 美 不 胜 收
下课了! 下课了
x
x y 变题 2 :已知双曲线的方程为 2 − 2 = 1( a > 0, a b b > 0 ), F1 , F2 分别为左右焦点 , Q 是双曲线上任意 一点 , 从左焦点 F1 作 ∠ F1QF 2 平分线的垂线 , 垂足 为 P , 求点 P 的轨迹方程 .
y
Q
2
2
F1
O
F2
x
P
M
经过点 A(5,0)且 与 且 例3： C ( x + 5) 2 + y 2 = 49 ：圆 的轨迹方 外 切的圆的圆心 P 的轨迹方程
D
A • F
•
C
双曲 线
x2 y2 变题 1 :已知椭圆的方程为 + 2 = 1( a > b > 0 ), 2 a b F1 , F 2分别为左右焦点 , Q 是椭圆上任意一点 , 从 右焦点 F 2作 ∠ F1 QF 2外角平分线的垂线 P ,求点 P 的轨迹方程 .
y
, 垂足为
M
Q
P
F1
O
F2
x2 y2 故轨迹方程为 : − = 1 (x>o) 9 12.75
y
P C
o
A
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
由定义可得： 由定义可得：a=3.5,c=5。 。 5
先由 定义 再根据 判断 条件 动点 求出 的 轨迹方程 轨迹
变式1： 变式3： 例 ：
经过点 A(5,0)且与 且
2 2
圆 C ( x + 5) + y = 49 相 切的圆的圆心 P 的轨迹方程 。 的轨迹方程。 外
C
Ａ
探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的距离的和与差不放 不放。 圆圆心到两定点的距离的和与差不放。
S A B
C A S S B A B
定点A，同时与定圆 定圆⊙ 结论 ：过定点 ，同时与定圆⊙ B 相 的动圆圆心 的轨迹可能是椭圆 圆心S的轨迹可能是椭圆或 切 的动圆圆心 的轨迹可能是椭圆或双 曲线或直线的一部分。 曲线或直线的一部分。
M Cr r- 7 P r Ａ
经过点 A(5,0)且 与 且 变式2： 变式3： 例 ：圆 C ( x + 5) 2 + y 2 = 49 169
相 切的圆的圆心 P 的轨迹方程 外
M P 13-r C r r Ａ
变式3： 变式3： 例 ：
经过点 A(5,0)且与 且
2 2
圆 C ( x + 5) + y = 49 100 相 切的圆的圆心 P 的轨迹方程 外
y B O M A x
直译 法 定义 法
x2 ＋y2 ＝1
圆的三种经典生成 生成1 生成 ：平面内与定点的距离等于定长 的点的轨迹是圆。 的点的轨迹是圆。 生成2 ：平面内到两个定点的距离之比 生成 是一个不为1的常数的点的轨迹是圆 的常数的点的轨迹是圆。 是一个不为 的常数的点的轨迹是圆。 生成3 生成 ：平面内定长的线段的两个端点 分别在两条互相垂直的线上滑动， 分别在两条互相垂直的线上滑动，线段 中点的轨迹是圆。 中点的轨迹是圆。
椭圆 直线
双曲线
2定义法 定义法 1直译法 直译法 求轨迹的基本 方法 3相关点法 相关点法 4消参法 消参法
圆
抛物线
建系
设点
求轨迹的步骤
l
列式
代入
化简
长为2的线段 的线段AB的两端点分别 例1： ①长为 的线段 的两端点分别 ： 在两条互相垂直的直线上滑动， 在两条互相垂直的直线上滑动， 求线段AB的中点 的轨迹方程. 的中点M的轨迹方程 求线段 的中点 的轨迹方程
课下探索： 课下探索： 与两个定圆都相切的动圆的圆心的轨迹
（1）与两圆均外切 ）
y A B x
（2）与两圆均内切 ） y
A B x
内切、 外切、 （3）与圆 内切、与圆 外切 4）与圆 外切、与圆 内切 ）与圆A内切 与圆B外切 ）与圆A外切 与圆B内切 （
y y A B x A B x
方法小结 ：与定圆相切的动圆圆心的轨迹情 况复杂， 况复杂， 1.抓牢两个圆心，一个切点，三点一定共线。 1.抓牢两个圆心，一个切点，三点一定共线。 抓牢两个圆心 一定共线 2.抓牢定圆的半径，设出动圆半径作辅助。 2.抓牢 圆的半径 设出动圆半径作辅助。 抓牢定 半径， 动圆半径作辅助 3.抓牢动点到两定点的距离的和与差不放。 3.抓牢动点到两定点的距离的和 不放。 抓牢动点到两定点的距离的
D
一切照旧
E O
•
C
圆
是定圆A内的一个定点 ②如图，C是定圆 内的一个定点， 如图， 是定圆 内的一个定点， 例2： D是圆上动点求线段 的垂直平 ： 是圆上动点求线段 是圆上动点求线段CD的垂直平 分线与半径AD的交点 的交点F轨迹 分线与半径 的交点 轨迹
D E F A•
•C
椭圆
a
是定圆A外的一个定点 ③如图，C是定圆 外的一个定点， 如图， 是定圆 外的一个定点， 例2： D是圆上动点求线段 的垂直平 ： 是圆上动点求线段 是圆上动点求线段CD的垂直平 分线与半径AD的交点 的交点F轨迹 分线与半径 的交点 轨迹
B M A
是定圆A: x2＋y2＝4 ① C(1,0)是定圆 是定圆 例2： 内的一个定点，D是圆上的动点， ： 内的一个定点， 是圆上的动点 是圆上的动点， 求线段CD的中点 的中点E轨迹 求线段 的中点 轨迹
D O
•
•
E C
圆
如果点C在圆外呢？ 如果点 在圆外呢？ 在圆外呢
如果点C在圆外(3,1), 如果点C在圆外(3,1),