函数零点与二次函数

（2）若方程f (x)=0的两根均在区间（0,1）
内，求m的取值范围.
6.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1在原点右侧 至少有一个零点,求实数m的取值范围.
课本43页名师示范2
7.已知函数f (x)=2mx2-x-1的恰有一个零点 都在[-2,2]内，求实数m的取值范围.
∴存在x∈(1,2)，使f(x)=0.
用二分法逐次计算，列表如下：
∵|1.75-1.6875|=0.0625<0.1, 且最后一 个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7, ∴所求的零点是1.7
1.函数 f (x) e x 2 的零点所在的 一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
四、由函数零点个数求参数的取值范围 例 若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点, 则实数a的取值范围是( ) A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
二次函数 1.二次函数的三种表示形式 y=ax2+bx+c(a≠0) ①一般式： y=a(x-k)2+h(a≠0) ②配方式： ③零点式： y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 2.二次函数的图象 二次函数的图象是一条 抛物线 a＞0时，开口 向上 ；a＜0时，开 口 向下 . 图象的对称轴方程为： x1 x2 b x (或x k 或x ) 2a 2
函数与方程 1.函数的零点 函数y=f (x)有零点 函数y=f (x)的图 象与x轴有交点 方程f (x)=0有实数根. 2.函数零点存在的判定方法 如果函数y=f (x)在区间[a，b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有 f (a)· (b)＜0 ，那么函数y=f (x)在区间(a， f b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得 f (c)=0 ，这个c也就是方程f (x)=0的根.
1.若函数f (x)=(m-1)x2+(m2-1)x+1是偶函数， 则在区间 [0,+∞)上，f (x)是（ ）
课本41页自主学习1
A.增函数
C.常函数
B.减函数
D.可能是减函数也可能是常数
2.已知二次函数f (x)=ax2+bx,满足
f (1-x)= f (1+x),且方程f (x)=x有等根，
x
7. 讨论函数f (x)=2-x-lg(x+1)的零点个数. 8.已知函数f (x)=2x+ln(1-x)，讨论函数f (x)
在定义域内的零点个数.
三、用二分法求方程的近似解
例求函数f(x)=x3+2x2-3x-6，x∈(1,2)的一
个的零点(误差不超过0.1).
[解]∵f(1)=-6<0 ，f(2)=4>0,
区间为（ ）
1 A.(1, 2) B.(2, 3) C.(1, )和 (3, 4) D.(e, ) e
二、函数零点存在的判定及其个数的讨论 例 判断函数 f (x) a |log a x| 的零点个数. (0<a<1)
|| x
6. 讨论函数 f (x)
x 2 2 的零点个数.
x
2.方程log4x+x=7的解所在区间是 ( A.(1,2) B.(3,4) C.(5,6) D.(6,7) 3.已知函数
x 2
)
f (x) 2 3x 3，讨论
函数f (x)在定义域内的零点个数.
x2 2x 3 , x 0 4.求函数 f (x) 的零点. ,x 0 2 lnx
β是方程 f (x)=0的两根(a ＜β)，则实数a，
b， a ，β的大小关系是 .
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例 已知函数f (x)=x2-2(m-1)x+6+2m,求实数
m的范围，使方程x2-2(m-1)x+6+2m=0
(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小;
(2)都比1大；
(3)有两个实根 , 且 0
6.函数f (x)=lg(x2-1)+8的零点个数是（ A.1 B.2 C.3 D.0
.
）
二、函数零点存在的判定及其个数的讨论 例 函数 f
(x) x 3x 5 的零点所
3
在的大致区间为（
）
Hale Waihona Puke Baidu
1 A.(1, 2) B.( 2, 0) C.(0,1) D.(0, ) 2 2 7.函数 f ( x) ln x 的零点所在的大致 x
f (k1)>0
f (k2)<0
f (k1)f (k2)<0或Δ=0 b - 2a ∈(k1，k2) 且 f (k1)=0 或 k < - b < k1+k2 1 2a 2 或
f (k3)<0
f (k2)=0 k1+k2 b <- 2a <k2 2
二次函数的图象及其应用 3.已知 f (x)=(x- a)(x- b)-2，(a＜ b)并且a、
; ; . ，
3.二次函数的性质 ①a＞0时，在 (-∞,k］ 上为减函数，在 ［k,+∞) 上为增函数.ymin=h. ②a＜0时，在(-∞,k］上为 增函数 ，在 ［k,+∞)上为 减函数，ymax=h. 4.二次函数在限定区间上的最大（小）值， 求解时关键要抓住： ①图象的开口方向; ②区间与对称轴的位置关系; ③结合图象，利用单调性求解.
(4)至少有一个正根.
1 4 ；
4.已知函数f (x)=x2-2ax+a2-1的两个零点都
在(-2,4)内，求实数a的取值范围.
5.已知函数f (x)=x2+2mx+2m+1. （1）若函数f (x)的两个零点x1, x2满足
x1∈(-1,0)，x2∈(1,2),求m的取值范围;
注意： ①上述判定方法中在（a,b)内的零点不一定 唯一； ②逆命题不成立；
③对于f (a)f (b)＞0，我们无法判定f (x)在
(a,b) 内是否有零点.
3.用二分法求方程的近似解
求解步骤： （1）确定区间[a，b]，验证f (a)f (b)＜0，给定精确度ε; （2）求区间(a，b)的中点x1; （3）计算f (x1)：
图象
f (k)>0 等价 条件 b - 2a <k Δ>0
f (k)>0 b - 2a >k Δ>0
f (k)<0
根的 分布
x1 x2 ∈(k1 ， k2)
k1<x1<k2<x2<k3
在（k1，k2）内 有且仅有一个根
图象
f (k1)>0 等价 条件 f (k2)<0 b k1<- 2a <k1 Δ=0
①若f (x1)=0，则x1就是函数的零点；
②若f (a)f (x1)＜0，则令b=x1(此时零点x0∈(a，x1)); ③若f (x1)f (b)＜0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1，b)); (4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|＜ε，则得到零点近似 值a（或b）；否则重复(2)~(4).
求函数f(x)的解析式.
课时作业315页题4
二次函数图象及其应用
研究一元二次方程的根的分布问题，
一般情况下需要考虑三个方面：
（1）一元二次方程根的 判别式 ；
（2）相应二次函数区间端点 函数值的符号 ；
（3）相应二次函数图象的对称轴
b x 2a
与
端点
的位置关系.
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，则x1、 x2分布范围与二次方程系数之间的关系如下： 根的 分布 x1<x2<k k<x1<x2 x1<k<x2
1. f (x)在定义域内是单调函数，则f (x)的
零点至多有
2
个.
.
2.函数 g (x) 6 x 5 x 1的零点是
2
3.函数 f (x) x 2 x a 没有零点，则实数
a的取值范围是
.
一、零点的求取
1 例.函数 f (x) x 的零点是 x
3 2
.
4.函数 f (x) x 2 x x 2的零点是 x x 1 5.求函数 f (x) 4 2 3 的零点.