重力作用下静水压强的分布规律一

=0 =0
第一式中
P cos(n, x) = p Ds cos(n, x) 1 = p Dy Dz 2
n n n
第二章 水静力学
Z
D
代入第一式 Px Pn cos(n, x)
Px A
Pn Py
C X
F
x
= 0 则： O B Pz
1 1 1 Y Dy Dz p x Dy Dz pn Dx Dy Dz X = 0 2 2 6 1 整理后,有 p x pn DxX = 0 3 当四面体无限缩小到A点时，Dx 0 因此：
1 p 1 p dx)dydz X dxdydz = 0 (p dx)dydz ( p 2 x 2 x
整理得：
同理，在x,y方向上可得：
p 1 X =0 x
第二章 水静力学
p 1 =0 X x p 1 Y y = 0 p 1 Z z = 0
p p 1 1 y = 0 Z z = 0
依次乘以dx,dy,dz后相加得： p p 1 p ( dx dy dz ) = Xdx Ydy Zdz x y z p p p 因为 ( dx dy dz ) 是P(x,y,z)的全微分 x y z 改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程 dp = ( Xdx Ydy Zdz) 就是说，静水压强的的分布规律完全是由单位
dz
A(x,y,z) N
dx
dy
X
1 (p 2 1 (p 2
p dx) dydz x p dx)dydz x
第二章 水静力学
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Z
M
另外作用在微小六面体上的质 量力在X轴向的分量为：
dz
A(x,y,z) N
X dxdydz
O Y
dx
dy
X
根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为 零，即：
DP p= 平均压强 DA
单位：N/m2 （Pa）
DP p = lim DA 0 DA
二、静水压强的特性
点压强
第一特性：静水压强垂直于作用面，并指 向作用面。
第二章 水静力学
证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体
Ⅰ A τ N P
P
N
B
Ⅱ Pn
静水压强的方向与作用面的内法线方向重合， 静水压强是一种 压应力
2 n 2 n
运用泰勒级数将p(x,y,z)展开，并忽略二阶以上 微量
第二章 水静力学
则：M点压强为：
Z
M
p
M
O N点压强为： Y dx p 1 p pN = P 2 x = p + 2 x dx 六面体左右两面的表面力为：
dx p 1 p = P ( )= p dx 2 x 2 x
px = pn
和
同理，我们可以推出：
py = pn
pz = pn
第二章 水静力学
这样我们可以得到：
Z
D Px A
上式表明任一点的静水压强 p是 各向等值的，与作用面的方位无 关。第二特性得到证明。
px = py = pz = pn
Pn Py C X
O B Y
Pz
第二章 水静力学
§2-2 液体的平衡微分方程及 其积分
质量力决定的。
第二章 水静力学
由于密度 可视为常数，式子 （Xdx Ydy Zdz )
也是函数U（x,y,z)的全微分即：
dU = Xdx Ydy Zdz
则函数U（x,y,z)的全微分为：
dU = U U U dx dy dz x y z
由此得：
X=
Z
D Px A
Pn Py C X
O B Y
Pz
第二章 水静力学
四面体的体积D V为
D V= 6 Dx Dy Dz 1
Z
D
Px A
Pn Py
C
X
O B
Y
Pz
总质量力在三个坐标方向的投影为 1 Fx = 6 Dx Dy Dz X 1 Fy = 6 Dx Dy Dz Y 1 = Fz 6 Dx Dy Dz Z
第二章 水静力学
第二章 水静力学
§2-1静水压强及其特性 §2-2液体的平衡微分方程 §2-3重力作用下静水压强的分布规律 §2-4测量压强的仪器 §2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡 §2-6作用在平面壁上的静水总压力 §2-7作用在曲面壁上的静水总压力
§2-1 静水压强及其特性
一、压强的定义： 单位面积上所受的压力 公式
第二章 水静力学
按照平衡条件，所有作用于微 小四面体上 的外力在各坐标轴 上投影的代数和应分别为零
Z
D Px A
Pn Py C X
Px Pn cos(n, x) F x = 0 P P cos(n, y) F P P cos(n, z) F
y n z n y z
O B Y
Pz
Z
A(x,y,z) M dz N dy O dx X
Y
第二章 水静力学 Z
A点的压强为一函数p（x,y,z)
M点的压强？ 坐标 M ( x 1 dx , y, z ) 2
M
dz
A(x,y,z) N
O Y
dx
dy
泰勒级数展开式为：
X
p 1 1 pM = p x dx, y, z = px, y, z dx x 2 2 1 p 1 1 p 1 dx dx 2 n 2 x 2 n! x 2
Z
M
dz
A(x,y,z) N
O Y
dx
dy
X
上式为液体平衡微分方程。 它表明：液体处于平衡状态时，对于单位质量液 体来说，质量力分量（X，Y，Z）和表面力的分 p 1 p 1 p 1 （ x y z ） 是对应相等的。 量 又称欧拉平衡微分方程
第二章 水静力学
p 1 将X x = 0 Y
第二章 水静力学
第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的 方位无关。
Z D z Px A x C Pn Py
B
O
Pz X
Y
第二章 水静力学
相应面上的总压力为
1 Px = 2 Dy Dz px 1 Py = 2 Dz Dx py 1 Pz = 2 Dx Dy pz Pn = Ds pn