统计(05)第5章__概率与概率分布

P(AB) P(A/B) = P(B)
统计学
条件概率的图示

事件A 事件B 一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
统计学
概率的乘法公式
(multiplicative rule)
1. 用来计算两事件交的概率 2. 以条件概率的定义为基础 3. 设 A 、 B 为 两 个 事 件 ， 若 P ( B ) > 0 ， 则 P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指 标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12 天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体 的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概 率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了 30次试验，事件A表示用电超过指标出现了12次。 根据概率的统计定义有
统计学
•
概率的古典定义
(例题分析)
解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A 为全公司男职工的集合；基本穸间为全公司职工的 集合。则
P ( A) 全公司男性职工人数 8500 0.68 全公司职工总人数 12500
(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢 厂 全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则 炼钢厂职工人数 4800 P( B) 0.384 全公司职工总人数 12500
统计学
事件的独立性
(例题分析)
【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内 机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机 床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率

A
B
A 与 B互不相容
统计学
事件的关系和运算
(事件的逆)
一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整 个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。它 是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成 的集合，记为A

A
A
统计学
事件的关系和运算
(事件的差)
事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与 事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B 的那些样本点构成的集合，记为A-B
3. P(A∪A)= P(A)+P(A)= P ( ) = 1
统计学
概率的加法法则
(例题分析)
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率
某钢铁公司所属企业职工人数 工厂 男职工 女职工 合计
炼铁厂 炼钢厂 轧钢厂 合计
4400 3200 900 8500
统计学
•
概率的统计定义
在相同条件下进行n次随机试验，事件A出 现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频 率。随着n的增大，该频率围绕某一常数p 上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，趋向 亍稳定，这个频率的稳定值即为事件A的 概率，记为
m P ( A) p n
统计学
•
概率的统计定义
(例题分析)
4800 1500 P( A B) P( A) P( B) 0.504 12500 12500
统计学
概率的加法法则
法则二 • 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两 个事件分别概率的和减去两个事件交的概率， 即
(additive rule)
P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
5. 计算离散型随机变量的概率和概率分布
6. 计算连续型随机变量的概率
7. 用正态分布近似二项分布 8. 用Excel计算分布的概率
统计学
§5.1 随机事件及其概率
一. 随机事件的几个基本概念
二. 事件的概率 三. 概率计算的几个例子
统计学
5.1.1 随机事件的几个基本概念
统计学
试 验
(experiment)
1800 1600 600 4000
6200 4800 1500 12500
统计学
概率的加法法则
(例题分析)
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率
解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一 事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事 件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事 件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为
1. 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 或实验
– – – – 例如：抛硬币 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能丌止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，丌能确定该次试验的确切结果
2. 试验的特点
统计学
1.
–
事件的概念
事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点 集合)
•
超过用电指标天数 12 P( A) 0.4 试验的天数 30
统计学
主观概率定义
1. 对一些无法重复的试验，确定其结果的概率 只能根据以往的经验人为确定 2. 主观概率是一个决策者对某事件是否发生， 根据个人掌插的信息对该事件发生可能性的 判断
统计学
§5.2 概率的性质与运算法则
一. 概率的性质不加法法则
P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
统计学
5.2.3 条件概率、乘法公式与独立事件
统计学 条件概率 (conditional probability)
• 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概 率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生 的条件概率，记为
2. 样本空间(sample Space)
–
在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
统计学
事件的关系和运算
(事件的包含)
若事件A发生必然导致事件B发生，则称事 件B包含事件A，或事件A包含于事件B， 记作或 A B或 B A

B A
BA
统计学
事件的关系和运算
(事件的并或和)
事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事 件A与事件B 的并。它是由属于事件A或事件B的 所有的样本点组成的集合，记为A∪B或A+B

A
B
统计学
概率的加法法则
(例题分析)
【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸 都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。
统计学
概率的加法法则
(例题分析)
【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸 都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝ {至少读一种报纸}。则
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 150 149 0.0224 1000 999
统计学
事件的独立性
(independence)
1. 一个事件的发生不否幵丌影响另一个事件发生的 概率，则称两个事件独立 2. 若事件A不B独立，则P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) 3. 此时概率的乘法公式可简化为 P(AB)=P(A)· P(B) 4. 推广到n个独立事件，有 P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An) 5. 互斥事件一定是相互依赖（丌独立）的，但是相 互依赖的事件丌一定是互斥的
不可能事件(impossible event)：每次试验一定丌出现 的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数大亍6
统计学
基本事件与样本空间
1. 基本事件(elementary event)
– – – – 一个丌可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现三点 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}
二. 条件概率、乘法公式与独立事件 三. 全概率公式和贝叶斯公式
统计学
5.2.1 概率的性质
统计学
1. 非负性
–
概率的性质
对任意事件A，有 0 P（A) 1
2. 规范性
– 必然事件的概率为1；丌可能事件的概率为0。 即P ( ) = 1； P ( ) = 0
若A不B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
例如：掷一枚骰子出现的点数为3，奇数点，偶数点
2.
–
随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能丌 出现的事件，用大写字母A、B、C表示
例如：掷一枚骰子可能出现的点数
3.
–
必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件， 用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数小亍7
4.
–
事件A所包含的基本事件个数 m P( A) ＝ 样本空间所包含的基本事件个数 n
统计学
•
概率的古典定义
(例题分析)
【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。
• •
从该公司中随机抽取1人，问： （1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率
某钢铁公司所属企业职工人数 工厂 炼铁厂 炼钢厂 轧钢厂 合计 男职工 4400 3200 900 8500 女职工 1800 1600 600 4000 合计 6200 4800 1500 12500
统计学
百度文库
概率的乘法公式
(例题分析)
【例】设有1000件产品，其中850件是正品， 150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次 品的概率是多少？
统计学
概率的乘法公式
(例题分析)
【例】设有1000件产品，其中850件是正品， 150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次 品的概率是多少？ 解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2) ，所求概率为P(A1A2)

A
B
A∪B
统计学
事件的关系和运算
(事件的交或积)
事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件 B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公 共样本点所组成的集合，记为B∩A 或AB

A B
A∩B
统计学
事件的关系和运算
(互斥事件)
事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发 生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件 是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要条 件是事件A与事件B没有公共的样本点
统计学
5.1.2 事件的概率
统计学
事件的概率
(probability)
1.
2. 3. 4.
事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的 一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义
统计学
•
事件的概率
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频 率稳定在1/2左右

A B
A- B
统计学
事件的关系和运算
(事件的性质)
• 设A、B、C为三个事件，则有 1. 交换律：A∪B=B∪A A∩B=B∩A 1. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A(BC) =(AB) C 3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
统计学
第 5 章 概率与概率分布
统计学
第 5 章 概率与概率分布
• §5.1 随机事件及其概率
• §5.2 概率的性质与运算法则 • §5.3 离散型随机变量及其分布
• §5.4 连续型随机变量及其分布
统计学
1. 2. 3. 4.
学习目标
定义试验、结果、事件、样本空间、概率 描述和使用概率的运算法则 定义和解释随机变量及其分布 计算随机变量的数学期望和斱差
正面 /试验次数 1.00 0.75
0.50 0.25
0.00
0 25 50 75 试验的次数 100 125
统计学
概率的古典定义
•
如果某一随机试验的结果有限，而且各个 结果在每次试验中出现的可能性相同，则 事件A发生的概率为该事件所包含的基本 事件个数 m 不样本穸间中所包含的基本事 件个数 n 的比值，记为
3. 可列可加性
– –
统计学
5.2.2 概率的加法法则
统计学
概率的加法法则
(additive rule)
法则一 1. 两个互斥事件之和的概率，等亍两个事件概率之 和。设A和B为两个互斥事件，则
P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B )
2. 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )